平面向量易錯(cuò)題解析

第5頁(yè)共16頁(yè)平面向量易錯(cuò)題解析1.你熟悉平面向量的運(yùn)算（和、差、實(shí)數(shù)與向量的積、數(shù)量積）、運(yùn)算性質(zhì)和運(yùn)算的幾何意義嗎？2.你通常是如何處理有關(guān)向量的模（長(zhǎng)度）的問(wèn)題？（利用；）3.你知道解決向量問(wèn)題有哪兩種途徑？（①向量運(yùn)算；②向量的坐標(biāo)運(yùn)算）4.你弄清“”與“”了嗎？[問(wèn)題]：兩個(gè)向量的數(shù)量積與兩個(gè)實(shí)數(shù)的乘積有什么區(qū)別？在實(shí)數(shù)中：若，且ab=0,則b=0,但在向量的數(shù)量積中，若，且，不能推出.已知實(shí)數(shù)，且，則a=c,但在向量的數(shù)量積中沒(méi)有.在實(shí)數(shù)中有，但是在向量的數(shù)量積中，這是因?yàn)樽筮吺桥c共線的向量，而右邊是與共線的向量.5.正弦定理、余弦定理及三角形面積公式你掌握了嗎？三角形內(nèi)的求值、化簡(jiǎn)和證明恒等式有什么特點(diǎn)？1.向量有關(guān)概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來(lái)表示，注意不能說(shuō)向量就是有向線段，為什么？（向量可以平移）。如已知A（1,2），B（4,2），則把向量按向量＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））（2）零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，記作：，注意零向量的方向是任意的；（3）單位向量：長(zhǎng)度為一個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量(與共線的單位向量是)；（4）相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；（5）平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，記作：∥，規(guī)定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；②兩個(gè)向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個(gè)概念：兩個(gè)向量平行包含兩個(gè)向量共線,但兩條直線平行不包含兩條直線重合；③平行向量無(wú)傳遞性?。ㄒ?yàn)橛?；④三點(diǎn)共線共線；（6）相反向量：長(zhǎng)度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。如下列命題：（1）若，則。（2）兩個(gè)向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同。（3）若，則是平行四邊形。（4）若是平行四邊形，則。（5）若，則。（6）若，則。其中正確的是_______（答：（4）（5））2.向量的表示方法：（1）幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如，注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后；（2）符號(hào)表示法：用一個(gè)小寫(xiě)的英文字母來(lái)表示，如，，等；（3）坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量，為基底，則平面內(nèi)的任一向量可表示為，稱為向量的坐標(biāo)，＝叫做向量的坐標(biāo)表示。如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同。3.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使e1＋e2。如（1）若，則______（答：）；（2）下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是A.B.C.D.（答：B）；（3）已知分別是的邊上的中線,且,則可用向量表示為_(kāi)____（答：）；（4）已知中，點(diǎn)在邊上，且，，則的值是___（答：0）4.實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作，它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：當(dāng)>0時(shí)，的方向與的方向相同，當(dāng)<0時(shí)，的方向與的方向相反，當(dāng)＝0時(shí)，，注意：≠0。5.平面向量的數(shù)量積：（1）兩個(gè)向量的夾角：對(duì)于非零向量，，作，稱為向量，的夾角，當(dāng)＝0時(shí)，，同向，當(dāng)＝時(shí)，，反向，當(dāng)＝時(shí)，，垂直。（2）平面向量的數(shù)量積：如果兩個(gè)非零向量，，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積或點(diǎn)積），記作：，即＝。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0，注意數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不再是一個(gè)向量。如（1）△ABC中，，，，則_________（答：－9）；（2）已知，與的夾角為，則等于____（答：1）；（3）已知，則等于____（答：）；（4）已知是兩個(gè)非零向量，且，則的夾角為_(kāi)___（答：）（3）在上的投影為，它是一個(gè)實(shí)數(shù)，但不一定大于0。如已知，，且，則向量在向量上的投影為_(kāi)_____（答：）（4）的幾何意義：數(shù)量積等于的模與在上的投影的積。（5）向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個(gè)非零向量，，其夾角為，則：①；②當(dāng)，同向時(shí)，＝，特別地，；當(dāng)與反向時(shí)，＝－；當(dāng)為銳角時(shí)，＞0，且不同向，是為銳角的必要非充分條件；當(dāng)為鈍角時(shí)，＜0，且不反向，是為鈍角的必要非充分條件；③非零向量，夾角的計(jì)算公式：；④。如（1）已知，，如果與的夾角為銳角，則的取值范圍是______（答：或且）；（2）已知的面積為，且，若，則夾角的取值范圍是_________=從而:當(dāng)時(shí),與題意矛盾,不合題意;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),解得,不滿足;綜合可得:實(shí)數(shù)的值為.例題2在中,已知,且的一個(gè)內(nèi)角為直角,求實(shí)數(shù)的值.錯(cuò)誤分析:是自以為是,憑直覺(jué)認(rèn)為某個(gè)角度是直角,而忽視對(duì)諸情況的討論.答案:(1)若即故,從而解得;(2)若即,也就是,而故,解得;(3)若即,也就是而,故,解得綜合上面討論可知,或或例題4已知向量m=(1,1)，向量與向量夾角為，且·=-1，(1)求向量；(2)若向量與向量=(1,0)的夾角為，向量=(cosA,2cos2)，其中A、C為ABC的內(nèi)角，且A、B、C依次成等差數(shù)列，試求+的取值范圍。解：(1)設(shè)=(x,y) 則由<,>=得：cos<,>==① 由·=-1得x+y=-1②聯(lián)立①②兩式得或 ∴=(0,-1)或(-1,0)(2)∵<,>=得·=0若=(1,0)則·=-10故(-1,0)∴=(0,-1) ∵2B=A+C，A+B+C=B=∴C= +=(cosA,2cos2)=(cosA,cosC) ∴+===== ==∵0<A<∴0<2A<∴-1<cos(2A+)<∴+()例題5已知函數(shù)f(x)=mx-1(mR且m0)設(shè)向量)，，，，當(dāng)(0，)時(shí)，比較f()與f()的大小。解：=2+cos2，=2sin2+1=2-cos2f()=m1+cos2=2mcos2， f()=m1-cos2=2msin2于是有f()-f()=2m(cos2-sin2)=2mcos2 ∵(0,)∴2(0,)∴cos2>0 ∴當(dāng)m>0時(shí)，2mcos2>0，即f()>f() 當(dāng)m<0時(shí)，2mcos2<0，即f()<f()例題6已知A、B、C為ABC的內(nèi)角，且f(A、B)=sin22A+cos22B-sin2A-cos2B+2(1)當(dāng)f(A、B)取最小值時(shí)，求C(2)當(dāng)A+B=時(shí)，將函數(shù)f(A、B)按向量平移后得到函數(shù)f(A)=2cos2A求解：(1)f(A、B)=(sin22A-sin2A+)+(cos22B-cos2B+)+1=(sin2A-)2+(sin2B-)2+1當(dāng)sin2A=,sin2B=時(shí)取得最小值， ∴A=30或60，2B=60或120C=180-B-A=120或(2)f(A、B)=sin22A+cos22()-== =例題7已知向量（m為常數(shù)），且,不共線，若向量,的夾角落<,>為銳角，求實(shí)數(shù)x的取值范圍. 解：要滿足<>為銳角只須>0且（） === 即 x(mx-1)>0 1°當(dāng)m>0時(shí)x<0或 2°m<0時(shí)，x(-mx+1)<0， 3°m=0時(shí) 只要x<0 綜上所述：x>0時(shí)， x=0時(shí)， x<0時(shí)，例題8已知a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ），a與b之間有關(guān)系|ka+b|=|a－kb|，其中k>0，（1）用k表示a·b;（2）求a·b的最小值，并求此時(shí)a·b的夾角的大小。解（1）要求用k表示a·b,而已知|ka+b|=|a－kb|，故采用兩邊平方，得|ka+b|2=(|a－kb|)2k2a2+b2+2ka·b=3(a2+k2b2－2ka·b)∴8k·a·b=(3－k2)a2+(3k2－1)ba·b=∵a=(cosα，sinα),b=(cosβ,sinβ)，∴a2=1,b2=1,∴a·b==（2）∵k2+1≥2k，即≥=，∴a·b的最小值為，又∵a·b=|a|·|b|·cos，|a|=|b|=1∴=1×1×cos?！?60°,此時(shí)a與b的夾角為60°。錯(cuò)誤原因：向量運(yùn)算不夠熟練。實(shí)際上與代數(shù)運(yùn)算相同，有時(shí)可以在含有向量的式子左右兩邊平方，且有|a+b|2=|(a+b)2|=a2+b2+2a·b或|a|2+|b|2+2a·例題9已知向量，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，，且，求的值．解（Ⅰ）,.,,即..（Ⅱ），，.例題10已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)E、F的坐標(biāo)分別為（-1，0）、（1，0），動(dòng)點(diǎn)A、M、N滿足（），，，．（Ⅰ）求點(diǎn)M的軌跡W的方程；（Ⅱ）點(diǎn)在軌跡W上，直線PF交軌跡W于點(diǎn)Q，且，若，求實(shí)數(shù)的范圍．解：（Ⅰ）∵，，∴MN垂直平分AF．又，∴點(diǎn)M在AE上，∴，，∴，∴點(diǎn)M的軌跡W是以E、F為焦點(diǎn)的橢圓，且半長(zhǎng)軸，半焦距，∴．∴點(diǎn)M的軌跡W的方程為（）．（Ⅱ）設(shè)∵，，∴∴由點(diǎn)P、Q均在橢圓W上，∴消去并整理，得，由及，解得．基礎(chǔ)練習(xí)題1.設(shè)平面向量=(－2，1)，=(λ，－1)，若與的夾角為鈍角，則λ的取值范圍是（）A、B、C、D、答案：A點(diǎn)評(píng)：易誤選C，錯(cuò)因：忽視與反向的情況。2.O是平面上一定點(diǎn),A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足,則P的軌跡一定通過(guò)△ABC的()(A)外心(B)內(nèi)心(C)重心(D)垂心正確答案：B。錯(cuò)誤原因：對(duì)理解不夠。不清楚與∠BAC的角平分線有關(guān)。3.若向量=(cos,sin)，=，與不共線，則與一定滿足（） A．與的夾角等于- B．∥C．(+)(-) D．⊥正確答案：C錯(cuò)因：學(xué)生不能把、的終點(diǎn)看成是上單位圓上的點(diǎn)，用四邊形法則來(lái)處理問(wèn)題。4.已知O、A、B三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為O(0,0)，A(3，0)，B(0，3)，是P線段AB上且=t(0≤t≤1)則·的最大值為 （ ） A．3 B．6 C．9 D．12正確答案：C錯(cuò)因：學(xué)生不能借助數(shù)形結(jié)合直觀得到當(dāng)OPcos最大時(shí)，·即為最大。5.在中,,則的值為()A20BCD錯(cuò)誤分析:錯(cuò)誤認(rèn)為,從而出錯(cuò).答案:B略解:由題意可知,故=.6.已知向量=(2cos，2sin)，()，=（0,-1)，則與的夾角為() A．- B．+ C．- D．正確答案：A錯(cuò)因：學(xué)生忽略考慮與夾角的取值范圍在[0，]。7.如果，那么（） A．B．C．D．在方向上的投影相等正確答案：D。錯(cuò)誤原因：對(duì)向量數(shù)量積的性質(zhì)理解不夠。8.已知向量則向量的夾角范圍是（）A、[π/12，5π/12]B、[0，π/4]C、[π/4，5π/12]D、[5π/12，π/2]正確答案：A錯(cuò)因：不注意數(shù)形結(jié)合在解題中的應(yīng)用。9.設(shè)=(x1，y1)，=(x2，y2)，則下列與共線的充要條件的有（）A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)答案：C點(diǎn)評(píng)：①②④正確，易錯(cuò)選D。10.以原點(diǎn)O及點(diǎn)A（5，2）為頂點(diǎn)作等腰直角三角形OAB，使，則的坐標(biāo)為（）。A、（2，-5）B、（-2，5）或（2，-5）C、（-2，5）D、（7，-3）或（3，7）正解：B設(shè)，則由①而又由得②由①②聯(lián)立得。誤解：公式記憶不清，或未考慮到聯(lián)立方程組解。11.設(shè)向量，則是的（）條件。A、充要B、必要不充分C、充分不必要D、既不充分也不必要正解：C若則，若，有可能或?yàn)?，故選C。誤解：，此式是否成立，未考慮，選A。12.在OAB中，，若，則=（）A、B、C、D、正解：D。∵∴（LV為與的夾角）∴∴∴誤解：C。將面積公式記錯(cuò)，誤記為13.設(shè)平面向量，若與的夾角為鈍角，則的取值范圍是（A）A、B、（2，+C、（—D、（-錯(cuò)解：C錯(cuò)因：忽視使用時(shí)，其中包含了兩向量反向的情況正解：A14.設(shè)是任意的非零平面向量且互不共線，以下四個(gè)命題：①②③④若不平行其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)正確答案：(B)錯(cuò)誤原因：本題所述問(wèn)題不能全部搞清。15.若向量=，=，且，的夾角為鈍角，則的取值范圍是______________.錯(cuò)誤分析：只由的夾角為鈍角得到而忽視了不是夾角為鈍角的充要條件,因?yàn)榈膴A角為時(shí)也有從而擴(kuò)大的范圍,導(dǎo)致錯(cuò)誤.正確解法:，的夾角為鈍角,解得或(1)又由共線且反向可得(2)由(1),(2)得的范圍是答案:.16.已知平面上三點(diǎn)A、B、C滿足的值等于 （C）A．25 B．24 C．－25 D．－2417.已知AB是拋物線的任一弦，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線.m是過(guò)點(diǎn)A且以向量為方向向量的直線.（1）若過(guò)點(diǎn)A的拋物線的切線與y軸相交于點(diǎn)C，求證：|AF|=|CF|；（2）若異于原點(diǎn)），直線OB與m相交于點(diǎn)P，求點(diǎn)P的軌跡方程；（3）若AB過(guò)焦