中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)訓(xùn)練專題29 阿基米德折弦定理（原卷版）

專題29阿基米德折弦定理阿基米德折弦定理：一個(gè)圓中一條折弦所對(duì)的兩段弧的中點(diǎn)在較長(zhǎng)弦上的射影，就是折弦的中點(diǎn)。如圖，AB和BC是⊙O的兩條弦(即ABC是圓的一條折弦)，AB>BC，點(diǎn)M是弧ABC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MD⊥AB于點(diǎn)D,則AD=DB+BC，AB-BC=2DB。證明過(guò)程：（方法一：截長(zhǎng)補(bǔ)短法-截長(zhǎng)）在AD上取一點(diǎn)E，使AE=BC,連接AM、EM、BM、CM∵點(diǎn)M是弧ABC的中點(diǎn)∴eq

\o(AM,\s\up5(⌒))=eq

\o(MC,\s\up5(⌒))則AM=MC在△AEM和△CBM中AM=MC∠EAM=∠BCM(同弧所對(duì)的圓周角相等)AE=BC∴△AEM≌△CBM∴EM=BM又∵M(jìn)D⊥BE∴DE=DB則AD=AE+DE=BC+DBAB-BC=AE+DE+DB-BC=DE+DB=2DB（方法二：截長(zhǎng)補(bǔ)短法-截長(zhǎng)）在AD上取一點(diǎn)E，使DE=DB,連接AM、EM、BM、CM則EM=BM∠BEM=∠MBE∵點(diǎn)M是弧ABC的中點(diǎn)∴eq

\o(AM,\s\up5(⌒))=eq

\o(MC,\s\up5(⌒))則AM=MC∴∠MAC=∠MCA∵∠MCA=∠MBA∴∠AMC=∠EMB則∠AME=∠BMC在△AEM和△CBM中AM=MC∠AME=∠BMCEM=BM∴△AEM≌△CBM∴AE=BC則AD=AE+DE=BC+DBAB-BC=AE+DE+DB-BC=DE+DB=2DB（方法三：截長(zhǎng)補(bǔ)短法-截長(zhǎng)）在AD上取一點(diǎn)E，使DE=DB,連接AM、EM、BM、CM延長(zhǎng)EM交圓O于點(diǎn)F，連接AF、FC則EM=BM而∠BAF=∠BMF∴∠MBE=∠MEB=∠AEF=∠AFE∵點(diǎn)M是弧ABC的中點(diǎn)∴eq

\o(AM,\s\up5(⌒))=eq

\o(MC,\s\up5(⌒))則AM=MC∠MFC=∠MBA∴∠MEB=∠MFC則AB∥FC∴BC=AF=AE則AD=AE+DE=BC+DBAB-BC=AE+DE+DB-BC=DE+DB=2DB（方法四：截長(zhǎng)補(bǔ)短法-補(bǔ)短）延長(zhǎng)AB至點(diǎn)E，使BE=BC∵點(diǎn)M是弧ABC的中點(diǎn)∴eq

\o(AM,\s\up5(⌒))=eq

\o(MC,\s\up5(⌒))則AM=MC∠MAC=∠MBA∵∠MBC+∠MAC=180°∠MBA+∠MBE=180°∴∠MBC=∠MBE在△MBC和△MBE中MB=MB∠MBC=∠MBEBE=BC∴△MBC≌△MBE∴MC=ME而AM=MC∴AM=ME又∵M(jìn)D⊥AE∴AD=DE則AD=DE=DB+BE=DB+BC（方法五：截長(zhǎng)補(bǔ)短法-補(bǔ)短）(僅思路)過(guò)點(diǎn)M作BC垂線交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，并連接AM、BM、CM∵M(jìn)D⊥ABME⊥EC∴∠MDA=∠MDB=∠MEC=90°而AM=MC∠MAB=∠MCB∴△MAD≌△MCE∴MD=MEAD=CE∴△MDB≌△MEB∴BE=DB則AD=EC=BE+BC=DB+BC（方法六：截長(zhǎng)補(bǔ)短法-補(bǔ)短）(僅思路)在AD上取一點(diǎn)E，使DE=DB,連接AM、EM、BM、CM延長(zhǎng)BC至點(diǎn)F，使AB=BF,則∠BAF=∠BFA，連接AF交圓O于點(diǎn)G,連接CG∵∠ABC=∠AMCAMMC=ABBF∴△AMC∽△ABF∴∠MAC=∠BAF∴∠CAG=又∵∠MAC=∠MBA∠BAF=∠BFA∴∠MBE=∠BFA又∵∠BCG+∠GCF=180°∠BCG+∠BAG=180°∴∠GCF=∠BAG∴∠GCF=∠MEB∴△BME≌△FGC∴BE=CF而AB=BF∴AE=BC則AD=AE+DE=BC+DBAB-BC=AE+DE+DB-BC=DE+DB=2DB或AB-BC=BF-BC=CF=BE=2DB（方法七：作輔助圓法）(僅思路)連接AM、CM，以點(diǎn)M為圓心，MA為半徑作⊙M,延長(zhǎng)AB交⊙M于點(diǎn)E，連接CE在⊙O中，∠ABC=∠AMC在⊙M中，∠AMC=2∠AEC∴∠ABC=2∠AEC又∵∠ABC=∠BCE+∠BEC∴∠BCE=∠BEC則BC=BE∵在⊙M中DM⊥AE∴AD=DE則AD=DE=DB+BE=BC+DB【培優(yōu)過(guò)關(guān)練】1．阿基米德是古希臘最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他曾用圖1發(fā)現(xiàn)了阿基米德折弦定理．如圖2，已知BC為⊙O的直徑，AB為一條弦(BC>AB)，點(diǎn)M是ABC上的點(diǎn)，MD⊥BC于點(diǎn)D，延長(zhǎng)MD交弦AB于點(diǎn)E，連接BM，若BM=6，AB=4，則AE的長(zhǎng)為(

)A．52 B．94 C．122．定義：圓中有公共端點(diǎn)的兩條弦組成的折線稱為圓的一條折弦．阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC組成圓的折弦，AB＞BC，M是弧ABC的中點(diǎn)，MF⊥AB于F，則AF＝FB+BC．如圖2，△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一點(diǎn)，BD＝1，作DE⊥AB交△ABC的外接圓于E，連接EA，則∠EAC＝_____°．3．閱讀下面材料，完成相應(yīng)的任務(wù)：阿基米德是有史以來(lái)最偉大的數(shù)學(xué)家之一、《阿基米德全集》收集了已發(fā)現(xiàn)的阿基米德著作，它對(duì)于了解古希臘數(shù)學(xué)，研究古希臘數(shù)學(xué)思想以及整個(gè)科技史都是十分寶貴的．其中論述了阿基米德折弦定理：從圓周上任一點(diǎn)出發(fā)的兩條弦，所組成的折線，稱之為該圓的一條折弦．一個(gè)圓中一條由兩長(zhǎng)度不同的弦組成的折弦所對(duì)的兩段弧的中點(diǎn)在較長(zhǎng)弦上的射影，就是折弦的中點(diǎn)．如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即ABC是圓的一條折弦），BC>AB．M是弧ABC的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線之垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD=AB+BD．小明認(rèn)為可以利用“截長(zhǎng)法”，如圖2：在線段CB上從C點(diǎn)截取一段線段CN=AB，連接MA，MB，MC，MN．小麗認(rèn)為可以利用“垂線法”，如圖3：過(guò)點(diǎn)M作MH⊥AB于點(diǎn)H，連接MA，MB，MC任務(wù)：(1)請(qǐng)你從小明和小麗的方法中任選一種證明思路，繼續(xù)書(shū)寫(xiě)出證明過(guò)程，(2)就圖3證明：MC4．阿基米德是有史以來(lái)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子，在后世的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內(nèi)容．前蘇聯(lián)在1964年根據(jù)阿爾·比魯尼本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德的折弦定理．【定理內(nèi)容】一個(gè)圓中一條由兩長(zhǎng)度不同的弦組成的折弦所對(duì)的兩段弧的中點(diǎn)在較長(zhǎng)弦上的射影，就是折弦的中點(diǎn)．【定理模型】如圖①，已知AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是⊙O的一條折弦），BC>AB，M是ABC的中點(diǎn)，那么從M向弦BC作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD=AB+BD．下面是運(yùn)用“補(bǔ)短法”證明CD=AB+BD的部分證明過(guò)程：如圖②，延長(zhǎng)DB至點(diǎn)F，使BF=BA，連接MF，AB，MC，MA，AC，…【定理證明】按照上面思路，寫(xiě)出剩余部分的證明過(guò)程．【問(wèn)題解決】如圖③，△ABC內(nèi)接于⊙O，已知AB=AC=22，D為AC上一點(diǎn)，連接AD，DC，∠ABD=45°，∠CBD=15°，求△ABC5．問(wèn)題呈現(xiàn)：阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是弦⊙O的一條折弦），BC>AB，M是弧ABC的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD=AB+BD，下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明CD=AB+BD的部分證明過(guò)程.證明：如圖2，在CB上截取CG=AB，連接，，MC和MG.是弧ABC的中點(diǎn)，∴MA=MC，……(1)請(qǐng)按照上面的證明思路，寫(xiě)出該證明的剩余部分；(2)實(shí)踐應(yīng)用：如圖3，△ABC內(nèi)接于⊙O，BC>AB>AC，D是弧ACB的中點(diǎn)，DE⊥BC于點(diǎn)E，依據(jù)阿基米德折弦定理可得圖中某三條線段的等量關(guān)系為_(kāi)_____.(3)如圖4，等腰△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=AC，D為弧AB上一點(diǎn)，連接DB，∠ACD=45°，AC=6，，求△BDC的周長(zhǎng).6．【問(wèn)題呈現(xiàn)】阿基米德折弦定理：阿基米德，公元前公元前212年，古希臘）是有史以來(lái)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子．如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），BC>AB，點(diǎn)M是ABC的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD=DB+BA．下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明CD=DB+BA的部分證明過(guò)程．證明：如圖2，在CD上截取CG=AB，連接、、MC和MG．是ABC的中點(diǎn)，，又∵∠A=∠C，，∴△MAB?，又∵M(jìn)D⊥BC，∴BD=DG，即CD=DB+BA．

(1)【理解運(yùn)用】如圖1，AB、BC是⊙O的兩條弦，AB=4，BC=6，點(diǎn)M是ABC的中點(diǎn)，于點(diǎn)D，則BD=；(2)【變式探究】如圖3，若點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，【問(wèn)題呈現(xiàn)】中的其他條件不變，判斷CD、DB、BA之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明．(3)【實(shí)踐應(yīng)用】如圖4，BC是⊙O的直徑，點(diǎn)A圓上一定點(diǎn)，點(diǎn)D圓上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠DAC=45°，若AB=6，⊙O的半徑為5，則AD＝．7．【了解概念】我們知道，折線段是由兩條不在同一直線上且有公共端點(diǎn)的線段組成的圖形．如圖1，線段MQ、組成折線段．若點(diǎn)P在折線段上，MP=PQ+QN，則稱點(diǎn)P是折線段的中點(diǎn)．(1)如圖2，⊙O的半徑為2，PA是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，點(diǎn)B是折線段POA的中點(diǎn)．若∠APO=30°，則PB=；(2)【定理證明】阿基米德折弦定理：如圖3，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線段ABC是圓的一條折弦），BC>AB，點(diǎn)M是ABC的中點(diǎn)，從M向BC作垂線，垂足為D，求證：D是折弦ABC的中點(diǎn)；【變式探究】(3)如圖4，若點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，【定理證明】中的其他條件不變，則CD、DB、BA之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論．【靈活應(yīng)用】(4)如圖5，BC是⊙O的直徑，點(diǎn)A為⊙O上一定點(diǎn)，點(diǎn)D為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠DAB=45°，若AB=8，BC=10，則AD=．8．【了解概念】我們知道，折線段是由兩條不在同一直線上且有公共端點(diǎn)的線段組成的圖形．如圖1，線段MQ、組成折線段．若點(diǎn)P在折線段上，MP=PQ+QN，則稱點(diǎn)P是折線段的中點(diǎn)．【理解應(yīng)用】（1）如圖2，⊙O的半徑為2，PA是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，點(diǎn)B是折線段POA的中點(diǎn)．若∠APO=30°，則PB=______；【定理證明】（2）阿基米德折弦定理：如圖3，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線段ABC是圓的一條折弦），BC>AB，點(diǎn)M是ABC的中點(diǎn)，從M向BC作垂線，垂足為D，求證：D是折弦ABC的中點(diǎn)；【變式探究】（3）如圖4，若點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，【定理證明】中的其他條件不變，則CD、DB、BA之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論．【靈活應(yīng)用】（4）如圖5，BC是⊙O的直徑，點(diǎn)A為⊙O上一定點(diǎn)，點(diǎn)D為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠DAB=45°，若AB=8，BC=10，則AD=______________．9．請(qǐng)閱讀下面材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)；阿基米德折弦定理阿基米德（Arehimedes，公元前287—公元前212年，古希臘）是有史以來(lái)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，他與牛頓、高斯并稱為三大數(shù)學(xué)王子．阿拉伯Al-Biruni（973年—1050年）的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內(nèi)容，蘇聯(lián)在1964年根據(jù)Al-Biruni譯本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德的折弦定理．阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），BC>AB，M是ABC的中點(diǎn)，則從點(diǎn)M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD=AB+BD．這個(gè)定理有很多證明方法，下面是運(yùn)用“垂線法”證明CD=AB+BD的部分證明過(guò)程．證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥射線AB，垂足為點(diǎn)H，連接MA，MB，MC．∵M(jìn)是ABC的中點(diǎn)，∴MA=MC．…任務(wù)：（1）請(qǐng)按照上面的證明思路，寫(xiě)出該證明的剩余部分；（2）如圖3，已知等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O，D為AC上一點(diǎn)，∠ABD=15°，于點(diǎn)E，CE=2，連接AD，則△DAB的周長(zhǎng)是______．10．【問(wèn)題呈現(xiàn)】阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），BC＞AB，點(diǎn)M是ABC的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD＝DB+BA．下面是運(yùn)用“截長(zhǎng)法”證明CD＝DB+BA的部分證明過(guò)程．證明：如圖2，在CD上截取CG＝AB，連接MA、MB、MC和MG．∵M(jìn)是ABC的中點(diǎn)，∴MA＝MC①又∵∠A＝∠C②∴△MAB≌△MCG③∴MB＝MG又∵M(jìn)D⊥BC∴BD＝DG∴AB+BD＝CG+DG即CD＝DB+BA根據(jù)證明過(guò)程，分別寫(xiě)出下列步驟的理由：①，②，③；【理解運(yùn)用】如圖1，AB、BC是⊙O的兩條弦，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)M是ABC的中點(diǎn)，MD⊥BC于點(diǎn)D，則BD＝；【變式探究】如圖3，若點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)，【問(wèn)題呈現(xiàn)】中的其他條件不變，判斷CD、DB、BA之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明．【實(shí)踐應(yīng)用】根據(jù)你對(duì)阿基米德折弦定理的理解完成下列問(wèn)題：如圖4，BC是⊙O的直徑，點(diǎn)A圓上一定點(diǎn)，點(diǎn)D圓上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足∠DAC＝45°，若AB＝6，⊙O的半徑為5，求AD長(zhǎng)．11．閱讀材料，并完成相應(yīng)任務(wù)．問(wèn)題背景：在《阿基米德全集》中記述了偉大的古希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家、物理學(xué)家阿基米德提出的關(guān)于圓的一些問(wèn)題，其中有這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），BC>AB，點(diǎn)M是ABC的中點(diǎn)，則從點(diǎn)M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD=DB+BA．(1)如圖2，牛牛同學(xué)嘗試運(yùn)用“截長(zhǎng)法”說(shuō)明“CD=DB+BA”，于是他在CD上截取CE=AB，連接MA，MB，ME，MC．請(qǐng)根據(jù)牛牛的思路完成證明過(guò)程；(2)如圖3，在⊙O中，BD=CD，DE⊥AC，若AB=3，AC=7，則12．請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：阿基米德折弦定理，阿基米德（公元前287年一公元前212年），偉大的古希臘哲學(xué)家、百科式科學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、力學(xué)家，靜態(tài)力學(xué)和流體靜力學(xué)的奠基人，并且享有“力學(xué)之父”的美稱，阿基米德和高斯，牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家．阿拉伯Al﹣Binmi（973年一1050年）的譯文中保存了阿基米德折弦定理的內(nèi)容，蘇聯(lián)在1964年根據(jù)Al﹣Binmi譯本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一題就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），BC＞AB，M是ABC的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD＝AB+BD．小明同學(xué)運(yùn)用“截長(zhǎng)法”和三角形全等來(lái)證明CD＝AB+BD，過(guò)程如下：證明：如圖2所示，在CB上截取CG＝AB，連接MA，MB，MC和MG．∵M(jìn)是ABC的中點(diǎn)，∴MA＝MC，…(1)請(qǐng)按照上述思路，寫(xiě)出該證明的剩余部分；(2)如圖3，在⊙O中，BD=CD，DE⊥AC，若AB=4，AC=10，則AE的長(zhǎng)度為_(kāi)________；(3)如圖4，已知等邊△ABC內(nèi)接于⊙O，AB=8，D為AC上一點(diǎn)，∠ABD=45°，AE⊥BD于點(diǎn)E，求△BDC的周長(zhǎng)．13．問(wèn)題呈現(xiàn)：阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），BC＞AB，M是ABC的中點(diǎn)，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點(diǎn)，即CD=AB+BD．下