【同步輔導(dǎo)】2021高中數(shù)學(xué)北師大版必修四導(dǎo)學(xué)案：《兩角和與差的正弦、余弦》

第2課時(shí)兩角和與差的正弦、余弦1.會(huì)用向量的數(shù)量積推導(dǎo)兩角差的余弦公式.2.能夠利用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦公式、兩角和的正、余弦公式.3.能夠運(yùn)用兩角和的正、余弦公式進(jìn)行簡(jiǎn)潔的化簡(jiǎn)、求值、證明.我們?cè)诘谝徽聦W(xué)習(xí)了任意三角函數(shù)的概念,知道一些特殊角的三角函數(shù)值,如cos45°=22,cos30°=32,由此我們能否得到cos15°=cos(45°-30°)的值?大家可以猜想,是不是等于cos45°-cos30°呢問(wèn)題1:cos15°=cos(45°-30°)=cos45°-cos30°(填“是”或“是不”)成立的,假如不成立,那么不查表求得cos15°的值是.

問(wèn)題2:如何用向量的方法探究cos(α-β)的表達(dá)式?如圖,在直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)作單位圓O,分別作α、β,它們的終邊分別與單位圓O交于A、B點(diǎn),則OA=(cosα,sinα),OB=(cosβ,sinβ).∴OA·OB=cosαcosβ+sinαsinβ,設(shè)OA與OB的夾角為θ,則OA·OB=|OA|·|OB|·cosθ=cosθ.∴cos(α-β)=cosθ=.

問(wèn)題3:兩角和的余弦、兩角和與差的正弦公式的推導(dǎo)(1)cos(α+β)=cos[α-(-β)]=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=;

(2)sin(α+β)=cos[π2-(α+β=cos[(π2-α)-β]=(3)sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sinαcos(-β)+cosαsin(-β)=.

問(wèn)題4:C(α-β)、C(α+β)、S(α+β)、S(α-β)公式間的特點(diǎn)兩角和與差的余弦公式的特點(diǎn):同名積、符號(hào)反、任意角.兩角和與差的正弦公式的特點(diǎn):、、.

1.不查表,求cos75°的值為().A.6+24 B.6-24 C2.已知sinα=45,α∈(π2,π),cosβ=-513,β是第三象限角,則sin(α-β)、sin(a+β)的值分別是(A.5665、1665 B.5665、-1665 C.-5665、16653.已知α、β是銳角,且sinα=437,cos(α+β)=-1114,則sin4.已知cosα=-35,α∈(π2,π),求cos(π3-α利用兩角和與差的三角函數(shù)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)或求值化簡(jiǎn)或計(jì)算下列各題:(1)sin7π18cos2π9-sin(2)cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α).已知角的三角函數(shù)值或關(guān)系式求相關(guān)角的三角函數(shù)值已知θ是其次象限角,sinθ=1213,求cos(π6+θ)兩角和與差的三角函數(shù)公式在三角形問(wèn)題中的應(yīng)用已知角A,B,C為△ABC的內(nèi)角,且cosA=35,sinB=513,求cosC求cos43°cos77°+sin43°cos167°的值.已知sinα+sinβ+sinγ=0,cosα+cosβ+cosγ=0,求cos(β-γ)的值.在△ABC中,已知cosA·cosB>sinA·sinΒ,則△ABC肯定是鈍角三角形嗎?1.cos40°cos70°+cos20°cos50°的值為().A.0 B.12 C.32 D2.sinπ12-3cosπ12的值為(A.0 B.-2 C.2 D.23.已知α,β∈(3π4,π),sin(α+β)=-35,sin(β-π4)=1213,則cos(α+4.已知α,β均為銳角,cosα=17,cos(α+β)=-1114,求cosβ(2021年·廣東卷)已知函數(shù)f(x)=2cos(x-π12),x∈R(1)求f(π3)的值(2)若cosθ=35,θ∈(3π2,2π),求f(θ-考題變式(我來(lái)改編):

答案第2課時(shí)兩角和與差的正弦、余弦學(xué)問(wèn)體系梳理問(wèn)題1:是不6問(wèn)題2:cosαcosβ+sinαsinβ問(wèn)題3:(1)cosαcosβ-sinαsinβ(2)sinαcosβ+cosαsinβ(3)sinαcosβ-cosαsinβ問(wèn)題4:異名積符號(hào)同任意角基礎(chǔ)學(xué)習(xí)溝通1.Bcos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°-sin45°sin30°=22×32-22×12.C∵α∈(π2,π),sinα=45,∴cosα=-1-sin2α=-35.又∵cosβ=-513,β是第三象限角,∴sinβ=-1-cos2β=-1-(-513)2=-1213,又∵sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=45×(-513)-(-35)×(-1213)=-5665,∴sin(α+β)=sinα3.32∵α是銳角,sinα=437,∴cosα=1-si又∵cos(α+β)=-1114,α+β∈(0,π),∴sin(α+β)=1-cos2∴sinβ=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=5314×17-(-1114)×4.解:∵cosα=-35,且α∈(π2,π),∴sinα=1-cos2α=45,∴cos(π3-α)=cosπ3cosα+sinπ3sinα=12重點(diǎn)難點(diǎn)探究探究一:【解析】(1)原式=sin7π18cos2π9-sin(π2-7π18)sin2π9=sin7π18cos2π9-cos7π18(2)原式=cos[(α-35°)-(25°+α)]=cos(-60°)=cos60°=12【小結(jié)】對(duì)于一些不能直接求值的三角函數(shù),可先通過(guò)變形、代換進(jìn)行簡(jiǎn)化,再利用兩角和與差的正弦、余弦公式將其轉(zhuǎn)化為我們所熟知的角的三角函數(shù)值,從而達(dá)到求值的目的.探究二:【解析】∵θ是其次象限角,sinθ=1213∴cosθ=-1-sin∴cos(π6+θ)=cosπ6·cosθ-sinπ6·sinθ=32×(-513)-1【小結(jié)】對(duì)于這類題型,可活用和角公式和差角公式,依據(jù)已知角與相關(guān)角的關(guān)系將公式中的相關(guān)未知數(shù)求出,再代入公式求值即可.探究三:【解析】由cosA=35,得A∈(0,π2),故sinA=又∵sinB=513,∴cosB=±12[問(wèn)題]cosB能為負(fù)數(shù)嗎?[結(jié)論]不能,由于A,B,C為△ABC的內(nèi)角,存在隱含條件,故應(yīng)當(dāng)進(jìn)行檢驗(yàn).于是,正確解答如下:∵sinB<sinA,且在△ABC中,∴B<A或B>π-A,即B<A<π2或A+B>π(舍去),∴B<π2,cosB>0,∴cosB=1213,∴cosC=sinAsinB-cosAcosB=45×513-3【小結(jié)】對(duì)于三角形中的有關(guān)求值問(wèn)題,要留意其隱含條件(三角形的內(nèi)角和為180°),在檢驗(yàn)時(shí)可借助三角函數(shù)的圖象與性質(zhì).思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一:原式=cos43°cos77°+sin43°cos(90°+77°)=cos43°cos77°-sin43°sin77°=cos(43°+77°)=cos120°=-12應(yīng)用二:由題意可得sinβ+sinγ=-sinα,cosβ+cosγ=-cosα,∴(sinβ+sinγ)2+(cosβ+cosγ)2=1,即2+2cos(β-γ)=1,∴cos(β-γ)=-12應(yīng)用三:在△ABC中,0<C<π,且A+B+C=π,即A+B=π-C.由已知得cosA·cosB-sinA·sinB>0,即cos(A+B)>0,∴cos(π-C)=-cosC>0,即cosC<0,∴C肯定為鈍角,∴△ABC肯定為鈍角三角形.基礎(chǔ)智能檢測(cè)1.Ccos40°cos70°+cos20°cos50°=cos40°cos70°+sin70°sin40°=cos30°=322.B原式=2(sinπ12×12-cosπ12=2(sinπ12cosπ3-cosπ12=2sin(π12-π3)=-2sinπ43.-5665由已知可得cos(α+β)=45,cos(β-π4)=-513,故cos(α+π4)=cos[(α+β)-(β-π4)]=cos(α+β)cos(β-π4)+sin(α+β)sin4.解:∵α,β均為銳角,∴sinα=1-cos2α=437,sin(α+β