第18講導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用教學(xué)幻燈片

新課標(biāo)高中一輪總復(fù)習(xí)第三單元導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第18講導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用1.對(duì)任意實(shí)數(shù)x,若f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x)，且x>0時(shí)，f′(x)>0,g′(x)>0，則x<0時(shí)，有()BA.f′(x)>0,g′(x)>0B.f′(x)>0,g′(x)<0C.f′(x)<0,g′(x)>0D.f′(x)<0,g′(x)<0由已知,f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),又x>0，f′(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)在(-∞,0)上也是單調(diào)遞增,即x<0時(shí)，f′(x)>0.同理，g(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減，所以x<0時(shí)，g′(x)<0，故選B.2.已知函數(shù)y=f′(x)的圖象如右圖所示(其中f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)).下面四個(gè)圖象中,y=f(x)的大致圖象是()A

y=f′(x),由題圖知，當(dāng)x<-1時(shí)，y<0,所以f′(x)<0,所以f(x)遞減;當(dāng)-1＜x＜0時(shí),y＞0,所以f′(x)>0,所以f(x)遞增;當(dāng)0＜x＜1時(shí),y＜0,所以f′(x)＜0,所以f(x)遞減;當(dāng)x＞1時(shí)，y＞0,所以f′(x)＞0,所以f(x)遞增.故選A.3.內(nèi)接于半徑為R的半圓的周長(zhǎng)最大的矩形的邊長(zhǎng)分別是

.R和R如圖，設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為2x,則另一邊長(zhǎng)為(0＜x＜R),所以矩形的周長(zhǎng)y=2(2x+),所以y′=2(2-)(0＜x＜R).令y′=0,得x=R,此時(shí)=R，易得x=R是y=2(2x+)的極大值點(diǎn)，即同時(shí)也是定義域上的最大值點(diǎn).4.設(shè)點(diǎn)P是曲線y=x3-3x+上任意一點(diǎn)，P點(diǎn)處切線的傾斜角為α，則角α的取值范圍是

.［0,)∪［,π)因?yàn)閥′=3x2-3≥-3,所以tanα≥-3,所以α∈［0,)∪［,π).1.利用導(dǎo)數(shù)解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題可歸結(jié)為求函數(shù)的最值問(wèn)題其解題的程序:讀題(文字語(yǔ)言)建模(數(shù)學(xué)語(yǔ)言)求解(數(shù)學(xué)應(yīng)用)反饋(檢驗(yàn)作答)注意事項(xiàng)：(1)函數(shù)建模，要設(shè)出兩個(gè)變量，根據(jù)題意分析它們的關(guān)系，把變量間的關(guān)系轉(zhuǎn)化成函數(shù)關(guān)系式，并確定自變量的取值范圍；(2)問(wèn)題求解中所得出的數(shù)學(xué)結(jié)果要檢驗(yàn)它是否符合問(wèn)題的實(shí)際意義；(3)在函數(shù)定義域內(nèi)只有一個(gè)極值，則該極值就是所求的最大(小)值.2.近幾年高考中和導(dǎo)數(shù)有關(guān)的綜合題主要有以下幾類(1)求參數(shù)的取值范圍.多數(shù)給出單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的逆向思維問(wèn)題,靈活運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想方法,建立關(guān)于字母參數(shù)的不等關(guān)系.(2)用導(dǎo)數(shù)方法證明不等式.其步驟一般是：構(gòu)造可導(dǎo)函數(shù)——研究單調(diào)性或最值——得出不等關(guān)系——整理得出結(jié)論.(3)與幾何圖形相關(guān)的最值問(wèn)題.根據(jù)幾何知識(shí)建立函數(shù)關(guān)系，然后用導(dǎo)數(shù)方法求最值.題型一導(dǎo)數(shù)與三次函數(shù)的問(wèn)題例1已知函數(shù)f(x)=x3-ax2-3x.（1）若f(x)在[1,+∞)上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若x=3是f(x)的極值點(diǎn)，當(dāng)x∈[1,a]時(shí)，求f(x)的最大值和最小值.

（1）可由y=f′(x)在[1,+∞)上f′(x)>0恒成立來(lái)確定含參不等式，利用等價(jià)轉(zhuǎn)化求得a的取值范圍.(1)f′(x)=3x2-2ax-3>0，在x∈[1,+∞)上恒成立，所以a<(x-).當(dāng)x≥1時(shí)，y=(x-)是增函數(shù)，其最小值為×(1-1)=0.所以a<0，又a=0也合題意，所以a≤0.(2)依題意f′(3)=0，即27-6a-3=0，所以a=4.所以f(x)=x3-4x2-3x,則f′(x)=3x2-8x-3=(3x+1)(x-3),故f(x)有極大值點(diǎn)x=-，極小值點(diǎn)x=3.此時(shí)，f(x)在[-,3]上是減函數(shù)，在[3,+∞)上是增函數(shù).所以f(x)在x∈[1,a]上的最小值是f(3)=-18,最大值是f(1)=-6（這里f(a)=f(4)=-12<f(1)=-6).三次函數(shù)是導(dǎo)數(shù)內(nèi)容中最簡(jiǎn)單的高次函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)，這類問(wèn)題的難點(diǎn)是研究其中的參數(shù)的取值范圍.破解難點(diǎn)的方法是對(duì)三次函數(shù)求導(dǎo)后，化歸成二次函數(shù)，通過(guò)二次函數(shù)根的分布求解，或利用數(shù)形結(jié)合思想畫出函數(shù)的極大值、極小值后進(jìn)行對(duì)比分析，求出參數(shù)的取值范圍.解三次函數(shù)的問(wèn)題，可借助導(dǎo)數(shù)工具進(jìn)行研究，推進(jìn)了二次函數(shù)性質(zhì)的深化與二次函數(shù)方法的研究.題型二利用導(dǎo)數(shù)證明不等式例2已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)=x2+2ax,g(x)=3a2lnx+b,其中a>0.設(shè)兩曲線y=f(x),y=g(x)有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同.(1)用a表示b，并求b的最大值；(2)求證：f(x)≥g(x)(x>0).第（1）問(wèn)由函數(shù)f(x)與g(x)在公共點(diǎn)(x0,y0)處的切線相同，建立關(guān)于b的函數(shù)關(guān)系式，然后求出b的最大值；第（2）問(wèn)求證f(x)≥g(x)(x>0)，先構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)(x>0)，再證明在x>0時(shí)，F(xiàn)(x)≥0成立即可.

(1)設(shè)y=f(x)與y=g(x)(x>0)在公共點(diǎn)(x0,y0)處的切線相同.又f′(x)=x+2a,g′(x)=，由題意知f(x0)=g(x0)f′(x0)=g′(x0),即x02+2ax0=3a2lnx0+b

x0+2a=,由x0+2a=得x0=a,或x0=-3a(舍去)，即有b=a2+2a2-3a2lna=a2-3a2lna.令h(t)=t2-3t2lnt(t>0),則h′(t)=2t(1-3lnt).由h′(t)=0,得t=e或t=0(舍去）,列表如下：于是h(t)在(0,+∞)上的最大值為h(e)=e

，即b的最大值為e.t(0,e)

e(e,+∞)h′(t)+0-h(t)極大值(2)證明：設(shè)F(x)=f(x)-g(x)=x2+2ax-3a2lnx-b(x>0),則F′(x)=x+2a-=(x>0).故F(x)在(0,a)上為減函數(shù),在(a,+∞)上為增函數(shù),由F′(x)=0，得x=a或=-3a(舍去).列表如下：x(0,a)

a(0,+∞)F′(x)-0+F(x)極小值于是函數(shù)F(x)在(0,+∞)上的最小值是F(a)=F(x0)=f(x0)-g(x0)=0.故當(dāng)x>0時(shí),有f(x)-g(x)≥0,即當(dāng)x>0時(shí),f(x)≥g(x).利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，就是把不等式恒成立的問(wèn)題，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的問(wèn)題．應(yīng)用這種方法的難點(diǎn)是如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)或者根據(jù)題目證明目標(biāo)的要求，構(gòu)造出相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式．破解的基本思路是從函數(shù)的角度分析和理解要證明的不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去構(gòu)造函數(shù)式，或者從不等式證明的放縮方向上去構(gòu)造函數(shù)式，使所構(gòu)造出的函數(shù)是不等式證明所需要的最佳函數(shù).題型三導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用受金融危機(jī)的影響，三峽某旅游公司經(jīng)濟(jì)效益出現(xiàn)了一定程度的滑坡.現(xiàn)需要對(duì)某一景點(diǎn)進(jìn)行改造升級(jí)，提高旅游增加值.經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查,旅游增加值y萬(wàn)元與投入x萬(wàn)元之間滿足:y=x-ax2-ln

,∈[t,+∞)，其中t為大于的常數(shù).當(dāng)x=10時(shí),y=9.2.(1)求y=f(x)的解析式和投入x的取值范圍；

(2)求旅游增加值y取得最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的x的值.例3第(1)問(wèn)把x=10,y=9.2代入函數(shù)式,即可求出a的值,得到y(tǒng)=f(x);第(2)問(wèn)求f(x)在區(qū)間上的最大值,需要先討論y=f(x)的單調(diào)性,確定取得最大值的區(qū)間和對(duì)應(yīng)的x的值.

（1）因?yàn)楫?dāng)x=10時(shí)，y=9.2，即×10-a×102-ln1=9.2，解得a=,所以f(x)=x-

-ln.因?yàn)椤輙且t>，所以6<x≤.即投入x的取值范圍是(6,].(2)對(duì)f(x)求導(dǎo)，得f′(x)=--=-=-.令f′(x)=0，得x=50或x=1(舍去).當(dāng)x∈(6,50)時(shí)，f′(x)>0，且f(x)在(6,50]上連續(xù)，因此，f(x)在(6,50]上是增函數(shù)；當(dāng)x∈(50,+∞)時(shí)，f′(x)<0且f(x)在[50,+∞)上連續(xù).因此，f(x)在[50,+∞)上是減函數(shù).所以x=50為極大值點(diǎn).當(dāng)≥50，即t∈(,]時(shí)，投入50萬(wàn)元改造時(shí)取得最大增加值；當(dāng)6<<50,即t∈(,+∞)時(shí),投入萬(wàn)元改造時(shí)取得最大增加值.本題的難點(diǎn)是求旅游增加值y取得最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的x的值．由第(1)問(wèn)可知x的取值范圍是(6，]，因此需要從研究f(x)在這個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性入手，找到變量t所在區(qū)間上y取得最大值時(shí)x的值.利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)作為解題工具研究函數(shù)的最值等，體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)知識(shí)在求解實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用價(jià)值，需要考生多揣摩.1.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式，關(guān)鍵在于構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù).2.利用導(dǎo)數(shù)解決優(yōu)化問(wèn)題，關(guān)鍵在于建立目標(biāo)函數(shù)，并且還要根據(jù)實(shí)際問(wèn)題，寫出函數(shù)的定義域.3.在求實(shí)際問(wèn)題的最值時(shí)，如果只有一個(gè)極值點(diǎn)，則此點(diǎn)就是最值點(diǎn).學(xué)例1(2009·湖南卷)某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距m米，余下工程只需建兩端橋墩之間的橋面和橋墩.經(jīng)測(cè)算，一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為256萬(wàn)元；距離為x米的相鄰兩墩之間的橋面工程費(fèi)