2021年江蘇省高考數(shù)學考前壓軸沖刺06 函數(shù)的性質(zhì)問題（解答題）（解析版）

專題06函數(shù)的性質(zhì)問題

考點預測

高考函數(shù)的性質(zhì)常以基礎題或中檔題以上的題型出現(xiàn)，尤其對函數(shù)的零點的考察近幾年常以壓

軸題型出現(xiàn).常用的結論如下：

1.一般地，對于定義在區(qū)間。上的函數(shù)y=f(%)

(1)若存在&e。，使得f(&)=殉,則稱與是函數(shù)y=f(%)的一階不動點，簡稱不動點；

(2)若存在&G。，使/Va。))=則稱/是函數(shù)y=f(x)的二階不動點，簡稱穩(wěn)定點;

2.函數(shù)y=/(x)滿足對定義域內(nèi)任一實數(shù)x(其中。為常數(shù))，

①〃力=/(工+々)，則y=/(力是以7=々為周期的周期函數(shù)；

②/(x+〃)=-/(x),則是以丁二加為周期的周期函數(shù)；

③/（尤+々）=±,則/(X)是以7=2〃為周期的周期函數(shù);

@f(x+a)=f(x-a),則/(%)是以T=2〃為周期的周期函數(shù);

⑤/(工+a)=:一坐,則/(X)是以T=2〃為周期的周期函數(shù).

1+/W

⑥/(工+幻二一廠翌，則/(x)是以7=4〃為周期的周期函數(shù).

1+/W

⑦/(工+幻=；+，(”,則是以7=4〃為周期的周期函數(shù).

1-/W

⑧函數(shù)y=f(x)滿足/(a+x)=/(a—x)若/(幻為奇函數(shù)，則其周期為7=4。，若/(x)為

偶函數(shù)，則其周期為丁二勿.

2-x

3.常見幾個奇函數(shù)：y=logfl^nvc+^nvc)+lj9y=log'/\y=

典型例題

例1.已知定義在R上的函數(shù)/(x)=2x+k*2'xCkER).

(1)若/(外是奇函數(shù)，求函數(shù)y=/(x)V(2v)的零點；

(2)是否存在實數(shù)公使/(x)在(?8,-1)上調(diào)遞減且在(2,+8)上單調(diào)遞增？若存在，求出女的

取值范圍；若不存在，請說明理由.

【分析】(1)由奇函數(shù)的定義可求得匕令y=f(x)+f(2x)=0即可求得零點；

(2)對k分類討論，由復合函數(shù)的單調(diào)性及對勾函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【解答】解：(1)因為/(x)是奇函數(shù)，所以/(?公=?/(%),

BP2X+^2X=-2r-Jt*2x,可得2=-1,

所以/(X)=2'-2x,

令y=f(4)=2廠2%2入-22=0,

即(2X-2-x)(l+2r+2'x)=0,

所以2、-2"=0,解得x=0,

即函數(shù)y=f(x)+f(2A-)的零點為X=0.

(2)當％W0時，函數(shù)/(%)=24小2］在R上單調(diào)遞增，不符合題意；

當k>0時，令r=2\當.蚱(-8,-1)時，怎(o,￡),當xG(2,+~)時，隹(4,+~),

因為/(X)在(?8,-1)上單調(diào)遞減且在(2,+8)上單調(diào)遞增，

所以g(Q=f+K在(0,《)上單調(diào)遞減且在(4,+8)上單調(diào)遞增，

t2

所以JRW4,

解得16,

故存在實數(shù)長［J，16］使/G)在(-8,-1)上單調(diào)遞減且在(2,+8)上單調(diào)遞增.

【知識點】奇偶性與單調(diào)性的綜合

例2.已知定義域為R的函數(shù)f(x)［-9+bD-是奇函數(shù).

2X1+a

(1)求4,。的值；

(2)若對任意的fCR,不等式/(戶?2力4/(2戶?々)VO恒成立，求A的取值范圍.

【分析】(1)根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，定義域包括0,則有/(0)=0,定義域為R,/(-1)=-/(1)即可求

得小〃的值.

(2)將f(r2-2。+f3-k)0變形為：/(?-2/)+<-/(2P-A),因為/(x)是奇函數(shù)，

-f(2D=-/(2-2產(chǎn))，在利用/(x)減函數(shù)解不等式即可

【解答】解：(1)因為f(x)是奇函數(shù)，所以f(0)=0,

即1+b=0n[=I；

又:定義域為R，則有/(-I)=

經(jīng)檢驗：f(x)是奇函數(shù)，滿足題意.

所以小人的值分別為2,1.

易知/(X)在(-8,4-00)上為減函數(shù)；

又因是奇函數(shù)，

從而不等式：/(z2-2，)+f(2產(chǎn)-k)<0等價于，(產(chǎn)-2t)V-/(2產(chǎn)7)=f(k-2尸),

因/(外為減函數(shù)，/(?-2r)</(2?2尸)，

得：z2-2t>k-It2

即對一切片R有：3/2-2z-k>0,開口向上，

從而判別式△=4+122<0=攵<-

即我的取值范圍是(-8,

【知識點】奇偶性與單調(diào)性的綜合

3.己知函數(shù)/(x),g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且/Ct)+g(x)-x+1.

(1)求函數(shù)/(x)與g(x)的解析式；

(2)設函數(shù)G(x)=/(x)+血(x)+11，若對任意實數(shù)x,G(x)>|恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

【分析】(1)由函數(shù)的奇偶性的定義，可將X換為-X,解方程可得所求解析式；

(2)方法一、討論時，x<\時，去絕對值，可得G(x)的解析式，再討論二次函數(shù)的對

稱軸與區(qū)間的關系，判斷單調(diào)性，可得最小值，進而得到所求范圍；

方法二、驗證x=l時，不等式顯然成立；當工會1時，運用參數(shù)分離和構造函數(shù)法，判斷單調(diào)

性，求得最大值，可得所求范圍.

【解答】解：(1)因為/(X)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，且/(%)+g(x)=f-x+l,①

所以/(-X)+g(-X)=f+x+l,即/(x)-g(x)=f+x+l,②

由翌①，得/a)=f+i,

由翌④，得g(x)=-x.

(2)方法一：由(1)得，G(x)=f(x)+a|g(x)+l|=/+a|x-1|+1.

因為對任意實數(shù)X,G(X))微恒成立.

當121時，^h(x)-x2+ax-a-Z-=(X+T-)2~^--a^9_,則〃(“)20恒成立.

乙乙JL4

若《<1，即。2?2,則當％=1時，h(x)取得最小值/，符合題意；

乙乙

21

若哈>1,即〃<?2,則當x=-￡時，h(x)取得最小值V--a*.

乙乙3乙

2

由吟得-2-也<a<-2+72?所以-2-&<a<-2.

士乙

所以?2-圾.

121

當“VI時，i9：r(x)-x2-ax+a—z~=(x—I-)2~^7~+a^n,則「(x)20恒成立.

乙乙JL4

若尸,即皿則當呻寸，…)取得最小值專+G

由_)+a〉0,得2+J^.所以2—/^<a<2.

士乙

若,)1，即“22時，r(x)>r(l)-1,符合題意.

乙乙

所以a>2-后.

綜上，實數(shù)。的取值范圍是［2-&，。).

方法二：G(x)=x?+a|x-l1+1〉^■恒成立，即a|x-l|)焉-乂2恒成立.

乙乙

當工=1時，顯然成立；

t2+2t-?4

當xK1時,a>im,令x-1=1,設h(/)=乙

t2+2t-?4

(/I/+2)?

當X＞1,即，＞0時，h（力=-

設小f2是(0，+8)上任意兩個值，且力Vf2，

則h(/i)h(r2)

11211atn"!

-(tj++2)+(t-^—+2)=(t-t)-=(t-t)(—)，

19Z1124/t?24119Zt112219Ztj12

當OVfiVf2V返時，2/ifo＜l,f2-h＞0,他＞0,所以力（力）-力。2）V0,即〃（fl）V。S）;

2

當雪＜匕＜2時,2川2＞1，也-力＞0,32＞0,所以力（fl）-力（f2）＞0,即力（力）＞力（及），

所以函數(shù)力（Q在（0,返）上單調(diào)遞增，在（返，+8）上單調(diào)遞減.

22

所以當f=-,力G）在（0,+8）上取得最大值-2-加.

所以〃2?2-亞.

2

t+2t-^y1

當xVI,即fV0時，h(t)=------------二九母+2,

tzt

同理可證，函數(shù)力（f）在（-8,-返）上單調(diào)遞增，在（-返，0）上單調(diào)遞減.

22

所以當t=2g時，/?（［）在（-8,0）上取得最大值2-亞

2

所以心2-比.

綜上，實數(shù)a的取值范圍是［2-比，+8）.

【知識點】函數(shù)恒成立問題、奇偶性與單調(diào)性的綜合

專項突破

1.已知函數(shù)/（x）,g（x）分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且/（x）+gCt）=fr+1.

(1)求函數(shù)/(x)與g(x)的解析式；

(2)設函數(shù)G(x)=/(x)+a|g(x)+1),若對任意實數(shù)x,G(x)〉,恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

【分析】(1)由函數(shù)的奇偶性的定義，可將X換為-X,解方程可得所求解析式；

(2)方法一、討論工21時，x<l時，去絕對值，可得G(x)的解析式，再討論二次函數(shù)的對

稱軸與區(qū)間的關系，判斷單調(diào)性，可得最小值，進而得到所求范圍；

方法二、驗證”=1時，不等式顯然成立；當xKl時，運用參數(shù)分離和構造函數(shù)法，判斷單調(diào)

性，求得最大值，可得所求范圍.

【解答】解：(1)因為/(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，且/(幻+g(幻①

所以/(-x)+g(-x)=f+x+l,即/(x)-g(x)=f+x+l,②

由歿④，得/a)=/+1,

由^得ga)=r.

(2)方法一：由(1)得，G(x)=/(x)+a\g(x)+11=x1+a\x-11+1.

因為對任意實數(shù)x,G(x)〉得恒成立.

121

當時，設h(x)=x2+ax-a-5=(x+^*)2-今-"萬，則〃(x)2。恒成立?

乙乙JL4

若《<1，即心-2,則當尸1時，h⑺取得最小值卷，符合題意；

21

若1，即“V-2,則當x=-1■時，〃(x)取得最小值~a~~2~~

由涓--殘1〉0,得-2-料<a<-2m，所以-2-亞<a<-2.

所以?2-圾.

121

當'<1時'(x)-x2-ax+a—z;=(x—z-)則r(x)20恒成立.

乙乙JL4

若￡*<1，即〃V2,則當時，r(X)取得最小值Q-+a

乙乙

2

由今+a］〉。，得2-&<a<2+比.所以2-正<a<2.

士乙

若方>1，即心2時，r(x)>r(l)-1,符合題意.

乙乙

所以a>2-&.

綜上，實數(shù)a的取值范圍是［2?歷，Q).

方法二：G(x)=x?+a|x-l|+1>1■恒成立，即a|x-l|〉a-乂2恒成立.

乙乙

當x=l時，顯然成立；

122cl

—xt+21+

當時，―7T，令x?l=r,設力(。=-----j-r-^~

lx-11111

t2+2t-?4

當x>l,即f>0時，h(r)=-乙(r+-^+2),

2t

設A，，2是(O，+8)上任意兩個值，且f［Vf2,

則h(ri)h(r2)

11t9—ti211t9—1

-(ti^^2)+(t2詰+2)=(t2-ti)-^L=(t2-ti)()，

1z11441J1511T241z1J11￡；

當ov〃vr2V返時,2他VLf2?h>0,32>0,所以〃(力)-/z(/2)<0,即V%(f2)；

2

當雪時,2幻2>1，f2f>0,。另>0,所以刀(fl)-A(fe)>0,即/?")>h(b).

所以函數(shù)/?(r)在(0,返)上單調(diào)遞增，在(返，+8)上單調(diào)遞減.

22

所以當，=-乂^時，h(r)在(0,+8)上取得最大值-2-加.

所以心-2-加

當xVl,即，<0時，h(t)=---------------=t-?^+2*

tzt

同理可證，函數(shù)a")在(-8,-返)上單調(diào)遞增，在(-返，0)上單調(diào)遞減.

22

所以當t=必時，。在(?8,0)上取得最大值2-的.

2

所以?比.

綜上，實數(shù)。的取值范圍是[2-行，+8).

【知識點】函數(shù)恒成立問題、奇偶性與單調(diào)性的綜合

2.已知定義域為R的函數(shù)/(幻="-(卜1)(。>0且aWl)是奇函數(shù).

(1)求實數(shù)2的值；

(2)若f(1)<0,求不等式/(f+戊)H/(4-X)V0對AWR恒成立時，的取值范圍.

【分析】(1)由題意可得/(0)=0,解方程可得&,檢驗可得結論；

(2)運用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，判斷奇函數(shù)/(x)="?一'在R上單調(diào)遞減，將原不等式轉(zhuǎn)化

為(L1)x+4>0恒成立，再由判別式小于0,解不等式可得所求范圍.

【解答】解：(1):/a)是定義域為R的奇函數(shù)，

:.f(0)=o°-a-1)=0,

：.k=2,

經(jīng)檢驗：k=2時，/(x)(a>0且aWl)是奇函數(shù).故&=2；

(2)/(x)=ax-ax(a>0,且a#l),

因為f(1)<0,所以〃-[■<(),又〃>0,且所以

a

而y=〃在R上單調(diào)遞減，在R上單調(diào)遞增，

故判斷/(x)"在R上單調(diào)遞減，

不等式化為/(f+fx)</(x-4),所以f+/x>x?4.

所以r+Ct-1）x+4>0恒成立，

可得△=0-1）2-16<0,

解得-3<r<5.

【知識點】函數(shù)恒成立問題、奇偶性與單調(diào)性的綜合

3.已知函數(shù)/CO=lg旦.

x+1

（1）判定并證明了（x）的奇偶性和單調(diào)性；

（2）求不等式，（F（x））+f（fe2）>0的解集；

（3）函數(shù)g（x）=2-"（。>0,aWl）,若存在即，x2e[0,1）,使得/（用）=g成立，求實數(shù)。的

取值范圍.

【分析】（1）結合奇偶性及單調(diào)性的定義進行檢驗即可：

（2）結合（1）中奇函數(shù)先進行轉(zhuǎn)化，然后利用單調(diào)性即可求解：

（3）由存在方，M30,1），使得f（X|）=g（X2）成立，則當即6[0,1）,可得g（X）與/（X）

的值域一定存在交集，結合單調(diào)性及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求.

【解答】解：（1）函數(shù)/（x）在（-1,1）上為單調(diào)遞減的奇函數(shù)，

由舁>0可得，-IVxVl,

1+X

1+v1-

/（r）=k1=?業(yè)1Y=寸3），

1-x1+x

故函數(shù)/（x）為奇函數(shù)，

設-1V?VX2<1,

1-Xil-x2(1-Xi)(l+x2)

則75)-/(x2)=/,不-7*不=依(匚X2)(4xp’

V-l<Xl<X2<b

.\0<1-X2<1-Xl<2tl+X2>i+X|>0,

(1-Xj)(l+x2)(1-Xj)(l+x2)

(1-X2)(1+xJ)?"(1-X2)(1+Xj)

.V(X1)>f(X2)即/(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減，

(2)由/(/(x))>0可得/(/(x))>-fdg2)=f(-1^2),

,r-Kf(x)<l

?f(x)<-lg2

-l<lg旨<1

1+x

??-11，

F<lg萬

**101+x2*

解可得［"〈xC白，

OJL1

故不等式的解集為(得，yr)；

oXX

(3)由存在XI，X2G［0,1),使得/(xi)=g(X2)成立，則當x￡［0,1),f(x)的值域(-8,

0］，

：.g(x)與/(x)的值域一定存在交集，

當OVaVl時，g(x)=2-砂在［0,1)上單調(diào)遞增，值域［1,2-a),此時g(x)與/(x)的

值域不存在交集，

當白>1時，g(x)=2-〃在［0,I)上單調(diào)遞減，值域(2-a,1］,

：,2-a<0即。>2,

綜上，a的范圍(2,+°°).

【知識點】奇偶性與單調(diào)性的綜合

4.已知函數(shù)f(x)="乎是定義在［-1,1］上的奇函數(shù)，且f⑴4

ax^+12

(1)判斷/(外在［-1,1］上的單調(diào)性，并用定義證明.

(2)設g(x)=kx+5-2k,若對任意的可口-1,1］,總存在也40,1］,使得/(K)Wg(%2)成立，求實

數(shù)上的取值范圍.

【分析】(1)由已知結合奇函數(shù)性質(zhì)可知/(0)=0,/(I)=￡，代入可求小b,任取-l&xiVxzWl,

然后結合單調(diào)性定義，利用作差法比較f(即)與f(X2)的大小，從而可證，

(2)由題意可轉(zhuǎn)化為/(X)皿rWg(X),皿，然后結合函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可.

【解答】解：(1)因為f(x);是定義在［-1，1］上的奇函數(shù)，且f(l)=4，

ax"+l

所以7(0)=b=0,/(1)=—

所以b=0,a=l,f(x)=-^—,

x'+l

fCx)在［?LI］上是增函數(shù)，證明如下：

任取-1WxiVxzWl,

2

(l+x2)xJ-x2(1+x/)

XiX2

則/(汨)-y(xo)=-----y-------；

1+Xi1+xJ(1+X[2)(1+X[2)

x1x2(x2-x1)+(x1-X2)(x2-xP(x1x2-l)

22

(1+x,)(1+X2)(1+X［2)(1+x/)

Xw1X

因為-1WYIVQVI，

所以X2-X|>0，X1X2-IVO，

所以f5)-f(X2)<0,即/5)<f(X2)，

所以f(X)在［-1.1］上是增速數(shù)，

(2)因為若對任意的x￡［-1,1］,總存在彳210，1］，使得f(閑)Wg(X2)成立，

所以f(X)maxWg(X)niaxf

由(1)知，/(X)在［-1,1］上單調(diào)遞增，/(x)ma.x=f(1)=春

當220時，g(x)=依+5-24在［0,1］上單調(diào)遞增,

故g(x)max=g(I)=5-匕

所以g(X)nuiX=g(1)=5-A,

所以￡<5-k，即&W,，

乙乙

所以0<k<￡>

當女VO時，g(x)=履+5-22在[0,1]上單調(diào)遞減，

所以g(x)max=g(0)=5-2k,

所以我<5-2k，

所以即&V0,

綜上，44￡.

【知識點】函數(shù)恒成立問題、奇偶性與單調(diào)性的綜合

5.已知函數(shù)/(x)=0^-bx-2(小力€R且aKO),g(x)=Ax+4.

(1)若f(1)=0,且函數(shù)f(x)的值域為(-8,0],求f(x)的解析式；

(2)在(1)的條件下，當1曰?2,2]時，h(x)="x)+g(x)時單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍；

(3)當以=1,be[O,4]時，若對于任意.rW[O,3],不等式，(x)|Wg(x)恒成立，求實數(shù)&的取值范圍.

【分析】(1)由函數(shù)/(AO的值域為(-8,0],得a<0,A=0,再結合f(l)=0,從而求得a,b的值，

進而求得函數(shù)f(x)的解析式；

(2)函數(shù)f(x)的對稱軸不在區(qū)間[-2,2]內(nèi)即可；

x2-bX-24kx+4

(3)將不等式/a)|Wg(x)恒成立轉(zhuǎn)化為不等式組，2對于任意xHO,3],

x，-kx-2>-kx-4

be[O,4]恒成立，看成以b為主元，再分別研究兩個不等式恒成立問題.

【解答】解：(1)函數(shù)f(x)=ax2-bx-2,/(I)=0,即a-)-2=0,即。=a-2,

函數(shù)f(x)的值域為(-8,0],可得f(x)的最大值為0,且。<0,

即有。2+8a=0,即(a-2)2+8a=0,解得。=-2,b=-4,

可得f(x)=-2JT+4X-2；

(2)當友［?2,2］時,hCx)=f(x)+g(x)=-2?+4x-2+kx+4=-2r+(4+攵)x+2,

由h(x)為單調(diào)函數(shù)，可得華22或華W-2,

44

解得女24或女W-12；

(3)當。=1時，/(x)=JT-bx-2,\f(x)|Wg(x)-Zzx-2區(qū)區(qū)+4=-履-4S/-左

(~x)b+x2-kx-640

-2WH+4,

(-x)b+x2+kx+2>0

Y2-bx-2^^kx+4

<2對于仔意x曰0.3bhG［O.4］恒成立..

x，-bx-2〉-kx-4

Hn(-x)b+x2-kx-6Vo,_.

即,對于任意xE［O,3］,bE［O,4］怛成立，

.(-x)b+x2+kx+2>0

所以卜Jx-64°對于任意xe［O,3］恒成立，

,x^+(k-4)x+2>0

先考慮f-h-6W0對x€［O,3］恒成立，可得0-0-6W0,9-3A-6WO,即有221；

再考慮一+(…)x+220對彳［0,3］恒成立，

可得x=O時，不等式f+a-4)X+22O顯然成立；

當OVxW3時，-k+4Wx+2,由x+2在(0,V2)遞減，在(圾，引遞增，可得戶2的最小

XXX

值為2亞，則-Z+4W2后，

可得224-20，

綜上可得人的范圍是［4-2亞，+8).

【知識點】函數(shù)恒成立問題、函數(shù)解析式的求解及常用方法、奇偶性與單調(diào)性的綜合

2x+

6.設。ER,函數(shù)/(x)=工^a.

2X-a

(1)若4=1,求證：函數(shù)/Ct)為奇函數(shù)；

(2)若〃<0,判斷并證明函數(shù)/Cx)的單調(diào)性；

(3)若。#0,函數(shù)f(x)在區(qū)間［%,〃］(〃?<〃)上的取值范圍是［上，—］(kER)t求區(qū)的范圍.

2m2na

?x+19-x+11+9X

【分析】(1)當。=1時，函數(shù)f(%)=--^根據(jù)函數(shù)奇偶性得了(?x)―^=^^=-/(外,

2X-12-x-l1-2X

進而得出結論.

(2)當aVO時，函數(shù)/(x)=工上的定義域為R,通過單調(diào)性的定義法的五步①取值對任

2x-a

意的X|,—WR,且KlV_V2，②做差f(K|)f(A,2)③變形

“為).二日=1211一山=-2a(2、2?),④定號-2a(2-2?)<0,

2X1-a2叼-a(2丐一)(2^-a)(2%-a)(2^-a)

⑤下結論.

(3)因為mV”，—<—,所以2V0,分a>0,4Vo兩種情況討論函數(shù)/(x)在區(qū)間［如

2m2n

n］(mV心上的取值范圍是［三，弋］(依R),進而得出結論.

【解答】解：(1)當4=1時，函數(shù)/(X)=--

2X-1

因為21-1W0,所以xWO,

9-x+ll+2x

從而對任意的x#0,f(-x)=-——-=±^—=-f(x),

2-x-l1-2X

2X+1

所以f(x)='--(x#0)為奇函數(shù).

2X-1

(2)當aVO時，因為2、>0,所以21?。>0,

x

9+a

所以函數(shù)f（x）的定義域為R.

2x-a

9x

結論：函數(shù)/（x）=幺-+a-（a<0）為R上的單調(diào)遞增函數(shù).

2x-a

證明：設對任意的加，X2GR,且X]VX2，

則/（xi）-/（也）=2F_2'+a

XaX'

21-a2'-a

_（2々+&）（2々-&）-（2七+a）（2%二）

（2%-a）（2、2-a）

,x-x,、

_2a（2-2?）

>X...X,、'

（21-a）（22-a）

因為XIVM，所以2乂2>2乂1,即2。_2%>0，

又因為2%?〃>0,2x2-^>0,aVO,

所以2a（2七-2乂：）〈0,

>X.、/Xc、

（21-a）（22-a）

于是f5）</（X2），即證.

（3）因為mV",所以2",V2”，從而」」〉一L,

2m2n

由[上，—J,知上〈上，所以2V0,

nn

2m22m2

因為aWO,所以aVO或a>0.

2x

1°當a〈O時，由（2）知，函數(shù)/（x）=二"+工a為/?上單調(diào)遞增函數(shù).

2x-a

因為函數(shù)/(x)在區(qū)間的，n](m<n)上的取值范圍是[-￡，—J,(&WR)

2m2n

2%ak

f(m)v.—

2m-a211

所以s,，即‘

f(n)=—2%a二k

2n2n-a-2n

從而關于x的方程■二區(qū)有兩個互異實數(shù)根.

2x-a2X

令，=2、則f>0,所以方程F+(a-A)t+ak=O,(a,AVO)有兩個互異實數(shù)根

-3A>0

2lr1-

(a-k)2-4ak>0,從而0<二<3-2亞.

ak>0

o

2°當。>0時，函數(shù)/(X)=1+a在區(qū)間(-8,logza),(Iog2〃，+8)上均單調(diào)遞減.

2x-a

若[〃?，〃]G(log2m+8),則/(x)>|,于是--->0,這，ZV0矛盾，故舍去.

2M

g+ak公

f(m)=—

2n，-a2

若[M,川片-°°>10g2t/)?則/(X)VI,于是，,即

f(n)=聾■上②

2m2n-a2m

2n(2n+a)=k(2就-a)

所以，，兩式相減整理得，(〃-外(2“-2”)=0,

2B(2n+a)=k(2n-a)

又"V2"，故2"-2m>0,從而a-k=0,因為a>0,所以K=_].

a

【知識點】奇偶性與單調(diào)性的綜合

7.已知函數(shù)/(X)=W+2|x-a|-4,(其中a為常數(shù))

(1)若4=2,寫出函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間(不需寫過程)；

(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性，并給出理由；

(3)若對任意實數(shù)x,不等式/(x)恒成立，求實數(shù)。的取值范圍.

【分析】(1)利用。=2,直接寫出函數(shù)/(x)=f+2|x-2|-4的遞增區(qū)間.

(2)。=0時，判斷函數(shù)的奇偶性，當時，通過特殊值/(2)#±/(-2),說明/(%)為

非奇非偶函數(shù)：

(3)設g(x)=(x+1)2-2a-(x2a),h(x)=(x-1)2+2a-5,(x<a)通過

①對于g(x)當a<-1時，當a2-1時，求解g〃而(x),②對于h(x),當a<1時，當

1時，求解htnin(x),推出fm；?(x)=h?,in(x)=h(I)=2a-5.由2-52-1,解得。22,

得到實數(shù)。的取值范圍即可.

【解答】解：(1)。=2,函數(shù)/(x)=^-2|x-2|-4,所以，遞增區(qū)間為：(1,+8)；

(2)當4=0時，f(x)=X2+2|X|-4,/./(x)=f(-x).*./(x)為偶函數(shù)；

當aK0時，f(2)=2|2-d|,/(-2)=2|a+2|,

：.f(2)(-2)?0G)為非奇非偶函數(shù)；

(3)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)(x)的最小值，

設g(x)=(x+1)2-2a-5，(x2a),h(x)=(x-1)2+2a-5>(x<a)

2

①對于g(X)=(x+1)-2a-5t

2

當aV?l時，g.(x)=g(7)=-2a-5；當-1時，gmin(x)=g(a)=a-4

②對于h(x)=(x-1)2+2a-5,(xVq)

2

當aVI時，hain(x)=h(a)=a-4>當。21時，hmin(x)=h(1)=2a-5

①當a<-1時，a2-4-(-2a-5)=a2+2fl+I=(a+1)2^0,

??frnin(x)—gmin(X)=g(-1)=-2。-5,由-52-1,解得“W-2滿足；

②當TWaVl時,f.(x)=a2-^

由爐-42?1,解得a<-加或不滿足；

③當時，a2-4-（2a-5）=a2-2a+l=（a-1）2^0,

（x）=h?lin（x）=h（1）=2a?5,由2。-527,解得〃22,滿足題意.

所以實數(shù)。的取值范圍是：。<?2或。22.

【知識點】函數(shù)恒成立問題、奇偶性與單調(diào)性的綜合

4

8.已知函數(shù)/CO=x+—.

x

（I）證明：函數(shù)/（外是奇函數(shù)；

（II）判斷函數(shù)/（%）在區(qū)間（2,+8）上的單調(diào)性，并用定義證明；

4

（IH）若對Vx￡[2,4],都有x+3號,〃恒成立，求m的取值范圍.

x

【分析】（I）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義證明即可；

（II）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性的定義證明即可；

（III）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出/（工）的最大值，從而求出機的范圍.

【解答】解：（I）函數(shù)/（X）的定義域為{x|xXO）,

VxGfxk^O）,都有7￡{X|XH0）,

44

且f（-x）=-x=-（A+-）=-/（%）,

XX

所以，函數(shù)/（X）為奇函數(shù)；

（II）判斷：f（X）在區(qū)間（2,+8）上單調(diào)遞增.

證明：Vx）?xiE（2,+°°）,且xi〈X2，

4d

有f（XI）-f（X2）=（X1+----）-（X2+-----）

X1x2

44

=（Xi-X2）+（-------------）

X1x2

=-------（X|X2-4）

X1X

12

V2<X）<X2，

/.X|X2>4,X[X2-4>0?X1-X2<0，

X1-X2

/.-------（X\X2-4）<0,即F（X1）V/（X2），

X1X

12

???函數(shù)/（x）在區(qū)間（2,+8）上是增函數(shù)；

（III）由（II）可知，函數(shù)/（x）在區(qū)間[2,4]上是增函數(shù)，

所以f（X）inax=f（4）=5,

因為對VxW[2,4],都有x+二《小恒成立，

X

所以f（X）rnax^m,

即m25.

【知識點】函數(shù)恒成立問題、奇偶性與單調(diào)性的綜合

9.已知定義域為R的函數(shù)f（x）二即旦■是奇函數(shù).

2X+1

（I）求加的值；

（II）用定義證明f（幻在R上為減函數(shù)；

（HI）若對于任意的實數(shù)力不等式/（產(chǎn)-2。4/（2產(chǎn)-左）V0恒成立，求實數(shù)2的取值范圍.

【分析】（I）由/（0）=號=0可得m值；

（II）VXl，X2ER,且X|VX2,可得f（及）-/（Xi）的表達式，確定其范圍即可說明_/?（“）在R

上為減函數(shù)；

（III）