隨機(jī)過程習(xí)題和答案

...wd......wd......wd...第二章隨機(jī)過程分析1.1學(xué)習(xí)指導(dǎo)1.1.1要點(diǎn) 隨機(jī)過程分析的要點(diǎn)主要包括隨機(jī)過程的概念、分布函數(shù)、概率密度函數(shù)、數(shù)字特征、通信系統(tǒng)中常見的幾種重要隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性。 1.隨機(jī)過程的概念隨機(jī)過程是一類隨時(shí)間作隨機(jī)變化的過程，它不能用確切的時(shí)間函數(shù)描述?？蓮膬煞N不同角度理解：對(duì)應(yīng)不同隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的時(shí)間過程的集合，隨機(jī)過程是隨機(jī)變量概念的延伸。 2.隨機(jī)過程的分布函數(shù)和概率密度函數(shù)如果ξ(t)是一個(gè)隨機(jī)過程，則其在時(shí)刻t1取值ξ(t1)是一個(gè)隨機(jī)變量。ξ(t1)小于或等于某一數(shù)值x1的概率為P[ξ(t1)≤x1]，隨機(jī)過程ξ(t)的一維分布函數(shù)為F1(x1,t1)=P[ξ(t1)≤x1](2-1)如果F1(x1,t1)的偏導(dǎo)數(shù)存在，則ξ(t)的一維概率密度函數(shù)為對(duì)于任意時(shí)刻t1和t2，把ξ(t1)≤x1和ξ(t2)≤x2同時(shí)成立的概率稱為隨機(jī)過程(t)的二維分布函數(shù)。如果存在，則稱f2(x1,x2;t1,t2)為隨機(jī)過程(t)的二維概率密度函數(shù)。對(duì)于任意時(shí)刻t1，t2，…，tn，把稱為隨機(jī)過程(t)的n維分布函數(shù)。如果存在，則稱fn(x1,x2,…,xn;t1,t2,…,tn)為隨機(jī)過程(t)的n維概率密度函數(shù)。 3.隨機(jī)過程的數(shù)字特征 隨機(jī)過程的數(shù)字特征主要包括均值、方差、自相關(guān)函數(shù)、協(xié)方差函數(shù)和互相關(guān)函數(shù)。隨機(jī)過程(t)在任意給定時(shí)刻t的取值(t)是一個(gè)隨機(jī)變量，其均值為其中，f1(x,t)為(t)的概率密度函數(shù)。隨機(jī)過程(t)的均值是時(shí)間確實(shí)定函數(shù)，記作a(t)，它表示隨機(jī)過程(t)的n個(gè)樣本函數(shù)曲線的擺動(dòng)中心。隨機(jī)過程(t)的方差的定義如下：隨機(jī)過程(t)的方差常記作σ2(t)。隨機(jī)過程(t)的方差的另一個(gè)常用的公式為也就是說，方差等于均方值與均值平方之差，它表示隨機(jī)過程在時(shí)刻t，對(duì)于均值a(t)的偏離程度。隨機(jī)過程(t)的相關(guān)函數(shù)的定義如下：式中，(t1)和(t2)分別是在t1和t2時(shí)刻觀測(cè)得到的隨機(jī)變量。R(t1,t2)是兩個(gè)變量t1和t2確實(shí)定函數(shù)。隨機(jī)過程(t)的相關(guān)函數(shù)表示在任意兩個(gè)時(shí)刻上獲得的隨機(jī)變量之間的關(guān)聯(lián)程度。隨機(jī)過程(t)的協(xié)方差函數(shù)的定義如下：式中，a(t1)、a(t2)分別是在t1和t2時(shí)刻得到的(t)的均值；f2(x1,x2;t1,t2)是(t)的二維概率密度函數(shù)。B(t1,t2)與R(t1,t2)之間有如下關(guān)系式：假設(shè)a(t1)=a(t2)=0，則B(t1,t2)=R(t1,t2)。隨機(jī)過程(t)和η(t)的互相關(guān)函數(shù)的定義如下： 4.平穩(wěn)過程及其性質(zhì) 平穩(wěn)過程包括嚴(yán)平穩(wěn)過程〔強(qiáng)平穩(wěn)過程或狹義平穩(wěn)過程〕和廣義平穩(wěn)過程。如果隨機(jī)過程(t)的任意有限維分布函數(shù)與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，也就是說，對(duì)于任意的正整數(shù)n和所有實(shí)數(shù)，有則稱該隨機(jī)過程是嚴(yán)格意義下的平穩(wěn)隨機(jī)過程，簡(jiǎn)稱嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程。嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的一維分布函數(shù)和均值都與時(shí)間無關(guān)，二維分布函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)都只與時(shí)間間隔有關(guān)。把對(duì)嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的要求降低到僅僅均值與時(shí)間無關(guān)和自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)的隨機(jī)過程定義為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程必定是廣義平穩(wěn)的，反之不一定成立。平穩(wěn)隨機(jī)過程具有各態(tài)歷經(jīng)性(遍歷性)。因此，在求解各種統(tǒng)計(jì)平均時(shí)，無需無限屢次的樣本，只要獲得一次考察，用一次實(shí)現(xiàn)的“時(shí)間平均〞值代替平穩(wěn)隨機(jī)過程的“統(tǒng)計(jì)平均〞值即可，從而使測(cè)量和計(jì)算大為簡(jiǎn)化。 平穩(wěn)過程(t)的功率譜密度與其自相關(guān)函數(shù)是一付立葉變換對(duì)。據(jù)此，可以得到兩條結(jié)論：平穩(wěn)過程QUOTEξ(t)(t)的功率等于其自相關(guān)函數(shù)在零點(diǎn)的取值R(0)；各態(tài)歷經(jīng)過程任一樣本函數(shù)的功率譜密度等于平穩(wěn)過程的功率譜密度。 5.高斯過程高斯過程又被稱為正態(tài)隨機(jī)過程。如果隨機(jī)過程(t)的任意n維〔n=1,2,...〕分布均服從正態(tài)分布，則稱它為正態(tài)過程或高斯過程，其n維正態(tài)概率密度函數(shù)表示式為其中，數(shù)學(xué)期望ak=E[ξ(tk)]；方差σ2k=E[ξ(tk)-ak]2；歸一化協(xié)方差矩陣行列式如果高斯過程在不同時(shí)刻不相關(guān)，則它們也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。高斯過程經(jīng)過線性系統(tǒng)后，其系統(tǒng)輸出也是高斯過程。6.窄帶隨機(jī)過程如果隨機(jī)過程(t)的譜密度集中在中心頻率fc附近相對(duì)窄的頻帶范圍f內(nèi)，即滿足f<<fc的條件，且fc遠(yuǎn)離零頻率，則稱其為窄帶隨機(jī)過程。隨機(jī)過程(t)可以表示為其中，a(t)為隨機(jī)包絡(luò)；(t)為隨機(jī)相位；c為中心角頻率。顯然，a(t)和(t)的變化相對(duì)于載波產(chǎn)生的相移(ct)的變化要緩慢得多。將窄帶隨機(jī)過程表示式展開為其中，ξc(t)=aξ(t)cos[φξ(t)]；ξs(t)=aξ(t)sin[φξ(t)]。c(t)和s(t)分別被稱為同相分量和正交分量。窄帶隨機(jī)過程(t)的統(tǒng)計(jì)特性可以由a(t)和(t)或c(t)和s(t)的統(tǒng)計(jì)特性確定。假設(shè)(t)的統(tǒng)計(jì)特性，則a(t)和(t)或c(t)和s(t)的統(tǒng)計(jì)特性也隨之確定。由于(t)平穩(wěn)且均值為零，故對(duì)于任意的時(shí)間t，都有E[(t)]=0，所以假設(shè)窄帶過程(t)是平穩(wěn)的，則c(t)和s(t)也是平穩(wěn)的。平穩(wěn)窄帶隨機(jī)過程(t)的自相關(guān)函數(shù)可以表示為一個(gè)均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過程(t)，它的同相分量c(t)和正交分量s(t)同樣是平穩(wěn)高斯過程，而且均值為零，方差也一樣。此外，在同一時(shí)刻上得到的c(t)與s(t)是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。a服從瑞利(Rayleigh)分布，服從均勻分布。7.高斯白噪聲和帶限白噪聲電子系統(tǒng)中常見的熱噪聲近似為白噪聲，白噪聲的幅值服從高斯分布。因此，在通信系統(tǒng)中，常用高斯白噪聲作為信道中的噪聲模型。白噪聲通過一個(gè)有限帶寬的信道或?yàn)V波器后，輸出噪聲的帶寬就是有限的，如果其頻譜在信道或?yàn)V波器的通帶內(nèi)仍具有白色特性，則稱其為帶限白噪聲。白噪聲n(t)的功率譜密度在所有頻率上均為常數(shù)，即或者其中，n0為正常數(shù)。式(2–20)是白噪聲n(t)的雙邊功率譜密度，式(2–21)是其單邊功率譜密度。白噪聲n(t)的自相關(guān)函數(shù)為上式說明，白噪聲僅在τ=0時(shí)才相關(guān)，而在任何兩個(gè)不同時(shí)刻的隨機(jī)變量都是不相關(guān)的。如果白噪聲幅值的概率分布服從高斯分布，則稱之為高斯白噪聲。高斯白噪聲在任意兩個(gè)不同時(shí)刻上的隨機(jī)變量之間，不僅是互不相關(guān)的，而且還是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。帶限白噪聲一般包括低通白噪聲和帶通白噪聲。如果白噪聲通過理想低通濾波器或理想低通信道時(shí)，則其輸出的噪聲被稱為低通白噪聲；如果白噪聲通過理想帶通濾波器或理想帶通信道時(shí)，則其輸出的噪聲被稱為帶通白噪聲。1.1.2難點(diǎn)隨機(jī)過程分析的難點(diǎn)主要包括平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)后的分布函數(shù)、概率密度函數(shù)和數(shù)字特征。設(shè)平穩(wěn)隨機(jī)過程i(t)的均值、自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度分別為ai、Ri(t)和Pi(f)，系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)和傳輸函數(shù)分別為h(t)和H(f)。輸出隨機(jī)過程ξo(t)的均值為式中，H(0)是線性系統(tǒng)H(f)在f=0處的頻率響應(yīng)。由此可見，輸出過程的均值是一個(gè)常數(shù)。輸出隨機(jī)過程ξo(t)的自相關(guān)函數(shù)為 上式說明，隨機(jī)過程ξo(t)的自相關(guān)函數(shù)僅是時(shí)間間隔的函數(shù)。綜合上面兩點(diǎn)，假設(shè)線性系統(tǒng)的輸入是平穩(wěn)的，則輸出也是平穩(wěn)的。輸出隨機(jī)過程ξo(t)的功率譜密度為 由上是式可見，輸出隨機(jī)過程ξo(t)的功率譜密度等于輸入隨機(jī)過程i(t)的功率譜密度乘以系統(tǒng)傳輸函數(shù)模值的平方。隨機(jī)過程ξo(t)可以表示為 當(dāng)i(t)是高斯分布的時(shí)，ξi(t-k)h(k)Δk是一個(gè)高斯隨機(jī)變量，而無限個(gè)高斯隨機(jī)變量的疊加也是一個(gè)高斯分布的。因此，隨機(jī)過程ξo(t)呈高斯分布。1.2習(xí)題詳解2-1設(shè)隨機(jī)過程{X(t)=Acos(ωt)+Bcos(ωt),-∞<t<∞}，ω為常數(shù)，A、B為互相獨(dú)立的隨機(jī)變量，且E(A)=E(B)=0,D(A)=D(B)=σ2。試判斷X(t)是否為平穩(wěn)過程。解，因此，X(t)的均值與時(shí)間無關(guān)，自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)，它是平穩(wěn)過程。2-2離散白噪聲{X(n),n=0,±1,±2,…}，其中，是X(n)是兩兩不相關(guān)的隨機(jī)變量，且E[X(n)]=0,D[X(n)]=σ2。試求X(n)的功率譜密度。解X(n)的自相關(guān)函數(shù)為X(n)的功率譜密度為2-3零均值平穩(wěn)隨機(jī)過程{X(t),-∞<t<∞}的功率譜密度為試求其自相關(guān)函數(shù)、方差和平均功率。解由于，因此，自相關(guān)函數(shù)為方差為D[X(t)]=R(0)–E2[X(t)]=R(0)=7/24。平均功率為2-4電路圖如圖題2-4所示。如果輸入平穩(wěn)過程{X(t),-∞<t<∞}的均值mX為零，自相關(guān)函數(shù)為。試求輸出過程{Y(t),-∞<t<∞}的均值mY，自相關(guān)函數(shù)RY(τ)、功率譜密度SY(ω)。解由電路分析的知識(shí)可得兩邊取付立葉變換，得到此系統(tǒng)的傳輸函數(shù)為此系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)為輸出過程的均值為輸出過程的功率譜密度為輸出過程的自相關(guān)函數(shù)為2-5高斯隨機(jī)變量X的均值為0，方差為1，試求隨機(jī)變量Y=6X+5的概率密度f(y)。解高斯隨機(jī)變量通過線性變換后仍然是高斯隨機(jī)變量，Y也是高斯隨機(jī)變量。 隨機(jī)變量Y的均值為隨機(jī)變量Y的方差為隨機(jī)變量Y的概率密度為2-6隨機(jī)過程X(t)=5sin(πt+θ)，其中，θ是隨機(jī)變量，概率P(θ=0)=0.2，P(θ=0.5π)=0.8，試求隨機(jī)變量X(2)的均值，隨機(jī)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)RX(0,1)。解隨機(jī)變量X(2)的均值為隨機(jī)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)RX(0,1)為2-7隨機(jī)過程X(t)=X1sin(ωt)–X2cos(ωt)，其中，X1和X2都是均值為0，方差為σ2的彼此獨(dú)立的高斯隨機(jī)變量，試求：隨機(jī)過程X(t)的均值、方差、一維概率密度函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)。解隨機(jī)過程X(t)的均值為隨機(jī)過程X(t)的方差為隨機(jī)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)為其中，τ=t2–t1。隨機(jī)過程X(t)的一維概率密度函數(shù)為2-8平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)和Y(t)的均值分別為aX和aY，自相關(guān)函數(shù)分別為RX(τ)和RY(τ)，且它們彼此獨(dú)立。隨機(jī)過程Z1(t)=X(t)+Y(t)和Z2(t)=X(t)Y(t)的。解隨機(jī)過程Z1(t)的自相關(guān)函數(shù)為隨機(jī)過程Z2(t)的自相關(guān)函數(shù)為2-9隨機(jī)過程X(t)=a(t)cos(ω0t+θ)，其中，隨機(jī)變量θ在(0，2π)上服從均勻分布，是a(t)廣義平穩(wěn)過程，且其自相關(guān)函數(shù)為a(t)與θ統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。試求隨機(jī)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)、功率譜密度和平均功率，并判斷其是否為廣義平穩(wěn)過程。解隨機(jī)過程X(t)的均值為隨機(jī)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)為其中，τ=t2–t1。由此可見，隨機(jī)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)，均值函數(shù)與時(shí)間無關(guān)，是廣義平穩(wěn)過程。隨機(jī)過程X(t)的功率譜密度為隨機(jī)過程X(t)的平均功率為2-10隨機(jī)過程X(t)的均值為0，自相關(guān)函數(shù)為RX(τ)，它通過一個(gè)如圖題2-10所示的系統(tǒng)后的輸出為隨機(jī)過程Y(t)。試求隨機(jī)過程Y(t)的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度。解由題意可得因此，系統(tǒng)的傳輸函數(shù)為隨機(jī)過程Y(t)的功率譜密度為隨機(jī)過程Y(t)的自相關(guān)函數(shù)為2-11理想帶通濾波器的中心頻率為fc，帶寬為B，幅度為1，如圖題2-11所示。輸入此濾波器的高斯白噪聲的均值為0，單邊功率譜密度為n0。試求濾波器輸出噪聲的自相關(guān)函數(shù)、平均功率和一維概率密度函數(shù)。解輸出噪聲的雙邊功率譜密度為輸出噪聲的自相關(guān)函數(shù)為輸出噪聲的平均功率為輸出噪聲仍然是高斯