第2章-邏輯代數基礎

第2章邏輯代數基礎2.1概述2.2邏輯代數中的常用運算2.3邏輯代數中的基本定律和常用公式2.4邏輯函數及其表示方法2.5邏輯函數的公式化簡法2.6邏輯函數的卡諾圖化簡法2.7**邏輯函數化簡與變換的Multisim10仿真本章學習目的和要求1.正確理解基本邏輯運算和復合運算；2.熟悉邏輯代數中的基本定律、常用公式和基本規(guī)則；3.掌握邏輯函數的概念和常用表示方法及其相互轉換；了解邏輯函數的標準形式；4.掌握邏輯函數的變換和公式化簡法；5.掌握邏輯函數的卡諾圖化簡法，會用卡諾圖化簡具有無關項的邏輯函數。2.1概述

兩種對立邏輯狀態(tài)的邏輯關系稱為二值數字邏輯或簡稱數字邏輯?！斑壿嫛保侵甘挛镏g的因果關系。當0和1兩個二進制數碼表示不同的邏輯狀態(tài)時，它們之間可以按照指定的某種因果關系進行推理運算。這種運算稱為邏輯運算。

邏輯運算使用的數學工具是邏輯代數,是英國數學家喬治·布爾(GeorgeBoo1e)創(chuàng)立的一門研究客觀事物邏輯關系的代數,故又稱為布爾代數。

本章討論的邏輯代數就是布爾代數在二值邏輯電路中的應用。邏輯代數的有些運算公式在形式上和普通代數的運算公式相似，但是兩者所包含的物理意義有本質的區(qū)別。邏輯代數中也用字母表示變量，這種變量稱為邏輯變量。邏輯運算表示的是邏輯變量以及常量之間邏輯狀態(tài)的推理運算，而不是數量之間的運算。雖然在二值邏輯中，每個變量的取值只有0和1兩種可能，只能表示兩種不同的邏輯狀態(tài)，但是我們可以用多變量的不同狀態(tài)組合表示事物的多種邏輯狀態(tài)，處理任何復雜的邏輯問題。2.2.2

復合邏輯運算2.2邏輯代數中的常用運算2.2.1

基本邏輯運算2.2.1

基本邏輯運算

邏輯代數中的變量稱為邏輯變量，一般用大寫英文字母A，B，C，…來表示。邏輯變量只有兩種取值，常用0和1來表示。這里的0和1不表示數量，也沒有大小的意義，而只代表兩種對立的狀態(tài)。

邏輯代數的基本運算只有與(AND)、或(OR)、非(NOT)三種。

與運算(邏輯乘)“只有當一件事的幾個條件全部具備之后，這件事才發(fā)生”。這種關系稱為與邏輯。與指的是所有的條件全都具備。

如圖2.2.1，電壓E通過開關A和B向燈泡L供電，只有開關A與B同時閉合時，燈泡L才亮。其邏輯狀態(tài)如表2.2.1所示。如果用0和1來表示開關和燈的狀態(tài)，設開關斷開和燈不亮均用0表示，而開關閉合和燈亮均用1表示，則可得出如表2.2.2所示形式的邏輯真值表(描述邏輯關系的表格)。其中L表示燈的狀態(tài)。

L=A·B

(2.2.1)用邏輯表達式來描述與邏輯，則寫為

式中小圓點“·”表示A、B的與運算，也稱為邏輯乘。在不致引起混淆的前提下，乘號“·”可省略。與運算的規(guī)則為：0·0=0；0·1=0；1·0=0；1·1=1。

圖2.2.2是表示與運算的邏輯符號。能實現(xiàn)與邏輯運算的電路為與門電路，簡稱與門。

與邏輯運算可以推廣到多個變量，其相應的邏輯表達式是：L=A·B·C···(2.2.2)

2．或運算（邏輯加）“當一件事情的幾個條件中只要有一個條件得到滿足，這件事就會發(fā)生”。這種關系稱為或邏輯?；蚴侵溉我粋€條件具備的意思。

如圖2.2.3所示。電壓E通過開關A或B向燈泡供電。只要開關A或B閉合或兩者均閉合，則燈亮。

仿照前述，可以得出如表2.2.3所示的或邏輯電路狀態(tài)表和如表2.2.4所示的用0、1表示的或邏輯真值表。

用邏輯表達式來描述或運算，則寫為

L=A+B(2.2.3)

式中符號“＋”表示A、B的或運算，也稱為邏輯加。

或運算規(guī)則為：0+0=0；0+1=1；1+0=1；1+1=1。

能實現(xiàn)或運算的電路稱為或門電路，簡稱或門。

圖2.2.4是表示或運算的邏輯符號。3.非運算（邏輯反）

非運算是邏輯的否定，當條件具備時，結果不會發(fā)生；而條件不具備時，結果一定會發(fā)生。

或運算同樣可推廣到多個變量，其邏輯表達式是：

L=A+B＋C＋···

(2.2.4)

圖2.2.5中，電壓Ｅ通過R向燈泡供電，開關A閉合時，燈L不亮，開關A斷開時,燈L才會亮。

非邏輯的邏輯表達式為:(2.2.5)

式中字母A上方的短橫線表示非運算，讀作“非”或“反”。在邏輯運算中，通常將A稱為原變量,而將稱為反變量或非變量。

非邏輯運算規(guī)則是:,。

能實現(xiàn)非運算的電路稱為非門，也稱反相器，其邏輯符號如圖2.2.6(a)、(b)所示，小圓圈表示非運算。2.2.2

復合邏輯運算1．與非運算

在實際應用中，除了與、或、非三種基本邏輯運算以外，還廣泛應用與、或、非的不同組合的復合邏輯運算，最常見的符合邏輯運算有與非、或非、與或非、異或和同或等。

與非運算是先與后非的復合運算。與非運算的邏輯符號如圖2.2.7所示，邏輯表達式為，真值表如表2.2.6所示。圖2.2.7與非運算邏輯符號擴展到多個變量時，相應的邏輯表達式為：

(2.2.6)2．或非運算“或”和“非”的復合運算稱為或非運算，或非運算的邏輯符號如圖2.2.8所示，真值表如表2.2.7所示?；蚍沁壿嫳磉_式為擴展到多個輸入變量時，則或非邏輯表達式為：

(2.2.7)3.

與或非運算“與”、“或”和“非”的復合運算稱為與或非運算。圖2.2.9（ａ）是實現(xiàn)先與后或再非的組合電路，也稱與或非門。圖2.2.9（ｂ）為與或非運算的邏輯符號，表2.2.8是與或非邏輯真值表。相應的邏輯表達式為：(2.2.8)4.

異或運算

異或運算的邏輯關系是：當兩個輸入信號相同時，輸出為0；當兩個輸入信號不同時，輸出為1。異或邏輯符號和真值表分別如圖2.2.10和表2.2.9所示。圖2.2.10異或運算邏輯符號邏輯表達式為：

(2.2.9)同或和異或的邏輯關系剛好相反：當兩個輸入信號相同時，輸出為1，當兩個輸人信號不同時，輸出為0。即異或非運算結果等于同或，同或非運算結果等于異或。同或邏輯符號和真值表分別如圖2.2.11和表2.2.10所示。同或邏輯表達式為：5．同或運算

＝＝(2.2.10)⊙2.3邏輯代數中的基本定律和常用公式2.3.3邏輯代數中的三個基本規(guī)則2.3.2邏輯代數中的常用公式2.3.1邏輯代數中的基本定律2.3

邏輯代數中的基本定律和常用公式

與普通代數一樣，邏輯代數也有一系列的定律、定理和規(guī)則，用它們對邏輯函數表達式進行處理，可以完成對邏輯電路的化簡、變換、分析和設計。2.3.1

邏輯代數中的基本定律

邏輯代數中的基本定律見表2.3.1，包括9個定律，即交換律、結合律、分配律、互補律、0-1律、對合律、重疊律、吸收律和反演律。其中有的定律與普通代數定律相似，有的定律與普通代數不同，使用時切勿混淆。

由與、或、非三種基本運算可以邏輯推理得到上表中的與、或、非運算的基本定律公式。例2.3.1證明吸收律證：

定律公式還可以用真值表來證明，即檢驗等式兩邊函數的真值表是否一致。例2.3.2用真值表證明反演律和證：分別列出兩公式等號兩邊函數的真值表即可得證，見表2.3.2和表2.3.3。2.3.2邏輯代數中的常用公式

這些公式是利用基本定律基本公式導出的。直接運用這些導出公式可以給化簡邏輯函數的工作帶來很大方便?，F(xiàn)將表2.3.4中的各式證明如下。1.證明式(1)：

證：

當兩個乘積項相加時，若它們分別含B和兩個因子而其它因子相同，則兩項定能合并，且可以將和兩個因子消去。2.證明式(2)：

證：

變量Ａ與另兩個變量的乘積項BC之“和”等于變量A分別與另兩個變量的和之“積”。可以利用它化簡邏輯函數，也可以用來對邏輯函數的與或形式和或與形式之間進行變換。3.證明式(3)：

證：證：

在邏輯函數的或與（和之積）表達式中，若兩個和項中分別包含A和，而這兩個和項的其余部分組成第三個和項時，則這第三個和項是多余的，可以消去。4.證明式(4)：證：

如果兩個乘積項中分別包含Ａ和兩個因子，而這兩個乘積項的其余因子組成第三個乘積項時，則這第三個乘積項是多余的，可以消去。由此不難導出：5.證明式（5）：

；證：

當Ａ和一個乘積項的非相乘，且Ａ為乘積項的因子時，則Ａ這個因子可以消去。

當和一個乘積項的非相乘時，且A為乘積項的因子時，其結果就等于。

由證明可知，這些常用公式都是從基本公式導出的結果。顯然，也還能夠推導出更多的常用公式。

對于任何一個邏輯等式，以某個邏輯變量或邏輯函數同時取代等式兩端任何一個邏輯變量后，等式依然成立。2.3.3邏輯代數中的三個基本規(guī)則1.

代入規(guī)則

利用代入規(guī)則可以方便地擴展公式。例如，在反演律中用BC去代替等式中的B，則新的等式仍成立：，依此類推，摩根定理對任意多個變量都成立。2.

對偶規(guī)則

將一個邏輯函數L進行變換，將L中的與“·”換成或“＋”，或“+”換成與“·”；“0”換成“1”，“1”換成“0”，所得新函數表達式叫做L的對偶式，用L’表示。

由原函數L的表達式，求它的非函數時，可以將L中的與“·”換成或“＋”，或“+”換成與“·”；再將原變量換為非變量(如A換成)，非變量換為原變量；并將1換成0，0換成1；那么所得的邏輯函數式就是。這個規(guī)則稱為反演規(guī)則。

如,則

若兩個邏輯函數表達式相等，那么它們的對偶式也一定相等。這就是對偶規(guī)則。

變換時仍然要保持“先括號，然后與，最后或”的運算順序。3.

反演規(guī)則

利用反演規(guī)則，可以比較容易地求出一個函數的反函數。例2.3.3

求函數的反函數。解：

例2.3.4

求函數的反函數。解：

運用反演規(guī)則時必須注意以下兩個原則：

(1)仍需遵守“先括號內運算、然后與運算、最后或運算”的運算優(yōu)先次序。

(2)不屬于單個變量上的非號應保留不變。

2.4.2邏輯函數的表示方法

2.4邏輯函數及其表示方法2.4.1邏輯函數的建立2.4.3邏輯函數的兩種標準形式

邏輯變量分為輸入邏輯變量和輸出邏輯變量。描述輸入邏輯變量和輸出邏輯變量之間的因果關系的函數稱為邏輯函數。由于邏輯變量是只取0或1的二值邏輯變量，因此邏輯函數也是二值邏輯函數。由于邏輯函數是從生活和生產實踐中抽象出來的，所以只有那些能明確地用“是”或“否”作出回答的事物，才能定義為邏輯函數。2.4.1邏輯函數的建立2.4邏輯函數及其表示方法例2.4.1

三個人表決一件事情，表決結果按“少數服從多數”的原則決定，試用邏輯函數表達表決意見與表決結果之間的邏輯關系。解：第一步：設置自變量和因變量。將三人的意見設置為自變量A、B、C，并規(guī)定只能有同意或不同意兩種意見。將表決結果設置為因變量L，顯然也只有通過和沒通過這兩種情況。第二步：狀態(tài)賦值。對于自變量A、B、C設：同意為邏輯“1”，不同意為邏輯“0”。對于因變量L設：事情通過為邏輯“1”，沒通過為邏輯“0”。第三步：根據題義及上述設置規(guī)定，列出函數的真值表如表2.4.1所示。表2.4.1例2.4.1真值表輸入輸出ABCL00000010010001111000101111011111

若輸入邏輯變量A、B、C…的取值確定以后，輸出邏輯變量L的值也唯一地確定了，就稱L是A、B、C…的邏輯函數，寫作：

由真值表可以看出，當自變量A、B、C取確定值后，因變量L的值就完全確定了。所以，L就是A、B、C的函數。A、B、C稱為輸入邏輯變量，L稱為輸出邏輯變量。表2.4.1例2.4.1真值表輸入輸出ABCL00000010010001111000101111011111L=f（A，B，C…）(2.4.1)

我們必須牢記邏輯函數兩個突出的特點：（1）邏輯變量和邏輯函數只能取兩個值0和1。（2）函數和變量之間的關系是由“與”、“或”、“非”三種基本運算決定的。

邏輯真值表是將輸入邏輯變量的各種可能的取值和相應的函數值排列在一起而組成的表格。為避免遺漏，各變量的取值組合一般應該按照二進制數遞增的次序排列。2.4.2

邏輯函數的表示方法

常用的邏輯函數表示方法有邏輯真值表、邏輯表達式(邏輯函數式或簡稱邏輯式)、邏輯圖、波形圖、卡諾圖等。本節(jié)只討論前面四種方法，用卡諾圖表示邏輯函數的方法將在后面再做專門介紹。1.

真值表真值表的特點：（1）直觀明了；（2）方便。真值表的主要缺點：（1）無法用公式、定律定理進行運算。（2）變量多時，表較大，顯得繁瑣。

由真值表轉換為邏輯函數表達式的方法是：在真值表中依次找出函數值等于1的變量組合，變量值為1的寫成原變量，變量值為0的寫成反變量，把組合中各個變量相乘。這樣，對應于函數值為1的每一個變量組合就可以寫成一個乘積項。然后，把所有的乘積項相加，就得到相應的函數表達式(與或表達式)了。如右表對應的邏輯表達式為:2．邏輯表達式

邏輯表達式就是由邏輯變量和“與”、“或”、“非”三種運算所構成的表達式。這是一種用公式表示邏輯函數的方法。表2.4.1例2.4.1真值表輸入輸出ABCL00000010010001111000101111011111

例2.4.2

列出函數的真值表。

解：該函數有兩個變量，有4種取值的可能組合，將他們按順序排列起來即得真值表，如表2.4.2所示

邏輯表達式也可以轉換成真值表。方法為：畫出真值表的表格，將變量及變量的所有取值組合按照二進制遞增的次序列入表格左邊，然后按照表達式，依次對變量的各種取值組合進行運算，求出相應的函數值，填入表格右邊對應的位置，即得真值表。表2.4.2的真值表A

BL0

00

11

01

11001

邏輯表達式是我們最先接觸邏輯函數的表示方法。這種表示方法的優(yōu)點有：用基本邏輯符號高度抽象、概括地表示各個變量之間的邏輯關系，書寫簡介方便。(2)便于運用邏輯代數的公式、定理進行運算和變換。(3)便于用邏輯圖實現(xiàn)函數。只要用相應的門電路的邏輯符號代替表達式中的有關運算，即可得到邏輯圖。邏輯表達式的主要缺點是同一個邏輯函數有不同的表達式，不易判斷各個表達式彼此是否相等；而且在邏輯函數比較復雜時難以看出邏輯函數的值，沒有真值表直觀。

用與、或、非等邏輯符號表示邏輯函數中各變量之間的邏輯關系所得到的圖形稱為邏輯圖。它是由邏輯符號及它們之間的連線而構成的圖形。由邏輯函數表達式可以畫出其相應的邏輯圖。3．邏輯圖

例2.4.3

畫出邏輯函數的邏輯圖。解：如圖2.4.1所示。圖2.4.1例2.4.3的邏輯圖解：圖2.4.2例2.4.4的邏輯圖

由邏輯圖也可以寫出其相應的函數表達式。例2.4.4

寫出如圖2.4.2所示邏輯圖的邏輯函數表達式。

邏輯電路圖中的邏輯符號，與實際使用的電路器件有著明顯的聯(lián)系，所以它比較接近工程實際；但是對于稍復雜一些的電路圖，我們很難直接看出其功能，而且邏輯圖不易書寫（繪制），不易記憶。

4.

波形圖

將邏輯函數輸入變量每一種可能出現(xiàn)的取值與對應的輸出值按時間順序依次排列起來，就得到了表示該邏輯函數的波形圖。這種波形圖也稱為時序圖。

用波形圖來描述邏輯函數L=AB+BC，則只需將表2.4.3所示的真值表給出的輸入變量與對應的輸出變量取值依時間順序排列起來，就可以得到所需要的波形圖了。表2.4.3L=AB+BC的真值表ABCL00000101001110010111011100010011圖2.4.3

L=AB+BC的波形圖(1)最小項ｎ個變量的邏輯函數中，若ｍ為包含ｎ個因子的乘積項，而且這ｎ個變量均以原變量或反變量的形式在ｍ中僅出現(xiàn)一次，則稱ｍ為該組變量的最小項。例如，A、B、C三個變量的最小項:

、、、、、、和ABC

。共8個(即23個)。ｎ個變量的最小項總共有2ｎ個。2.4.3

邏輯函數的兩種標準形式1.

最小項和最大項

表2.4.4

三變量邏輯函數的最小項及編號最小項變量取值ABC編號000001010011100101110111m0m1m2m3m4m5m6m7

同理，可將4個變量的16個最小項記作m0～m15。最小項的重要性質：①在輸入變量的任何取值下必有一個最小項，且僅有一個最小項的值為1。②全體最小項之和為1。③任意兩個最小項的乘積為0。④具有相鄰性的兩個最小項之和可以合并成一項并消去一對因子。若兩個最小項只有一個因子不同，則稱這兩個最小項具有相鄰性。例如，和兩個最小項僅第三個因子不同，所以它們具有相鄰性。這兩個最小項相加時定能合并成一項并將一對不同的因子消去例如

在n個變量邏輯函數中，若M為ｎ個變量之和，而且這ｎ個變量均以原變量或反變量的形式在M中只出現(xiàn)一次，則稱M為該組變量的最大項。三變量A、B、C的最大項有共8個(即23個)。對于n個變量，則有2n個最大項。可見n個變量的最大項數目和最小項數目是相等的。(2)

最大項

最大項的主要性質:①在輸入變量的任何取值下必有一個最大項，而且只有一個最大項為0。②全體最大項之積為0。③任意兩個最大項之和為1。④只有一個變量不同的兩個最大項的乘積等于各相同變量之和。最大項和最小項之間存在如下關系:如，則

Mi=

(2.4.2)

將給定的邏輯函數式化為若干乘積項之和的形式(亦稱“積之和”形式)，然后再利用基本公式A+=1將每個乘積項中缺少的因子補全，這樣就可以將與或的形式化為最小項之和的標準形式。這種標準形式在邏輯函數的化簡以及計算機輔助分析和設計中得到了廣泛的應用。

例如，給定邏輯函數為則可化為

m3+m5+m7或寫作

2.

邏輯函數的最小項之和形式例2.4.5

將邏輯函數L（A,B,C）轉換成最小項表達式。解：該函數為三變量函數，而表達式中每項只含有兩個變量，不是最小項。要變?yōu)樽钚№?，就應補齊缺少的變量，辦法為將各項乘以1，如AB項乘以。L（A,B,C）

=m7+m6+m3+m1或者

L（A,B,C）=∑m（1,3,6,7）在邏輯函數包含的最小項個數較多時，這種用最小項下標編號來表示最小項的方法比較簡便。

2.5

邏輯函數的公式化簡法2.5.1

邏輯函數的最簡表達式2.5.2

邏輯函數的公式化簡法

與—或表達式

或—與表達式

與非—與非表達式

或非—或非表達式

與—或非表達式2.5

邏輯函數的公式化簡法2.5.1邏輯函數的最簡表達式

上述多種表達式中，與—或表達式是邏輯函數的最基本表達形式。因此，在化簡邏輯函數時，通常是將邏輯式化簡成最簡與—或表達式，然后再根據需要轉換成其他形式。

最簡與—或表達式的標準是：（1）與項最少，即表達式中“+”號最少。（2）每個與項中的變量數最少，即表達式中“·”號最少。

與項最少，可以使電路實現(xiàn)時所需的邏輯門的個數最少；每個與項中的變量數最少，可以使電路實現(xiàn)時所需邏輯門的扇入系數即輸入端個數最少。這樣就可以保證電路最簡，成本最低。對于其他類型的電路，也可以得出類似的“最簡”標準。例如或－與表達式,其“最簡”的標準可以變更為：或項最少；每個或項中的變量數最少。

用公式化簡法化簡邏輯函數，就是直接利用邏輯代數的基本公式和基本規(guī)則進行化簡。公式化簡法沒有固定的步驟，常用的化簡方法有以下幾種：

2.5.2

邏輯函數的公式化簡法1.

并項法

運用公式，將兩項合并為一項，消去一個變量。例如:

運用吸收律消去多余的與項。如:2.

吸收法運用吸收律消去多余的因子。如:3.消去法

先通過乘以

（=1）或加上（=0），增加必要的乘積項，再用以上方法化簡。如:4.配項法。使用配項法要注意防止越配越繁。例2.5.2

化簡邏輯函數

例2.5.1化簡邏輯函數

解：

解：

（利用）

（利用）

（利用）

例2.5.3

化簡邏輯函數

解：(利用反演律)

解：(利用反演律)（利用）（利用）（配項法）（利用）（利用）例2.5.4

化簡邏輯函數解法1：（增加冗余項）（消去1個冗余項）由本例可知，邏輯函數的化簡結果(有時)不是唯一的。解法2：（再消去1個冗余項）（增加冗余項）（再消去1個冗余項）（再消去1個冗余項）最簡的與－或邏輯函數表達式，并畫出相應的邏輯圖；僅用與非門畫出最簡表達式的邏輯圖。

例2.5.5

已知邏輯函數表達式為，試求：

解：圖2.5.1例2.5.5的邏輯電路

圖2.5.2改用與非門實現(xiàn)的例2.5.5電路

圖2.5.1為根據最簡與－或表達式畫出的邏輯圖，它用到與門、或門、和非門3種類型的邏輯門；圖2.5.2為根據與非－與非表達式畫出的邏輯圖，它只用到兩個輸入端與非門一種類型的邏輯門。顯然后者成本較低。

將與－或表達式變換為與非－與非表達式時，首先對與－或表達式取兩次非，然后根據摩根定律分開下面的取非線。將與－或表達式變換成或非－或非表達式時，先對與－或表達式中的每個乘積項單獨取兩次非，后按照摩根定律分開下面的取非線，最后對整個表達式取兩次非。

例2.5.6

試對邏輯表達式進行變換，僅用或非門畫出該表達式的邏輯圖。

解：仿照上例，只用或非門來實現(xiàn)也是可以的，只需把函數向或非形式進行變換：(摩根定律)(或非－或非表達式)圖2.5.3例2.5.6的邏輯電路圖

公式化簡法的優(yōu)點是不受變量數目的限制。缺點是：沒有固定的步驟可循；需要熟練運用各種公式和定理；需要一定的技巧和經驗；特別是很較難判定化簡結果是否最簡，而且同一邏輯函數可能有多個不同的表達式我們就必須確定它們是否是表達同一個邏輯函數。因此，在變量數不多的情況下，通常多采用卡諾圖化簡法化簡。2.6邏輯函數的卡諾圖化簡法2.6.1.

卡諾圖的構成2.6.2.

邏輯函數的卡諾圖表示法2.6.3

邏輯函數的卡諾圖化簡法

相鄰的最小項只有一個變量不同而其余變量都相同，如ABC和，ABCD和。相鄰最小項可以利用公式來消去一個變量，如，。邏輯函數的化簡實質上就是相鄰最小項的合并。

2.6邏輯函數的卡諾圖化簡法2.6.1.卡諾圖的構成

將邏輯函數真值表中的最小項排列成矩陣，并且矩陣的橫向和縱向的邏輯變量的取值按照格雷碼的順序排列（即相鄰的數碼只有一位碼不同），這樣構成的圖形稱為卡諾圖?？ㄖZ圖的排列特點就是具有很強的相鄰性。

首先是直觀相鄰性，只要小方格在幾何位置上相鄰（不管上下左右），它代表的最小項在邏輯上一定是相鄰的。其次是對邊相鄰性，即與中心軸對稱的左右兩邊和上下兩邊的小方格也具有相鄰性。所以，四角的最小項也都是相鄰的。凡是兩個相鄰的最小項，它們在圖中也是相鄰的。所以，2變量的最小項有2個最小項與之相鄰，3變量的最小項有3個最小項與之相鄰，4變量的最小項有4個最小項與之相鄰，5變量的最小項有5個最小項與之相鄰，以此類推。

2.6.2.

邏輯函數的卡諾圖表示法

用卡諾圖表示邏輯函數，就是把邏輯函數的最小項表達式中，每一個最小項對應的方格填上１，其余的方格填上0（也可以空著都不填）。1．利用真值表填卡諾圖

某邏輯函數的真值表如表2.6.1所示，給出該邏輯函數的卡諾圖。例2.6.1圖2.6.2例2.6.1的卡諾圖2.根據邏輯表達式填卡諾圖(1)如果邏輯表達式為最小項表達式，則只要將函數式中出現(xiàn)的最小項在卡諾圖對應的小方格中填入1，沒出現(xiàn)的最小項則在卡諾圖對應的小方格中填入0(或者空著)。例2.6.2

用卡諾圖表示邏輯函數

解：該函數為三變量，且為最小項表達式，寫成簡化形式然后畫出三變量卡諾圖，將卡諾圖中m0、m3、m6、m7對應的小方格填1，其他小方格填0。

(2)如果邏輯表達式不是最小項表達式，但是“與-或表達式”，可將其先化成最小項表達式，再填入卡諾圖。也可直接填入，直接填入的具體方法是：分別找出每一個與項所包含的所有小方格，全部填入1。例2.6.3

用卡諾圖表示邏輯函數

解：

按照上式,將Σm(5,8,9,10,11,13)中的對應的6個方格填1,其余填0,圖2.6.4例2.6.3的卡諾圖

只要是與-或表達式,也可以直接填圖。方法是：把每一個與項所屬于的方格都填上1,其余填0。例如本例中,與項應該包含既屬于A同時又屬于的方格,從圖2.6.4可知,只有最下邊一排四個格子既屬于A同時又屬于,所以最下邊四個格子都填1,而與項則是既屬于B又同時屬于和D的方格只有第2列中間的兩個,把它們填上1,得到的結果與先化成最小項表達式再填圖完全一樣,就是圖2.6.4。(3)如果邏輯表達式不是“與—或表達式”，可先將其化成“與—或表達式”再填入卡諾圖。圖2.6.5例2.6.4的卡諾圖例2.6.4

繪出的卡諾圖。解：現(xiàn)將函數化成與-或表達式2.6.3

邏輯函數的卡諾圖化簡法1．卡諾圖化簡邏輯函數的原理(m3和m2合并)

(m7和m6合并)(m3、m2和m7、m6合并)

(m10、m11、m14、m15合并)

(m2、m3、m6、m7、m10、

m11、m14、m15合并)2n個相鄰的最小項結合，可消去n個變量而合并為l項。圖2.6.6卡諾圖化簡原理

2．用卡諾圖合并最小項的原則

（1）圈要盡可能大，這樣消去的變量就多。但是每個圈內只能含有相鄰項2n個（n=0,1,2,3……）。要特別注意對邊相鄰性和四角相鄰性。（2）圈的個數盡量少，這樣化簡后的邏輯函數的與項就少。（3）卡諾圖中所有取值為1的方格均要被圈過，即不能漏下取值為1的最小項。（4）取值為1的方格可以被重復圈在不同的包圍圈中，但在新畫的包圍圈中至少要含有1個末被圈過的1的方格，否則該包圍圈是多余的。2．用卡諾圖合并最小項的原則

(1)畫出邏輯函數的卡諾圖。

(2)合并相鄰的最小項，即根據前述原則畫圈。

(3)寫出化簡后的表達式。每一個圈寫一個最簡與項，規(guī)則是，取值為l的變量用原變量表示，取值為0的變量用反變量表示，將這些變量相與。然后將所有與項進行邏輯加，即得最簡與—或表達式。3．用卡諾圖化簡邏輯函數的步驟

例2.6.5

用卡諾圖化簡邏輯函數：L（A,B,C,D）=∑m（0,2,3,4,6,7,10,11,13,14,15）解：(1)由表達式畫出卡諾圖如圖2.6.8(a)所示。圖2.6.8例2.6.5的卡諾圖法化簡(2)畫包圍圈合并最小項，如圖2.6.8(b)所示,得簡化的與—或表達式：

例2.6.6

用卡諾圖化簡邏輯函數：

解：(1)由表達式畫出卡諾圖如圖2.6.9(a)所示。(2)畫包圍圈合并最小項，得圖2.6.9例2.6.6的卡諾圖法化簡注意：圖中的長方形虛線圈是多余的，應去掉。

例2.6.7

某邏輯函數的真值表如表2.6.2所示，用卡諾圖化簡該邏輯函數。表2.6.2例2.6.7真值表ABCL00000101001110010111011101111110解法1：（1）由真值表畫出卡諾圖，如圖2.6.10(a)所示。圖2.6.10例2.6.7卡諾圖（2）畫包圍圈合并最小項，得解法2：（1）由表達式畫出卡諾圖，如圖2.6.10(b)所示。（2）畫包圍圈合并最小項，得

真值表、卡諾圖是唯一的，但包圍圈的畫法有時有不唯一，故化簡結果有時不是唯一的。

當一個邏輯函數用卡諾圖表示后，里面的0很少且相鄰性很強，這時用圈0法更簡便。但要注意，圈0后，先寫出反函數，再取非，方得到原函數L。4．卡諾圖化簡邏輯函數的另一種方法--圈0法例2.6.8

已知邏輯函數的卡諾圖如圖2.6.10所示，分別用“圈0法”和“圈1法”寫出其最簡與—或式。解：（1）用圈0法畫包圍圈如圖2.6.10（a）所示，得取非，得：

對取非:圖2.6.10例2.6.8的卡諾圖

圖2.6.10例2.6.8的卡諾圖（2）用圈1法畫包圍圈如圖2.6.10（b）所示，得：5.

具有無關項的邏輯函數的化簡(1)什么是無關項邏輯函數所有2n個最小項中有時會有一些最小項是受約束的項(不允許出現(xiàn))或者是任意項(有這些項還是無這些項對邏輯函數沒有影響)，這些約束項和任意項統(tǒng)稱無關最小項。例2.6.9

在十字路口有紅綠黃三色交通信號燈，規(guī)定紅燈亮停，綠燈亮行，黃燈亮等一等，試分析車行與三色信號燈之間邏輯關系。

無關最小項在邏輯函數中要么不會出現(xiàn)，要么對邏輯函數無影響，因此這些無關最小項在卡諾圖中相應的方格中是1或是0都無所謂。在填卡諾圖時，這些無關最小項在相應的方格中填“×”，以示區(qū)別。在畫包圍圈時，可把“×”當1看待，也可把“×”當0看待。究竟把“×”當1還是當0，應根據化簡需要而定。解：設紅、綠、黃燈分別用A、B、C表示，且燈亮為1，燈滅為0。車用L表示，車行L=1，車停L=0。列出該函數的真值表如表2.6.3所示。

L=∑m（）+∑d（）表2.6.3例2.6.9的真值表紅燈A綠燈B黃燈C車L000×00100101011×1000101×110×111×

在這個函數中，有5個最小項是不會出現(xiàn)的，如（三個燈都不亮）、（紅燈綠燈同時亮）等。因為一個正常的交通燈系統(tǒng)不可能出現(xiàn)這些情況，如果出現(xiàn)了，車可以行也可以停，即邏輯值任意。

帶有無關項的邏輯函數的最小項表達式為：

本例函數可寫成L=∑m（2）+∑d（0,3,5,6,7）

(2)具有無關項的邏輯函數的化簡表2.6.3例2.6.9的真值表紅燈A綠燈B黃燈C車L000×00100101011×1000101×110×111×

例2.6.10

某邏輯函數輸入是8421BCD碼（即不可能出現(xiàn)

1010～1111這6種輸入組合），其邏輯表達式為：

L=∑m（1,4,5,6,7,9）+∑d（10,11,12,13,14,15），用卡諾圖法化簡該邏輯函數。解：（1）畫出4變量卡諾圖，如圖2.6.12（a）所示。將1、4、

5、6、7、9號小方格填入1；將10、11、12、13、14、

15號小方格填入×。（3）寫出邏輯函數的最簡與—或表達式:如果不考慮無關項，則：

可見不是最簡。2.7**

邏輯函數化簡與變換Multisim10仿真2.7.1Multisim10主要功能及特點2.7.2Multisim10安裝2.7.3Multisim10的基本操作2.7**

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10提供了邏輯分析儀、安捷倫儀器、波特圖儀、失真分析儀、頻率計數器、函數信號發(fā)生器、數字萬用表、網絡分析儀、頻譜分析儀、瓦特表和字信號發(fā)生器等18種虛擬儀器，其功能與實際儀表相同。Multisim

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啟動安裝：將Multisim10安裝光盤放入光驅，光盤會自啟動，單擊Next繼續(xù)。

第一安裝階段：閱讀授權協(xié)議，單擊Yes接受協(xié)議；閱讀出現(xiàn)的系統(tǒng)升級對話框，單擊Next進行系統(tǒng)窗口文件的升級；程序提醒用戶關閉所有的Windows應用程序，重新啟動計算機。注意，計算機重新啟動后，安裝程序不會繼續(xù)執(zhí)行安裝，必須重新啟動安裝程序，點擊start/allprograms/Startup/ContinueSetup，安裝程序重新啟動。

第二安裝階段：安裝程序重新啟動后，第一階段出現(xiàn)過的界面和對話框還會再一次出現(xiàn)，按以上相應步驟執(zhí)行。接下來輸入用戶姓名、公司名稱和Multisim10的20位系列碼，單擊Next繼續(xù)。選擇Multisim10的安裝位置，可選擇缺省位置，也可單擊Browse選擇另一位置，或輸入文件夾名。單擊Next繼續(xù)，Multisim10將完成安裝。

第三安裝階段：

Multisim10安裝完畢后，可以選擇是否安裝AdobeAcrobatReaderVersion4，單擊Next并根據指導進行安