平面向量的數(shù)量積及其應用

06—平面向量的數(shù)量積及其應用突破點(一)平面向量的數(shù)量積1．向量的夾角；2．平面向量的數(shù)量積；3．平面向量數(shù)量積的運算律平面向量數(shù)量積的運算1.利用坐標計算數(shù)量積的步驟第一步，根據(jù)共線、垂直等條件計算出這兩個向量的坐標，求解過程要注意方程思想的應用；第二步，根據(jù)數(shù)量積的坐標公式進行運算即可．2．根據(jù)定義計算數(shù)量積的兩種思路(1)若兩個向量共起點，則兩向量的夾角直接可得，根據(jù)定義即可求得數(shù)量積；若兩向量的起點不同，需要通過平移使它們的起點重合，然后再計算．(2)根據(jù)圖形之間的關(guān)系，用長度和相互之間的夾角都已知的向量分別表示出要求數(shù)量積的兩個向量，然后再根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義和性質(zhì)進行計算求解．[典例](1)設(shè)向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)，如果向量a＋2b與2a－b平行，那么a與bA．－eq\f(7,2)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(3,2) D.eq\f(5,2)(2)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.點E和F分別在線段BC和DC上，且＝eq\f(2,3)，＝eq\f(1,6)，則·的值為________．[解析](1)a＋2b＝(－1,2)＋2(m,1)＝(－1＋2m,4)，2a－b＝2(－1,2)－(m,1)＝(－2－m,3)，由題意得3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，則m＝－eq\f(1,2)，所以b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))，所以a·b＝－1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋2×1＝eq\f(5,2).(2)取，為一組基底，則＝－＝eq\f(2,3)－，＝＋＋＝－＋＋eq\f(5,12)＝－eq\f(7,12)＋，∴·＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,12)＋))＝eq\f(7,12)||2－eq\f(25,18)·＋eq\f(2,3)||2＝eq\f(7,12)×4－eq\f(25,18)×2×1×eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)＝eq\f(29,18).[答案](1)D(2)eq\f(29,18)[易錯提醒](1)解決涉及幾何圖形的向量數(shù)量積運算問題時，一定要注意向量的夾角與已知平面角的關(guān)系是相等還是互補．(2)兩向量a，b的數(shù)量積a·b與代數(shù)中a，b的乘積寫法不同，不能漏掉其中的“·”．突破點(二)平面向量數(shù)量積的應用平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標表示：模、夾角、a⊥b|、a·b|與|a||b|的關(guān)系平面向量的垂直問題1.利用坐標運算證明或判斷兩個向量的垂直問題第一，計算出這兩個向量的坐標；第二，根據(jù)數(shù)量積的坐標運算公式，計算出這兩個向量的數(shù)量積為0即可．2．已知兩個向量的垂直關(guān)系，求解相關(guān)參數(shù)的值根據(jù)兩個向量垂直的充要條件，列出相應的關(guān)系式，進而求解參數(shù)．[例1](1)△ABC是邊長為2的等邊三角形，已知向量a，b滿足＝2a，＝2a＋b，則下列結(jié)論正確的是()A．|b|＝1B．a(chǎn)⊥bC．a(chǎn)·b＝1 D．(4a＋b)⊥(2)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，則實數(shù)kA．－eq\f(9,2)B．0C．3D.eq\f(15,2)[解析](1)在△ABC中，由＝－＝2a＋b－2a＝b，得|b|＝2，A錯誤．又＝2a且||＝2，所以|a|＝1，所以a·b＝|a||b|cos120°＝－1，B，C錯誤．所以(4a＋b)·＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a＋b)⊥，D正確，故選D.(2)∵(2a－3b)⊥c，∴(2a－3b)·c＝0.∵a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，∴2a－3b∴(2k－3，－6)·(2,1)＝0，即(2k－3)×2－6＝0.∴k＝3.[答案](1)D(2)C[易錯提醒]x1y2－x2y1＝0與x1x2＋y1y2＝0不同，前者是兩向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共線的充要條件，后者是它們垂直的充要條件．平面向量模的相關(guān)問題利用數(shù)量積求解長度問題是數(shù)量積的重要應用，要掌握此類問題的處理方法：(1)a2＝a·a＝|a|2；(2)|a±b|＝eq\r(a±b2)＝eq\r(a2±2a·b＋b2).[例2](1)(2017·衡水模擬)已知|a|＝1，|b|＝2，a與b的夾角為eq\f(π,3)，那么|4a－b|＝()A．2B．6C．2eq\r(3) D．12(2)已知e1，e2是平面單位向量，且e1·e2＝eq\f(1,2).若平面向量b滿足b·e1＝b·e2＝1，則|b|＝________.[解析](1)|4a－b|2＝16a2＋b2－8a·b＝16×1＋4－8×1×2×coseq\f(π,3)＝12.∴|4a－b|＝2eq\r(3).(2)∵e1·e2＝eq\f(1,2)，∴|e1||e2|cose1，e2＝eq\f(1,2)，∴e1，e2＝60°.又∵b·e1＝b·e2＝1＞0，∴b，e1＝b，e2＝30°.由b·e1＝1，得|b||e1|cos30°＝1，∴|b|＝eq\f(1,\f(\r(3),2))＝eq\f(2\r(3),3).[答案](1)C(2)eq\f(2\r(3),3)[方法技巧]求向量模的常用方法(1)若向量a是以坐標形式出現(xiàn)的，求向量a的?？芍苯永霉絴a|＝eq\r(x2＋y2).(2)若向量a，b是以非坐標形式出現(xiàn)的，求向量a的模可應用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2平面向量的夾角問題求解兩個非零向量之間的夾角的步驟第一步由坐標運算或定義計算出這兩個向量的數(shù)量積第二步分別求出這兩個向量的模第三步根據(jù)公式cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))求解出這兩個向量夾角的余弦值第四步根據(jù)兩個向量夾角的范圍是[0，π]及其夾角的余弦值，求出這兩個向量的夾角[例3](1)若非零向量a，b滿足|a|＝eq\f(2\r(2),3)|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，則a與b的夾角為()A.eq\f(π,4)B.eq\f(π,2)C.eq\f(3π,4) D．π(2)已知單位向量e1與e2的夾角為α，且cosα＝eq\f(1,3)，向量a＝3e1－2e2與b＝3e1－e2的夾角為β，則cosβ＝________.[解析](1)由(a－b)⊥(3a＋2b)，得(a－b)·(3a＋2b)＝0，即3a2－a·b－2又∵|a|＝eq\f(2\r(2),3)|b|，設(shè)〈a，b〉＝θ，即3|a|2－|a||b|cosθ－2|b|2＝0，∴eq\f(8,3)|b|2－eq\f(2\r(2),3)|b|2·cosθ－2|b|2＝0.∴cosθ＝eq\f(\r(2),2).又∵0≤θ≤π，∴θ＝eq\f(π,4).(2)∵a2＝(3e1－2e2)2＝9＋4－2×3×2×eq\f(1,3)＝9，b2＝(3e1－e2)2＝9＋1－2×3×1×eq\f(1,3)＝8，a·b