【優(yōu)教通-同步備課】高中數(shù)學(xué)(北師大版)必修五教案：1.1-聚焦高考：數(shù)列1

高考數(shù)學(xué)——數(shù)列一、選擇題1．（廣東卷）已知等比數(shù)列的公比為正數(shù)，且=2，=1，則=（）A．B．C．D．2【解析】B；設(shè)公比為，由已知得，即，又由于等比數(shù)列的公比為正數(shù)，所以，故，選B．2．（2009江西卷）公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為．若是的等比中項(xiàng)，，則等于（）A．18B．24C．60D．90．【解析】C；由得得，再由得則，所以，故選C．3．（湖南卷）設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，則等于（）A．13B．35C．49D．63【解析】故選C．或由，所以故選C．4．（福建卷）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且=6，=4，則公差等于（）A．1B．C．D．3【解析】C；∵且，，∴．故選C．5．（2009遼寧卷）已知為等差數(shù)列，且－2＝－1，＝0，則公差（）A．B．C．D．2【解析】B；．6．（遼寧卷）設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若=3，則（）A．2B．C．D．3【解析】B；設(shè)公比為，則，于是．7．（寧夏海南卷）等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且4，2，成等差數(shù)列．若=1，則（）A．7B．8C．15D．16【解析】4，2，成等差數(shù)列，，選C．8．（四川卷）等差數(shù)列的公差不為零，首項(xiàng)＝1，是和的等比中項(xiàng)，則數(shù)列的前10項(xiàng)之和是（）A．90B．100C．145D．190【解析】B；設(shè)公差為，則．∵≠0，解得＝2，∴＝100．9．（湖北卷）古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種性狀來爭辯數(shù)，例如：．他們爭辯過圖1中的1，3，6，10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù)；類似地，稱圖2中的1，4，9，16…這樣的數(shù)成為正方形數(shù)．下列數(shù)中準(zhǔn)時(shí)三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是（）A．289B．1024C．1225D．1378【解析】C；由圖形可得三角形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項(xiàng)，同理可得正方形數(shù)構(gòu)成的數(shù)列通項(xiàng)，則由可排解A、D，又由知必為奇數(shù)，故選C．10．（寧夏海南卷）等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，則（）A．38B．20C．10D．9．【解析】C；由于是等差數(shù)列，所以，，由，得：2－＝0，所以，，又，即，即，解得，故選．C．11．（重慶卷）設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，則的前項(xiàng)和=（）A．B． C． D．【解析】A；設(shè)數(shù)列的公差為，則依據(jù)題意得，解得或（舍去），所以數(shù)列的前項(xiàng)和12．（安徽卷）已知為等差數(shù)列，++=105，=99，以表示的前項(xiàng)和，則使得達(dá)到最大值的是（）A．21B．20C．19D．18【解析】由++=105得即，由=99得即，∴，，由得，選B．13．（江西卷）數(shù)列的通項(xiàng)，其前項(xiàng)和為，則為（）A．B．C．D．【解析】A；由于以3為周期，故14．（四川卷）等差數(shù)列的公差不為零，首項(xiàng)＝1，是和的等比中項(xiàng)，則數(shù)列的前10項(xiàng)之和是（）A．90B．100C．145D．190．【解析】B；設(shè)公差為，則．∵≠0，解得，∴＝100．二、填空題1．（全國卷Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則=．【解析】是等差數(shù)列，由，得．2．（浙江）設(shè)等比數(shù)列的公比，前項(xiàng)和為，則．【解析】15；對于3．（浙江）設(shè)等比數(shù)列的公比，前項(xiàng)和為，則．【解析】此題主要考查了數(shù)列中的等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式，通過對數(shù)列學(xué)問點(diǎn)的考查充分體現(xiàn)了通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和的學(xué)問聯(lián)系．對于．4．（浙江）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則，，，成等差數(shù)列．類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，則，，，成等比數(shù)列．【解析】；此題是一個(gè)數(shù)列與類比推理結(jié)合的問題，既考查了數(shù)列中等差數(shù)列和等比數(shù)列的學(xué)問，也考查了通過已知條件進(jìn)行類比推理的方法和力氣．對于等比數(shù)列，通過類比，有等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，則，，成等比數(shù)列．5．（北京）若數(shù)列滿足：，則；前8項(xiàng)的和．（用數(shù)字作答）【解析】，易知，∴應(yīng)填255．6．（北京）已知數(shù)列滿足：則________；=_________．【解析】1，0；本題主要考查周期數(shù)列等基礎(chǔ)學(xué)問．屬于創(chuàng)新題型．依題意，得，．．7．（江蘇卷）設(shè)是公比為的等比數(shù)列，，令，若數(shù)列有連續(xù)四項(xiàng)在集合中，則=．【解析】考查等價(jià)轉(zhuǎn)化力氣和分析問題的力氣．等比數(shù)列的通項(xiàng)．有連續(xù)四項(xiàng)在集合，四項(xiàng)成等比數(shù)列，公比為，．8．（山東卷）在等差數(shù)列中，，則．【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則由已知得解得，所以．本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及基本計(jì)算．9．（全國卷Ⅱ）設(shè)等比數(shù)列{}的前項(xiàng)和為．若，則=．【解析】3；由得，故．10．（湖北卷）已知數(shù)列滿足：（m為正整數(shù)），若，則m全部可能的取值為__________．．【解析】4532；⑴若為偶數(shù)，則為偶，故①當(dāng)仍為偶數(shù)時(shí)，故②當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，故得．⑵若為奇數(shù)，則為偶數(shù)，故必為偶數(shù)，所以=1可得．11．（全國卷Ⅱ）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則．【解析】為等差數(shù)列，12．（寧夏海南卷）等比數(shù)列{}的公比，已知=1，，則{}的前4項(xiàng)和=．【解析】由得：，即，，解得：，又=1，所以，，＝．13．（2009重慶卷）設(shè)，，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式=．【解析】由條件得且所以數(shù)列是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，則三、解答題1．（全國卷Ⅰ）在數(shù)列中，⑴設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；⑵求數(shù)列的前項(xiàng)和【解析】⑴由已知有利用累差迭加即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式：（）⑵由⑴知，=而，又是一個(gè)典型的錯位相減法模型，易得=評析：09年高考理科數(shù)學(xué)全國（一）試題將數(shù)列題前置，考查構(gòu)造新數(shù)列和利用錯位相減法求前n項(xiàng)和，一改往年的將數(shù)列結(jié)合不等式放縮法問題作為押軸題的命題模式．具有讓考生和一線老師重視教材和基礎(chǔ)學(xué)問、基本方法基本技能，重視兩綱的導(dǎo)向作用．也可看出命題人在有意識降低難度和求變的良苦認(rèn)真．2．（浙江）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，，，其中是常數(shù)．⑴求及；⑵若對于任意的，，，成等比數(shù)列，求的值．【解析】⑴當(dāng)，（）閱歷，（）式成立，⑵成等比數(shù)列，，即，整理得：，對任意的成立，3．（北京）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為．?dāng)?shù)列定義如下：對于正整數(shù)m，是使得不等式成立的全部n中的最小值．⑴若，求；⑵若，求數(shù)列的前2m項(xiàng)和公式；⑶是否存在p和q，使得？假如存在，求p和q的取值范圍；假如不存在，請說明理由．【解析】本題主要考查數(shù)列的概念、數(shù)列的基本性質(zhì)，考查運(yùn)算力氣、推理論證力氣、分類爭辯等數(shù)學(xué)思想方法．本題是數(shù)列與不等式綜合的較難層次題．⑴由題意，得，解，得．．∴成立的全部n中的最小整數(shù)為7，即．⑵由題意，得，對于正整數(shù)，由，得．依據(jù)的定義可知當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．∴．⑶假設(shè)存在p和q滿足條件，由不等式及得．∵，依據(jù)的定義可知，對于任意的正整數(shù)m都有，即對任意的正整數(shù)m都成立．當(dāng)（或）時(shí)，得（或），這與上述結(jié)論沖突！當(dāng)，即時(shí)，得，解得．∴存在p和q，使得；p和q的取值范圍分別是，．4．（北京）已知數(shù)集具有性質(zhì)；對任意的，與兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于．⑴分別推斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)，并說明理由；⑵證明：，且；⑶證明：當(dāng)時(shí)，成等比數(shù)列．【解析】本題主要考查集合、等比數(shù)列的性質(zhì)，考查運(yùn)算力氣、推理論證力氣、分類爭辯等數(shù)學(xué)思想方法．本題是數(shù)列與不等式的綜合題，屬于較難層次題．⑴由于與均不屬于數(shù)集，∴該數(shù)集不具有性質(zhì)P．由于都屬于數(shù)集，∴該數(shù)集具有性質(zhì)P．⑵∵具有性質(zhì)P，∴與中至少有一個(gè)屬于A，由于，∴，故．．從而，∴．∵，∴，故．由具有性質(zhì)P可知．又∵，∴，從而，∴．．⑶由⑵知，當(dāng)時(shí)，有，即，∵，∴，∴，由具有性質(zhì)可知．，得，且，∴，∴，即是首項(xiàng)為1，公比為成等比數(shù)列．．k．s．5．5．（山東卷）等比數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為，已知對任意的，點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù)）的圖像上．⑴求的值；⑵當(dāng)時(shí)，記，求數(shù)列的前項(xiàng)和【解析】由于對任意的，點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常數(shù)）的圖像上．所以得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又由于{}為等比數(shù)列，所以，公比為，所以⑵當(dāng)b=2時(shí)，，則相減，得所以本題主要考查了等比數(shù)列的定義，通項(xiàng)公式，以及已知求的基本題型，并運(yùn)用錯位相減法求出一等比數(shù)列與一等差數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)乘積所得新數(shù)列的前項(xiàng)和．6．（廣東卷）已知曲線．從點(diǎn)向曲線引斜率為的切線，切點(diǎn)為．⑴求數(shù)列的通項(xiàng)公式；⑵證明：．【解析】⑴設(shè)直線：，聯(lián)立得，則，∴（舍去）．，即，∴⑵證明：∵．∴由于，可令函數(shù)，則，令，得，給定區(qū)間，則有，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，∴，即在恒成立，又，則有，即．．7．（安徽卷）首項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列滿足⑴證明：若為奇數(shù)，則對一切都是奇數(shù)；⑵若對一切都有，求的取值范圍．【解析】本小題主要考查數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法和不等式的有關(guān)學(xué)問，考查推理論證、抽象概括、運(yùn)算求解和探究力氣，考查同學(xué)是否具有審慎思維的習(xí)慣和確定的數(shù)學(xué)視野．本小題滿分13分．⑴已知是奇數(shù)，假設(shè)是奇數(shù)，其中為正整數(shù)，則由遞推關(guān)系得是奇數(shù)．依據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，對任何，都是奇數(shù)．⑵（方法一）由知，當(dāng)且僅當(dāng)或．另一方面，若則；若，則依據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，綜合所述，對一切都有的充要條件是或．（方法二）由得于是或．由于所以全部的均大于，因此與同號．依據(jù)數(shù)學(xué)歸納法，，與同號．因此，對一切都有的充要條件是或．8．（江西卷）數(shù)列的通項(xiàng)，其前n項(xiàng)和為．⑴求；⑵求數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和．【解析】⑴由于，