二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)課件

二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)二次函數(shù)的概念定義二次函數(shù)是指形如y=ax2+bx+c的函數(shù)，其中a、b、c為常數(shù)，且a≠0。特點(diǎn)二次函數(shù)的圖像是一個(gè)拋物線，開(kāi)口向上或向下取決于a的符號(hào)。應(yīng)用二次函數(shù)廣泛應(yīng)用于物理學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域，例如描述物體的運(yùn)動(dòng)軌跡、求解最大利潤(rùn)等。二次函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式1標(biāo)準(zhǔn)形式y(tǒng)=a(x-h)^2+k2頂點(diǎn)坐標(biāo)(h,k)3對(duì)稱(chēng)軸方程x=h4開(kāi)口方向a>0時(shí)開(kāi)口向上，a<0時(shí)開(kāi)口向下二次函數(shù)的判別式定義對(duì)于一般二次函數(shù)y=ax^2+bx+c(a≠0)，其判別式Δ=b^2-4ac。意義Δ的值可以判斷二次函數(shù)的根的情況：Δ>0，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；Δ=0，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；Δ<0，沒(méi)有實(shí)數(shù)根。二次函數(shù)的根根的概念二次函數(shù)的根指的是函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)，也就是使函數(shù)值為0的x的值。求根公式可以通過(guò)求解一元二次方程來(lái)求出二次函數(shù)的根，使用求根公式或配方法。判別式判別式可以判斷二次函數(shù)的根的個(gè)數(shù)和性質(zhì)，例如有實(shí)數(shù)根或虛數(shù)根。二次函數(shù)的頂點(diǎn)頂點(diǎn)是二次函數(shù)圖像的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，對(duì)應(yīng)函數(shù)的最大值或最小值。頂點(diǎn)的坐標(biāo)可以通過(guò)公式計(jì)算得到：(-b/2a,f(-b/2a))頂點(diǎn)是二次函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)軸與圖像的交點(diǎn)。二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸1定義對(duì)稱(chēng)軸是一條垂直于x軸的直線，將二次函數(shù)的圖像分成兩部分，這兩部分關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)。2公式對(duì)稱(chēng)軸的方程為x=-b/2a，其中a和b是二次函數(shù)y=ax^2+bx+c中的系數(shù)。3作用對(duì)稱(chēng)軸可以幫助我們快速找到二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)和圖像的形狀。二次函數(shù)的圖像二次函數(shù)的圖像是一條拋物線，拋物線的形狀取決于二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)。當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)時(shí)，拋物線開(kāi)口向上；當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，拋物線開(kāi)口向下。拋物線對(duì)稱(chēng)軸的位置由一次項(xiàng)系數(shù)決定，對(duì)稱(chēng)軸方程為x=-b/2a。頂點(diǎn)是拋物線對(duì)稱(chēng)軸與拋物線的交點(diǎn)，坐標(biāo)為(-b/2a,f(-b/2a))，其中f(x)是二次函數(shù)的表達(dá)式。二次函數(shù)圖像的形狀二次函數(shù)圖像是一個(gè)拋物線，開(kāi)口方向取決于二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)。當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)a>0時(shí)，開(kāi)口向上，圖像呈“U”形。當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)a<0時(shí)，開(kāi)口向下，圖像呈“∩”形。二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)稱(chēng)性二次函數(shù)的圖像是關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)的。單調(diào)性二次函數(shù)在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)單調(diào)遞增，在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)單調(diào)遞減。最值二次函數(shù)在對(duì)稱(chēng)軸上取得最大值或最小值。開(kāi)口和凹凸性開(kāi)口向上當(dāng)二次函數(shù)的系數(shù)a大于0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，圖形呈U形。開(kāi)口向下當(dāng)二次函數(shù)的系數(shù)a小于0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，圖形呈倒U形。圖像的平移1向上平移將函數(shù)表達(dá)式中的常數(shù)項(xiàng)加上一個(gè)正數(shù)，圖像向上平移.2向下平移將函數(shù)表達(dá)式中的常數(shù)項(xiàng)減去一個(gè)正數(shù)，圖像向下平移.3向左平移將函數(shù)表達(dá)式中的自變量加上一個(gè)正數(shù)，圖像向左平移.4向右平移將函數(shù)表達(dá)式中的自變量減去一個(gè)正數(shù)，圖像向右平移.圖像的伸縮1y=a*f(x)a>1,圖像向上伸縮2y=a*f(x)03y=f(bx)b>1,圖像向x軸方向壓縮4y=f(bx)0二次函數(shù)的最大值和最小值開(kāi)口向上當(dāng)二次函數(shù)的開(kāi)口向上時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)。開(kāi)口向下當(dāng)二次函數(shù)的開(kāi)口向下時(shí)，函數(shù)有最大值，最大值為頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)。二次函數(shù)的應(yīng)用優(yōu)化問(wèn)題尋找最大值或最小值曲線擬合用二次函數(shù)模擬現(xiàn)實(shí)世界的曲線運(yùn)動(dòng)軌跡描述物體運(yùn)動(dòng)的路徑求最大值和最小值的方法1配方法利用配方法將二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式，即可求得最大值或最小值。2判別式法根據(jù)判別式的符號(hào)，判斷函數(shù)有無(wú)最大值或最小值，并確定其值。3圖像法根據(jù)圖像的開(kāi)口方向和頂點(diǎn)位置，直接觀察函數(shù)的最大值或最小值。如何畫(huà)出二次函數(shù)的圖像確定頂點(diǎn)使用頂點(diǎn)公式(-b/2a,-△/4a)找到頂點(diǎn)坐標(biāo)。確定開(kāi)口方向如果a>0，則開(kāi)口向上，如果a<0，則開(kāi)口向下。確定對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)軸是一條垂直線，通過(guò)頂點(diǎn)，其方程為x=-b/2a。找一些點(diǎn)選擇幾個(gè)x值，代入函數(shù)表達(dá)式，計(jì)算相應(yīng)的y值，然后將這些點(diǎn)標(biāo)在坐標(biāo)系上。連接點(diǎn)用平滑的曲線連接這些點(diǎn)，就得到了二次函數(shù)的圖像。二次函數(shù)的綜合例題（1）求拋物線y=x2-4x+3的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱(chēng)軸方程以及與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。二次函數(shù)的綜合例題（2）某商場(chǎng)為了促銷(xiāo)，設(shè)計(jì)了一個(gè)促銷(xiāo)方案。方案如下：在一個(gè)不透明的箱子里放有3個(gè)大小、形狀完全相同的小球，其中2個(gè)球標(biāo)有“一等獎(jiǎng)”，1個(gè)球標(biāo)有“二等獎(jiǎng)”。顧客購(gòu)物滿(mǎn)100元，就可獲得一次摸球機(jī)會(huì)，摸出“一等獎(jiǎng)”的球獎(jiǎng)勵(lì)價(jià)值100元的禮品，摸出“二等獎(jiǎng)”的球獎(jiǎng)勵(lì)價(jià)值50元的禮品。某顧客購(gòu)物滿(mǎn)100元，準(zhǔn)備摸獎(jiǎng)。設(shè)該顧客摸獎(jiǎng)獲得禮品的價(jià)值為y元，試用函數(shù)表達(dá)式表示y與摸獎(jiǎng)次數(shù)x之間的關(guān)系。二次函數(shù)的綜合例題（3）設(shè)二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1,2)，B(1,0)，C(2,2)，求此二次函數(shù)的解析式，并寫(xiě)出它的頂點(diǎn)坐標(biāo)。二次函數(shù)的綜合例題（4）求函數(shù)y=-x2+2x+3的圖像的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)和最值。開(kāi)口方向因?yàn)槎雾?xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)，所以開(kāi)口向下。對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)軸方程為x=-b/2a=-2/(2*-1)=1。頂點(diǎn)坐標(biāo)將對(duì)稱(chēng)軸方程x=1代入函數(shù)解析式，得到頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,4)。最值由于開(kāi)口向下，所以函數(shù)有最大值，最大值為4，此時(shí)x=1。二次函數(shù)的綜合例題（5）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0),B(2,0),C(0,-2).求該二次函數(shù)的解析式并求出其頂點(diǎn)坐標(biāo)。二次函數(shù)的綜合例題（6）已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,2)和B(3,2),且其對(duì)稱(chēng)軸為直線x=2.求二次函數(shù)的解析式.二次函數(shù)的綜合例題（7）例：已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（3，0），且與y軸交于點(diǎn)C（0，6），求拋物線的解析式.解：將A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=ax2+bx+c，得到方程組：{a+b+c=09a+3b+c=0c=6解得a=-3，b=6，c=6.因此，拋物線的解析式為y=-3x2+6x+6.二次函數(shù)的綜合例題（8）已知拋物線y=ax^2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1,0),B(3,0),C(0,3).求拋物線的解析式.二次函數(shù)的綜合例題（9）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0）和B（3，0），且當(dāng)x=2時(shí)，y=-2.求該二次函數(shù)的解析式。根據(jù)題意，可得方程組：a+b+c=09a+3b+c=04a+2b+c=-2解這個(gè)方程組，得a=1，b=-4，c=3。所以，該二次函數(shù)的解析式為y=x2-4x+3。二次函數(shù)的綜合例題（10）已知拋物線y=ax^2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,2)和B(2,5)，且頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,3)，求a、b、c的值。二次函數(shù)的綜合應(yīng)用（1）二次函數(shù)的綜合應(yīng)用是指將二次函數(shù)的知識(shí)與其他學(xué)科或生活實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合，解決實(shí)際問(wèn)題。例如，在物理學(xué)中，可以利用二次函數(shù)來(lái)描述物體的運(yùn)動(dòng)軌跡；在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，可以利用二次函數(shù)來(lái)分析企業(yè)的利潤(rùn)和成本；在工程學(xué)中，可以利用二次函數(shù)來(lái)設(shè)計(jì)橋梁和建筑物的形狀。二次函數(shù)的綜合應(yīng)用（2）二次函數(shù)的應(yīng)用廣泛，例如在物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、工程學(xué)等領(lǐng)域都有重要應(yīng)用。例如，我們可以用二次函數(shù)來(lái)模擬拋射物運(yùn)動(dòng)的軌跡，以及計(jì)算利潤(rùn)的最大值。在實(shí)際問(wèn)題中，我們常常需要將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，并用二次函數(shù)的知識(shí)來(lái)解決。因此，掌握二次函數(shù)的知識(shí)對(duì)于解決實(shí)際問(wèn)題具有重要意義。二次函數(shù)的綜合應(yīng)用（3）二次函數(shù)在實(shí)際生活中應(yīng)用廣泛，例如，我們可以用二次函數(shù)來(lái)解決一些實(shí)際問(wèn)題，比如求物體運(yùn)動(dòng)的軌跡、求利潤(rùn)最大值等。例如，一個(gè)商店出售某種商品，其銷(xiāo)售利潤(rùn)與銷(xiāo)售數(shù)量之間存在著二次函數(shù)關(guān)系。我們就可以利用二次函數(shù)的知識(shí)來(lái)求出該商