核心考點(diǎn)01平面直角坐標(biāo)系中的直線(xiàn)-【滿(mǎn)分全攻略】2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期(原卷版)

核心考點(diǎn)01平面直角坐標(biāo)系中的直線(xiàn)目錄考點(diǎn)一：確定直線(xiàn)位置的幾何要素考點(diǎn)二：直線(xiàn)的傾斜角考點(diǎn)三：直線(xiàn)的斜率考點(diǎn)四：直線(xiàn)的圖象特征與傾斜角、斜率的關(guān)系考點(diǎn)五:三點(diǎn)共線(xiàn)考點(diǎn)六：兩條直線(xiàn)平行與傾斜角、斜率的關(guān)系考點(diǎn)七：兩條直線(xiàn)垂直與傾斜角、斜率的關(guān)系考點(diǎn)八：直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程考點(diǎn)九：直線(xiàn)的斜截式方程考點(diǎn)十:直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程考點(diǎn)十一：直線(xiàn)的截距式方程考點(diǎn)十二：直線(xiàn)的一般式方程與直線(xiàn)的性質(zhì)考點(diǎn)十三：直線(xiàn)的一般式方程與直線(xiàn)的平行關(guān)系考點(diǎn)十四：直線(xiàn)的一般式方程與直線(xiàn)的垂直關(guān)系考點(diǎn)十五：待定系數(shù)法求直線(xiàn)方程考點(diǎn)十六：兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)考點(diǎn)十七：方程組解的個(gè)數(shù)與兩直線(xiàn)的位置關(guān)系考點(diǎn)十八：過(guò)兩條直線(xiàn)交點(diǎn)的直線(xiàn)系方程考點(diǎn)十九：與直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)、直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)方程考點(diǎn)二十：點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式考點(diǎn)二十一：兩條平行直線(xiàn)間的距離考點(diǎn)二十二：與直線(xiàn)有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程考點(diǎn)考向考點(diǎn)考向一．確定直線(xiàn)位置的幾何要素【概述】如何確定一條直線(xiàn)，其實(shí)相當(dāng)于如何求出這條直線(xiàn)的表達(dá)式，一般滿(mǎn)足以下幾點(diǎn)直線(xiàn)便可確定，第一：兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)，只要知道直線(xiàn)上的兩個(gè)點(diǎn)即可；第二，已知直線(xiàn)的斜率和直線(xiàn)上的某一個(gè)點(diǎn)；第三，與某條已知直線(xiàn)有確切的關(guān)系，如關(guān)于某某直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，已知互相平行的直線(xiàn)彼此間的距離，求另一條直線(xiàn)．【實(shí)例解析】當(dāng)我們知道確定直線(xiàn)的幾何要素的時(shí)候，最終還是要用這些要素來(lái)求出直線(xiàn)的方程，下面以例題作為解說(shuō)：例：若一直線(xiàn)通過(guò)原點(diǎn)且垂直于直線(xiàn)ax+by+c＝0，求直線(xiàn)的方程．解：設(shè)所求的直線(xiàn)的方程為bx﹣ay+m＝0，把原點(diǎn)的坐標(biāo)代入解得m＝0，故所求的直線(xiàn)的方程為：bx﹣ay＝0．這個(gè)例題非常的好，既考查了兩條直線(xiàn)垂直時(shí)斜率之積為﹣1，又考查已知斜率和直線(xiàn)上某點(diǎn)，求直線(xiàn)方程，其解題流程可以寫(xiě)成y﹣y0＝k（x﹣x0），然后把斜率k和已知點(diǎn)（x0，y0）帶進(jìn)去即可，可以說(shuō)也是待定系數(shù)法．【考點(diǎn)分析】這個(gè)考點(diǎn)很基礎(chǔ)，一般高考中占的分值不大，如果出題的話(huà)一般五分左右，但只要他可能會(huì)考，又比較容易，那么就有必要掌握好來(lái)．二．直線(xiàn)的傾斜角【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．定義：當(dāng)直線(xiàn)l與x軸相交時(shí)，取x軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線(xiàn)l向上方向之間所成的角α叫做直線(xiàn)l的傾斜角．2．范圍：[0，π）（特別地：當(dāng)直線(xiàn)l和x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定直線(xiàn)l的傾斜角為0°）3．意義：體現(xiàn)了直線(xiàn)對(duì)x軸正方向的傾斜程度．4．斜率與傾斜角的區(qū)別和聯(lián)系（1）區(qū)別：①每條直線(xiàn)都有傾斜角，范圍是[0，π），但并不是每條直線(xiàn)都有斜率．②傾斜角是從幾何的角度刻畫(huà)直線(xiàn)的方向，而斜率是從代數(shù)的角度刻畫(huà)直線(xiàn)的方向．（2）聯(lián)系：①當(dāng)a≠時(shí)，k＝tanα；當(dāng)α＝時(shí)，斜率不存在；②根據(jù)正切函數(shù)k＝tanα的單調(diào)性：當(dāng)α∈[0，）時(shí)，k＞0且tanα隨α的增大而增大，當(dāng)α∈（，π）時(shí)，k＜0且tanα隨α的增大而增大．【命題方向】直線(xiàn)的傾斜角常結(jié)合直線(xiàn)的斜率進(jìn)行考查．直線(xiàn)傾斜角和斜率是解析幾何的重要概念之一，是刻畫(huà)直線(xiàn)傾斜程度的幾何要素與代數(shù)表示，也是用坐標(biāo)法研究直線(xiàn)性質(zhì)的基礎(chǔ)．在高考中多以選擇填空形式出現(xiàn)，是高考考查的熱點(diǎn)問(wèn)題．（1）直接根據(jù)直線(xiàn)斜率求傾斜角（2）通過(guò)條件轉(zhuǎn)換求直線(xiàn)傾斜角三．直線(xiàn)的斜率【考點(diǎn)歸納】1．定義：當(dāng)直線(xiàn)傾斜角α≠時(shí)，其傾斜角的正切值叫做這條直線(xiàn)的斜率．用小寫(xiě)字母k表示，即k＝tanα．2．斜率的求法（1）定義：k＝tanα（α≠）（2）斜率公式：k＝．3．斜率與傾斜角的區(qū)別和聯(lián)系（1）區(qū)別：①每條直線(xiàn)都有傾斜角，范圍是[0，π），但并不是每條直線(xiàn)都有斜率．②傾斜角是從幾何的角度刻畫(huà)直線(xiàn)的方向，而斜率是從代數(shù)的角度刻畫(huà)直線(xiàn)的方向．（2）聯(lián)系：①當(dāng)α≠時(shí)，k＝tanα；當(dāng)α＝時(shí)，斜率不存在；②根據(jù)正切函數(shù)k＝tanα的單調(diào)性：當(dāng)α∈[0，）時(shí)，k＞0且隨α的增大而增大，當(dāng)α∈（，π）時(shí)，k＜0且隨α的增大而增大．【命題方向】直線(xiàn)的斜率常結(jié)合直線(xiàn)的傾斜角進(jìn)行考查．直線(xiàn)傾斜角和斜率是解析幾何的重要概念之一，是刻畫(huà)直線(xiàn)傾斜程度的幾何要素與代數(shù)表示，也是用坐標(biāo)法研究直線(xiàn)性質(zhì)的基礎(chǔ)．在高考中多以選擇填空形式出現(xiàn)，是高考考查的熱點(diǎn)問(wèn)題．常見(jiàn)題型：（1）已知傾斜角范圍求斜率的范圍；（2）已知斜率求傾斜角的問(wèn)題．（3）斜率在數(shù)形結(jié)合中的應(yīng)用．四．直線(xiàn)的圖象特征與傾斜角、斜率的關(guān)系【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】直線(xiàn)的傾斜角、斜率對(duì)直線(xiàn)的圖象的影響：（1）直線(xiàn)在y軸上的截距大于0時(shí)：若傾斜角為銳角，則斜率大于0，這時(shí)直線(xiàn)的圖象過(guò)第一二三象限，并且傾斜角越大斜率就越大，直線(xiàn)相對(duì)于x軸的正方向的傾斜程度也就越大；若傾斜角為鈍角，則斜率小于0，這時(shí)直線(xiàn)的圖象過(guò)第一二四象限，并且傾斜角越大斜率就越大，直線(xiàn)相對(duì)于x軸的正方向的傾斜程度也就越大；（2）直線(xiàn)在y軸上的截距小于0時(shí)：若傾斜角為銳角，則斜率大于0，這時(shí)直線(xiàn)的圖象過(guò)第一三四象限，并且傾斜角越大斜率就越大，直線(xiàn)相對(duì)于x軸的正方向的傾斜程度也就越大；若傾斜角為鈍角，則斜率小于0，這時(shí)直線(xiàn)的圖象過(guò)第二三四象限，并且傾斜角越大斜率就越大，直線(xiàn)相對(duì)于x軸的正方向的傾斜程度也就越大；（3）當(dāng)直線(xiàn)的傾斜角為直角時(shí)，斜率不存在，直線(xiàn)的圖線(xiàn)與x軸垂直；（4）當(dāng)直線(xiàn)的傾斜角為0度時(shí)，斜率為0，直線(xiàn)的圖線(xiàn)與x軸平行或重合．五．三點(diǎn)共線(xiàn)【三點(diǎn)共線(xiàn)】三點(diǎn)共線(xiàn)字面意思就很明確了，即三個(gè)點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上．那么三點(diǎn)共線(xiàn)會(huì)有什么樣的性質(zhì)呢？如何判斷三點(diǎn)共線(xiàn)呢？這里面常用的方法有兩種：①這三點(diǎn)任意兩點(diǎn)所確定的斜率相同；②向量法．六．兩條直線(xiàn)平行與傾斜角、斜率的關(guān)系【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】?jī)芍本€(xiàn)平行與傾斜角、斜率的關(guān)系：①如果兩條直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)這兩條直線(xiàn)的斜率分別為k1，k2，傾斜角分別為α1，α2，則有：兩直線(xiàn)平行?傾斜角α1＝α2?斜率k1＝k2②如果兩條直線(xiàn)的斜率都不存在，那么這兩條直線(xiàn)的傾斜角都為90°，這兩條直線(xiàn)平行．七．兩條直線(xiàn)垂直與傾斜角、斜率的關(guān)系【直線(xiàn)的關(guān)系】在同一個(gè)平面中，直線(xiàn)的關(guān)系可能是相交、平行、重合；這個(gè)知識(shí)點(diǎn)中我們探討的是相交直線(xiàn)的一個(gè)特例，直線(xiàn)垂直．顧名思義，直線(xiàn)垂直就是兩條直線(xiàn)的夾角為90°．【特點(diǎn)】①當(dāng)某條直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，那么與它垂直的直線(xiàn)平行x軸；②當(dāng)某條直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)它的斜率為k（k≠0），那么與它垂直的直線(xiàn)的斜率為：﹣，即兩條互相垂直的斜率之積為﹣1，符號(hào)表示為k1?k2＝﹣1．【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】?jī)蓷l直線(xiàn)垂直與傾斜角、斜率的關(guān)系：①當(dāng)一條直線(xiàn)的斜率為0，另一條直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，這兩條直線(xiàn)互相垂直；②當(dāng)兩條直線(xiàn)的斜率都存在時(shí)，設(shè)斜率分別為k1，k2，若兩條直線(xiàn)互相垂直，則它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)；反之，若兩條直線(xiàn)的斜率互為負(fù)倒數(shù)，則它們互相垂直．l1⊥l2?k2＝﹣?k1?k2＝﹣1．八．直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】設(shè)P（x，y）是直線(xiàn)l上不同于P0的任意一點(diǎn)．方程y﹣y0＝k（x﹣x0）是由直線(xiàn)上一點(diǎn)和直線(xiàn)的斜率確定的，所以叫做直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程．九．直線(xiàn)的斜截式方程【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．直線(xiàn)在y軸上的截距一條直線(xiàn)與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，叫做這條直線(xiàn)在y軸上的截距．（注意：截距是坐標(biāo)概念，不是距離）2．直線(xiàn)的斜截式方程已知直線(xiàn)l的斜率為k，在y軸上的截距是b，則直線(xiàn)l的斜截式方程為y＝kx+b．由于這個(gè)方程是由直線(xiàn)的斜率和直線(xiàn)在y軸上的截距確定的，所以叫做直線(xiàn)的斜截式方程．十．直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程：經(jīng)過(guò)直線(xiàn)上兩點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2）（其中x1≠x2，y1≠y2）的直線(xiàn)方程叫做直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程，簡(jiǎn)稱(chēng)兩點(diǎn)式．（x1≠x2，y1≠y2）#注意：兩點(diǎn)式適用于與兩坐標(biāo)軸不垂直的直線(xiàn)．特別地：①當(dāng)x1＝x2時(shí)，直線(xiàn)l的方程為x＝x1；②當(dāng)y1＝y(tǒng)2時(shí)，直線(xiàn)l的方程為y＝y(tǒng)1．十一．直線(xiàn)的截距式方程【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】直線(xiàn)的截距式方程：若直線(xiàn)l與x軸交點(diǎn)為（a，0），與y軸交點(diǎn)為（0，b），其中a≠0，b≠0，a為直線(xiàn)l在x軸上的截距，b為直線(xiàn)l在y軸上的截距，由兩點(diǎn)式：可推得直線(xiàn)的斜截距方程為：．#注意：斜截式適用于與兩坐標(biāo)軸不垂直且不過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)．十二．直線(xiàn)的一般式方程與直線(xiàn)的性質(zhì)【直線(xiàn)的一般式方程】直線(xiàn)方程表示的是只有一個(gè)自變量，自變量的次數(shù)為一次，且因變量隨著自變量的變化而變化．直線(xiàn)的一般方程的表達(dá)式是ay+bx+c＝0．【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】1、兩條直線(xiàn)平行與垂直的判定對(duì)于兩條不重合的直線(xiàn)l1、l2，其斜率分別為k1、k2，有：（1）l1∥l2?k1＝k2；（2）l1⊥l2?k1?k2＝﹣1．2、直線(xiàn)的一般式方程：（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同時(shí)為0．直線(xiàn)一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化為斜截式方程y＝﹣x﹣，表示斜率為﹣，y軸上截距為﹣的直線(xiàn)．（2）與直線(xiàn)l：Ax+By+C＝0平行的直線(xiàn)，可設(shè)所求方程為Ax+By+C1＝0；與直線(xiàn)Ax+By+C＝0垂直的直線(xiàn)，可設(shè)所求方程為Bx﹣Ay+C1＝0．（3）已知直線(xiàn)l1，l2的方程分別是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同時(shí)為0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同時(shí)為0），則兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系可以如下判別：①l1⊥l2?A1A2+B1B2＝0；②l1∥l2?A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；③l1與l2重合?A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；④l1與l2相交?A1B2﹣A2B1≠0．如果A2B2C2≠0時(shí)，則l1∥l2?；l1與l2重合?；l1與l2相交?．十三．直線(xiàn)的一般式方程與直線(xiàn)的平行關(guān)系【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】1、兩條直線(xiàn)平行與垂直的判定對(duì)于兩條不重合的直線(xiàn)l1、l2，其斜率分別為k1、k2，有：（1）l1∥l2?k1＝k2；（2）l1⊥l2?k1?k2＝﹣1．2、直線(xiàn)的一般式方程：（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同時(shí)為0．直線(xiàn)一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化為斜截式方程y＝﹣x﹣，表示斜率為﹣，y軸上截距為﹣的直線(xiàn)．（2）與直線(xiàn)l：Ax+By+C＝0平行的直線(xiàn)，可設(shè)所求方程為Ax+By+C1＝0；與直線(xiàn)Ax+By+C＝0垂直的直線(xiàn)，可設(shè)所求方程為Bx﹣Ay+C1＝0．（3）已知直線(xiàn)l1，l2的方程分別是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同時(shí)為0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同時(shí)為0），則兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系可以如下判別：①l1⊥l2?A1A2+B1B2＝0；②l1∥l2?A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；③l1與l2重合?A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；④l1與l2相交?A1B2﹣A2B1≠0．如果A2B2C2≠0時(shí)，則l1∥l2?；l1與l2重合?；l1與l2相交?．十四．直線(xiàn)的一般式方程與直線(xiàn)的垂直關(guān)系【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】1、兩條直線(xiàn)平行與垂直的判定對(duì)于兩條不重合的直線(xiàn)l1、l2，其斜率分別為k1、k2，有：（1）l1∥l2?k1＝k2；（2）l1∥l2?k1?k2＝﹣1．2、直線(xiàn)的一般式方程：（1）一般式：Ax+By+C＝0，注意A、B不同時(shí)為0．直線(xiàn)一般式方程Ax+By+C＝0（B≠0）化為斜截式方程y＝﹣x﹣，表示斜率為﹣，y軸上截距為﹣的直線(xiàn)．（2）與直線(xiàn)l：Ax+By+C＝0平行的直線(xiàn)，可設(shè)所求方程為Ax+By+C1＝0；與直線(xiàn)Ax+By+C＝0垂直的直線(xiàn)，可設(shè)所求方程為Bx﹣Ay+C1＝0．（3）已知直線(xiàn)l1，l2的方程分別是：l1：A1x+B1y+C1＝0（A1，B1不同時(shí)為0），l2：A2x+B2y+C2＝0（A2，B2不同時(shí)為0），則兩條直線(xiàn)的位置關(guān)系可以如下判別：①l1⊥l2?A1A2+B1B2＝0；②l1∥l2?A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1≠0；③l1與l2重合?A1B2﹣A2B1＝0，A1C2﹣A2B1＝0；④l1與l2相交?A1B2﹣A2B1≠0．如果A2B2C2≠0時(shí)，則l1∥l2?；l1與l2重合?；l1與l2相交?．十五．待定系數(shù)法求直線(xiàn)方程【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】求直線(xiàn)方程的一般方法：（1）直接法：根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€(xiàn)方程形式，直接求出直線(xiàn)方程．應(yīng)明確直線(xiàn)方程的幾種形式及各自的特點(diǎn)，合理選擇解決方法．一般地，已知一點(diǎn)通常選擇點(diǎn)斜式；已知斜率選擇斜截式或點(diǎn)斜式；已知在兩坐標(biāo)軸上的截距用截距式；已知兩點(diǎn)用兩點(diǎn)式，這時(shí)應(yīng)特別注意斜率不存在的情況．（2）待定系數(shù)法：先設(shè)出直線(xiàn)的方程，再根據(jù)已知條件求出假設(shè)系數(shù)，最后代入直線(xiàn)方程，待定系數(shù)法常適用于斜截式，已知兩點(diǎn)坐標(biāo)等．利用待定系數(shù)法求直線(xiàn)方程的步驟：①設(shè)方程；②求系數(shù)；③代入方程得直線(xiàn)方程，如果已知直線(xiàn)過(guò)一個(gè)定A（x0，y0），可以利用直線(xiàn)的點(diǎn)斜式y(tǒng)﹣y0＝k（x﹣x0）求方程，也可以利用斜截式、截距式等形式求解．十六．兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】?jī)蓷l直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)：（1）一般地，將兩條直線(xiàn)的方程聯(lián)立，得到二元一次方程組．若方程組有惟一解，則兩條直線(xiàn)相交，此解就是交點(diǎn)的坐標(biāo)；若方程組無(wú)解，則兩條直線(xiàn)無(wú)公共點(diǎn)，此時(shí)兩條直線(xiàn)平行；若方程組有無(wú)數(shù)解，則兩條直線(xiàn)有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)兩條直線(xiàn)重合．（2）方程λ（A1x+B1y+C1）+（A2x+B2y+C2）＝0為直線(xiàn)系，所有的直線(xiàn)恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，其定點(diǎn)就是A1x+B1y+C1＝0與A2x+B2y+C2＝0的交點(diǎn)．十七．方程組解的個(gè)數(shù)與兩直線(xiàn)的位置關(guān)系【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】?jī)蓷l直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)：（1）一般地，將兩條直線(xiàn)的方程聯(lián)立，得到二元一次方程組．若方程組有惟一解，則兩條直線(xiàn)相交，此解就是交點(diǎn)的坐標(biāo)；若方程組無(wú)解，則兩條直線(xiàn)無(wú)公共點(diǎn)，此時(shí)兩條直線(xiàn)平行；若方程組有無(wú)數(shù)解，則兩條直線(xiàn)有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)兩條直線(xiàn)重合．（2）方程λ（A1x+B1y+C1）+（A2x+B2y+C2）＝0為直線(xiàn)系，所有的直線(xiàn)恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，其定點(diǎn)就是A1x+B1y+C1＝0與A2x+B2y+C2＝0的交點(diǎn)．十八．過(guò)兩條直線(xiàn)交點(diǎn)的直線(xiàn)系方程【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】?jī)蓷l直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)：（1）一般地，將兩條直線(xiàn)的方程聯(lián)立，得到二元一次方程組．若方程組有惟一解，則兩條直線(xiàn)相交，此解就是交點(diǎn)的坐標(biāo)；若方程組無(wú)解，則兩條直線(xiàn)無(wú)公共點(diǎn)，此時(shí)兩條直線(xiàn)平行；若方程組有無(wú)數(shù)解，則兩條直線(xiàn)有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)兩條直線(xiàn)重合．（2）方程λ（A1x+B1y+C1）+（A2x+B2y+C2）＝0為直線(xiàn)系，所有的直線(xiàn)恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，其定點(diǎn)就是A1x+B1y+C1＝0與A2x+B2y+C2＝0的交點(diǎn)．十九．與直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)、直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)方程【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】點(diǎn)與直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題：（l）點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)（中點(diǎn)坐標(biāo)公式）：點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)的對(duì)稱(chēng)中心恰是以這兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線(xiàn)段的中點(diǎn)，因此中心對(duì)稱(chēng)的問(wèn)題是線(xiàn)段中點(diǎn)坐標(biāo)公式的應(yīng)用問(wèn)題．設(shè)P（x0，y0），對(duì)稱(chēng)中心為A（a，b），則P關(guān)于A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P′（2a﹣x0，2b﹣y0）（2）點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)成軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題由軸對(duì)稱(chēng)定義知，對(duì)稱(chēng)軸即為兩對(duì)稱(chēng)點(diǎn)連線(xiàn)的“垂直平分線(xiàn)”．利用“垂直”“平分”這兩個(gè)條件建立方程組，就可求出對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)．一般情形如下：設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），關(guān)于直線(xiàn)y＝kx+b的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P′（x′，y′），則有可求出x′，y′．特殊地，點(diǎn)P（x0，y0）關(guān)于直線(xiàn)x＝a的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P′（2a﹣x0，y0）；點(diǎn)P（x0，y0）關(guān)于直線(xiàn)y＝b的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P′（x0，2b﹣y0）．（3）線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)（轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，或代入法，兩條直線(xiàn)平行）：（4）線(xiàn)關(guān)于線(xiàn)對(duì)稱(chēng)（求交點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于線(xiàn)對(duì)稱(chēng)）：由平面幾何知識(shí)可知若直線(xiàn)a、b關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，它們具有下列幾何性質(zhì)：①若a、b相交，則l是a、b交角的平分線(xiàn)；②若點(diǎn)A在直線(xiàn)a上，那么A關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B一定在直線(xiàn)b上，這時(shí)AB⊥l，并且AB的中點(diǎn)D在l上；③a以l為軸旋轉(zhuǎn)180°，一定與b重合．二十．點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】從直線(xiàn)外一點(diǎn)到這直線(xiàn)的垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度叫做點(diǎn)到直線(xiàn)的距離．而這條垂線(xiàn)段的距離是任何點(diǎn)到直線(xiàn)中最短的距離．設(shè)直線(xiàn)方程為Ax+By+C＝0，直線(xiàn)外某點(diǎn)的坐標(biāo)為（X0，Y0）那么這點(diǎn)到這直線(xiàn)的距離就為：d＝．二十一．兩條平行直線(xiàn)間的距離【概念】?jī)善叫芯€(xiàn)的距離就是指平行線(xiàn)上的點(diǎn)到另一條直線(xiàn)的最短距離，因?yàn)閮芍本€(xiàn)平行，所以直線(xiàn)上的點(diǎn)到另一條平行線(xiàn)上的點(diǎn)的距離都相等，若設(shè)兩條平行線(xiàn)的表達(dá)式為：ax+by+c＝0和ax+by+d＝0，其中c≠d，那么這兩條直線(xiàn)的距離為：d＝二十二．與直線(xiàn)有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】1、求曲線(xiàn)的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、代入法、參數(shù)法．（1）直接法：直接法是將動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化簡(jiǎn)即得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程．（2）定義法：若動(dòng)點(diǎn)軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義（如橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)、圓等），可用定義直接探求．（3）相關(guān)點(diǎn)法：根據(jù)相關(guān)點(diǎn)所滿(mǎn)足的方程，通過(guò)轉(zhuǎn)換而求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．（4）參數(shù)法：若動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y）中的x，y分別隨另一變量的變化而變化，我們可以以這個(gè)變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程．求軌跡方程，一定要注意軌跡的純粹性和完備性．要注意區(qū)別“軌跡”與“軌跡方程”是兩個(gè)不同的概念．2、求軌跡方程的一般步驟：（1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系（如果已給出，本步驟省略）；（2）設(shè)曲線(xiàn)上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y）；（3）根據(jù)曲線(xiàn)上點(diǎn)所適合的條件，寫(xiě)出等式；（4）用坐標(biāo)（x，y）表示這個(gè)等式，并化簡(jiǎn)；（5）證明已化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線(xiàn)上的點(diǎn)．上述五個(gè)步驟可簡(jiǎn)記為：建系；設(shè)點(diǎn)；寫(xiě)出集合；列方程、化簡(jiǎn)；證明．二十三．三角形的面積公式三角形的面積公式①已知三角形的底邊長(zhǎng)為a，高為h，則三角形面積S＝底×高÷2＝；②已知三角形的兩邊及其夾角，則三角形的面積公式：S＝absinC＝bcsinA＝casinB．③已知三角形的周長(zhǎng)為l，內(nèi)切圓半徑為r，則三角形面積S＝；④已知三角形的三邊長(zhǎng)的乘積為L(zhǎng)，外接圓半徑為R，則三角形面積S＝；⑤已知三角形AOB中，向量＝，＝，則三角形的面積S＝?．此公式也適用于空間三角形求面積．⑥在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三頂點(diǎn)分別為：A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3），記K＝，則三角形的面積S＝|K|＝|x1y2+x2y3+x3y1﹣x1y3﹣x2y1﹣x3y2|；特別的，當(dāng)C（0，0），此時(shí)S＝|x1y2﹣x2y1|．⑦海倫公式：△ABC中，AB＝c，BC＝a，CA＝b，p＝（a+b+c），則三角形面積S＝．二十四．恒過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)【概念】如果一條直線(xiàn)經(jīng)過(guò)某一定點(diǎn)，那么這條直線(xiàn)就是過(guò)該定點(diǎn)的直線(xiàn)．這里面可以看出，過(guò)一個(gè)定點(diǎn)的直線(xiàn)是不唯一的，事實(shí)上是由無(wú)數(shù)條直線(xiàn)組成．【直線(xiàn)表達(dá)式】假如有一定點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，n），那么過(guò)該定點(diǎn)的直線(xiàn)的表達(dá)式為y＝k（x﹣m）+n或者是x＝m．考點(diǎn)精講考點(diǎn)精講一．確定直線(xiàn)位置的幾何要素（共3小題）1．（2022春?黃浦區(qū)校級(jí)期中）如果AB＞0且BC＜0，那么直線(xiàn)Ax+By+C＝0不經(jīng)過(guò)第（）象限A．一 B．二 C．三 D．四2．（2022春?楊浦區(qū)校級(jí)期中）已知點(diǎn)A（﹣1，0），B（1，0），C（0，1），直線(xiàn)y＝ax+b（a＞0）將△ABC分割為面積相等的兩部分，則b的取值范圍是（）A．（0，1） B． C． D．3．（2022春?楊浦區(qū)校級(jí)期中）已知ab＜0，bc＞0，則直線(xiàn)ax+by+c＝0通過(guò)（）象限．A．第一、二、三 B．第一、二、四 C．第一、三、四 D．第二、三、四二．直線(xiàn)的傾斜角（共4小題）4．（2022春?楊浦區(qū)校級(jí)期中）過(guò)定點(diǎn)（2，1）且傾斜角是直線(xiàn)x﹣y+1＝0的傾斜角的兩倍的直線(xiàn)一般方程為．5．（2022春?黃浦區(qū)校級(jí)月考）直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣2，0）和（1，），則直線(xiàn)l的傾斜角為．6．（2022春?嘉定區(qū)校級(jí)月考）經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A（1，t）、B（t+1，4）的直線(xiàn)的傾斜角為45°，則實(shí)數(shù)t＝．7．（2022春?嘉定區(qū)校級(jí)月考）已知直線(xiàn)的斜率，x≠0，則直線(xiàn)的傾斜角α的取值范圍為．三．直線(xiàn)的斜率（共5小題）8．（2022春?楊浦區(qū)校級(jí)期中）設(shè)a∈R，若直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（a，2）、B（a+1，3），則直線(xiàn)l的斜率是．9．（2022秋?閔行區(qū)校級(jí)期中）經(jīng)過(guò)A（1，0），B（0，）兩點(diǎn)的直線(xiàn)斜率為．10．（2022春?寶山區(qū)校級(jí)月考）汽車(chē)行駛的路程s和時(shí)間t之間的函數(shù)如圖所示，在時(shí)間段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分別為，三者的大小關(guān)系為．（由大到小排列）11．（2022春?金山區(qū)期中）已知兩點(diǎn)A（3，2），B（﹣1，5），直線(xiàn)l：y＝kx﹣1與線(xiàn)段AB有公共點(diǎn)，則直線(xiàn)l的斜率的取值范圍12．（2022?徐匯區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）若直線(xiàn)l的傾斜角為120°則l的斜率是．四．直線(xiàn)的圖象特征與傾斜角、斜率的關(guān)系（共3小題）13．（2019秋?長(zhǎng)寧區(qū)期末）若圖中的直線(xiàn)l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則（）A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2 C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k214．（2019春?青浦區(qū)期末）直線(xiàn)x﹣2y+1＝0的一個(gè)方向向量是（）A．（1，﹣2） B．（1，2） C．（2，﹣1） D．（2，1）15．（2019春?浦東新區(qū)期中）直線(xiàn)3x+2y+m＝0與直線(xiàn)2x+3y﹣1＝0的位置關(guān)系是（）A．相交 B．平行 C．重合 D．由m決定五．三點(diǎn)共線(xiàn)（共2小題）16．（2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）已知三點(diǎn)A（﹣3，﹣1），B（0，2），C（m，4）在同一直線(xiàn)上，則實(shí)數(shù)m的值為．17．（2022秋?嘉定區(qū)校級(jí)期中）若三點(diǎn)A（2，2），B（a，0），C（0，b）（ab≠0）共線(xiàn)，則的值等于．六．兩條直線(xiàn)平行與傾斜角、斜率的關(guān)系（共1小題）18．（2021秋?嘉定區(qū)校級(jí)期末）已知直線(xiàn)l1：（a﹣3）x+（4﹣a）y+1＝0與l2：2（a﹣3）x﹣2y+3＝0平行，則a＝．七．兩條直線(xiàn)垂直與傾斜角、斜率的關(guān)系（共2小題）19．（2022秋?寶山區(qū)校級(jí)期中）若直線(xiàn)l1：ax+3y﹣5＝0與l2：x+2y﹣1＝0互相垂直，則實(shí)數(shù)a的值為．20．（2021秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）若直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)（a﹣2，﹣1）和（﹣a﹣2，1），且與經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣2，1），斜率為﹣的直線(xiàn)垂直，則實(shí)數(shù)a的值為．八．直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程（共2小題）21．（2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）已知直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（1，2），傾斜角α的正弦值為，則l的點(diǎn)斜式方程為．22．（2022秋?閔行區(qū)校級(jí)月考）過(guò)點(diǎn)（1，2），且法向量為（3，﹣4）的直線(xiàn)的點(diǎn)法向式方程為九．直線(xiàn)的斜截式方程（共1小題）23．（2022春?黃浦區(qū)校級(jí)月考）已知直線(xiàn)在l在y軸上的截距為4，傾斜角為α，且sinα＝，則直線(xiàn)l的斜截式方程為．一十．直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程（共2小題）24．（2022春?浦東新區(qū)校級(jí)期中）已知點(diǎn)A（1，0），B（0，1），則線(xiàn)段AB的方程是．25．（2021秋?寶山區(qū)校級(jí)期末）已知直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，﹣2），B（﹣3，2），則直線(xiàn)l的方程是．一十一．直線(xiàn)的截距式方程（共5小題）26．（2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）若直線(xiàn)l：x﹣2y+m﹣1＝0在y軸上的截距為，則實(shí)數(shù)m的值為．27．（2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）過(guò)點(diǎn)M（3，﹣4），且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線(xiàn)的方程為．28．（2022秋?閔行區(qū)校級(jí)月考）求過(guò)點(diǎn)p（2，3），并且在兩軸上的截距相等的直線(xiàn)方程．29．（2022秋?寶山區(qū)校級(jí)期中）直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P（3，2）且與x軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)．（1）若直線(xiàn)l與2x+3y﹣2＝0法向量平行，寫(xiě)出直線(xiàn)l的方程；（2）求△AOB面積的最小值；（3）如圖，若點(diǎn)P分向量AB所成的比的值為2，過(guò)點(diǎn)P作平行于x軸的直線(xiàn)交y軸于點(diǎn)M，動(dòng)點(diǎn)E、F分別在線(xiàn)段MP和OA上，若直線(xiàn)EF平分直角梯形OAPM的面積，求證：直線(xiàn)EF必過(guò)一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．30．（2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)M（2，1）且分別交x軸、y軸的正半軸于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（Ⅰ）當(dāng)△OAB的面積最小時(shí)，求直線(xiàn)l的方程；（Ⅱ）當(dāng)|MA|?|MB|取最小值時(shí)，求直線(xiàn)l的方程．一十二．直線(xiàn)的一般式方程與直線(xiàn)的性質(zhì)（共5小題）31．（2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）過(guò)兩點(diǎn)A（1，3），B（﹣3，2）的直線(xiàn)的一般式方程是．32．（2022春?黃浦區(qū)校級(jí)月考）將直線(xiàn)l：y＝2x+1繞其與y軸的交點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得直線(xiàn)l′，則l′與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積大小為．33．（2022秋?寶山區(qū)校級(jí)期中）直線(xiàn)2x+3y﹣6＝0分別交x，y軸于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在直線(xiàn)y＝﹣x﹣1上，則|PA|+|PB|的最小值是．34．（2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）已知兩條直線(xiàn)l1：ax+y﹣a﹣2＝0，l2：2x﹣a2y+2a2﹣2＝0（a≥1）．（1）若直線(xiàn)l1與兩坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，又l1過(guò)定點(diǎn)P，當(dāng)a為何值時(shí)，|AP|2+|BP|2有最小值，并求此時(shí)l1的方程；（2）若a≥2，設(shè)l1、l2與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形，求這個(gè)四邊形面積S的最大值；（3）設(shè)a＝1，直線(xiàn)l1與x軸交于點(diǎn)A，l1、l2的交點(diǎn)為P，如圖現(xiàn)因三角形OPA中的陰影部分受到損壞，經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q（1，1）的任意一條直線(xiàn)MN將損壞的部分去掉，其中直線(xiàn)MN的斜率k≤0，求保留部分三角形面積的取值范圍．35．（2022春?寶山區(qū)校級(jí)月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于直線(xiàn)l：ax+by+c＝0和點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2），記η＝（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，則稱(chēng)點(diǎn)P1，P2被直線(xiàn)l分隔，若曲線(xiàn)C與直線(xiàn)l沒(méi)有公共點(diǎn)，且曲線(xiàn)C上存在點(diǎn)P1、P2被直線(xiàn)l分隔，則稱(chēng)直線(xiàn)l為曲線(xiàn)C的一條分隔線(xiàn)．（1）求證：點(diǎn)A（1，2），B（﹣1，0）被直線(xiàn)x+y﹣1＝0分隔；（2）若直線(xiàn)y＝kx是曲線(xiàn)x2﹣4y2＝1的分隔線(xiàn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（3）動(dòng)點(diǎn)M到點(diǎn)Q（0，2）的距離與到y(tǒng)軸的距離之積為1，設(shè)點(diǎn)M的軌跡為曲線(xiàn)E，求證：通過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)中，有且僅有一條直線(xiàn)是E的分隔線(xiàn)．一十三．直線(xiàn)的一般式方程與直線(xiàn)的平行關(guān)系（共5小題）36．（2022秋?金山區(qū)期末）已知直線(xiàn)l1：3x﹣（a+2）y+6＝0，直線(xiàn)l2：ax+（2a﹣3）y+2＝0，則“a＝﹣9”是“l(fā)1∥l2”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件 C．充要條件 D．既非充分又非必要條件37．（2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）已知直線(xiàn)l1：（m+3）x+5y＝5﹣3m，l2：2x+（m+6）y＝8，若l1∥l2，則m的值是．38．（2022?徐匯區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）已知直線(xiàn)L1：（a﹣3）x+（1﹣a）y﹣1＝0，L2：（a﹣1）x+（2a﹣3）y+1＝0，則當(dāng)實(shí)數(shù)a＝時(shí)，L1∥L2．39．（2022?徐匯區(qū)二模）已知m∈R，若直線(xiàn)l1：mx+y+1＝0與直線(xiàn)l2：9x+my+2m+3＝0平行，則m＝．40．（2022秋?奉賢區(qū)校級(jí)月考）已知直線(xiàn)3x+4y﹣2＝0與直線(xiàn)2x+y+2＝0交于點(diǎn)P．（1）直線(xiàn)l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，且平行于直線(xiàn)3x﹣4y+5＝0，求直線(xiàn)l1的方程；（2）直線(xiàn)l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，且與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)等腰直角三角形，求直線(xiàn)l2的方程．（注：結(jié)果都寫(xiě)成直線(xiàn)方程的一般式）一十四．直線(xiàn)的一般式方程與直線(xiàn)的垂直關(guān)系（共4小題）41．（2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）在△ABC中，三內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且lgsinA+lgsinC＝2lgsinB，則直線(xiàn)xsin2A+ysinA＝a與直線(xiàn)xsin2B+ysinC＝c的位置關(guān)系為（）A．平行 B．斜交 C．垂直 D．重合42．（2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）直線(xiàn)l1：px+3y+1＝0與直線(xiàn)l2：6x﹣2y﹣5＝0垂直，則p的值為（）A．﹣1 B．1 C．﹣9 D．943．（2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)期中）已知直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)（3，﹣1），且與向量垂直，則直線(xiàn)l的點(diǎn)法向式方程為．44．（2022秋?奉賢區(qū)校級(jí)月考）過(guò)點(diǎn)（﹣2，3）且與直線(xiàn)2x+y+1＝0垂直的直線(xiàn)l的方程是．一十五．待定系數(shù)法求直線(xiàn)方程（共2小題）45．（2022秋?閔行區(qū)校級(jí)月考）經(jīng)過(guò)P（0，1）的直線(xiàn)l與兩直線(xiàn)l1：x﹣3y+10＝0和l2：2x+y﹣8＝0分別交于P1、P2且滿(mǎn)足，則直線(xiàn)l的方程為．46．（2022秋?閔行區(qū)校級(jí)月考）已知△ABC的頂點(diǎn)A（5，1），AB邊上的中線(xiàn)CM所在直線(xiàn)方程為2x﹣y﹣5＝0，∠B的平分線(xiàn)BN所在直線(xiàn)方程為x﹣2y﹣5＝0．求：（1）頂點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）直線(xiàn)BC的方程．一十六．兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)（共2小題）47．（2022?虹口區(qū)二模）設(shè)a∈R，k∈R，三條直線(xiàn)l1：ax﹣y﹣2a+5＝0，l2：x+ay﹣3a﹣4＝0，l3：y＝kx，則l1與l2的交點(diǎn)M到l3的距離的最大值為．48．（2022春?黃浦區(qū)校級(jí)月考）已知直線(xiàn)l1：4x+y＝0，l2：mx+y＝0，l3：2x﹣3my＝4，若它們不能?chē)扇切?，則m的取值所構(gòu)成的集合為．一十七．方程組解的個(gè)數(shù)與兩直線(xiàn)的位置關(guān)系（共2小題）49．（2022秋?崇明區(qū)期末）已知方程組無(wú)解，則實(shí)數(shù)m的值等于．50．（2022?上海）若關(guān)于x，y的方程組有無(wú)窮多解，則實(shí)數(shù)m的值為．一十八．過(guò)兩條直線(xiàn)交點(diǎn)的直線(xiàn)系方程（共1小題）51．（2020秋?浦東新區(qū)校級(jí)期中）直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P（3，2）且與x軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)．（1）若直線(xiàn)l的斜率為﹣2，求△AOB的面積；（2）若△AOB的面積S滿(mǎn)足12≤S＜，求直線(xiàn)l的斜率k的取值范圍；（3）如圖，若點(diǎn)P分向量所成的比的值為2，過(guò)點(diǎn)P作平行于x軸的直線(xiàn)交y軸于點(diǎn)M，動(dòng)點(diǎn)E、F分別在線(xiàn)段MP和OA上，若直線(xiàn)EF平分直角梯形OAPM的面積，求證：直線(xiàn)EF必過(guò)一定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．一十九．與直線(xiàn)關(guān)于點(diǎn)、直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)方程（共4小題）52．（2022秋?奉賢區(qū)校級(jí)月考）有一光線(xiàn)從點(diǎn)A（﹣3，5）射到x軸以后，再反射到點(diǎn)B（2，15），則這條光線(xiàn)的入射光線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程為．53．（2022春?黃浦區(qū)校級(jí)月考）一條光線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，5）射到直線(xiàn)x+y+1＝0上，被反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)B（2，1），則入射光線(xiàn)所在直線(xiàn)的方程為．54．（2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)期中）已知點(diǎn)A（0，2），直線(xiàn)l1：x﹣y﹣1＝0，直線(xiàn)l2：x﹣2y+2＝0．（1）求點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)l1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求直線(xiàn)l2關(guān)于直線(xiàn)l1的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)方程．55．（2021秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）一束光從光源C（1，2）射出，經(jīng)x軸反射后（反射點(diǎn)為M），射到線(xiàn)段y＝﹣x+b，x∈[3，5]上N處．（1）若M（3，0），b＝7，求光從C出發(fā)，到達(dá)點(diǎn)N時(shí)所走過(guò)的路程；（2）若b＝8，求反射光的斜率的取值范圍；（3）若b≥6，求光從C出發(fā)，到達(dá)點(diǎn)N時(shí)所走過(guò)的最短路程．二十．點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式（共2小題）56．（2022秋?閔行區(qū)校級(jí)期末）設(shè)直線(xiàn)l：ax+by+c＝0，其中a，2b，c成等差數(shù)列．過(guò)原點(diǎn)O作直線(xiàn)l的垂線(xiàn)，垂足為P，則P到直線(xiàn)4x﹣3y+7＝0距離的最大值為．57．（2022秋?嘉定區(qū)校級(jí)期末）已知A（1，3），B（5，7）．（1）求線(xiàn)段AB垂直平分線(xiàn)所在直線(xiàn)方程；（2）若直線(xiàn)l過(guò)（﹣1，0），且A、B到直線(xiàn)l距離相等，求l方程．二十一．兩條平行直線(xiàn)間的距離（共2小題）58．（2022秋?靜安區(qū)期末）若直線(xiàn)x+2y+3＝0與直線(xiàn)2x+my+10＝0平行，則這兩條直線(xiàn)間的距離是．59．（2022春?崇明區(qū)校級(jí)期中）設(shè)常數(shù)a∈R，已知直線(xiàn)l1：（a+2）x+y+1＝0，l2：3x+ay+（4a﹣3）＝0．（1）若l1⊥l2，求a的值；（2）若l1∥l2，求l1與l2之間的距離．二十二．與直線(xiàn)有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程（共1小題）60．（2022秋?浦東新區(qū)校級(jí)月考）已知t∈R，且t∈（0，10），由t確定兩個(gè)任意點(diǎn)P（t，t），Q（10﹣t，0）．（Ⅰ）直線(xiàn)PQ是否經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（6，1）？（Ⅱ）在△OPQ內(nèi)作內(nèi)接正方形ABCD，頂點(diǎn)A，B在邊OQ上，頂點(diǎn)D在邊OP上．①求證：頂點(diǎn)C一定在直線(xiàn)上；②求圖中陰影部分面積的最大值，并求這時(shí)頂點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)．鞏固提升鞏固提升一、單選題1．（2022春·上海寶山·高一上海市行知中學(xué)?？茧A段練習(xí)），已知函數(shù)恰有五個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2022春·上海寶山·高一上海市行知中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列命題正確的個(gè)數(shù)為（

）（1）函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增；（2）函