Polya計數(shù)法置換群于對稱群課件

置換群與Polya計數(shù)法課程綱要1置換群概念置換群定義、性質(zhì)及應(yīng)用2對稱群對稱群的定義和性質(zhì)3循環(huán)置換循環(huán)置換的定義和性質(zhì)4Polya計數(shù)法Polya計數(shù)法的基本思想及應(yīng)用對稱群的結(jié)構(gòu)對稱群Sn是由集合{1,2,...,n}上的所有置換組成的群。每個置換都是一個將集合元素重新排列的映射，可以表示為一個二維數(shù)組，其中第一行表示原始元素，第二行表示元素被映射到的位置。對稱群Sn的結(jié)構(gòu)可以表示為一個Cayley圖，圖中的節(jié)點表示群中的元素，邊表示群運算。由于對稱群是一個非交換群，因此Cayley圖通常是非對稱的。置換群概念引入集合和映射置換群建立在集合和映射的基礎(chǔ)上。首先定義一個集合，它包含了一組元素。然后定義一個映射，它將集合中的元素映射到集合本身中的其他元素。群的定義置換群是一種特殊的群，它由集合上的雙射映射組成。這些映射必須滿足群的定義，即封閉性、結(jié)合律、單位元和逆元。置換群的性質(zhì)封閉性置換群中任意兩個置換的乘積仍然是該群中的一個置換。單位元置換群中存在一個單位元，它與任何置換的乘積都等于該置換。逆元置換群中每個置換都存在一個逆元，它們相乘等于單位元。置換群的階置換群的階指的是群中元素的個數(shù)，也就是置換的總數(shù)。置換群的元素分類對換僅交換兩個元素位置，其余元素保持不變的置換稱為對換。循環(huán)置換將一組元素按照特定順序循環(huán)排列，形成一個封閉的循環(huán)，稱為循環(huán)置換。復(fù)合置換由多個對換或循環(huán)置換組合而成的置換，稱為復(fù)合置換。循環(huán)置換定義在一個置換中，如果元素按照某個順序排列，使得每個元素都映射到下一個元素，最后一個元素映射到第一個元素，則稱該置換為循環(huán)置換。表示法循環(huán)置換通常用圓括號表示，例如(132)表示元素1映射到3，3映射到2，2映射到1。長度循環(huán)置換的長度是指循環(huán)中包含的元素數(shù)量，例如(132)的長度為3。循環(huán)置換的性質(zhì)循環(huán)置換的階一個循環(huán)置換的階等于它的長度。循環(huán)置換的逆循環(huán)置換的逆等于將循環(huán)置換中的元素順序反轉(zhuǎn)。循環(huán)置換的乘積兩個循環(huán)置換的乘積可以通過將它們連接起來得到。置換群的子群置換群的子群是其自身的一個非空子集，并且滿足群的定義。子群必須包含群的單位元，并且對于子群中的任意兩個元素，它們的乘積和逆元也屬于子群。子群的概念幫助我們理解置換群的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，以及其元素之間的關(guān)系。對稱群的子群1定義對稱群的子群是指對稱群中滿足群運算封閉性、結(jié)合律、單位元存在性和逆元存在的子集。2性質(zhì)對稱群的子群也是群，且其階為對稱群階的因子。3重要性對稱群的子群在研究對稱群結(jié)構(gòu)和計數(shù)問題中起著重要作用，可以幫助我們理解對稱群的性質(zhì)和應(yīng)用。Polya計數(shù)法引入1對稱群理解對稱群結(jié)構(gòu)，為Polya計數(shù)法奠定基礎(chǔ)2置換群置換群概念是Polya計數(shù)法的核心3Polya計數(shù)法運用群論解決組合計數(shù)問題Polya計數(shù)法的基本思想等價類劃分Polya計數(shù)法基于將所有可能的結(jié)果劃分成等價類，即對稱性相同的對象歸為一類。Burnside引理利用Burnside引理計算每個等價類中元素的個數(shù)，進(jìn)而求得所有等價類的個數(shù)。Polya定理公式表示Polya定理利用群論和組合數(shù)學(xué)理論，提供了一種計算不同著色方案的方法。應(yīng)用場景該定理廣泛應(yīng)用于化學(xué)、物理、計算機科學(xué)等領(lǐng)域，解決著色、排列、組合等問題。應(yīng)用Polya定理解決計數(shù)問題問題分析明確計數(shù)對象、著色方案和對稱群。循環(huán)指標(biāo)計算對稱群中每個置換的循環(huán)指標(biāo)。Polya定理利用Polya定理計算著色方案數(shù)。結(jié)果驗證檢驗結(jié)果是否符合實際情況。Polya定理的證明思路1循環(huán)指標(biāo)計算群作用下不動點的數(shù)量2置換群定義群作用，并分析不動點3Burnside引理將不動點與群元素聯(lián)系簡單應(yīng)用舉例例如，假設(shè)我們要對一個圓形進(jìn)行染色，可以使用三種顏色：紅色、藍(lán)色和綠色。我們想知道有多少種不同的染色方式？我們可以用Polya定理來解決這個問題。首先，我們需要確定圓形的所有對稱性。圓形有6種對稱性：旋轉(zhuǎn)0度、旋轉(zhuǎn)60度、旋轉(zhuǎn)120度、旋轉(zhuǎn)180度、旋轉(zhuǎn)240度和旋轉(zhuǎn)300度。我們可以用置換群來表示圓形的所有對稱性。例如，旋轉(zhuǎn)60度的置換可以表示為(123456)，其中1被映射到2，2被映射到3，以此類推。復(fù)雜應(yīng)用舉例1例如，考慮一個六邊形，我們想要用兩種顏色對其六個面進(jìn)行染色，那么有多少種不同的染色方案？我們可以使用Polya定理來解決這個問題。首先，我們需要找出所有可能的染色方案。由于有兩種顏色，所以每個面有兩種選擇，總共有2^6=64種可能的染色方案。接下來，我們需要考慮對稱群。對于六邊形，它的對稱群是D6，包含12個元素，包括旋轉(zhuǎn)和翻轉(zhuǎn)。復(fù)雜應(yīng)用舉例2例如，求解一個正六邊形的所有不同的染色方案，每個頂點可以染上紅、黃、藍(lán)三種顏色，旋轉(zhuǎn)或翻轉(zhuǎn)后相同的方案算作同一種方案。復(fù)雜應(yīng)用舉例3馬賽克圖案使用Polya計數(shù)法，可以計算出有多少種不同的馬賽克圖案，這些圖案由不同顏色的瓷磚組成，并且這些圖案可以被旋轉(zhuǎn)或翻轉(zhuǎn)。幾何圖案Polya計數(shù)法也適用于計算幾何圖案的數(shù)量，例如可以計算出有多少種不同的三角形、正方形或五邊形圖案，這些圖案可以使用不同的顏色進(jìn)行繪制。復(fù)雜應(yīng)用舉例4利用Polya計數(shù)法，可以計算不同類型的項鏈的個數(shù)。例如，假設(shè)我們要用三種顏色的珠子串成一條項鏈，每條項鏈上共有5顆珠子，問有多少種不同的項鏈?復(fù)雜應(yīng)用舉例5考慮一個正六邊形，每個頂點可以染成紅色或藍(lán)色，求有多少種不同的染色方案？我們可以使用Polya定理來解決這個問題。首先，我們需要確定對稱群的元素，即六邊形的所有對稱變換。然后，我們可以計算每個對稱變換下的染色方案數(shù)，并使用Polya定理求得總的染色方案數(shù)。課程總結(jié)置換群對稱群是重要的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，Polya計數(shù)法是解決對稱物體計數(shù)問題的有力工具。Polya定理理解循環(huán)置換和等價類是掌握Polya定理的關(guān)鍵。利用Polya定理可以有效解決各種計數(shù)問題。典型習(xí)題演練1例題1求一個四面體的所有對稱變換構(gòu)成一個群。例題2求一個正方形的所有對稱變換構(gòu)成一個群。典型習(xí)題演練2題目1將一個正方形染色，用紅、藍(lán)、綠三種顏色，每個正方形的四個頂點都必須染成不同的顏色。求有多少種不同的染色方案。題目2用三種顏色給六個點染顏色，每個點的顏色都可以相同或不同。求有多少種不同的染色方案？典型習(xí)題演練3問題描述請描述一個具體的應(yīng)用場景，并解釋如何使用Polya計數(shù)法解決該問題。解答思路首先明確問題中需要計數(shù)的對象，然后確定對稱群的結(jié)構(gòu)，最后利用Polya定理計算計數(shù)結(jié)果。解題步驟詳細(xì)列出解題步驟，包括確定對稱群、計算循環(huán)指標(biāo)、應(yīng)用Polya定理等。典型習(xí)題演練4習(xí)題內(nèi)容計算將10個相同的球放入3個不同的盒子里，要求每個盒子至少有一個球的方案數(shù)。解題步驟首先將10個球放入3個盒子，不考慮每個盒子至少有一個球的限制，共有C(10+3-1,3-1)=66種方案。然后考慮每個盒子都為空的方案，共有C(10+3-1,3-1)=66種方案。最終，將10個球放入3個盒子，要求每個盒子至少有一個球的方案數(shù)為66-66=0。典型習(xí)題演練5將一個正方體染成三種顏色，每面一種顏色，問有多少種不同的染色方案？利用Polya計數(shù)法，我們首先分析正方體的對稱性。正方體的對稱群有48個元素，包括旋轉(zhuǎn)和反射。我們可以將對稱群分成若干個循環(huán)置換類，每個循環(huán)置換類對應(yīng)一種染色方案。例如，將正方體旋轉(zhuǎn)90度，每個面都會旋轉(zhuǎn)到另一個面，這對應(yīng)一個4個元素的循環(huán)置換。同樣地，將正方體繞著一個面中心旋轉(zhuǎn)180度，對應(yīng)一個2個元素的循環(huán)置換。根據(jù)Polya定理，不同的染色方案數(shù)等于對稱群中所有循環(huán)置換類中，顏色分配方案數(shù)的平均值。我們計算每個循環(huán)置換類中，顏色分配方案數(shù)，并將結(jié)果加起來，最后除以48，就可以得到最終答案。課后思考題如何將Polya