對稱矩陣的對角化

對稱矩陣的對角化對稱矩陣的對角化從上一節(jié)我們看到，一般的方陣不一定可對角化，但對于在應(yīng)用中常遇到的實(shí)對稱矩陣（滿足AT=A的實(shí)矩陣），不僅一定可以對角化，而且解決起來也要簡便得多，這是由于實(shí)對稱矩陣的特征值與特征向量具有一些可注意的特性.定理6-14

實(shí)對稱矩陣的特征值必為實(shí)數(shù).證明

（略）由于實(shí)對稱矩陣的特征值是實(shí)數(shù)，從而對應(yīng)的特征向量也是實(shí)特征向量.定理6-15設(shè)λ1,λ2是實(shí)對稱矩陣的兩個(gè)特征值，p1,p2是對應(yīng)的特征向量.若λ1≠λ2，則p1與p2正交.證明

因Ap1=λ1p1,Ap2=λ2p2.對Ap1=λ1p1兩邊轉(zhuǎn)置，由AT=A，可得pT1A=λ1pT1，再同時(shí)右乘上p2，得pT1Ap2=λ1pT1p2對Ap2=λ2p2，同時(shí)左乘pT1，得pT1Ap2=λ2pT1p2兩式相減，得(λ1－λ2)pT1p2=0但λ1≠λ2，故pT1p2=0，即p1與p2正交.這就是說，實(shí)對稱矩陣A的不同特征值對應(yīng)的特征向量兩兩正交.定理6-16

設(shè)λ為n階實(shí)對稱矩陣A的k重特征值，則對應(yīng)特征值λ恰有k個(gè)線性無關(guān)的特征向量.證明

（略）定理6-17設(shè)A為n階實(shí)對稱矩陣，則必存在正交陣Q，使Q－1AQ=QTAQ=Λ其中，Λ是以A的n個(gè)特征值為對角元的對角陣.證明

設(shè)A的所有不同的特征值為λ1,λ2,…,λm，它們的重?cái)?shù)依次為k1,k2,…,km，于是k1+k2+…+km=n.根據(jù)定理6-16知，對應(yīng)特征值λi恰有ki個(gè)線性無關(guān)的特征向量，把它們單位正交化，即得ki個(gè)單位正交的特征向量，i=1,2,…,m.由k1+k2+…+km=n知這樣的特征向量恰有n個(gè).根據(jù)定理6-15，實(shí)對稱矩陣A的不同特征值對應(yīng)的特征向量兩兩正交，故這n個(gè)特征向量構(gòu)成規(guī)范正交向量組.以它們?yōu)榱袠?gòu)成矩陣Q，則Q為正交矩陣，并有Q－1AQ=Λ，其中對角矩陣Λ含有k1個(gè)λ1，k2個(gè)λ2，…,km個(gè)λm，恰是A的n個(gè)特征值.證畢.根據(jù)定理6-17，我們可以得到把實(shí)對稱矩陣對角化的步驟.（1）求出A的所有不同的特征值λ1,λ2,…,λm.（2）對每個(gè)ki重特征值λi，求(A－λiE)x=0的基礎(chǔ)解系，得ki個(gè)線性無關(guān)的特征向量.再把它們正交化、單位化，得ki個(gè)兩兩正交的單位特征向量.因k1+…+ks=n，故總共可得n個(gè)線性無關(guān)的特征向量.（3）把這n個(gè)兩兩正交的單位特征向量構(gòu)成正交陣Q，便有Q－1