初中數(shù)學(xué)等腰直角三角形添加輔助線三垂直構(gòu)建K字型全等專項(xiàng)練習(xí)題1(附答案詳解)

初中數(shù)學(xué)等腰直角三角形添加輔助線三垂直構(gòu)建K字型全等專項(xiàng)練習(xí)題1（附答案詳解）1．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，DE是△ABC的中位線，點(diǎn)D在AB上，把點(diǎn)B繞點(diǎn)D按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α（0°<α<180°）角得到點(diǎn)F，連接AF，BF．下列結(jié)論：①△ABF是直角三角形；②若△ABF和△ABC全等，則α=2∠BAC或2∠ABC；③若α=90°，連接EF，則S△DEF=4.5；其中正確的結(jié)論是（）A．①② B．①③ C．①②③ D．②③2．如圖所示，的頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖像上，直線AB交y軸于點(diǎn)C，且點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為5，過點(diǎn)A、B分別作y軸的垂線AE、BF，垂足分別為點(diǎn)E、F，且．（1）若點(diǎn)E為線段OC的中點(diǎn)，求k的值；（2）若為等腰直角三角形，，其面積小于3．①求證：；②把稱為，兩點(diǎn)間的“ZJ距離”，記為，求的值．3．如圖，已知拋物線經(jīng)過，，三點(diǎn)．（1）求該拋物線的解析式；（2）經(jīng)過點(diǎn)B的直線交y軸于點(diǎn)D，交線段于點(diǎn)E，若．①求直線的解析式；②已知點(diǎn)Q在該拋物線的對稱軸l上，且縱坐標(biāo)為1，點(diǎn)P是該拋物線上位于第一象限的動(dòng)點(diǎn)，且在l右側(cè)．點(diǎn)R是直線上的動(dòng)點(diǎn)，若是以點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．4．如圖1，在正方形中，對角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接交于點(diǎn).（1）若，求的面積；（2）如圖2，線段的延長線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，求證：；（3）如圖3，點(diǎn)為射線上一點(diǎn)，線段的延長線交直線于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作垂直直線于點(diǎn)，請直接寫出線段的數(shù)量關(guān)系.5．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0，4），點(diǎn)B（m，0），以AB為邊在右側(cè)作正方形ABCD．（1）當(dāng)點(diǎn)B在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)C點(diǎn)的坐標(biāo)．（用m表示）（2）當(dāng)m=0時(shí)，如圖2，P為OA上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥PC，PM=PC，連MC交OD于點(diǎn)N，求AM+2DN的值；（3）如圖3，在第（2）問的條件下，E、F分別為CD、CO上的點(diǎn)，作EG∥x軸交AO于G，作FH∥y軸交AD于H，K是EG與FH的交點(diǎn)．若S四邊形KFCE=2S四邊形AGKH，試確定∠EAF的大小，并證明你的結(jié)論．6．如圖，在矩形ABCD中，E是邊AD上的一點(diǎn)，將△CDE沿CE折疊得到△CFE，點(diǎn)F恰好落在邊AB上．（1）證明：△AEF∽△BFC．（2）若AB=，BC=1，作線段CE的中垂線，交AB于點(diǎn)P，交CD于點(diǎn)Q，連結(jié)PE，PC．①求線段DQ的長．②試判斷△PCE的形狀，并說明理由．7．已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)E為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AE，CE，CE⊥AE，過點(diǎn)B作BD⊥AE，交AE的延長線于D．（1）如圖1，求證BD=AE；（2）如圖2，點(diǎn)H為BC中點(diǎn)，分別連接EH，DH，求∠EDH的度數(shù)；（3）如圖3，在（2）的條件下，點(diǎn)M為CH上的一點(diǎn)，連接EM，點(diǎn)F為EM的中點(diǎn)，連接FH，過點(diǎn)D作DG⊥FH，交FH的延長線于點(diǎn)G，若GH：FH=6：5，△FHM的面積為30，∠EHB=∠BHG，求線段EH的長．8．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：△ADC≌△CEB；(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，試問DE、AD、BE的等量關(guān)系?并說明理由．9．在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點(diǎn)A(0，2)，點(diǎn)C(1，0)，如圖所示，拋物線y=ax2﹣ax﹣2經(jīng)過點(diǎn)B．（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求拋物線的解析式；（3）在拋物線上是否還存在點(diǎn)P(點(diǎn)B除外)，使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．10．如圖1，直線l：y＝x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B．已知點(diǎn)C（﹣2，0）．（1）求出點(diǎn)A，點(diǎn)B的坐標(biāo)．（2）P是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，且△BOP和△COP的面積相等，求點(diǎn)P坐標(biāo)．（3）如圖2，平移直線l，分別交x軸，y軸于交于點(diǎn)A1，B1，過點(diǎn)C作平行于y軸的直線m，在直線m上是否存在點(diǎn)Q，使得△A1B1Q是等腰直角三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．11．如圖①，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，過點(diǎn)C作CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn)A，B)，連接CE，過點(diǎn)B作CE的垂線交直線CE于點(diǎn)F，交直線CD于點(diǎn)G．(1)求證：AE＝CG；(2)若點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到線段BD上時(shí)(如圖②)，試猜想AE，CG的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生變化，請證明你的結(jié)論；(3)過點(diǎn)A作AH⊥CE，垂足為點(diǎn)H，并交CD的延長線于點(diǎn)M(如圖③)，找出圖中與BE相等的線段，直接寫出答案BE=12．在中，．(1)如圖①，以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，為腰在右側(cè)作等腰，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)．求證：．(2)如圖②，以為底邊在左側(cè)作等腰，連接，求的度數(shù)．(3)如圖③，中，,垂足為點(diǎn)，以為邊在左側(cè)作等邊,連接交于，,,求的長．13．直角三角形中，，直線過點(diǎn)．（1）當(dāng)時(shí)，如圖①，分別過點(diǎn)、作于點(diǎn)，于點(diǎn)．求證：．（2）當(dāng)，時(shí)，如圖②，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，連接、，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿邊向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度沿向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)、到達(dá)相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．①用含的代數(shù)式表示．②直接寫出當(dāng)與全等時(shí)的值．14．直線CD是經(jīng)過∠BCA頂點(diǎn)C的一條直線，CA=CB，點(diǎn)E、F分別是直線CD上的兩點(diǎn)，且∠BEC=∠CFA=∠BCA,（1）如圖1，當(dāng)∠BCA=90時(shí)，則BE與CF的數(shù)量關(guān)系是：______________（2）如圖2，當(dāng)∠BCA為銳角時(shí)，（1）中的數(shù)量關(guān)系是否依然成立？若成立，請證明（3）如圖3，當(dāng)∠BCA為鈍角時(shí)，請說出EF、BE、AF三條線段的數(shù)量關(guān)系（不必證明）15．如圖1．△ABC中，AG⊥BC于點(diǎn)G，以A為直角頂點(diǎn)，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過點(diǎn)E，F(xiàn)作射線GA的垂線，垂足分別為P，Q．（1）求證：△EPA≌△AGB：（2）試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）如圖2．若連接EF交GA的延長線于H，由（2）中的結(jié)論你能判斷EH與FH的大小關(guān)系嗎？并說明理由：（4）在（3）的條件下，若BC＝10，AG＝12．請直接寫出S△AEF＝．16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角△ABC，AB⊥BC，AB＝BC，點(diǎn)C在第一象限．已知點(diǎn)A（m，0），B（0，n）（n＞m＞0），點(diǎn)P在線段OB上，且OP＝OA．（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為（用含m，n的式子表示）（2）求證：CP⊥AP．17．如圖的邊在直線l上，，且，的邊也在直線上，邊和邊重合，且．（1）圖①中，請你通過觀察、測量、猜想，直接寫出和的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；（2）將沿直線l向右平移得到圖②的位置時(shí)，交于點(diǎn)D，連接，，求證：①；②；（3）將沿直線l向右平移得到圖③的位置時(shí)，延長交的延長線于點(diǎn)D，連接，，你認(rèn)為，還成立嗎？若成立，給予證明；若不成立，說明理由．18．在?ABCD中，∠BAD的平分線交直線BC于點(diǎn)E，交直線DC于點(diǎn)F．（1）在圖1中說明CE=CF；（2）若∠ABC=90°，G是EF的中點(diǎn)(如圖2)，求∠BDG的度數(shù)．三、填空題19．如圖，是等邊三角形，，點(diǎn)在上，，是延長線上一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段，當(dāng)時(shí)，線段的長為__________.20．如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是BC、AB邊上的點(diǎn)，且AE⊥DF，垂足為點(diǎn)O，△AOD的面積為，則圖中陰影部分的面積為_____．參考答案1．C【解析】【分析】①根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，然后利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可判斷；②分兩種情況討論：或，分別求α即可；③先根據(jù)題意畫出圖形，首先證明，然后得出，最后利用即可求解．【詳解】①∵DE是△ABC的中位線，．由旋轉(zhuǎn)可知，，．，，即，∴△ABF是直角三角形，故①正確；，．若△ABF和△ABC全等，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，綜上所述，若△ABF和△ABC全等，則α=2∠BAC或2∠ABC，故②正確；過點(diǎn)F作交ED的延長線于點(diǎn)G，∵DE是的中位線，，．，．，，．，．，D為AB中點(diǎn)，．在和中，，，故③正確；所以正確的有：①②③．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形中位線的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，掌握三角形中位線的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（1）；（2）①見解析；②8．【解析】【分析】（1）由點(diǎn)E為線段OC的中點(diǎn)，可得E點(diǎn)坐標(biāo)為，進(jìn)而可知A點(diǎn)坐標(biāo)為：，代入解析式即可求出k；（2）①由為等腰直角三角形，可得，再根據(jù)同角的余角相等可證，由AAS即可證明；②由“ZJ距離”的定義可知為MN兩點(diǎn)的水平距離與垂直距離之和，故，即只需求出B點(diǎn)坐標(biāo)即可，設(shè)點(diǎn)，由可得，進(jìn)而代入直線AB解析式求出k值即可解答．【詳解】解：（1）∵點(diǎn)E為線段OC的中點(diǎn)，OC=5，∴,即：E點(diǎn)坐標(biāo)為，又∵AE⊥y軸，AE=1，∴，∴．（2）①在為等腰直角三角形中，，，∴，又∵BF⊥y軸，∴，∴在和中，∴，②解：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，∵∴，，∴，設(shè)直線AB解析式為：，將AB兩點(diǎn)代入得：則．解得，．當(dāng)時(shí)，，，，符合；∴，當(dāng)時(shí)，，，，不符，舍去；綜上所述：．【點(diǎn)睛】此題屬于代幾綜合題，涉及的知識(shí)有：反比例函數(shù)、一次函數(shù)的性質(zhì)及求法、三角形全等的判定及性質(zhì)、等腰直角三角形性質(zhì)等，熟練掌握三角形全等的性質(zhì)和判定和數(shù)形結(jié)合的思想是解本題的關(guān)鍵．3．（1）；（2）①；②（2，4）或（，）【解析】【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；（2）①過點(diǎn)E作EG⊥x軸，垂足為G，設(shè)直線BD的表達(dá)式為：y=k（x-4），求出直線AC的表達(dá)式，和BD聯(lián)立，求出點(diǎn)E坐標(biāo)，證明△BDO∽△BEG，得到，根據(jù)比例關(guān)系求出k值即可；②根據(jù)題意分點(diǎn)R在y軸右側(cè)時(shí)，點(diǎn)R在y軸左側(cè)時(shí)兩種情況，利用等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可.【詳解】解：（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，，代入，∴，解得：，∴拋物線表達(dá)式為：；（2）①過點(diǎn)E作EG⊥x軸，垂足為G，∵B（4，0），設(shè)直線BD的表達(dá)式為：y=k（x-4），設(shè)AC表達(dá)式為：y=mx+n，將A和C代入，得：，解得：，∴直線AC的表達(dá)式為：y=2x+4，聯(lián)立：，解得：，∴E（，），∴G（，0），∴BG=，∵EG⊥x軸，∴△BDO∽△BEG，∴,∵，∴，∴，解得：k=，∴直線BD的表達(dá)式為：；②由題意：設(shè)P（s，），1＜s＜4，∵△PQR是以點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，∴∠PQR=90°，PQ=RQ，當(dāng)點(diǎn)R在y軸右側(cè)時(shí)，如圖，分別過點(diǎn)P，R作l的垂線，垂足為M和N，∵∠PQR=90°，∴∠PQM+∠RQN=90°，∵∠MPQ+∠PQM=90°，∴∠RQN=∠MPQ，又PQ=RQ，∠PMQ=∠RNQ=90°，∴△PMQ≌△QNR，∴MQ=NR，PM=QN，∵Q在拋物線對稱軸l上，縱坐標(biāo)為1，∴Q（1，1），∴QN=PM=1，MQ=RN，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，代入拋物線得：y=4，∴P（2，4）；當(dāng)點(diǎn)R在y軸左側(cè)時(shí)，如圖，分別過點(diǎn)P，R作l的垂線，垂足為M和N，同理：△PMQ≌△QNR，∴NR=QM，NQ=PM，設(shè)R（t，），∴RN==QM，NQ=1-t=PM，∴P（，2-t），代入拋物線，解得：t=或（舍），∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，），綜上：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，4）或（，）.【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)，難度較大，解題時(shí)要理解題意，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)構(gòu)造全等三角形.4．（1）5；（2）見解析；（3）【解析】【分析】（1）如圖1中，利用勾股定理計(jì)算CE的長，由旋轉(zhuǎn)可知△CEF是等腰直角三角形，可得結(jié)論；（2）如圖2，過E作EN⊥AB于N，作EP⊥BC于P，證明△CPE≌△CMF（AAS），得EP＝FM，由角平分線的性質(zhì)得EP＝EN＝FM，證明△NHE≌△MGF（AAS），得NH＝MG，由△BEN是等腰直角三角形，得BN＝BE，最后由線段的和可得結(jié)論；（3）如圖3，構(gòu)建輔助線，構(gòu)建全等三角形，證明△CPE≌△FMC（AAS），得EP＝CM，PC＝FM，由△DPE是等腰直角三角形，得PE＝PD，證明△HNE≌△GMF（AAS），由△BEN是等腰直角三角形，得BN＝BE，同理可得結(jié)論．【詳解】（1）在正方形中，（2）過點(diǎn)作于，于又是等腰直角三角形（3）BH﹣MG＝BE，理由是：如圖3，過E作EN⊥AB于N，交CG于P，∵EP⊥BC，F(xiàn)M⊥CD，AB∥CD，∴EP⊥CD，∴∠EPC＝∠FMC＝90°，∵∠M＝∠ECF＝90°，∴∠ECP+∠FCM＝∠FCM+∠CFM＝90°，∴∠ECP＝∠CFM，∵CE＝CF，∴△CPE≌△FMC（AAS），∴PC＝FM，∵△DPE是等腰直角三角形，∴PE＝PD，∴EN＝BN＝PN+PE＝BC+PE＝CD+PD＝PC＝FM，∵AB∥CD，∴∠H＝∠FGM，∵∠ENH＝∠M＝90°，∴△HNE≌△GMF（AAS），∴NH＝MG，∴BH﹣MG＝BH﹣NH＝BN，∵△BEN是等腰直角三角形，∴BN＝BE，∴BH﹣MG＝BE．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形，屬于中考?jí)狠S題．5．（1）C(m+4，m)；（2）AM+2DN=4；（3）∠EAF=45°，證明見解析【解析】【分析】（1）如圖1中，作軸于．利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問題；（2）如圖2中，作軸于，作交于．構(gòu)造平行四邊形，全等三角形解決問題即可；（3）如圖3中，延長到，使得．則．設(shè)，，由題意，，，，利用勾股定理想辦法證明，再證明，可得即可解決問題；【詳解】解：（1）如圖1中，作軸于．，，，，又，，，，．（2）如圖2中，作軸于，作交于．，，，，，，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，．（3）如圖3中，延長到，使得．則．設(shè)，，由題意，，，，，，，，，在中，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合題、正方形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形或特殊四邊形解決問題，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問題，學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，屬于中考?jí)狠S題．6．（1）詳見解析；（2）2-；（3）等腰直角三角形．【解析】【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)知，從而得出，轉(zhuǎn)化得到相似；（2）連接EQ，根據(jù)AB=，BC=1計(jì)算出BF的長度，從而判斷都是等腰直角三角形，算出AF、DE的長度，再根據(jù)PQ是CE的垂直平分線得出EQ=CQ，設(shè)，則，解直角三角形算出x即可；（3）設(shè)，則，根據(jù)利用勾股定理建立等量關(guān)系解出再證明全等即可．【詳解】解：（1）∵將△CDE沿CE折疊得到△CFE∴∴又∵∴∴△AEF∽△BFC（2）①連接EQ，PQ是CE的中垂線，如圖：∵AB=，BC=1，將△CDE沿CE折疊得到△CFE，四邊形ABCD是矩形∴∴都是等腰直角三角形∴設(shè)，則，在直角三角形DEQ中：，解得：故DQ的長為；②設(shè)，則，PQ是CE的中垂線∴∴即解得：∴又∵∴△APE≌△BCP∴即∴△PCE是等腰直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查矩形折疊問題、勾股定理、中垂線的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化相關(guān)的線段與角度之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵．7．（1）見解析；（2）∠EDH＝45°；（3）EH＝10．【解析】【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定得出△CAE≌△ABD，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)得出AE＝BD即可；（2）根據(jù)全等三角形的判定得出△AEH≌△BDH，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)解答即可；（3）過點(diǎn)M作MS⊥FH于點(diǎn)S，過點(diǎn)E作ER⊥FH，交HF的延長線于點(diǎn)R，過點(diǎn)E作ET∥BC，根據(jù)全等三角形判定和性質(zhì)解答即可．【詳解】證明：（1）∵CE⊥AE，BD⊥AE，∴∠AEC＝∠ADB＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ACE+CAE＝∠CAE+∠BAD＝90°，∴∠ACE＝∠BAD，在△CAE與△ABD中∴△CAE≌△ABD（AAS），∴AE＝BD；（2）連接AH∵AB＝AC，BH＝CH，∴∠BAH＝，∠AHB＝90°，∴∠ABH＝∠BAH＝45°，∴AH＝BH，∵∠EAH＝∠BAH﹣∠BAD＝45°﹣∠BAD，∠DBH＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD﹣∠ABH＝45°﹣∠BAD，∴∠EAH＝∠DBH，在△AEH與△BDH中∴△AEH≌△BDH（SAS），∴EH＝DH，∠AHE＝∠BHD，∴∠AHE+∠EHB＝∠BHD+∠EHB＝90°即∠EHD＝90°，∴∠EDH＝∠DEH＝；（3）過點(diǎn)M作MS⊥FH于點(diǎn)S，過點(diǎn)E作ER⊥FH，交HF的延長線于點(diǎn)R，過點(diǎn)E作ET∥BC，交HR的延長線于點(diǎn)T．∵DG⊥FH，ER⊥FH，∴∠DGH＝∠ERH＝90°，∴∠HDG+∠DHG＝90°∵∠DHE＝90°，∴∠EHR+∠DHG＝90°，∴∠HDG＝∠HER在△DHG與△HER中∴△DHG≌△HER（AAS），∴HG＝ER，∵ET∥BC，∴∠ETF＝∠BHG，∠EHB＝∠HET，∠ETF＝∠FHM，∵∠EHB＝∠BHG，∴∠HET＝∠ETF，∴HE＝HT，在△EFT與△MFH中，∴△EFT≌△MFH（AAS），∴HF＝FT，∴，∴ER＝MS，∴HG＝ER＝MS，設(shè)GH＝6k，F(xiàn)H＝5k，則HG＝ER＝MS＝6k，，k＝，∴FH＝5，∴HE＝HT＝2HF＝10．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想思考問題，屬于壓軸題．8．（1）見解析；（2）DE=AD-BE，理由見解析【解析】【分析】（1）由已知推出∠ADC=∠BEC=90°，因?yàn)椤螦CD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，推出∠DAC=∠BCE，根據(jù)AAS即可得到答案；

（2）與（1）證法類似可證出∠ACD=∠EBC，能推出△ADC≌△CEB，得到AD=CE，CD=BE，即可得到答案．【詳解】解：（1）證明：如圖1，

∵AD⊥DE，BE⊥DE，

∴∠ADC=∠BEC=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，

∴∠DAC=∠BCE，

在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS）；

（2）結(jié)論：DE=AD-BE．

理由：如圖2，∵BE⊥EC，AD⊥CE，

∴∠ADC=∠BEC=90°，

∴∠EBC+∠ECB=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠ECB+∠ACE=90°，

∴∠ACD=∠EBC，

在△ADC和△CEB中，，∴△ADC≌△CEB（AAS），

∴AD=CE，CD=BE，

∴DE=EC-CD=AD-BE．【點(diǎn)睛】本題主要考查了余角的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)，能根據(jù)已知證明△ACD≌△CBE是解此題的關(guān)鍵，題型較好，綜合性比較強(qiáng)．9．（1）（3，1）；（2）y=x2-x-2；（3）存在，點(diǎn)P（-1，-1）或（-2，1）【解析】【分析】（1）首先過點(diǎn)B作BD⊥x軸，垂足為D，易證得△BDC≌△COA，即可得BD=OC=1，CD=OA=2，則可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式；

（3）分別從①以AC為直角邊，點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，則延長BC至點(diǎn)P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，過點(diǎn)P1作P1M⊥x軸，②若以AC為直角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，則過點(diǎn)A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形ACP2，過點(diǎn)P2作P2N⊥y軸，③若以AC為直角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，則過點(diǎn)A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC，得到等腰直角三角形ACP3，過點(diǎn)P3作P3H⊥y軸，去分析則可求得答案．【詳解】（1）過點(diǎn)B作BD⊥x軸，垂足為D，

∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠OAC=90°，

∴∠BCD=∠CAO，

又∵∠BDC=∠COA=90°，CB=AC，

∴△BDC≌△COA，

∴BD=OC=1，CD=OA=2，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，1）；

（2）∵拋物線y=ax2-ax-2過點(diǎn)B（3，1），

∴1=9a-3a-2，

解得：a=，

∴拋物線的解析式為y=x2-x-2；

（3）假設(shè)存在點(diǎn)P，使得△ACP是等腰直角三角形，

①若以AC為直角邊，點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，

則延長BC至點(diǎn)P1使得P1C=BC，得到等腰直角三角形ACP1，過點(diǎn)P1作P1M⊥x軸，如圖（1），

∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BDC=90°，

∴△MP1C≌△DBC，

∴CM=CD=2，P1M=BD=1，

∴P1（-1，-1），經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn)P1在拋物線y=x2-x-2上；

②若以AC為直角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，則過點(diǎn)A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，

得到等腰直角三角形ACP2，過點(diǎn)P2作P2N⊥y軸，如圖（2），

同理可證△AP2N≌△CAO，

∴NP2=OA=2，AN=OC=1，

∴P2（-2，1），經(jīng)檢驗(yàn)P2（-2，1）也在拋物線y=x2-x-2上；

③若以AC為直角邊，點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，則過點(diǎn)A作AP3⊥CA，且使得AP3=AC，

得到等腰直角三角形ACP3，過點(diǎn)P3作P3H⊥y軸，如圖（3），

同理可證△AP3H≌△CAO，

∴HP3=OA=2，AH=OC=1，

∴P3（2，3），經(jīng)檢驗(yàn)P3（2，3）不在拋物線y=x2-x-2上；

故符合條件的點(diǎn)有P1（-1，-1），P2（-2，1）兩點(diǎn)．

【點(diǎn)睛】考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)．解題關(guān)鍵是要注意數(shù)形結(jié)合思想、方程思想與分類討論思想的應(yīng)用的應(yīng)用．10．（1）點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)的坐標(biāo)為（0，2）；（2）點(diǎn)P坐標(biāo)為（4，4）；（3）點(diǎn)Q為（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）或（﹣2，-4）或（﹣2，）．【解析】【分析】（1）根據(jù)求與軸交點(diǎn)坐標(biāo)的方法，列出方程即可得到結(jié)論；（2）設(shè)，根據(jù)面積公式列出方程即可得出結(jié)論；（3）如圖2，①當(dāng)點(diǎn)是直角頂點(diǎn)時(shí)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；②當(dāng)點(diǎn)是直角頂點(diǎn)時(shí)，，根據(jù)平移的性質(zhì)得到直線的解析式為，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式即可得到結(jié)論；③當(dāng)點(diǎn)是直角頂點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）設(shè)y＝0，則x+2＝0，解得：x＝﹣4，設(shè)x＝0，則y＝2，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)的坐標(biāo)為（0，2）；（2）∵點(diǎn)C（﹣2，0），點(diǎn)B（0，2），∴OC＝2，OB＝2，∵P是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，∴設(shè)P（m，m+2），∵△BOP和△COP的面積相等，∴×2|m|＝2×（|m|+2），解得：m＝±4，當(dāng)m＝﹣4時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（4，4）；（3）存在；理由：如圖1，①當(dāng)點(diǎn)B1是直角頂點(diǎn)時(shí)，∴B1Q＝B1A1，∵∠A1B1O+∠QB1H＝90°，∠A1B1O+∠OA1B1＝90°，∴∠OA1B1＝∠QB1H，在△A1OB1和△B1HQ中，，∴△A1OB1≌△B1HQ（AAS），∴B1H＝A1O，OB1＝HQ＝2，∴B1（0，﹣2）或（0，2），當(dāng)點(diǎn)B1（0，﹣2）時(shí)，Q（﹣2，2），當(dāng)點(diǎn)B1（0，2）時(shí)，∵B（0，2），∴點(diǎn)B1（0，2）（不合題意舍去），∴Q（﹣2，2），②當(dāng)點(diǎn)A1是直角頂點(diǎn)時(shí)，A1B1＝A1Q，∵直線AB的解析式為y＝x+2，由平移知，直線A1B1的解析式為y＝x+b，∴A1（﹣2b，0），B1（0，b），∴A1B12＝4b2+b2＝5b2，∵A1B1⊥A1Q，∴直線A1Q的解析式為y＝﹣2x﹣4b∴Q（﹣2，4﹣4b），∴A1Q2＝（﹣2b+2）2+（4﹣4b）2＝20b2-40b+20，∴20b2﹣40b+20＝5b2，∴b＝2或b＝，∴Q（﹣2，-4）或（﹣2，）；③當(dāng)Q是直角頂點(diǎn)時(shí)，過Q作QH⊥y軸于H，∴A1Q＝B1Q，∵∠QA1C1+∠A1QC＝90°，∠A1QC+∠CQB1＝90°，∴∠QA1C＝∠CQB1，∵m∥y軸，∴∠CQB1＝∠QB1H，∴∠QA1C＝∠QB1H在△A1QC與△B1QH中，，∴△A1QC≌△B1QH（AAS），∴CQ＝QH＝2，B1H＝A1C，∴Q（﹣2，2）或（﹣2，﹣2），即：滿足條件的點(diǎn)Q為（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）或（﹣2，-4）或（﹣2，）．【點(diǎn)睛】此題目是一次函數(shù)綜合題，主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積公式，等腰直角三角形的性質(zhì)，判斷是解本題的關(guān)鍵．11．（1）詳見解析；（2）不變，AE＝CG，詳見解析；（3）CM【解析】【分析】（1）如圖①，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可以得出∠BCD＝∠ACD＝45°，根據(jù)直角三角形的三角形的性質(zhì)就可以得出∠CBF＝∠ACE，由ASA就可以得出△BCG≌△CAE，就可以得出結(jié)論；（2）如圖②，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可以得出∠BCD＝∠ACD＝45°，根據(jù)直角三角形的三角形的性質(zhì)就可以得出∠CBF＝∠ACE，由ASA就可以得出△BCG≌△CAE，就可以得出結(jié)論；（3）如圖③，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可以得出∠BCD＝∠ACD＝45°，根據(jù)直角三角形的三角形的性質(zhì)就可以得出∠BCE＝∠CAM，由ASA就可以得出△BCE≌△CAM，就可以得出結(jié)論．【詳解】(1)證明：∵AC＝BC，∴∠ABC＝∠CAB．∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＝∠A＝45°，∠ACE＋∠BCE＝90°．∵BF⊥CE，∴∠BFC＝90°，∴∠CBF＋∠BCE＝90°，∴∠ACE＝∠CBF．∵CD⊥AB，∠ABC＝∠A＝45°，∴∠BCD＝∠ACD＝45°，∴∠A＝∠BCD．在△BCG和△CAE中，∴△BCG≌△CAE(ASA)，∴AE＝CG．（2）解：不變，AE＝CG理由如下：∵AC＝BC，∴∠ABC＝∠A．∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＝∠A＝45°，∠ACE＋∠BCE＝90°．∵BF⊥CE，∴∠BFC＝90°，∴∠CBF＋∠BCE＝90°，∴∠ACE＝∠CBF．∵CD⊥AB，∠ABC＝∠A＝45°，∴∠BCD＝∠ACD＝45°，∴∠A＝∠BCD．在△BCG和△CAE中，∴△BCG≌△CAE(ASA)，∴AE＝CG．（3）BE＝CM，理由如下：∵AC＝BC，∴∠ABC＝∠CAB．∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＝∠A＝45°，∠ACE+∠BCE＝90°．∵AH⊥CE，∴∠AHC＝90°，∴∠HAC+∠ACE＝90°，∴∠BCE＝∠HAC．∵在RT△ABC中，CD⊥AB，AC＝BC，∴∠BCD＝∠ACD＝45°∴∠ACD＝∠ABC．在△BCE和△CAM中，∴△BCE≌△CAM（ASA），∴BE＝CM，故答案為：CM．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，等式的性質(zhì)的運(yùn)用，線段垂直平分線的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．12．（1）見解析；（2）；（3）8【解析】【分析】（1）根據(jù)“一線三垂直”模型，可以證得；（2）過點(diǎn)C作CM⊥CO交BO于M，AC與BO交于點(diǎn)N，利用旋轉(zhuǎn)模型證明≌，由外角的性質(zhì)計(jì)算即可；（3）在CE上截取一點(diǎn)H，使CH=AE，連接OH，利用等腰直角△AOB，等邊△BOC證得≌，通過等角代換證明為等邊三角形，由線段和計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】（1）∵∠BAC=∠AOB=90°，∴∠BAO+∠DAC=∠BAO+∠ABO=90°，∴∠DAC=∠ABO，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC，在△AOB和△CDA中，∴△AOB≌△CDA（AAS）（2）如圖②，過點(diǎn)C作CM⊥CO交BO于M，AC與BO交于點(diǎn)N，，，，，，∵AC=BC，≌，，，，故答案為：135°．（3）如圖③，在CE上截取一點(diǎn)H，使CH=AE，連接OH，∵△AOB是等腰直角三角形，△BOC是等邊三角形，所以，，≌，，AE=CH=3，∠AOE=∠COH，，∠AOB=90°，，，∠BOH=∠BOC-∠COH=60°-45°=15°，，為等邊三角形，，，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了“一線三垂直”模型，三角形全等的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，等角代換的應(yīng)用，計(jì)算線段和的應(yīng)用，掌握三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（1）證明見解析；（2）①CN=6-3t；（2）3.5秒或5秒或6.5秒【解析】【分析】（1）根據(jù)垂直的定義得到∠DAC=∠ECB，利用AAS定理證明△ACD≌△CBE；（2）①由題意得，AM=t，F(xiàn)N=3t，則CM=8-t，由折疊的性質(zhì)可知，CF=CB=6，即可得出結(jié)果；②分點(diǎn)F沿F→C路徑運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F沿C→B路徑運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F沿B→C路徑運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F沿C→F路徑運(yùn)動(dòng)四種情況，根據(jù)全等三角形的判定定理列式計(jì)算．【詳解】（1）證明：△ACD與△CBE全等．理由如下：∵AD⊥直線l，∴∠DAC+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠BCE+∠ACD=90°，∴∠DAC=∠ECB，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS）；（2）解：①由題意得，AM=t，F(xiàn)N=3t，則CM=8-t，由折疊的性質(zhì)可知，CF=CB=6，∴CN=6-3t；②由折疊的性質(zhì)可知，∠BCE=∠FCE，∵∠MCD+∠CMD=90°，∠MCD+∠BCE=90°，∴∠NCE=∠CMD，∴當(dāng)CM=CN時(shí)，△MDC與△CEN全等，當(dāng)點(diǎn)F沿F→C路徑運(yùn)動(dòng)時(shí)，8-t=6-3t，解得，t=-1（不合題意），當(dāng)點(diǎn)F沿C→B路徑運(yùn)動(dòng)時(shí)，8-t═3t-6，解得，t=3.5，當(dāng)點(diǎn)F沿B→C路徑運(yùn)動(dòng)時(shí)，由題意得，8-t=18-3t，解得，t=5，當(dāng)點(diǎn)F沿C→F路徑運(yùn)動(dòng)時(shí)，由題意得，8-t=3t-18，解得，t=6.5，綜上所述，當(dāng)t=3.5秒或5秒或6.5秒時(shí)，△MDC與△CEN全等．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題目，考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、以及分類討論等知識(shí)；掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理，靈活運(yùn)用分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．14．（1）BE=CF;（2）成立，理由見解析；（3）EF=BE+AF【解析】【分析】（1）根據(jù),可以得到,而由已知條件可以得到：，所以，那么，由此可以得到，結(jié)合已知條件，可以證明,所以；（2）根據(jù)三角形的外角定理可以得到：,而，由此可以得到，再結(jié)合已知條件，可以證明，所以依然成立；（3）按照和（2）同樣的方法證明，那么，,所以;【詳解】（1）又又（2）成立，理由是：，且又（3），理由如下：，且又，【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)應(yīng)用，利用三角形的內(nèi)角和進(jìn)行導(dǎo)角找出全等條件是解決本題的關(guān)鍵.15．（1）證明見解析；（2）結(jié)論：EP＝FQ，證明見解析；（3）結(jié)論：EH＝FH，理由見解析；（4）60．【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰Rt△ABE的性質(zhì)，求出∠EPA＝∠EAB＝∠AGB＝90°，∠PEA＝∠BAG，根據(jù)AAS推出△EPA≌△AGB．（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出EP＝AG，同理可得△FQA≌△AGC，即可得出AG＝FQ，最后等量代換即可得出答案．（3）求出∠EPH＝∠FQH＝90°，根據(jù)AAS推出△EPH≌△FQH，即可得出EH與FH的大小關(guān)系．（4）根據(jù)全等三角形△EPH≌△FQH，△EPA≌△AGB，△FQA≌△AGC，推出S△FQA＝S△AGC，S△FQH＝S△EPH，S△EPA＝S△AGB，即可求出S△AEF＝S△ABC，根據(jù)三角形面積公式求出即可．【詳解】解：（1）如圖1，∵∠EAB＝90°，EP⊥AG，AG⊥BC，∴∠EPA＝∠EAB＝∠AGB＝90°，∴∠PEA+∠EAP＝90°，∠EAP+∠BAG＝90°，∴∠PEA＝∠BAG，在△EPA和△AGB中，∴△EPA≌△AGB（AAS），（2）結(jié)論：EP＝FQ，證明：由（1）可得，△EPA≌△AGB，∴EP＝AG，如圖1，∵∠FAC＝90°，F(xiàn)Q⊥AG，AG⊥BC，∴∠FQA＝∠FAC＝∠CGA＝90°，∴∠FAQ+∠AFQ＝90°，∠FAQ+∠GAC＝90°，∴∠AFQ＝∠GAC，在△QFA和△GAC中，∴△QFA≌△GAC（AAS），∴AG＝FQ，∴EP＝FQ；（3）結(jié)論：EH＝FH，理由：如圖，∵EP⊥AG，F(xiàn)Q⊥AG，∴∠EPH＝∠FQH＝90°，在△EPH和△FQH中，∴△EPH≌△FQH（AAS），∴EH＝FH．（4））∵△EPH≌△FQH，△EPA≌△AGB，△FQA≌△AGC，∴S△FQA＝S△AGC，S△FQH＝S△EPH，S△EPA＝S△AGB，∴S△AEF＝S△EPA+S△FQA＝S△AGB+S△AGC＝S△ABC＝×BC×AG＝×10×12＝60故答案為：60．【點(diǎn)睛】本題屬于三角形綜合題，主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定以及等腰直角三角形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題時(shí)注意：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質(zhì)，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質(zhì)．16．（1）（n，m+n）；（2）詳見解析．【解析】【分析】（1）過點(diǎn)C作CD⊥y軸于點(diǎn)D，由“AAS”可證△CDB≌△BOA，可得BO=CD=n，AO=BD=m，即可求解；（2）由線段的和差關(guān)系可得DP=n=DC，可得∠DPC=45°，可得結(jié)論．【詳解】（1）如圖，過點(diǎn)C作CD⊥y軸于點(diǎn)D，∴∠CDB＝90°，∴∠DCB+∠DBC＝90°，且∠ABO+∠CBD＝90°，∴∠DCB＝∠ABO，且AB＝BC，∠CDB＝∠AOB＝90°，∴△CDB≌△BOA（AAS）∴BO＝CD＝n，AO＝BD＝m，∴OD＝m+n，∴點(diǎn)C（n，m+n），故答案為：（n，m+n）；（2）∵OP＝OA＝m，OD＝m+n，∴DP＝n＝DC，∠OPA＝45°，∴∠DPC＝45°，∴∠APC＝90°，∴AP⊥PC．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，證明△CDB≌△BOA是本題的關(guān)鍵．17．（1），；（2）①