【全程復習方略】2022屆高考數(shù)學(文科人教A版)大一輪課時作業(yè)：3.7-正弦定理和余弦定理-

溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調(diào)整合適的觀看比例，答案解析附后。關閉Word文檔返回原板塊。課時提升作業(yè)(二十一)正弦定理和余弦定理(25分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.在△ABC中,B=45°,C=60°,c=2,則最短邊的長為()A. B. C.1 D.【解析】選A.由于B=45°,C=60°,所以A=180°-(B+C)=75°,B<C<A.故最短的邊為b,由正弦定理,得,所以b=2.在△ABC中,A=,BC=3,AB=,則C=()【解題提示】把用大寫字母表示的邊長改為小寫字母,再用正弦定理求解.【解析】選C.BC=a=3,AB=c=,由正弦定理,得sinC=又a=3,c=,所以a>c,即A>C,故C為銳角,所以C=.【誤區(qū)警示】本題簡潔由sinC=得sinC=,沒有利用a>c推斷A>C,就得出C=或.從而導致增解.3.(2021·溫州模擬)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a2-b2=bc,sinC=2sinB,則A=()A.30° B.60° C.120° D.150°【解析】選A.由于sinC=2sinB,所以由正弦定理得c=2b,由于a2-b2=bc,所以a2=b2+b·2b=7b2,即a=b,cosA=由于0°<A<180°,所以A=30°.【加固訓練】(2022·唐山模擬)若△ABC的內(nèi)角A,B,C滿足6sinA=4sinB=3sinC,則cosB=()【解析】選D.由6sinA=4sinB=3sinC,得sinA∶sinB∶sinC=2∶3∶4.設角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,則由正弦定理知a∶b∶c=2∶3∶4,令a=2k,b=3k,c=4k(k>0),則cosB=4.(2021·福州模擬)已知△ABC中,sinA=817,cosB=35A.-1385或7785 B.7785 C.-7785【解析】選D.由cosB=35>0得B為銳角,所以sinB=1-cos2B=45;由sinA=817<4由cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-(cosAcosB-sinAsinB)=-13855.(2021·臨沂模擬)在△ABC中,若sinB·sinC=cos2,且sin2B+sin2C=sin2A,則△ABC是A.等邊三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰直角三角形【解題提示】把每個等式化簡變形,逐一進行推斷.【解析】選D.由于sinBsinC=cos2=,所以2sinBsinC=1+cos[π-(B+C)]=1-cos(B+C)=1-cosBcosC+sinBsinC,即cosBcosC+sinBsinC=1,所以cos(B-C)=1.由于B,C是△ABC的內(nèi)角,所以B-C=0,即B=C,又由于sin2B+sin2C=sin2A,即b2+c2=a所以A=90°,故△ABC為等腰直角三角形.

二、填空題(每小題5分,共15分)6.在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若a=2,B=π6,c=23,則b=【解析】由余弦定理,得b2=a2+c2-2accosB=4+12-2×2×23cosπ6答案:2【加固訓練】若A=60°,a=7,b=5,則c=.【解題提示】直接用余弦定理列出關于c的方程求解.【解析】由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,所以49=25+c2-2×5×c×cos60°,即c2-5c-24=0,解得c=8(c=-3舍去).答案:87.(2021·黃山模擬)在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若acosA=bsinB,則sinAcosA+cos2B=.【解析】由正弦定理,得sinAcosA=sin2B,所以sinAcosA+cos2B=sin2B+cos2B=1.答案:18.已知銳角三角形的三邊長分別為2,3,x,則x的取值范圍是.【解題提示】由較大的邊對的角都是銳角,依據(jù)余弦定理列不等式組求解.【解析】由于2<3,所以只需22+x2>32答案:(5,13)三、解答題(每小題10分,共20分)9.(2022·安徽高考)設△ABC的內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.(1)求a的值.(2)求sin(A+)的值.【解題提示】依據(jù)三角函數(shù)的和角、倍角公式及正、余弦定理解答.【解析】(1)由于A=2B,所以sinA=sin2B=2sinBcosB,由正、余弦定理得a=2b·,由于b=3,c=1,所以a2=12即a=2.(2)由余弦定理得cosA=由于0<A<π,所以sinA=故sin(A+)=sinAcos+cosAsin=10.(2021·日照模擬)在△ABC中,邊a,b,c分別是角A,B,C的對邊,且滿足:bcosC=(3a-c)cosB.(1)求cosB.(2)若BC→·BA→=4,b=42,【解析】(1)在△ABC中,由于bcosC=(3a-c)cosB,由正弦定理可得sinBcosC=(3sinA-sinC)cosB,所以3sinA·cosB-sinC·cosB=sinBcosC,化為:3sinA·cosB=sinC·cosB+sinBcosC=sin(B+C)=sinA.由于在△ABC中,sinA≠0,故cosB=13(2)由BC→·BA可得a·c·cosB=4,即ac=12.①再由余弦定理可得b2=32=a2+c2-2ac·cosB=a2+c2-2ac3,即a2+c2由①②求得a=2,c=6;或者a=6,c=2.綜上可得,a=2,c=6【加固訓練】(2021·天津模擬)已知銳角△ABC中,角A,B,C對應的邊分別為a,b,c,tanA=(1)求A的大小.(2)求cosB+cosC的取值范圍.【解析】(1)由余弦定理知b2+c2-a2=2bccosA,所以tanA=由于A∈(0,),所以A=.(2)由于△ABC為銳角三角形且B+C=,所以<B=-C<,cosB+cosC=cosB+cos(-B)=cosB+coscosB+sinsinB=cosB+sinB=sin(B+).由于<B+<,所以<sin(B+)≤1,即cosB+cosC的取值范圍是(,1].(20分鐘40分)1.(5分)(2021·新課標全國卷Ⅰ)已知銳角△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,則b=A.10 B.9 C.8 D.5【解析】選D.由于23cos2A+cos2A=0,所以23cos2A+2cos2A-1=0,解得cos2由于△ABC為銳角三角形,所以cosA=,sinA=.由正弦定理得,sinC=,cosC=.又B=π-(A+C),所以sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=由正弦定理得,,解得b=5.【一題多解】本題還可如下解答選D.由于23cos2A+cos2A所以23cos2A+2cos2A-1=0,即cos2A由于△ABC為銳角三角形,所以cosA=,由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccosA,即49=b2+36-b,5b2-12b-65=0,解得b=5或b=-(舍去),故b=5.2.(5分)(2021·合肥模擬)在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對邊,且cos2B+cosB+cos(A-C)=1,則()A.a,b,c成等差數(shù)列 B.a,b,c成等比數(shù)列C.a,c,b成等差數(shù)列 D.a,c,b成等比數(shù)列【解析】選B.由cos2B+cosB+cos(A-C)=1變形得:cosB+cos(A-C)=1-cos2B,由于cosB=cos[π-(A+C)]=-cos(A+C),cos2B=1-2sin2B,所以上式化簡得:cos(A-C)-cos(A+C)=2sin2B,所以2sinAsinC=2sin2B,即sinAsinC=sin2B,由正弦定理得:ac=b2,則a,b,c成等比數(shù)列.故選B.3.(5分)(2021·泉州模擬)在△ABC中,A,B,C的對邊分別為a,b,c,若a=23,A=π3,則此三角形周長的最大值為【解析】由于a2=b2+c2-2bccosA,所以b2+c2-bc=12,(b+c)2=12+3bc≤12+3b+c即(b+c)2≤48,b+c≤43,故a+b+c≤23+43=63,當且僅當b=c=23時,“=”成立.答案:634.(12分)(力氣挑戰(zhàn)題)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且2b·cosA=c·cosA+a·cosC.(1)求角A的大小.(2)若a=7,b+c=4,求bc的值.【解析】(1)由正弦定理,得a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(R為△ABC外接圓的半徑),則已知等式可化為2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC,即2sinBcosA=sin(A+C)=sinB,又sinB≠0,所以cosA=12,A=60°(2)(b+c)2=16,即b2+c2+2bc=16(*),又由余弦定理得,a2=b2+c2-2bccosA,可得b2+c2-bc=7,代入(*)式得bc=3.【方法技巧】推斷三角形的外形的思路與依據(jù)(1)思路:必需從爭辯三角形的邊與邊的關系,或角的關系入手,充分利用正弦定理與余弦定理進行轉化,即化邊為角或化角為邊,使邊角統(tǒng)一.(2)推斷依據(jù):①等腰三角形:a=b或A=B.②直角三角形:b2+c2=a2或A=90°.③鈍角三角形:a2>b2+c2,A>90°.④銳角三角形:若a為最大邊,且滿足a2<b2+c2或A為最大角,且A<90°.5.(13分)(2022·湖南高考)如圖,在平面四邊形ABCD中,DA⊥AB,DE=1,EC=7,EA=2,∠ADC=2π3,∠BEC=(1)求sin∠CED的值.(2)求BE的長.【解題提示】利用正余弦定理和三角變換公式求解.【解析】設∠CED=α,(1)在△CDE中,由余弦定理,得EC2=CD2+DE2-2CD·DE·cos∠EDC,于是由題設知,7=CD2+1