【2022屆走向高考】高三數(shù)學(xué)一輪(人教B版)基礎(chǔ)鞏固：第4章-第6節(jié)-正弦定理和余弦定理

第四章第六節(jié)一、選擇題1．(文)在△ABC中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，若a＝2，b＝2eq\r(2)，且三角形有兩解，則角A的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))[答案]A[解析]由條件知bsinA<a，即2eq\r(2)sinA<2，∴sinA<eq\f(\r(2),2)，∵a<b，∴A<B，∴A為銳角，∴0<A<eq\f(π,4).(理)在△ABC中，已知A＝60°，b＝4eq\r(3)，為使此三角形只有一解，a滿足的條件是()A．0<a<4eq\r(3) B．a(chǎn)＝6C．a(chǎn)≥4eq\r(3)或a＝6 D．0<a≤4eq\r(3)或a＝6[答案]C[解析]∵b·sinA＝4eq\r(3)·sin60°＝6，∴要使△ABC只有一解，應(yīng)滿足a＝6或a≥4eq\r(3).如圖頂點B可以是B1、B2或B3.2．(2022·上海楊浦質(zhì)量調(diào)研)設(shè)銳角△ABC的三內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且a＝1，B＝2A，則b的取值范圍為A．(eq\r(2)，eq\r(3)) B．(1，eq\r(3))C．(eq\r(2)，2) D．(0,2)[答案]A[解析]由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(b,sin2A)，則b＝2cosA.eq\f(π,2)<A＋B＝3A<π，從而eq\f(π,6)<A<eq\f(π,3)，又B＝2A<eq\f(π,2)，所以A<eq\f(π,4)，所以有eq\f(π,6)<A<eq\f(π,4)，eq\f(\r(2),2)<cosA<eq\f(\r(3),2)，所以eq\r(2)<b<eq\r(3).3．(文)在△ABC中，角A、B、C所對的邊長分別為a、b、c.若∠C＝120°，c＝eq\r(2)a，則()A．a(chǎn)＞b B．a(chǎn)＜bC．a(chǎn)＝b D．a(chǎn)與b的大小關(guān)系不能確定[答案]A[解析]∵∠C＝120°，c＝eq\r(2)a，c2＝a2＋b2－2abcosC∴a2－b2＝ab，又∵a>0，b>0，∴a－b＝eq\f(ab,a＋b)>0，所以a>b.(理)在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c.若a2－b2＝eq\r(3)bc，sinC＝2eq\r(3)sinB，則A＝()A．30° B．60°C．120° D．150°[答案]A[解析]由sinC＝2eq\r(3)sinB可得c＝2eq\r(3)b，由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(－\r(3)bc＋c2,2bc)＝eq\f(－\r(3)b＋c,2b)＝eq\f(\r(3),2)，于是A＝30°.4．(2022·東北三省三校二模)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且eq\f(c－b,c－a)＝eq\f(sinA,sinC＋sinB)，則B＝()A.eq\f(π,6) B．eq\f(π,4)C.eq\f(π,3) D．eq\f(3π,4)[答案]C[解析]∵eq\f(c－b,c－a)＝eq\f(sinA,sinC＋sinB)＝eq\f(a,c＋b)，∴c2－b2＝ac－a2，∴a2＋c2－b2＝ac，∴2accosB＝ac，∴cosB＝eq\f(1,2)，∵B∈(0，π)，∴B＝eq\f(π,3).5．(2022·大城一中月考)在△ABC中，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝|eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，則△ABC面積的最大值為()A.eq\r(21) B．eq\f(3\r(21),4)C.eq\f(\r(21),2) D．3eq\r(21)[答案]B[解析]設(shè)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，∵eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝|eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))|＝3，∴bccosA＝a＝3.又cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)≥1－eq\f(9,2bc)＝1－eq\f(3cosA,2)，∴cosA≥eq\f(2,5)，∴0<sinA≤eq\f(\r(21),5)，∴△ABC的面積S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(3,2)tanA≤eq\f(3,2)×eq\f(\r(21),2)＝eq\f(3\r(21),4)，故△ABC面積的最大值為eq\f(3\r(21),4).6．(文)(2021·青島模擬)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若角A，B，C依次成等差數(shù)列，且a＝1，b＝eq\r(3)，則S△ABC等于()A.eq\r(2) B．eq\r(3)C.eq\f(\r(3),2) D．2[答案]C[解析]由角A，B，C依次成等差數(shù)列，得A＋C＝2B，解得B＝eq\f(π,3).由余弦定理得(eq\r(3))2＝1＋c2－2ccoseq\f(π,3)，解得c＝2或c＝－1(舍去)．于是，S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×1×2sineq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2).(理)(2021·浙江寧波十校聯(lián)考)在△ABC中，a2tanB＝b2tanA，則角A與角B的關(guān)系是()A．A＝B B．A＋B＝90°C．A＝B或A＋B＝90° D．A＝B且A＋B＝90°[答案]C[解析]由已知條件a2tanB＝b2tanA?sin2A＝sin2B，由于A，B為三角形內(nèi)角，所以有2A＝2B或2A＋2B＝180°，即A＝B或A二、填空題7．(2022·弋陽一中月考)在直角坐標(biāo)系xOy中，已知△ABC的頂點A(－1,0)，C(1,0)，頂點B在橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1上，則eq\f(sinA＋sinC,sinB)的值為________．[答案]2[解析]由題意知△ABC中，AC＝2，BA＋BC＝4，由正弦定理得eq\f(sinA＋sinC,sinB)＝eq\f(BC＋BA,AC)＝2.8．(2022·江西四校聯(lián)考)△ABC的三個內(nèi)角A、B、C所對邊的長分別為a、b、c，已知c＝3，C＝eq\f(π,3)，a＝2b，則b的值為________．[答案]eq\r(3)[解析]依題意及余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，即9＝(2b)2＋b2－2×2b×bcoseq\f(π,3)，解得b2＝3，∴b＝eq\r(3).9．(文)在銳角△ABC中，邊長a＝1，b＝2，則邊長c的取值范圍是________．[答案]eq\r(3)<c<eq\r(5)[解析]邊c最長時(c≥2)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(1＋4－c2,2×1×2)>0，∴c2<5.∴2≤c<eq\r(5).邊b最長時(c<2)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(1＋c2－4,2c)>0，∴c2>3.∴eq\r(3)<c<2.綜上，eq\r(3)<c<eq\r(5).(理)在△ABC中，C＝60°，a、b、c分別為A、B、C的對邊，則eq\f(a,b＋c)＋eq\f(b,c＋a)＝________.[答案]1[解析]∵C＝60°，∴a2＋b2－c2＝ab，∴(a2＋ac)＋(b2＋bc)＝(b＋c)(a＋c)，∴eq\f(a,b＋c)＋eq\f(b,a＋c)＝1.三、解答題10．(文)(2022·安徽理)設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對邊的長分別是a、b、c且b＝3，c＝1，A＝2B.(1)求a的值；(2)求sin(A＋eq\f(π,4))的值．[解析](1)由于A＝2B，所以sinA＝sin2B＝2sinBcosB，由正、余弦定理得a＝2b·eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，由于b＝3，c＝1，所以a2＝12，a＝2eq\r(3).(2)由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(9＋1－12,6)＝－eq\f(1,3)，由于0<A<π，所以sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\r(1－\f(1,9))＝eq\f(2\r(2),3)，故sin(A＋eq\f(π,4))＝sinAcoseq\f(π,4)＋cosAsineq\f(π,4)＝eq\f(2\r(2),3)×eq\f(\r(2),2)＋(－eq\f(1,3))×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(4－\r(2),6).(理)(2022·陜西理)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a，b，c.(1)若a、b、c成等差數(shù)列，證明：sinA＋sinC＝2sin(A＋C)；(2)若a、b、c成等比數(shù)列，求cosB的最小值.[解析](1)∵a，b，c成等差數(shù)列，∴a＋c＝2b，由正弦定理得sinA＋sinC＝2sinB.∵sinB＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，∴sinA＋sinC＝2sin(A＋C)．(2)∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b2＝ac，由余弦定理得cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋c2－ac,2ac)≥eq\f(2ac－ac,2ac)＝eq\f(1,2)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時，等號成立．∴cosB的最小值為eq\f(1,2).一、選擇題11．(文)(2021·呼和浩特第一次統(tǒng)考)在△ABC中，假如sinA＝eq\r(3)sinC，B＝30°，角B所對的邊長b＝2，則△ABC的面積為()A．4 B．1C.eq\r(3) D．2[答案]C[解析]據(jù)正弦定理將角化邊得a＝eq\r(3)c，再由余弦定理得c2＋(eq\r(3)c)2－2eq\r(3)c2cos30°＝4，解得c＝2，故S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)×sin30°＝eq\r(3).(理)(2021·浙江金麗衢十二校聯(lián)考)在△ABC中，a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C所對的邊，且b2＋c2＝a2＋eq\r(3)bc，則2sinBcosC－sin(B－C)的值為()A.eq\f(\r(3),3) B．eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(2),2) D．eq\f(1,2)[答案]D[解析]利用余弦定理，得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(\r(3)bc,2bc)＝eq\f(\r(3),2)，又A∈(0，π)，所以A＝eq\f(π,6)，B＋C＝eq\f(5π,6)，所以2sinBcosC－sin(B－C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝sin(B＋C)＝eq\f(1,2).12．(2021·浙江五校其次次聯(lián)考)若△ABC的內(nèi)角A，B，C對邊分別為a，b，c，且a＝1，∠B＝45°，S△ABC＝2，則b＝()A．5 B．25C.eq\r(41) D．5eq\r(2)[答案]A[解析]解法1：由S△ABC＝eq\f(1,2)acsin45°＝2?c＝4eq\r(2)，再由余弦定理可得b＝5.解法2：作三角形ABC中AB邊上的高CD，在Rt△BDC中求得高CD＝eq\f(\r(2),2)，結(jié)合面積求得AB＝4eq\r(2)，AD＝eq\f(7\r(2),2)，從而b＝eq\r(AD2＋CD2)＝5.13．(2022·長春市調(diào)研)△ABC各角的對應(yīng)邊分別為a，b，c，滿足eq\f(b,a＋c)＋eq\f(c,a＋b)≥1，則角A的取值范圍是()A．(0，eq\f(π,3)] B．(0，eq\f(π,6)]C．[eq\f(π,3)，π) D．[eq\f(π,6)，π)[答案]A[解析]由eq\f(b,a＋c)＋eq\f(c,a＋b)≥1得：b(a＋b)＋c(a＋c)≥(a＋c)(a＋b)，化簡得：b2＋c2－a2≥bc，同除以2bc得，eq\f(b2＋c2－a2,2bc)≥eq\f(1,2)，即cosA≥eq\f(1,2)，由于0<A<π，所以0<A≤eq\f(π,3)，故選A.14．若AB＝2，AC＝eq\r(2)BC，則S△ABC的最大值為()A．2eq\r(2) B．eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(2),3) D．3eq\r(2)[答案]A[解析]設(shè)BC＝x，則AC＝eq\r(2)x，依據(jù)面積公式得S△ABC＝eq\f(1,2)×AB×BCsinB＝xeq\r(1－cos2B)①，依據(jù)余弦定理得cosB＝eq\f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)＝eq\f(4＋x2－2x2,4x)＝eq\f(4－x2,4x)②，將②代入①得，S△ABC＝xeq\r(1－\f(4－x2,4x)2)＝eq\r(\f(128－x2－122,16))，由三角形的三邊關(guān)系得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(2)x＋x>2,x＋2>\r(2)x))，解得2eq\r(2)－2<x<2eq\r(2)＋2，故當(dāng)x＝2eq\r(3)時，S△ABC取得最大值2eq\r(2)，故選A.二、填空題15．(文)(2022·河南名校聯(lián)考)若△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊a，b，c滿足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，則ab的值為________．[答案]eq\f(4,3)[解析]∵(a＋b)2－c2＝4，∴a2＋b2－c2＝4－2ab＝2abcos60°，∴ab＝eq\f(4,3).(理)(2022·衡水中學(xué)5月模擬)在△ABC中，P是BC邊中點，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若ceq\o(AC,\s\up6(→))＋aeq\o(PA,\s\up6(→))＋beq\o(PB,\s\up6(→))＝0，則△ABC的外形為________．[答案]等邊三角形[解析]∵ceq\o(AC,\s\up6(→))＋aeq\o(PA,\s\up6(→))＋beq\o(PB,\s\up6(→))＝0，∴(a－c)eq\o(PA,\s\up6(→))＋beq\o(PB,\s\up6(→))＋ceq\o(PC,\s\up6(→))＝0，∵P為BC的中點，∴eq\o(PB,\s\up6(→))＝－eq\o(PC,\s\up6(→))，∴(a－c)eq\o(PA,\s\up6(→))＋(b－c)eq\o(PB,\s\up6(→))＝0，∵eq\o(PA,\s\up6(→))與eq\o(PB,\s\up6(→))不共線，∴a－c＝0，b－c＝0，∴a＝b＝c.16．(2022·吉林九校聯(lián)合體聯(lián)考)在△ABC中，C＝60°，AB＝eq\r(3)，AB邊上的高為eq\f(4,3)，則AC＋BC＝________.[答案]eq\r(11)[解析]由條件eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\f(4,3)＝eq\f(1,2)AC·BC·sin60°，∴AC·BC＝eq\f(8,3)，由余弦定理知AC2＋BC2－3＝2AC·BC∴AC2＋BC2＝3＋AC·BC，∴(AC＋BC)2＝AC2＋BC2＋2AC·BC＝3＋3AC·BC＝11，∴AC＋BC＝eq\r(11).三、解答題17．(文)(2022·浙江理)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知a≠b，c＝eq\r(3)，cos2A－cos2B＝eq\r(3)sinAcosA－eq\r(3)sinBcosB.(1)求角C的大?。?2)若sinA＝eq\f(4,5)，求△ABC的面積．[解析](1)由已知cos2A－cos2B＝eq\r(3)sinAcosA－eq\r(3)sinBcosB得．eq\f(1,2)(1＋cos2A)－eq\f(1,2)(1＋cos2B)＝eq\f(\r(3),2)sin2A－eq\f(\r(3),2)sin2B，∴eq\f(1,2)cos2A－eq\f(\r(3),2)sin2A＝eq\f(1,2)cos2B－eq\f(\r(3),2)sin2B，即sin(－eq\f(π,6)＋2A)＝sin(－eq\f(π,6)＋2B)，∴－eq\f(π,6)＋2A＝－eq\f(π,6)＋2B或－eq\f(π,6)＋2A－eq\f(π,6)＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝eq\f(2π,3)，∵a≠b，∴A＋B＝eq\f(2π,3)，∴∠C＝eq\f(π,3).(2)由(1)知sinC＝eq\f(\r(3),2)，cosC＝eq\f(1,2)，∴sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝eq\f(3\r(3)＋4,10)由正弦定理得：eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，又∵c＝eq\r(3)，sinA＝eq\f(4,5).∴a＝eq\f(8,5).∴S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(18＋8\r(3),25).(理)(2021·沈陽市東北育才學(xué)校一模)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且C＝eq\f(3π,4)，sinA＝eq\f(\r(5),5).(1)求sinB的值；(2)若c－a＝5－eq\r(10)，求△ABC的面積．[解析](1)由于C＝eq\f(3π,4)，sinA＝eq\f(\r(5),5)，所以cosA＝eq\r(1－sin2A)＝eq\f(2\r(5),5)，由已知得B＝eq\f(π,4)－A.所以sinB＝sin(eq\f(π,4)－A)＝sineq\f(π,4)cosA－coseq\f(π,4)sinA＝eq\f(\r(2),2)·eq\f(2\r(5),5)－eq\f(\r(2),2)·eq\f(\r(5),5)＝eq\f(\r(10),10).(2)由(1)知C＝eq\f(3π,4)，所以sinC＝eq\f(\r(2),2)且sinB＝eq\f(\r(10),10).由正弦定理得eq\f(a,c)＝eq\f(sinA,sinC)＝eq\f(\r(10),5).又由于c－a＝5－eq\r(10)，所以c＝5，a＝eq\r(10).所以S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×eq\r(10)×5×eq\f(\r(10),10)＝eq\f(5,2).18．(文)(2022·廣東五校協(xié)作體其次次聯(lián)考)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，S是△ABC的面積．若a＝(2cosB,1)，b＝(－1,1)，且a∥b.(1)求tanB＋sinB的值；(2)若a＝8，S＝8eq\r(3)，求tanA的值．[解析](1)∵a∥b，∴2cosB＝－1，cosB＝－eq\f(1,2).∵