【-學(xué)案導(dǎo)學(xué)設(shè)計(jì)】2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)(人教A版-選修1-1)課時(shí)作業(yè)第二章-2.2.1

§2.2雙曲線2.2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程課時(shí)目標(biāo)1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程.2.把握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.3.會(huì)利用雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解決簡潔的應(yīng)用問題．1．雙曲線的有關(guān)概念(1)雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的確定值等于常數(shù)(小于________)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線．平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的確定值等于|F1F2__________________________________________．平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的確定值大于|F1F2|時(shí)的點(diǎn)的軌跡__________(2)雙曲線的焦點(diǎn)和焦距雙曲線定義中的兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2叫做________________，兩焦點(diǎn)間的距離叫做________________．2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是________________，焦點(diǎn)F1__________，F(xiàn)2__________.(2)焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是________________________，焦點(diǎn)F1________，F(xiàn)2__________.(3)雙曲線中a、b、c的關(guān)系是____________．一、選擇題1．已知平面上定點(diǎn)F1、F2及動(dòng)點(diǎn)M，命題甲：||MF1|－|MF2||＝2a(a為常數(shù))，命題乙：M點(diǎn)軌跡是以F1、F2為焦點(diǎn)的雙曲線，則甲是乙的A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件2．若ax2＋by2＝b(ab<0)，則這個(gè)曲線是()A．雙曲線，焦點(diǎn)在x軸上B．雙曲線，焦點(diǎn)在y軸上C．橢圓，焦點(diǎn)在x軸上D．橢圓，焦點(diǎn)在y軸上3．焦點(diǎn)分別為(－2,0)，(2,0)且經(jīng)過點(diǎn)(2,3)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A．x2－eq\f(y2,3)＝1B.eq\f(x2,3)－y2＝1C．y2－eq\f(x2,3)＝1D．eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝14．雙曲線eq\f(x2,m)－eq\f(y2,3＋m)＝1的一個(gè)焦點(diǎn)為(2,0)，則m的值為()A．eq\f(1,2)B．1或3C．eq\f(1＋\r(2),2)D．eq\f(\r(2)－1,2)5．一動(dòng)圓與兩圓：x2＋y2＝1和x2＋y2－8x＋12＝0都外切，則動(dòng)圓圓心的軌跡為()A．拋物線B．圓C．雙曲線的一支D．橢圓6．已知雙曲線中心在坐標(biāo)原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為F1(－eq\r(5)，0)，點(diǎn)P位于該雙曲線上，線段PF1的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)，則該雙曲線的方程是()A．eq\f(x2,4)－y2＝1B．x2－eq\f(y2,4)＝1C．eq\f(x2,2)－eq\f(y2,3)＝1D．eq\f(x2,3)－eq\f(y2,2)＝1題號123456答案二、填空題7．設(shè)F1、F2是雙曲線eq\f(x2,4)－y2＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，則|PF1|·|PF2|＝______.8．已知方程eq\f(x2,1＋k)－eq\f(y2,1－k)＝1表示雙曲線，則k的取值范圍是________．9．F1、F2是雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P在雙曲線上且滿足|PF1|·|PF2|＝32，則∠F1PF2＝______.三、解答題10．設(shè)雙曲線與橢圓eq\f(x2,27)＋eq\f(y2,36)＝1有相同的焦點(diǎn)，且與橢圓相交，一個(gè)交點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4，求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．11．在△ABC中，B(4,0)、C(－4,0)，動(dòng)點(diǎn)A滿足sinB－sinC＝eq\f(1,2)sinA，求動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程．力氣提升12．若點(diǎn)O和點(diǎn)F(－2，0)分別為雙曲線eq\f(x2,a2)－y2＝1(a>0)的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn),則eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))的取值范圍為()A．[3－2eq\r(3)，＋∞)B．[3＋2eq\r(3)，＋∞)C．[－eq\f(7,4)，＋∞)D．[eq\f(7,4)，＋∞)13．已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F(eq\r(7)，0)，直線y＝x－1與其相交于M，N兩點(diǎn)，MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－eq\f(2,3)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．1．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可以通過待定系數(shù)法求得．2．和雙曲線有關(guān)的軌跡問題要依據(jù)求軌跡方程的一般步驟來解，也要和雙曲線的定義相結(jié)合．3．直線和雙曲線的交點(diǎn)問題可以轉(zhuǎn)化為解方程組(設(shè)而不求)，利用韋達(dá)定理，弦長公式等解決．§2.2雙曲線2．2.1雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程答案學(xué)問梳理1．(1)|F1F2|以F1，F(xiàn)2為端點(diǎn)的兩條射線不存在(2)雙曲線的焦點(diǎn)2．(1)eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)(－c,0)(c,0)(2)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)(0，－c)(0，c)(3)c2＝a2＋b2作業(yè)設(shè)計(jì)1．B[依據(jù)雙曲線的定義，乙?甲，但甲乙，只有當(dāng)2a<|F1F2|且a≠2．B[原方程可化為eq\f(x2,\f(b,a))＋y2＝1，由于ab<0，所以eq\f(b,a)<0，所以曲線是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，故選B.]3．A[∵雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，∴設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．由題知c＝2，∴a2＋b2＝4.①又點(diǎn)(2,3)在雙曲線上，∴eq\f(22,a2)－eq\f(32,b2)＝1.②由①②解得a2＝1，b2＝3，∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－eq\f(y2,3)＝1.]4．A[∵雙曲線的焦點(diǎn)為(2,0)，在x軸上且c＝2，∴m＋3＋m＝c2＝4.∴m＝eq\f(1,2).]5．C[由題意兩定圓的圓心坐標(biāo)為O1(0,0)，O2(4,0)，設(shè)動(dòng)圓圓心為O，動(dòng)圓半徑為r，則|OO1|＝r＋1，|OO2|＝r＋2，∴|OO2|－|OO1|＝1<|O1O2|＝4，故動(dòng)圓圓心的軌跡為雙曲線的一支．]6．B[設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，由于c＝eq\r(5)，c2＝a2＋b2，所以b2＝5－a2，所以eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,5－a2)＝1.由于線段PF1的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2)，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為(eq\r(5)，4)．代入雙曲線方程得eq\f(5,a2)－eq\f(16,5－a2)＝1，解得a2＝1或a2＝25(舍去)，所以雙曲線方程為x2－eq\f(y2,4)＝1.故選B.]7．2解析∵||PF1|－|PF2||＝4，又PF1⊥PF2，|F1F2|＝2eq\r(5)，∴|PF1|2＋|PF2|2＝20，∴(|PF1|－|PF2|)2＝20－2|PF1||PF2|＝16，∴|PF1|·|PF2|＝2.8．－1<k<1解析由于方程eq\f(x2,1＋k)－eq\f(y2,1－k)＝1表示雙曲線，所以(1＋k)(1－k)>0.所以(k＋1)(k－1)<0.所以－1<k<1.9．90°解析設(shè)∠F1PF2＝α，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2.在△F1PF2中，由余弦定理，得(2c)2＝req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)－2r1r2cosα，∴cosα＝eq\f(r1－r22＋2r1r2－4c2,2r1r2)＝eq\f(36＋64－100,64)＝0.∴α＝90°.10．解方法一設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，由題意知c2＝36－27＝9，c＝3.又點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4，則橫坐標(biāo)為±eq\r(15)，于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(42,a2)－\f(±\r(15)2,b2)＝1，,a2＋b2＝9，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝5.))所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1.方法二將點(diǎn)A的縱坐標(biāo)代入橢圓方程得A(±eq\r(15)，4)，又兩焦點(diǎn)分別為F1(0,3)，F(xiàn)2(0，－3)．所以2a＝|eq\r(±\r(15)－02＋4＋32)－eq\r(±\r(15)－02＋4－32)|＝4，即a＝2，b2＝c2－a2＝9－4＝5，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,4)－eq\f(x2,5)＝1.11．解設(shè)A點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，在△ABC中，由正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，代入sinB－sinC＝eq\f(1,2)sinA，得eq\f(|AC|,2R)－eq\f(|AB|,2R)＝eq\f(1,2)·eq\f(|BC|,2R)，又|BC|＝8，所以|AC|－|AB|＝4.因此A點(diǎn)的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的雙曲線的右支(除去右頂點(diǎn))且2a＝4,2a＝2，c＝4，b2＝12.所以A點(diǎn)的軌跡方程為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1(x>2)．12．B[由c＝2得a2＋1＝4，∴a2＝3，∴雙曲線方程為eq\f(x2,3)－y2＝1.設(shè)P(x，y)(x≥eq\r(3))，∴eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))＝(x，y)·(x＋2，y)＝x2＋2x＋y2＝x2＋2x＋eq\f(x2,3)－1＝eq\f(4,3)x2＋2x－1(x≥eq\r(3))．令g(x)＝eq\f(4,3)x2＋2x－1(x≥eq\r(3))，則g(x)在[eq\r(3)，＋∞)上單調(diào)遞增．g(x)min＝g(eq\r(3))＝3＋2eq\r(3).eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))的取值范圍為[3＋2eq\r(3)，＋∞)．]13．解設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1，且c＝eq\r(7)，則a2＋b2＝7.①由MN中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－eq\f(2,3)知，中點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，－\f(5,3))).設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),a2)－\