2022年中考數(shù)學復習專題 幾何壓軸題題型分類

專題訓練一平移問題

基本模型

經過平移，對應線段平行（或共線）且相等，對應角相等，對應點所連接的線段平行（或共

線）且相等，因此可以通過平移構造平行四邊形，轉移線段和角.

（基本模型圖2）

如圖1,將線段CD進行平移可得到線段EA,連接EC,AD.

根據(jù)平移的性質，得CD幺EA.

???四邊形CDAE是平行四邊形.???EC〃AD.

同理，四邊形CDFA、四邊形CDBG和四邊形CDHB均為平行四邊形.

如圖2,平移線段AB,即可得到口ABCP、口ABDM、口ABND和叫BQC.

典型題

在RtZXBAC中，ZA=90°,D,E分別為AB,AC上的點.

（1）如圖1,CE=/\B,B3AE,過點C作C卜〃EB,且CF=EB,連接D卜交EB于點G,連接出,

求戰(zhàn)的值;

（典型題圖1）（典型題圖2）

拓展題

1.如圖，在四邊形ABCD中，AD〃BC，NBAC-90。一￡/CAD,AC與BD相交于點E,且NBEC-60°,

若AD=5,BD=15,求AC的長.

（1題圖）

2.如圖，在AABC中，點D在AB的延長線上，點E在BC上，AC=BC=AD=DE,BE=BD,求NBAC

的度數(shù).

（2題圖）

3.閱讀下面材料：

數(shù)學課上，老師出示了下列問題：

（1）如圖1,過點B作AB的垂線BD,延長AB到點C,使AC=BD,延長BD到點E,使ED=CB,

連接AE,CD,且CD的延長線交AE于點F,求NAFC的度數(shù)；

（2）如圖2,在AABC中,AB=AC=5m,D是邊BC上一點,連接AD,延長CB到點E,使BE=kAD,

過點E作EF_LAD,交AD的延長線于點F.若AF=kCD,tanC=求EF的長.（用含m,k的式

子表示）

（3題圖1）

同學們經過思考后，交流了自己的想法：

小明：“通過觀察和度量，發(fā)現(xiàn)NAFC的度數(shù)等于45°”

小偉：“通過平移線段AC,BD,ED,BC中的一條線段，可以構造兩個全等三角形，進而可以

獲得等腰直角三角形,那么NAFC的度數(shù)等于45°這一結論也就顯而易見了.”

老師：“只要類比小偉平移線段構造全等三角形的思路與方法，那么（2）的問題就能迎刃而

解.”

請你根據(jù)上面的材料，完成上面的兩個問題的解答過程.

4.如圖,在四邊形ABCD中,ADIIBC,AD+BC=BD,AC與BD相交于點F。

(1)求證：4BCF為等腰三角形；

(2)如圖2,若NBAC=45°,且AF：FC=1：求證：ZDBC=2ZABD：

(3)如圖3,若NBAC=60°,點E在AD上，ZACE=ZABD,AD=2,CE=5,求線段

BD的長；

專題訓練二作平行線構造全等或相似

基本模型

本模取圖2）

（林木模歐圖I）

如圖1：在AABC中，D為AB邊上一點。

過點D作DE||BC交AC于點E。

ZADE=ZB,ZAED=ZC,ADEABC.

如圖2：在AABC中，I）為BA的延長線上一點。

過點D作DE||BC交CA的延長線于點Eo

???ND=NB,NE=NC,MADEABC.

典型題

⑴如圖1,在AABC中，D是BC的中點，E是AC上的一點，拶=\連接AD與BE相交

EC3

于點F,求知勺值。

小英、小明和小聰各自經過獨立思考，分別得到一種添加輔助線的方法，從而解決了問題。

下面是小明的解法：

解：過點C作CH||BE交AD的延長線于點H（如圖1-1）

VCH||BE,D是BC的中點，

.FHBC2

?h而=7

???CHIIFE嚷吟

,AF_AE_1

,?而=詬=3

.AFAFFH122

??-=--?--=_*一=一.

FDFHFD313

小英添加的輔助性是：過點D作DG||BE交AC于點G（如圖1-2）

小聰添加的輔助性是:過點A作AM||BE交CB的延長線于點M（如圖1-3）.

請你在小英和小聰添加的輔助線中選擇一種完成解答;

(典型題圖D(兵礴圖].])

1-2）

(典型題圖1-3)

拓展題

1.(1)如圖L在aABC中，D為邊BA的延長線上的點，過點D作DEIIBC交CA的延長線

于點E,若染=T，DE=5，求線段BC的長；

(2)如圖2,在AABC中，D是邊AB上的一點，E為邊AC的中點，連接BE、CD交于點F,

畸心晦的值：

(3)如圖3,在△ABC中，D是邊AB上的一點，E為CA的延長線上的點，連接BE、CD交于

點F。若,=；，W=；4ACD的面積為2,求4CEF的面積。

BD2AC3

圖）

(1題圖2)（1Q3

(1座圖1>

2.如圖1,在AABC中，AB=AC,D是AC邊的中點，過點A作AE_LBD于點E,AE的延長線交

BC于點F.

(1)若AF=CF,求證：AC2:CF?BC；

廿CF4+EF

(2)若一=一，求一的值;

BF5AE

(3)如圖2,若NBAC=90°,求證：BF=2CF.

AB

3.如圖，0是4ABC的邊BC上一點,過點0的直線分別交射線AB,線段AC于點M,N,且

AM

AC

=m,---=n.

AN

（1）—BM=（用含m的式子表示）；CJN=（用含n的式

AMAN

子表示）；

（2）若0是線段BC的中點，求證：m+n=2；

（3）若上CO上二k（k^O）,求m,n之間的數(shù)量關系.（用含k的式子表示）

0B

4.在aABC中，ZACB=90°,E為AC上一點，連接BE.

（1）如圖1,當AC二BC時，將aBCE繞點C逆時針旋轉90°得到aACF,點E的對應點F落

在BC的延長線上.求證：BE_LAF；

（2）過點C作CP_LBE,垂足為P,連接AP并延長交BC于點Q.

ADCF

①如圖2,若AOBC,求證：—=—；

PQCQ

②如圖3,若AC=3a,AE=2EC,BC=kAC,求線段AP的長.（用含a,k的式子表示）

專題訓練三角平分線問題

模型一.如圖，遇到角平分線上的點到角的一邊的垂線時，一般過該店作另一邊的垂線，構

造雙垂直，運用角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等求解。

模型二.如圖，當題目中有垂直于角平分線的線段PA時，通過延長AP交ON于點B,構造

AOPB=AOPA,進而將一些線段和角進行等量代換來求解。

模型三.如圖，若P是NM0N的平分線上一點，A是邊0M上任意一點，可考慮在邊ON上截取

OB=OA,連接PB,構造AOPB空AOPA,進而將一些線段和角進行等量代換。

模型四.如圖，當題目中同時出現(xiàn)角平分線和平行線時，注意找等腰三角形，即0P平分NM0N,

PQ〃ON,則AOPQ為等腰三角形，一般地，角平分線、平行線、等腰三角形中任意兩個條件

存在，即可得到第三個條件。

模型五.如圖，0P是NM0N的平分線，點A,B分別在OM,ON上，若NM0N+NAPB=180。，則

PA=PB,ZPAB=ZPBA.

典型題

如圖，在AABC中，AB=AC,ZBAC=90°.

圖1

如圖1,k=l,BD平分NABC交AC于點D,CE±BD,垂足E在BD的延長線上，探究線段CE

和BD之間的數(shù)量關系，并證明；

如圖2,k=l,F為BC上一點，Z3FC=|ZB,CEXEF,垂足為E,EF與AC交于點D,探究線

段CE和FD之間的數(shù)量關系，并證明；

如圖3,F為BC上一點，NEFC^NB,CE±EF,垂足為E,EF與AC交于點D.請直接寫出

線段CE和FD的數(shù)量關系。

拓展題

46.如圖1,在△/%中，為角平分線，點￡在邊47上，ZABE=ZC,AD、BE交于F,FG

〃力。交8。于G.

（1）求證：BD=BF：

（2）在圖中找到一條與口相等的線段，請指出這條線段，并證明你的結論；

（3）如圖2,當AF=AE,且cos4E尸=k時，求鋁的值.（用含有女的式子表示）.

RR

1題圖11題圖2

47.閱讀下面材料:

小明遇到這樣一個問題：

如圖1,在△4園中，^ACB=W，點〃在加上，且/物仁2N況況求證：AC=AD.

小明發(fā)現(xiàn)，除了直接用角度計算的方法外，還可以用下面兩種方法：

方法1：如圖2,作然平分/a8,與必相交于點反

方法2：如圖3,作比次與48相交于點片

(1)根據(jù)閱讀材料，任選一種方法，證明力

用學過的知識或參考小明的方法，解決下面的問題：

(2)如圖4,在比中，點。、E、F分別在.AB、BC、BD上,28DE=2/ABC,ZAFE=

4BAC,延長必處相交于點G,且NDGF=/BDE.

①在圖中找出與/叱相等的角，并證明；

②若AB=kDF,猜想線段應與龍的數(shù)量關系，并證明你的猜想.

48.如圖1,在四邊形力鰭中，AD"BC,BC=CD,懸E在CD上,且NABE=/C.

（1）求證：NBED=NABC；

（2）在圖1中找出與力6相等的線段，并證明；

（3）將△8"沿鹿翻折，得到4BFE、防與⑦相交于點0.若點尸恰好落在的延長

線上（如圖2）,AD=m＞比三〃（其中Z〃），求加的長（用含勿、〃的代數(shù)式表示）.

49.(1)如圖1,在△力8c中，AC=BC,過點、A作AD〃BQ點、E、尸分別在8aAC1.,DE與

防相交于點G且NDEB+NBFA-180°.

①求證：NC=NEGB

②在圖1中找出與應相等的線段并證明.

(2)如圖2,在a'中，AC=BC,〃為應'邊上一點，將■四沿直線8翻折，點C的對

應點為點發(fā)AE〃BC,且NEBA=22.5°,求器的值.

圖2

圖1

50.如圖1,四邊形ABCD的對角線AC,BD相交于點0,0B=0I),0C=0A+AB,AD=m,BC=n,

ZABD+ZADB=ZACB.

(1)填空：NBAD與NACB之間的數(shù)量關系為；

(2)求-的值；

n

(3)如圖2,將4ACD沿CD翻折，得到△△'CD,連接BA',與CD相交于點P.若CD=^,求

PC的長.

51.如圖，Z\ABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,AB=AC,ZD=45°,E是BD上一點，

且NBAE=NCBD,AE交BC于點瓦將4CBD沿BC翻折得到ABCF,BF交AE于點G,交AC于

點H.

(1)NAGF的度數(shù)為；

(2)探究BG與CD之間的數(shù)量關系，并證明;

(3)若AG=kGM,求空的值.

(6題用)

52.如圖1,在RtAABC中，ZA=90°,AB=AC,點D在線段BC上，ZEDB=|ZC,DE交

AB于點3BEJ_DE于點E,探究線段BE與DF之間的數(shù)量關系，并證明。

小白的想法是，將aBDE以直線DE為對稱軸翻折(如圖2),再通過證明△GBHgAFDH得到

結論。

請按照小白的想法解答此題：

(7?(Bl>1>

(2)如圖3,在aABC中，ZACB=2ZABC,E是線段BC的延長線上一點，CE=kBC,AD平

分ZBAC交BC于點D,EFXAD于點F,交AC于點G,求整的值.

53.小明遇到這樣一個問題：如圖，在△ABC中，ZBAC=120°,AD_LBC于點D,且AB+BD

=DC,求NC的度數(shù).小明通過探究發(fā)現(xiàn)，如圖2,在CD上取一點E,使ED=BD,再證明△

ADB^AADE,可使問題得到解決.

(8?ffl1)(8吧圖2)

(1)根據(jù)閱讀材料回答，Z\ADBgAADE的條件是：(填“SSS”“SAS”“ASA”

“AAS”或“HL”)參考小明思考問題的方法,解答下列問題：

(2)如圖3,在AABC中，過點B任意作一條射線1,在1上取一點D,使NABD=NACD,

AM_LBD于點M,且BM=MD+CD,探究AB與AC之間的數(shù)量關系，并證明；

(3)如圖4,在RtZXABC中，ZACB=90°,BC=4,D,E分別是BC,AC上的點，AC=CD,

ZBAC=45°+1ZDEC,連接BE,若CE=1,求SZ\ABE.

(8HS3)aano

專題訓練四二倍角問題

基本方法

1.二倍角一一等腰法：①小角等腰法：以二倍角為外角構造等腰三角形：

②大角等腰法：以二倍角為底角構造等腰三角形.

2.二倍角一一角分線法：作二倍角的角分線，平分二倍角.

3.二倍角一一對稱角法：小角或大角的對稱角.

4.二倍角——加倍法：以小角的一邊為對稱軸作二倍角

5.二倍角一一頂角法：2a與90°-a,以2a為頂角構造等腰三角形.

典型題

【問題原型】

有這樣一個問題：如圖1,在中，NBCA=2NA,BD為邊AC上的中線，且

2

求證：4BCD為等邊三角形.

小聰同學的解決辦法是：延長AC至點E,使CE二BC,如圖2,利用二倍角的條件構造等腰三

角形進而解決問題

(典型題圖】)

【解決問題】

(1)請你利用小聰?shù)霓k法解決此問題:

【應用拓展】

⑵如圖3,在ZkABC中,ZABC=2ZACB,AB=3,BC=5,求線段AC的長.

拓展題

1.如圖，在AABC中，ZC=2ZB,點F在AB上，點G在AC上，CD=CG,FD_LBC于點D,且

FD平分NBFG,FD=kDG,探究AB與AC之間的數(shù)量關系，并證明.（用含k的式子表示）

2.如圖，在aABC中，ZA=90°,AB=AC,D為BC的中點，點E,F分別在AB,AC±,且滿

足NAEF=2NFDC,若EF=5,AC=6,求線段DF的長.

C

BI）

DF

3.如圖，在AABC中，AD_LBC于點D,E是AD上一點，NB=2NDCE,AD=kDC,BD=mDE,求——

AB

的值.（用含m,k的式子表示）

4.如圖，在加BC中，ADBC于點D,點E在AD上，NABE=45°,ZC=2ZDBE,AE=10,AC=15,

求線段DE的長。

（4題圖）

5.如圖1,在MBC中,點如E,F分別在邊AB,BC,AC上，BE=CE,點G在線段CD上,CG=CA,

GF二DE,ZAFG=ZCDE,連接AG。

（1）填空：與/CAG相等的角是；

（2）探究線段AD與BD之間的數(shù)量關系，并證明；

AC

（3）如圖2,若NBAC=90°,ZABC=2ZACD,求一的值。

AB

（S題圖2）

（5題圖1）

6.如圖1,在Rt&BC中，ZACB=90°,CDAB于點D,延長CD至點E,使得CE=AB,連接

AE,且NBAE+2NBAC=90°,連接EB并延長交AC的延長線于點F。

(1)填空：NAEC與NBAC之間的數(shù)量關系為

Ar

(2)求2上的值；

BF

(3)如圖2,連接FD,求士D上F的值；

BE

7.如圖，在4ABD中，BA=BD,NABC=60。，E是BA邊上一點，連接DE,

ZDBC-2ZBDE,過點C件CG工DE交ED的延長線于點F,交BD的延長線于點G,

BG=kCF.

（1）求NAOE的度數(shù)；

⑵若AB+BE=m,求線段CF的長.（用含k,m的式子表示）

（7題圖）

專題訓練五旋轉問題

基本模型

模型1.遇到60°旋轉60°,構造等邊三角形（如圖1）

模型2.遇到90°旋轉90°,構造等腰直角三角形（如圖2,3）或全等三角形（如圖4,5）

（基本模型圖（基本模型圖5>

（基本模型圖2）4）

模型3.遇到等腰三角形旋轉頂點，構造全等三角形（如圖6,7,8

（基本模型田8）

（基本模型圖6）

模型4.遇到中點旋轉180。,構造中心對稱（如圖9）

《基本模必圖9）

數(shù)學課上，張老師出示了這樣一個問題：如圖1,AC,BD是四邊形ABCD的對角線，若NACB=

ZACD=ZABD=ZADB=60°,則線段BC,CD,AC三者之間有何等量關系？

經過思考，小明展示了一種正確的思路：如圖2,延長CB到點E,使3E=CD,連接AE,證得

△ABE絲△ADC,從而容易證明AAIE是等邊三角形，故AC=CE,所以AC=BC+CD

小亮展示了另一種正確的思路：如圖3,將AABC繞著點A逆時針旋轉60°,使AB與AD重

合，從而容易證明4ACF是等邊三角形，故AOCF,所以AOBC+CD

在此基礎上，同學們作了進一步的研究：

(1)小穎提出：如圖4,如果把“NACB=NACD=NABD=NADB=60°”改為“NAC小NACD=

NABD二NADB二45°”，其它條件不變，那么線段BC,CD,AC三者之間有何等量關系？針對小

穎提出的問題，請你寫出結論，并證明.

(2)小華提出：如圖5,如果把“NACB=NACD=NABD=NADB=60°”改為“NACB=NACD=

ZABD=ZADB=a"，其它條件不變,那么線段BC,CD,AC三者之間有何等量關系？針對小華

提出的問題，請你寫出結論，并證明.

C

圖4

拓展題

1.如圖1,在AABC中，AB=AC,ZBAC=90°,D是線段BC上一點，過點B作BE〃AC,過點

D作DE_LAD,垂足為D,BE,DE兩線相交于點E,連接AE,交BD于點M

(1)求證：ZDAE=45°

(2)如圖2,延長AD,BE交于點F,若BD二kCD,求g的值(用含k的式子表示)

(10R1)

2.如圖1,在aABC中，ZBAC=60°,點D在BC邊上，連接AD,AD=DC,點E,F分別在AC,

AD上，且ADEF為等邊三角形

(1)填空：與NB相等的角是,

(2)求證：BD=AF

(3)若BC=kBD(k>2),求與的值(用含k的式子表示)

D

(2圖圖)

3.閱讀下列材料：

數(shù)學課上，，老師出示了這樣一個問題：

如圖1.在4ABC中,AC=BC,/ACB=90°,點D,E在AB上，且AD=BE,DG±CE,垂足為G,DG的

延長線與BC相交于點F,探究線段AD,BD,DF之間的數(shù)量關系，并證明。

某學習小組的同學經過思考,交流了自己的想法：

小明：“通過觀察和度量，發(fā)現(xiàn)NBCE與NBDF存在某種數(shù)量關系?！?/p>

小強：“通過觀察和度量,發(fā)現(xiàn)圖1中有一條線段與CE相等」

小偉：“通過構造三角形，證明三角形全等,可以得到線段AD,BD,DF之間的數(shù)量關系?！?/p>

老師:“保留原題條件,再過點D作DH1BC,垂足為H,DH與CE相交于點M(如圖2).如果給

出器的值,那么可以求出名的值?！?/p>

CGCM

(1)在圖1中找出與線段CE相等的線段,并證明；

(2)探究線段AD,BD,DF之間的數(shù)量關系，并證明；

(3)若祟n,求翳的值.(用含n的式子表示)

(30B2)

(3收圖1)

4.在RtAACB中，NACB=90°,NB=30°,M為AB的中點,P為BC的延長線上一點，CP〈BC,

連接PM,AC=n,CP=m.

(1)如圖1,將射線MP繞點M逆時針旋轉60,,交CA的延長線于點D,且BC=AD+CP.

①在圖中找出與NW)C相等的角，并證明；

②求巴的值.

n

(2)如圖2,若將射線MP繞點M順時針旋轉60°,交AC的延長線于點H,求CH的長.(用

含m,n的式子表示)

5.閱讀下列材料：

小明遇到這樣一個問題：如圖1,在RtZ\ABC中，ZACB=90°,AC=BC,點D在BC上，點E

在AC上，ZADC=2ZEBC,若CD;mCE,求然的值.（用含m的式子表示）

（5題圖1）（5題圖2）

小明通過探究發(fā)現(xiàn)：將4ACD繞點C逆時針旋轉90°得到4BCF（如圖2）,再證出EF=BF,

問題就可以解決。

（1）請你根據(jù)小明的思路，解決這個問題；

（2）如圖3,在等邊4ABC中，點D在AB上，點E在CD上，NEBO2NACD,點F在BE上NFDC=60°,

若EF二kBF,求器的值.（用含k的式子表示）

8

G

（5題圖3）

6.閱讀下面材料：

小明遇到這樣一個問題：如圖1,在aABC中，AB=AC,CBAC=90°,D是線段BC上一點，連

接AD,點D作DE_LDA,過點B作BE〃AC,BE與DE相交于點E,?求證：DA=DE.

小明通過探究發(fā)現(xiàn)，要證明AD二DE,可以考慮將ABDE通過旋轉，使DE與DA重合，由此得

到輔助線：過點D作BC的垂線，交BA的延長線于點F(如圖2),從而可證△FDA^^BDE,

使問題得到解決。

(1)根據(jù)閱讀材料回答：

△FDA與4BDE全等的條件是___________；(填“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”或“HL”)

(2)證明小明發(fā)現(xiàn)的結論；

參考小明思考問題的方法,解決下面的問題：

(3)如圖3,在AABC和aADE,NBAC=NDAE=90°,AB=mAC,AE=kAD,連接BE,CD,作

AGIRE.直線AG交CD于點F,求空的值-(用含k,m的式子表示)

7.閱讀理解：

小明遇到這樣一個問題：

如圖1,在四邊形ABCD中,AB=AC=AD,ZIC8=60°—Z4D8,若BC=2,BD=3,

求線段AB的長。

小明通過探究發(fā)現(xiàn)，如圖2,以點A為旋轉中心構造AACE三AABD,通過計算可求得

線段BE的長，進而使問題得到解決。

（1）參考小明思考問題的方法，繼續(xù)添加必要的輔助線完成上面的問題；

（2）如圖3,在四邊形ABCD中，NBAC=90°,E為BD的中點，且/DBC=

ZBAE,AC=kAB

①BC：AB=；（用含k的式子表示）

②參考小明思考問題的方法或用其他方法，求黑的值。

（7題圖1）

8.在RtAABC中，ZACB=90°,BC=kAC,CD_LAB于點D,E是AD上的一點，連接CE,

將射線EC繞著點E順時針旋轉NACD的度數(shù)，交BC于點G,過點C作CF1EG于點F。

⑴如圖1,找到與NFCG相等的角，并證明；

⑵如圖2,連接BF并延長，交AC于點H,探窕HC與DE之間的數(shù)量關系，并證明（用含k

的式子表示）

（8題圖2）

（8題圖1）

9.閱讀下面材料.

小明遇到這樣一個問題，如圖1,是AABC等邊三角形，D是AABC內一點，AD=V2,BD=

1,CD=V3,求NADB的度數(shù)

小明通過探究，為同學們提供了解題的想法：

想法1：將ABDC繞著點B逆時針旋轉60°,得到ABEA,連接DE（如圖2）,分別計算

NADE與NBDE的度數(shù)即可；

想法2：將ABAD繞著點B順時針旋轉60°,得到ABCF,連接DF（如圖3）,分別計算

NBFD與NDFC的度數(shù)即可；

請回答:

（1）選擇其中的一種想法，求NADB的度數(shù);

參考小明的思考問題的方法，解決下列問題:

⑵如圖4,正方形ABCD的邊長為1，點E,F在正方形內,ZEAF=ZECF=45°,若AAEF的

面積為g，求SABEC+SADFC的值;

(3)如圖5,在AABC中，AB=AC=2,ZBAC=90°,D是AABC內一點，則AD、BD、CD

三條線段的和的最小值為

專題訓練六一邊一角問題

基本模型

滿足“一邊一角”的條件：AB=DE,NA=ND（如圖1,圖2）,或AB=DE,ZA+ZEDG=180°

（如圖1,圖3）.

“一邊一角”構造分為以下兩種模型：

模型1：一邊一等角

（1）如圖1,將相等的邊（已知相等的邊或所求相等的邊）和相等的角（即AB=DE,ZA=ZD）

放在一個三角形（即^ABC）中；

（2）如圖2,以相等的一條線段（DE）的另一個端點（點E）為頂點，作NE=NB,則△ABCgA

DEF.

模型2：一邊一互補角

（1）如圖1,將相等的邊和互補的角（即AB=DE,NA+NEDG=180）放在一個三角形（即AABC）

中；

⑵如圖3,延長GD,得到NA=NFDE,即將“一邊一互補角”轉化為“一邊一等角”,以相

等的一條線段（DE）的另一個端點（點E）為頂點，作NE=/B,則△ABC94DEF.

（超本模型圖1）（基本模型圖3）

典型題

閱讀下面材料：

小明遇到這樣一個問題：如圖1,在AABC中，點D,E分別在邊AC,AB上，BD,CE相交于

點F,CE=BE,且NBEC+NBDC=180°.求證：BF=CA.小明經探究發(fā)現(xiàn)，在AB上取一點G(不與

點E重合)，使CE=CG,連接CG(如圖2),從而可證4BEFg4CGA,使問題得到解決，

(1)請你按照小明的探究思路，完成他的證明過程；

參考小明思考問題的方法，解決下面的問題：

(2)如圖3,在等腰4ABC中，AB=AC,點D,F在直線BC上，DE=BF,連接AD,過點E作EG

拓展題

1.閱讀下面材料：

小明遇到這樣一個問題:如圖1,在△/比中，AB=AC,E是BC上一點,點〃在力￡上,

4BDE=BAC=24CDE,連接BD,CD.求證:劭=2AD.

小明通過探究發(fā)現(xiàn)，由已知條件，能夠證明乙他9=zm然后考慮將△/!勿通過旋轉,

使班與力C重合，乙佃9和/?！ㄖ睾希虼说玫捷o助線:在做上截取跖=4〃，連接力/7,

從而可證△以啟△?!5（如圖2）,使問題得到解決.

（1）根據(jù)閱讀材料回答:△胡P與△力如全等的依據(jù)是；（填“553'”以4弘”

“AAST或“血”中的一個）

（2）證明小明發(fā)現(xiàn)的結論：

參考小明思考問題的方法，解決下面的問題：

（3）如圖3,在△48。和△力龐中，NBAC=NDAE=90°,AB=AC,AB=AD,連接應；

作“_L跖交旗的延長線于點￡交⑺于點EBE=kAF,求女的值.

2.如圖，在△力胸中，AB=AC,N劭C=90°,點〃在〃'上，點￡在力的延長線上，且

CD=AE,過點力作"'_1的垂足為尸，過點〃作陽的平行線，交48于點G交物的

延長線于點〃

（1）求證：NBAH；

（2）在圖中找出與四相等的線段，并證明；

（3）若。/=kDH,求黑的值.（用含衣的式子表示）

（2題圖）

3.如圖1,在△力8。中，的二然，點〃在物的延長線上，點E在比上，DE=DC,F是DE

與47的交點，且DF=FE

（1）圖1中是否存在與/颯'相等的角?若存在，請找出，并加以證明；若不存在，請說

明理由；

（2）求證:跖=EC；

（3）若將“點。在BA的延長線上，點E在BC上”和“F是應與”的交點，且DF二陽'

分別改為“點〃在44上，點〃在面的延長線上”和是龍的延長線與力。的交點，其

他條件不變（如圖2）”

①當〃:kFE,AB=1,/ABC;a時，求線段龐的長；（用含A,a的式子表示）

②若DE=4DF,請直接寫出SMBC:SADR的值.

（3題圖1）（3題圖2）

4.如圖1,在AABC中，點D,E分別在BC,AC上，BD=BA,點F在BE上，

FA=FE,^AFE=/LABD.

（1）在圖1中找出與/ESC相等的角，并證明;

（2）求證：ZBEA=NBED；

(3)如圖2,連接FD,點M在EF上，ZEDM+ZEDF=180°,AE=kDE,求

工的值.（用含k的式子表示）

EM

（4題圖2）

（4題圖1）

5.如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC,BE±AD,垂足為E,NBCD—ZABE=90。，過

點C作CF〃AD,交對角線BD于點F.

(1)求證：CF=CD；

BF

(2)若NCDB=2NABE,DE=kAE,求也的值.（用含k的式子表示）

DF

(5MS)

專題訓練七中點問題

模型L等腰三角形中遇到底邊上的中點，常聯(lián)想“三線合一”的性質。

等腰三角形中有底邊上的中點時，常作底邊的中線，利用等腰三角形底邊上的中線、

高線、頂角的角平分線“三線合一”的性質得到：AD1BC,BD=CD,進而解決

線段相等及平行問題、角度之間的相等問題。

（基本模型困2）

直角三角形中有斜邊中點時，常作斜邊上的中線，利用“斜邊上的中線等于斜邊的

一半”，可得CD=40=80=^713,有時有直角無中點，要找中點，可簡記“直角+中點,

等腰必呈現(xiàn)”。

作用：①證明線段相等或求線段長；②構造角相等進行等量代換。

模型3.遇到三角形一邊上的中點（中線或與中點有關的線段），考慮倍長中線法構造全等

三角形。

（基本模型圖3）

當遇到中線或者中點時，可以嘗試用倍長中線法構造全等三角形，證明線段間的數(shù)量關系,

該類型經常會與中位線定理一起綜合應用。

模型4.遇見三角形一邊的中點，?？紤]構造中位線。

（基本模型圖4）

在三角形中，如果有中點，可構造三角形中位線，利用三角形中位線的性質定理:

DE〃BC,且DE=：8C,AADE^AABC,解決線段之間的相等或比例關系及平行問題。

典型類題

（1）如圖1,若〃為等腰直角三角形的C的斜邊比的中點，點白戶分別在的、力。上，且

NEDF40。，連接49,EF,當比二5加,心2時，求線段EF的長度。

（2）如圖2,若〃為等邊三角形仍。的邊函的中點，點￡尸分別在48,〃'邊上，且/

EDF馮V，〃為夢的中點，連接CM當"'〃小時，探究M與6V之間的數(shù)量關系并證明。

（3）如圖3,若〃為等邊三角形486'的邊8。的中點，點后尸分別在力屬力。邊上，且一

被Q90°,當B￡=6,67川.8時，請直接寫出線段所的長度。

（典型題圖D（典型題圖2）（典型題圖3）

1.在△/1優(yōu)中，AB=AC,點〃平面內一點，”是初中點，連接4M作，毗14M

(1)如圖1,若點夕在。的垂直平分線上，ZBAC=m,則求上出T的度數(shù)(用含力的

式子表示)；

(2)如圖2,當點，在。延長線上，且%1%,若tan/ABC=k,則求蕓的值(用含女

的式子表示).

2.小明遇到這樣一個問題;

如圖1,點￡是因中點，ZBAE=ZCDE,求證：AB=DC.小明通過探究發(fā)現(xiàn)，如圖2,

過點8作跖〃口，交龍的延長線于點色再證明△磔四△應冗使問題得到解決.

（1）根據(jù)閱讀材料回答△。國△血戶的條件是（填“SSS”“AAS”'ASA”或“也'

（2）寫出小明的證明過程，參考小明思考問題的方法，解答下列問題；

（3）已知，△/!比中，.”是比邊上一點，CM=BM,E,尸分別在是48,ACAL.連接外

點、是線段即上一點FN=EN,連接J邠并延長交加于點P,4BAC=24BPM=2a,如圖

3,當a=60°時，探究空的值，并說明理由.

3.已知△仍C是等腰直角三角形，N物仁90°,CD=ABC,DEICE,DE=CE,連接力瓦點

2

必是力夕的中點.

(1)如圖1,若點〃在a'邊上，連接Q/,當力44時，求CM的長；

(2)如圖2,若點〃在△力宛的內部，連接被點N是切中點，連接柳V；NE,求證：

MNVAEx

(3)如圖3,將圖2中的△口成繞點。逆時針旋轉，使/圜9=3?！?連接劭，點”是

劭中點，連接拗；探索箏的值并直接寫出結果.

4.閱讀下面材料:

小明遇到這樣兩個問題:

(1)如圖1,4?是00的直徑，C是。。上一點，ODLAC,垂足為〃仁6,求如的長；

(2)如圖2△胸中，科=6,力84,點〃為歐的中點，求加的取值范圍.

對于問題(1),小明發(fā)現(xiàn)根據(jù)垂徑定理，可以得出點〃是力。的中點，利用三角形中位線

定理可以解決；對于問題(2),小明發(fā)現(xiàn)延長到反使DE=AD,連接比；可以得到全

等三角形，通過計算可以解決.

請回答：

問題(1)中切長為；問題(2)中49的取值范圍是；

參考小明思考問題的方法，解決下面的問題：

(3)如圖3,△/!宛中，N劭C=90°,點〃、￡分別在被力。上，龐與勿相交于點￡

AC=mEC,AB=2yl~^EC,AD=nDB.

①當〃=1時，如圖4,在圖中找出與龍相等的線段，并加以證明；

②直接寫出名的值(用含必〃的代數(shù)式表示).

5.閱讀下面材料:

小明遇到這樣一個問題：如圖1,△/紀中，AB=AC,點〃在40邊上，ZDAB=ZABD,

BELAD,垂足為￡,求證：BC=2AE.

小明經探究發(fā)現(xiàn)，過點/作力用垂足為先得到N4陽=/3球,從而可證用且△

以￡(如圖2),使問題得到解決.

(1)根據(jù)閱讀材料回答：△/!防與△力￡全等的條件是(填“SSS”、“弘S”、“4弘”、

uAASn或"HIT中的一個)

參考小明思考問題的方法，解答下列問題：

(2)如圖3,△/!%中，AB=AC,/加仁90°,〃為重的中點，6為國的中點，點產

在/C的延長線上，且NCDF=4EAC,若6F=2,求力8的長；

(3)如圖4,△力比中,AB=ACfN班C=120°,點。、￡分別在48、〃?邊上，且49=

々如(其中0V〃(返

),/AE!)=/BCD,求蕓的值(用含〃的式子表示).

6.如圖1,在△力8。中，點〃為8。中點，點￡在力。上，AIK被交于點尸，4ADC=/BEC.

（2）若AD=BF,求器的值；

（3）如圖2,若AD=BF,/加=90°,BC=m,求而（用含力的式子表示）.

專題八一線三等角問題

【問題背景】

(1)如圖1,ZXABC是等腰直角三角形，AC=BC,直線1過點C,AM_L1,BN±1,垂足分別

為M,No求證：△AMC也Z\CNB；

【嘗試應用】

(2)如圖2,AC=BC,ZACB=90°,N,B,E三點共線，CN±NE,ZE=45°,CN=1,BN

=2。求AE的長;

【拓展創(chuàng)新】

(3)如圖3,在ADCE中，NCDE=45°,點A,B分別在DE,CE上,AC=BC,ZACB=90°,

AF

若tanNDCA=12,直接寫出——的值為

AD

B

A

圖1圖2圖3

1.小明遇到這樣一個問題：

如圖1,2XABC中，ZA=90°,ZB=30°,點D,E分別在AB,BC±,且/CDE=90°°當

BE=2AD時，圖1中是否存在與CD相等的線段？若存在，請找出并加以證明，若不存在，

說明理由。

小明通過探究發(fā)現(xiàn)，過點E作AB的垂線EF,垂足為F,能得到一對全等三角形（如圖2）,

從而將解決問題。

請回答:

（1）小明發(fā)現(xiàn)的與CD相等的線段是；

（2）證明小明發(fā)現(xiàn)的結論；

參考小明思考問題的方法，解決下面的問題：

（3）如圖3,ZXABC中，AB=AC,ZBAC=90°,點D在BC上，BD=2DC,點E在AD上，且

BE

NBEC=135°,求——的值。

圖1圖2圖3

2.（1）如圖，在AABC中，AC=nBC,且NACB二NADC=NBEC=100°,猜想線段DE,