對坐標的曲面積分

對坐標的曲面積分一、有向曲面假設某一曲面Σ是光滑的，在Σ上任取一點P，過此點作一法線，該法線存在兩個方向，選定其中一個方向，則當該點在曲面上連續(xù)變動時，相應的法向量也隨著連續(xù)變動，如果此點在曲面上連續(xù)變動后（不超過曲面的邊界）回到原來的位置時，相應的法向量的方向與原方向相同，就稱Σ是一個雙側曲面；反之，則稱Σ是一個單側曲面.一、有向曲面通常遇到的曲面有上下、左右、前后兩側之分，如果是閉合曲面，還有內、外側之分.這主要通過曲面上某一點處法向量的指向來定出曲面的側.例如，對于z=z(x,y)曲面，如果取它的法向量n的指向朝上，就認為取定曲面的上側；對于y=y(x,z)曲面，如果取它的法向量n的指向朝右，就認為取定曲面的右側；對于x=x(y,z)曲面，如果取它的法向量n的指向朝前，就認為取定曲面的前側；對于閉曲面，如果取定它的法向量n的指向朝外，就認為取定曲面的外側.這種通過取定曲面上的一個法向量來規(guī)定曲面的側的曲面稱為有向曲面.一、有向曲面下面介紹有向曲面在坐標平面上的投影.設Σ是有向曲面.在Σ上取一小塊曲面ΔS,將ΔS分別投影到y(tǒng)Oz,zOx,xOy面上得一投影區(qū)域，記此投影區(qū)域的面積分別為

設ΔS上各點處的法向量與x軸、y軸、z軸的夾角分別為α,β,γ,這些角的余弦cos

α,cos

β,cos

γ分別在每一點處有相同的符號(即cos

α,cos

β,cos

γ分別都是正的或都是負的)，則規(guī)定ΔS在yOz,zOx,xOy面上的投影分別為一、有向曲面二、第二類曲面積分的概念與性質引例引例設流體(假定密度為1)在空間Ω內流動，它的流速是v，這里假定速度v是定常的，即它與時間無關,設Σ是空間Ω內的光滑有向曲面，函數(shù)都在Σ上連續(xù)，求單位時間內流體流向曲面Σ指定側的流量二、第二類曲面積分的概念與性質分析如果Σ為一個平面閉區(qū)域，其面積為A，且流體在這閉區(qū)域上各點處的流速v是常向量，又設n為該平面的單位法向量，那么在單位時間內流過該閉區(qū)域的流體構成一個底面積為A，高為|v|的斜柱體，這個斜柱體的體積等于以Σ為底、以v在n上的投影為高的正柱體的體積，即其中θ為v與n的夾角.如果Σ不是平面而是一片曲面，且流速v也不是常向量時，所求流量就不能按照上述公式計算.下面采用以下幾個步驟來解決這個問題.二、第二類曲面積分的概念與性質

(1)分割在Σ上任意分成n小塊ΔSi（ΔSi同時也代表第i個小塊的面積），取其中一小塊ΔSi來考慮.設通過ΔSi流向指定側的流量為ΔΦi，則通過整個曲面Σ的流量為(2)近似在Σ是光滑和v是連續(xù)的前提下，當這小塊ΔSi的直徑很短時，其上任一點處的流速可代替ΔSi上其他各點處的流速，曲面Σ在點處的單位法向量可代替ΔSi上其他各點處的法向量，于是，通過ΔSi流向指定側的流量ΔΦi可近似表示為二、第二類曲面積分的概念與性質(3)求和于是通過整個曲面Σ的流量為(4)取極限如果當各小塊曲面的直徑的最大值λ→0時，該和式的極限存在，則此極限值就是通過整個曲面Σ的流量這樣的極限在其他問題中還會遇到，因此可得出第二類曲面積分的概念.二、第二類曲面積分的概念與性質定義設Σ為光滑的有向曲面，函數(shù)P（

x,y,z

），Q（

x,y,z

），R（

x,y,z

），在Σ上有界.把Σ任意分成n塊小曲面ΔSi（ΔSi同時又表示第i塊小曲面的面積），ΔSi在三個坐標面上的投影分別為在ΔSi上任取一點如果當各小塊曲面的直徑的最大值λ→0時，二、第二類曲面積分的概念與性質總存在，則稱此極限為函數(shù)在有向曲面Σ上的第二類曲面積分或對坐標的曲面積分，記為或其中

稱為被積函數(shù)，Σ稱為積分曲面.二、第二類曲面積分的概念與性質稱為函數(shù)Px,y,z在有向曲面Σ上對坐標y,z的曲面積分；稱為函數(shù)Q（

x,y,z

）在有向曲面Σ上對坐標z,x的曲面積分；稱為函數(shù)Rx,y,z在有向曲面Σ上對坐標x,y的曲面積分.二、第二類曲面積分的概念與性質根據(jù)上述定義，某流體以速度在單位時間內流過有向曲面Σ指定側的流量

第二類曲面積分具有第二類曲線積分相類似的一些性質.例如：（1）設曲面Σ可分成兩片光滑曲面Σ1及Σ2,則二、第二類曲面積分的概念與性質

（2）設Σ是有向曲面，Σ-表示與Σ取相反側的有向曲面，則三、第二類曲面積分的計算定理設光滑曲面Σ是由方程z=z（

x,y

）所給出的曲面上側，Σ在xOy面上的投影區(qū)域為Dxy，函數(shù)z=z（

x,y

）在Dxy上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，R（

x,y,z

）是Σ上的連續(xù)函數(shù)，則

（10-13）定理三、第二類曲面積分的計算證明由第二類曲面積分的定義，有因為Σ取上側，所以所以又因為是Σ上的一點，故所以三、第二類曲面積分的計算公式(10-13)的曲面積分是取在曲面Σ上側的；如果曲面積分取在Σ的下側，則有注意三、第二類曲面積分的計算其中d是各投影區(qū)域的直徑的最大值.由于R（

x,y,z

）在Σ上連續(xù)，z（

x,y

）在Dxy上連續(xù)，根據(jù)復合函數(shù)的連續(xù)性，也在Dxy上連續(xù).由二重積分的定義因此三、第二類曲面積分的計算類似地，當P（

x,y,z

）在光滑曲面上連續(xù)時，有這里取積分曲面Σ的前側.當Q（

x,y,z

）在光滑曲面上連續(xù)時，有這里取積分曲面Σ的右側.三、第二類曲面積分的計算求其中Σ是球面x2+y2+z2=1的外側，f(x,y,z)分別為

解

(1)把有向曲面Σ分成Σ1和Σ2兩部分,Σ1的方程為曲面Σ1取上側；Σ2的方程為曲面Σ2取下側，則【例1】三、第二類曲面積分的計算(2)把有向曲面Σ分成Σ1和Σ2兩部分，Σ1的方程為曲面Σ1取上側；Σ2的方程為曲面Σ2取下側，則三、第二類曲面積分的計算

三、第二類曲面積分的計算求其中Σ是曲面x2+y2=R2及兩平面z=R,z=－R(R>0)所圍成立體表面的外側.

解設Σ1,Σ2,Σ3分別是Σ的上、下底和圓柱面部分，則

【例2】三、第二類曲面積分的計算易得設Σ1,Σ2在xOy面的投影區(qū)域為Dxy,則從而I1+I2=0三、第二類曲面積分的計算記Σ3在yOz面上的投影區(qū)域為Dyz,則

又，故，因此四、兩類曲面積分的聯(lián)系與曲線積分一樣，當曲面的側確定之后，可以建立兩類曲面積分的聯(lián)系.設光滑曲面Σ由方程z=z（

x,y

）給出，Σ在xOy面上的投影區(qū)域為Dxy，函數(shù)z=z（

x,y

）在Dxy上具有一階連續(xù)偏導數(shù)，R(x,y,z)在Σ上連續(xù).當Σ取上側時，有又有向曲面Σ的對應法向量為(－zx,－zy,1)，故其方向余弦為四、兩類曲面積分的聯(lián)系于是因此

（10-14）當Σ取下側時，有三、第二類曲面積分的計算此時有向曲面Σ的對應法向量為(zx,zy,－1)，故其方向余弦為于是因此式（10-14）仍成立.類似地可得三、第二類曲面積分的計算一般地,有其中cos

α,cos

β,cos

γ是有向曲面Σ在點x,y,z處的法向量的方向余弦.兩類曲面積分之間的聯(lián)