對弧長的曲線積分

對弧長的曲線積分一、第一類曲線積分的概念引例1設(shè)有一曲線形物體所占的位置是xOy面內(nèi)的一段曲線L，它的端點是A，B，它的質(zhì)量分布不均勻，其線密度為ρ(x,y)，試求該物體的質(zhì)量M（見圖10-1）.圖10-1一、第一類曲線積分的概念分析如果該物體的線密度為常量，那么它的質(zhì)量可用公式質(zhì)量=線密度×長度來計算.由于該物體上各點處的線密度是變量，所以不能用上述公式來計算.下面采用以下幾個步驟來解決這個問題.一、第一類曲線積分的概念(1)分割在L上任意插入一點列M1,M2,…,Mn-1,把L分成n個小段，相應(yīng)地，曲線形物體也分成n個小段，每一小段的質(zhì)量為ΔMi(i=1,2,…,n)，則該曲線形物體的質(zhì)量(2)近似取其中一小段物體

（其長度記為Δsi）來考慮,當(dāng)Δsi很小時，其上的線密度可以近似看成是不變的常數(shù)，它近似等于該小段上任一點ξi,ηi處的線密度ρ(ξi,ηi)，于是，該小段的質(zhì)量ΔMi可近似表示為一、第一類曲線積分的概念(3)求和該曲線形物體的質(zhì)量(4)取極限設(shè)λ=maxΔs1,Δs2,…,Δsn，當(dāng)λ→0時取上述和的極限，于是整個曲線形物體的質(zhì)量這種和的極限在研究其他問題時經(jīng)常用到，于是將其抽象出來，得到第一類曲線積分的定義.一、第一類曲線積分的概念定義設(shè)L為xOy面內(nèi)的一條光滑曲線弧，函數(shù)fx,y在L上有界.在L上任意插入一點列M1,M2,…,Mn-1把L分成n個小段.設(shè)第i個小段的長度為Δsi，又ξi,ηi為第i個小段上任意取定的一點.如果當(dāng)小弧的長度的最大值λ→0時，的極限是存在的，則稱此極限為函數(shù)fx,y在曲線弧L上的第一類曲線積分或?qū)￠L的曲線積分，記為

（10-1）其中fx,y稱為被積函數(shù)，L稱為積分弧段，ds稱為弧長元素.一、第一類曲線積分的概念函數(shù)fx,y在閉曲線L上的第一類曲線積分記為注意式(10-1)中和式的極限存在的一個充分條件是函數(shù)f(x,y)在曲線L上連續(xù).因此，以后總假定f(x,y)在曲線L上是連續(xù)的，在此條件下，第一類曲線積分總是存在的.根據(jù)第一類曲線積分的定義，引例中曲線形物體的質(zhì)量當(dāng)線密度ρ(x,y)在L上連續(xù)時，就等于ρ(x,y)在L上的第一類曲線積分，即一、第一類曲線積分的概念曲線L的質(zhì)心的坐標(biāo)為轉(zhuǎn)動慣量為上述定義可類似地推廣到積分弧段為空間曲線弧Γ的情形，即函數(shù)f(x,y,z)在空間曲線Γ上的第一類曲線積分為二、第一類曲線積分的性質(zhì)性質(zhì)1設(shè)α，β為常數(shù)，則性質(zhì)2設(shè)L由L1和L2兩段光滑曲線組成(記L=L1+L2)，則二、第一類曲線積分的性質(zhì)若曲線L可分成有限段，而且每一段都是光滑的，則稱L是分段光滑的，在以后的討論中總假定L是光滑的或分段光滑的.注意二、第一類曲線積分的性質(zhì)性質(zhì)3設(shè)在L上有f(x,y)≤g(x,y)，則性質(zhì)4（中值定理）設(shè)函數(shù)f(x,y)在曲線L上連續(xù)，則在L上必存在一點(ξ,η)，使其中s是曲線L的長度.二、第一類曲線積分的性質(zhì)性質(zhì)5（奇、偶對稱性）設(shè)函數(shù)f(x，y)在曲線L上連續(xù).若曲線L關(guān)于y軸對稱，則若曲線L關(guān)于x軸對稱，則二、第一類曲線積分的性質(zhì)其中L1=x,yx,y∈L,y≥0.若曲線L關(guān)于x,y軸對稱,則其中L1=x,yx,y∈L,x≥0,y≥0.二、第一類曲線積分的性質(zhì)性質(zhì)6（輪換對稱性）設(shè)函數(shù)f(x，y)在曲線L上連續(xù)，若曲線L中將x與y互換后，L變?yōu)長′,則特別地，若L關(guān)于y=x對稱，則對于積分也有相應(yīng)的性質(zhì)，讀者可自行寫出.三、第一類曲線積分的計算設(shè)有曲線其中x(t),y(t)在［α,β］上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且函數(shù)f(x,y)為定義在L上的連續(xù)函數(shù)，則曲線積分存在，且

（10-2）定理三、第一類曲線積分的計算根據(jù)第一類曲線積分的定義，有其中設(shè)點對應(yīng)于參數(shù)值

即由弧長公式知，L上由t=ti－1到t=ti的弧長證明二、第一類曲線積分的性質(zhì)由積分中值定理，有其中于是二、第一類曲線積分的性質(zhì)因為復(fù)合函數(shù)f［x(t),y(t)］關(guān)于t連續(xù)，所以在［α,β］上有界，即0,使得f［x(t),y(t)］≤M.由于函數(shù)在［α,β］上連續(xù),所以它在［α,β］上一致連續(xù)，即0,當(dāng)Δt<δ時，有從而二、第一類曲線積分的性質(zhì)所以因此二、第一類曲線積分的性質(zhì)（1）由于函數(shù)

在［α,β］上連續(xù)，所以定積分存在（2）定積分的下限α一定小于上限β.若曲線L的方程為y=y(x),a≤x≤b，則注意二、第一類曲線積分的性質(zhì)若曲線L的方程為x=x(y),c≤y≤d，則若曲線L的方程為ρ=ρ(θ),α≤θ≤β，則公式(10-2)可推廣到空間曲線Γ的情形.設(shè)Γ的參數(shù)方程為則二、第一類曲線積分的性質(zhì)求其中L為下半圓周

解由于下半圓周的參數(shù)方程為所以【例1】二、第一類曲線積分的性質(zhì)求半徑為R,中心角為2α的圓弧L的質(zhì)心(設(shè)線密度ρ=1).

解取坐標(biāo)系如圖10-2所示.【例2】圖10-2二、第一類曲線積分的性質(zhì)由對稱性知，利用L的參數(shù)方程于是因此圓弧的質(zhì)心為二、第一類曲線積分的性質(zhì)求,其中L是以O(shè)(0,0)，A(1,0)，B(0,1)為頂點的三角形的邊界（見圖10-3）.【例3】圖10-3二、第一類曲線積分的性質(zhì)

解二、第一類曲線積分的性質(zhì)求其中L為雙紐線（見圖10-4）的弧.【例4】圖10-4二、第一類曲線積分的性質(zhì)

解雙紐線的極坐標(biāo)方程為用隱函數(shù)求導(dǎo)得即，因此結(jié)合對稱性，所以二、第一類曲線積分的性質(zhì)設(shè)L為橢圓