【優(yōu)教通-同步備課】高中數(shù)學(xué)(北師大版)必修五教案：1.1-拓展資料：疊加、疊乘、迭代遞推、代數(shù)轉(zhuǎn)化

疊加、疊乘、迭代遞推、代數(shù)轉(zhuǎn)化已知數(shù)列的遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式的方法大約分為兩類：一類是依據(jù)前幾項(xiàng)的特點(diǎn)歸納猜想出a的表達(dá)式，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明；另一類是將已知遞推關(guān)系，用代數(shù)法、迭代法、換元法，或是轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列（等差或等比）的方法求通項(xiàng)．第一類方法要求同學(xué)有確定的觀看力氣以及足夠的結(jié)構(gòu)閱歷，才能順當(dāng)完成，對同學(xué)要求高．其次類方法有確定的規(guī)律性，只需遵循其特有規(guī)律方可順當(dāng)求解．在教學(xué)中，我針對一些數(shù)列特有的規(guī)律總結(jié)了一些求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的解題方法．一、疊加相消．類型一：形如a＝a+f(n)，其中f(n)為關(guān)于n的多項(xiàng)式或指數(shù)形式（a）或可裂項(xiàng)成差的分式形式．——可移項(xiàng)后疊加相消．例1：已知數(shù)列｛a｝,a＝0,n∈N，a＝a＋（2n－1），求通項(xiàng)公式a．解：∵a=a＋（2n－1）∴a=a＋（2n－1）∴a－a=1、a－a=3、……a－a=2n－3∴a=a＋(a－a)＋(a－a)＋…＋(a－a)=0＋1＋3＋5＋…＋(2n－3)=[1＋(2n－3)](n－1)=(n－1)2n∈N練習(xí)1：⑴.已知數(shù)列｛a｝,a=1,n∈N，a=a＋3n，求通項(xiàng)公式a．⑵.已知數(shù)列｛a｝滿足a＝3，，n∈N，求a．二、疊乘相約．類型二：形如.其中f(n)=（p≠0，m≠0,b–c=km,k∈Z）或=kn（k≠0）或=km(k≠0,0＜m且m≠1)．例2：已知數(shù)列｛a｝,a=1，a＞0,(n＋1)a2－na2＋aa=0，求a．解：∵(n＋1)a2－na2＋aa=0∴[(n＋1)a－na](a＋a)=0∵a＞0∴a＋a＞0∴(n＋1)a－na=0∴∴練習(xí)2：⑴已知數(shù)列｛a｝滿足S=a(n∈N),S是{a}的前n項(xiàng)和,a=1,求a．⑵.已知數(shù)列｛a｝滿足a=3na(n∈N)，且a=1，求a．三、逐層迭代遞推．類型三：形如a=f(a)，其中f(a)是關(guān)于a的函數(shù).——需逐層迭代、細(xì)心查找其中規(guī)律．例3：已知數(shù)列｛a｝，a=1,n∈N，a=2a＋3n,求通項(xiàng)公式a．解：∵a=2a＋3n∴a=2a＋3n-1=2(2a＋3n-2)＋3n-1=22(2a＋3n-3)＋2·3n-2＋3n-1=……=2n-2(2a＋3)＋2n-3·32＋2n-4·33＋2n-5·34＋…＋22·3n-3＋2·3n-2＋3n-1=2n-1＋2n-2·3＋2n-3·32＋2n-4·33＋…＋22·3n-3＋2·3n-2＋3n-1練習(xí)3:⑴.若數(shù)列｛a｝中，a=3，且a=a（n∈N），求通項(xiàng)a.⑵.已知數(shù)列｛a｝的前n項(xiàng)和S滿足S=2a+，n∈N,求通項(xiàng)a．四、運(yùn)用代數(shù)方法變形，轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列求解．類型四：形如=，（pq≠0）．且的數(shù)列，——可通過倒數(shù)變形為基本數(shù)列問題．當(dāng)p=－q時(shí)，則有：轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列；當(dāng)p≠－q時(shí)，則有：．同類型五轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列．例4：若數(shù)列｛a｝中，a=1，a=n∈N，求通項(xiàng)a．解：∵又∴，∴∴∵∴數(shù)列{a}是首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列．∴=1＋∴a=n∈N練習(xí)4：已知f(n)=，數(shù)列{a}滿足a=1，a=f(a)，求a．類型五：形如a＝pa+q,pq≠0，p、q為常數(shù)．當(dāng)p＝1時(shí)，為等差數(shù)列；當(dāng)p≠1時(shí)，可在兩邊同時(shí)加上同一個(gè)數(shù)x，即a+x=pa+q+xa+x=p(a+)，令x=∴x=時(shí)，有a+x=p(a+x)，從而轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列{a+}求解．例5：已知數(shù)列{a}中，a=1，a=a+1，n=1、2、3、…，求通項(xiàng)a．解：∵a=a+1a－2=(a－2)又∵a－2=-1≠0∴數(shù)列{a－2}首項(xiàng)為-1，公比為的等比數(shù)列．∴a－2=-1即a=2－2n∈N練習(xí)5：⑴.已知a=1，a=2a+3(n=2、3、4…)，求數(shù)列{a}的通項(xiàng)．⑵.已知數(shù)列｛a｝滿足a=，a=，求a．類型六：形如a＝pa+f(n)，p≠0且p為常數(shù)，f(n)為關(guān)于n的函數(shù)．當(dāng)p＝1時(shí)，則a＝a+f(n)即類型一．當(dāng)p≠1時(shí)，f(n)為關(guān)于n的多項(xiàng)式或指數(shù)形式（a）或指數(shù)和多項(xiàng)式的混合形式．⑴若f(n)為關(guān)于n的多項(xiàng)式（f(n)=kn+b或kn+bn+c，k、b、c為常數(shù)），——可用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列．例6：已知數(shù)列{a}滿足a=1，a=2a＋n，n∈N求a．解：令a+x[a(n+1)+b(n+1)+c]=2(a+an+bn+c)即a=2a+(2a–ax)n+(2b-2ax–bx)n+2c–ax–bx–cx比較系數(shù)得：令x=1，得：∴a+(n+1)+2(n+1)+3=2(a+n+2n+3)∵a+1+2×1+3=7令b=a+n+2n+3則b=2bb=7∴數(shù)列為首項(xiàng)為7，公比為2德等比數(shù)列∴b=7×2即a+n+2n+3=7×2∴a=7×2－(n+2n+3)n∈N⑵若f(n)為關(guān)于n的指數(shù)形式（a）．①當(dāng)p不等于底數(shù)a時(shí)，可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列；②當(dāng)p等于底數(shù)a時(shí)，可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列．例7：（同例3）若a=1，a=2a+3，(n=2、3、4…)，求數(shù)列{a}的通項(xiàng)a．解:∵a=2a+3∴令a+x×3=2(a+x×3)得a=2a－x×3令-x×3=3x=-1∴a－3=2(a－3)又∵a－3=-2∴數(shù)列{}是首項(xiàng)為-2,公比為2的等比數(shù)列．∴=-2·2即a=3-2n∈N例8：數(shù)列{a}中,a=5且a=3a+3-1(n=2、3、4…)試求通項(xiàng)a．解：a=3a+3-1a3{}是公差為1的等差數(shù)列．=+()=+()=n+a=(n∈N ⑶若f(n)為關(guān)于n的多項(xiàng)式和指數(shù)形式（a）的混合式，則先轉(zhuǎn)換多項(xiàng)式形式在轉(zhuǎn)換指數(shù)形式．例如上面的例8．練習(xí)6:⑴.已知數(shù)列{a}中a=1,a=3a+n,;求{a}的通項(xiàng)．⑵設(shè)a為常數(shù)，且a=3－2a(n∈N且n≥2)．證明：對任意n≥1，a=[3+(-1)2]+(-1)2a．類型七：形如a=pa+qa(pq≠0，p、q為常數(shù)且p+4q>0)，——可用待定系數(shù)法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列．例9:已知數(shù)列{a}中a=1,a=2且,;求{a}的通項(xiàng)．解:令a+xa=(1+x)a+2aa+xa=(1+x)(a+a)令x=x+x–2=0x=1或-2當(dāng)x=1時(shí),a+a=2(a+a)從而a+a=1+2=3∴數(shù)列{a+a}是首項(xiàng)為3且公比為2的等比數(shù)列.∴a+a=3…………①當(dāng)x=-2時(shí),a-2a=-(a-2a),而a-2a=0∴a-2a=0…………②由①、②得:a=2,練習(xí)7：⑴已知:a=2,a=,,(n=1、2、3、……),求數(shù)列{a}的通項(xiàng)．⑵已知數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、……，依據(jù)規(guī)律求出該數(shù)列的通項(xiàng)．五、數(shù)列的簡潔應(yīng)用.例10:設(shè)棋子在正四周體ABCD的表面從一個(gè)頂點(diǎn)移向另外三個(gè)頂點(diǎn)時(shí)等可能的.現(xiàn)拋擲骰子,依據(jù)其點(diǎn)數(shù)打算棋子是否移動(dòng),若投出的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù),則棋子不動(dòng)；若投出的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù),棋子移動(dòng)到另外一個(gè)頂點(diǎn).若棋子初始位置在頂點(diǎn)A，則:⑴投了三次骰子,棋子恰巧在頂點(diǎn)B的概率是多少?⑵投了四次骰子,棋子都不在頂點(diǎn)B的概率是多少?⑶投了四次骰子,棋子才到達(dá)頂點(diǎn)B的概率是多少？分析：考慮最終一次投骰子分為兩種狀況①最終一次棋子動(dòng)；②最終一次棋子不動(dòng)．解：∵大事投一次骰子棋子不動(dòng)的概率為；大事投一次骰子棋子動(dòng)且到達(dá)頂點(diǎn)B的概率為=．⑴．投了三次骰子,棋子恰巧在頂點(diǎn)B分為兩種狀況①.最終一次棋子不動(dòng)，即前一次棋子恰在頂點(diǎn)B；②.最終一次棋子動(dòng)，且棋子移動(dòng)到B點(diǎn)．設(shè)投了i次骰子，棋子恰好在頂點(diǎn)B的概率為p，則棋子不在頂點(diǎn)B的概率為(1-p)．所以，投了i+1次骰子，棋子恰好在頂點(diǎn)B的概率：p=p×+(1-p)×i=1、2、3、4、……∴p=+×p∵p==∴p=∴p=⑵．投了四次骰子,棋子都不在頂點(diǎn)B，說明前幾次棋子都不在B點(diǎn)，應(yīng)分為兩種狀況①最終一次棋子不動(dòng)；②最終一次棋子動(dòng)，且不到B點(diǎn)．設(shè)投了i次骰子，棋子都不在頂點(diǎn)B的概率為,則投了i+1次骰子，棋子都不在頂點(diǎn)B的概率為：=×+××(1﹣)i=1、2、3、4、……即：=又∵=+×(1﹣)=∴=()⑶．投了四次骰子,棋子才到達(dá)頂點(diǎn)B；說明前三次棋子都不在B點(diǎn)，最終一次棋子動(dòng)且到達(dá)頂點(diǎn)B．設(shè)其概率為P則：P=×=×()=答：（略）．例11：用磚砌墻，第一層（底層）用去了全部磚塊的一半多一塊；其次層用去了剩下的一半多一塊，…，依次類推，每層都用去了上層剩下的一半多一塊.假如第九層恰好磚塊用完，那么一共用了多少塊磚？分析：本題圍繞兩個(gè)量即每層的磚塊數(shù)a和剩下的磚塊數(shù)b，關(guān)鍵是找出a和b的關(guān)系式，通過方程(組)求解．解：設(shè)第i層所用的磚塊數(shù)為a，剩下的磚塊數(shù)為b(i=1、2、3、4、……)則b=0，且設(shè)b為全部的磚塊數(shù)，依題意，得a=b+1，a=b+1，……a=b+1…………①又b=a+b……………②聯(lián)立①②得b-b=b+1即b=b-1∴b+2=(b+2)∴b+2=()(b+2)∴b+2=2×2∴b=1022練習(xí)8：⑴十級臺(tái)階，可以一步上一級，也可以一步上兩級；問上完十級臺(tái)階有多少種不同走法？⑵.三角形內(nèi)有n個(gè)點(diǎn)，由這n個(gè)點(diǎn)和三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，這n+3個(gè)點(diǎn)可以組成多少個(gè)不重疊(任意兩個(gè)三角形無重疊部分)的三角形？⑶．甲、乙、丙、丁四人傳球，球從一人手中傳向另外三個(gè)人是等可能的.若開頭時(shí)球在甲的手中．若傳了n次球，球在甲手中的概率為a；球在乙手中的概率為b.(n=1、2、3、4、……).①問傳了五次球，球恰巧傳到甲手中的概率a和乙手中的概率b分別是多少？②若傳了n次球，試比較球在甲手中的概率a與球在乙手中的概率b的大小.③傳球次數(shù)無限多時(shí)，球在誰手中的概率大？

參考答案練習(xí)1：⑴.a=(3n-1)⑵.a=練習(xí)2：⑴.a=n-1⑵.a=練習(xí)3：⑴.a=3(提示：可兩邊取對數(shù))⑵.a=[2+(-1)]練習(xí)4：a=練習(xí)5：⑴a=2-3⑵a=練習(xí)6：