【八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)蘇科版】第九章 中心對(duì)稱圖形平行四邊形（坐標(biāo)與旋轉(zhuǎn)、矩形折疊、特殊四邊形動(dòng)點(diǎn)）

第九章中心對(duì)稱圖形平行四邊形（坐標(biāo)與旋轉(zhuǎn)、矩形折疊、特殊四邊形動(dòng)點(diǎn)）知識(shí)拓展坐標(biāo)與旋轉(zhuǎn)規(guī)律問題典例1如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)的坐標(biāo)為,將線段繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),再將其長(zhǎng)度伸長(zhǎng)為的倍,得到線段;又將線段繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),長(zhǎng)度伸長(zhǎng)為的倍,得到線段;如此下去,得到線段,,…（n為正整數(shù)）,則點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）

A． B． C． D．典例2如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將繞點(diǎn)A順指針旋轉(zhuǎn)到的位置，點(diǎn)B、O分別落在點(diǎn)、處，點(diǎn)在x軸上，再將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，點(diǎn)在x軸上，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，點(diǎn)在x軸上，依次進(jìn)行下去…，若點(diǎn)、，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）A．10110 B． C． D．10120典例3如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形OAB，，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)是．若將繞點(diǎn)O順時(shí)針方向依次旋轉(zhuǎn)45°后得到，，，…，可得，，，…則的坐標(biāo)是______．典例4如圖，在平而直角坐標(biāo)系中，將，，繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到，依此方式，繞點(diǎn)O連續(xù)旋轉(zhuǎn)2022次得到，如果點(diǎn)A的坐標(biāo)為，那么點(diǎn)的坐標(biāo)為______．跟蹤訓(xùn)練1如圖，將邊長(zhǎng)為1的正三角形沿x軸正方向連續(xù)翻轉(zhuǎn)2023次，點(diǎn)P依次落在點(diǎn)，，，…，的位置，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（

）A．2022 B．2023 C．2024 D．跟蹤訓(xùn)練2如圖，在中，，，將沿軸依次以點(diǎn)、、為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，分別得到圖②、圖③則旋轉(zhuǎn)得到的第個(gè)三角形的直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)為_________.跟蹤訓(xùn)練3如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到正方形，依此方式，繞點(diǎn)連續(xù)旋轉(zhuǎn)2020次得到正方形，如果點(diǎn)的坐標(biāo)為，那么點(diǎn)的坐標(biāo)為______．

矩形與折疊問題典例5如圖①所示，四邊形是長(zhǎng)方形，將長(zhǎng)方形折疊，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，折痕為，如圖②所示：(1)圖②中，證明：：(2)將圖②折疊，點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，如圖③所示，當(dāng)時(shí)：①當(dāng)時(shí)，求長(zhǎng)方形的面積；②將圖③中的繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合．如圖④，求證：．典例6同學(xué)們，折紙中也有很大的學(xué)問呢．張老師出示了以下三個(gè)問題，小聰、小明、小慧分別在黑板上進(jìn)行了板演，請(qǐng)你也解答這個(gè)問題：在一張長(zhǎng)方形紙片中，，，現(xiàn)將這張紙片按下列圖示方法折疊，請(qǐng)解決下列問題．(1)如圖1，折痕為，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F在上，則折痕的長(zhǎng)為______cm；(2)如圖2，H，G分別為，的中點(diǎn)，A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F在上，折痕為，則______°．重疊部分的面積為_______；(3)如圖3，在圖2中，把長(zhǎng)方形沿著對(duì)開，變成兩張長(zhǎng)方形紙片，將兩張紙片任意疊合后，發(fā)現(xiàn)重疊部分是一個(gè)______形，證明你的結(jié)論；(4)在（3）的條件下，這個(gè)重疊部分的周長(zhǎng)最短是____cm，重疊部分的周長(zhǎng)最大周長(zhǎng)是____cm．跟蹤訓(xùn)練4長(zhǎng)方形中，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，將沿向下折疊后得到，將延長(zhǎng)線交直線于點(diǎn)F．

(1)若點(diǎn)G恰好落在邊上，則與的數(shù)量關(guān)系是____________；(2)如果點(diǎn)G在長(zhǎng)方形的內(nèi)部，如圖所示：①試探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②若，，求的長(zhǎng)度．重疊面積問題典例7如圖，有A、B兩個(gè)正方形，若將這兩個(gè)正方形疊放在一起可得到圖①，則圖中陰影部分面積為1，若將A，B并列放置構(gòu)造出新的正方形可得到圖②，圖中陰影部分面積為24，則新構(gòu)造出的正方形面積為（

）A．49 B．65 C．78 D．97跟蹤訓(xùn)練5如圖，兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都為2．其中一個(gè)正方形的一頂點(diǎn)在另一個(gè)正方形的中心，則兩個(gè)正方形重疊部分的面積是（

）A．0.5 B．1 C．2 D．無法確定跟蹤訓(xùn)練6如圖，正方形、、、的邊長(zhǎng)分別為2、4、6、4，四個(gè)正方形按照如圖所示的方式擺放，點(diǎn)、、分別位于正方形、、、對(duì)角線的交點(diǎn)，則陰影部分的面積和為（）A．12 B．13 C．14 D．18過關(guān)訓(xùn)練1．如圖，已知菱形的頂點(diǎn)，，若菱形繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)，則第2025秒時(shí)，菱形的對(duì)角線交點(diǎn)D的坐標(biāo)為______2．如圖，正方形的定點(diǎn)與正方形的對(duì)角線交點(diǎn)O重合，正方形和正方形的邊長(zhǎng)都是，則圖中重疊部分的面積是___________．3．如圖，正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，以為頂點(diǎn)的正方形的兩邊，分別變正方形的邊，于點(diǎn)，．記的面積為，的面積為，若正方形的邊長(zhǎng)，則的大小為_____．4．如圖，兩個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形重疊在一起，點(diǎn)是其中一個(gè)正方形的中心，則圖中陰影部分的面積為_____．5．綜合與實(shí)踐：在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形紙片的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．在矩形中，為邊上一點(diǎn)，為邊上一點(diǎn)，連接、，分別將和沿、翻折，點(diǎn)、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)、，且、、三點(diǎn)共線．(1)如圖1，若為邊的中點(diǎn)，，點(diǎn)與點(diǎn)重合，則____，____；(2)如圖2，若為的中點(diǎn)，，，求的長(zhǎng)．(3)，，若為的三等分點(diǎn)(圖僅供參考)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．6．綜合與實(shí)踐：操作體驗(yàn)：數(shù)學(xué)活動(dòng)《折紙與證明》中，有這樣一段活動(dòng)材料：①如圖1-①，把正方形對(duì)折后再展開，折痕為；②如圖1-②，將點(diǎn)A翻折到上的點(diǎn)處，且使折痕過點(diǎn)B；③如圖1-③，沿折疊，得（如圖1-④）．（1）根據(jù)以上操作，試證明是等邊三角形；初步探究：（2）某活動(dòng)小組發(fā)現(xiàn)另一種折等邊三角形的方法：如圖2，點(diǎn)N在邊上，翻折，使得點(diǎn)B落在折痕上的點(diǎn)H處，連接，則是等邊三角形，若；①求的長(zhǎng)；②連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，交于點(diǎn)G，如圖3，求的長(zhǎng)；深入探究：（3）另一活動(dòng)小組將沿翻折到位置，延長(zhǎng)交于點(diǎn)Q，如圖4，求證：點(diǎn)Q是的三等分點(diǎn)．7．如圖1，將矩形放置于第一象限，使其頂點(diǎn)O位于原點(diǎn)，且點(diǎn)B，C分別位于x軸，y軸上．若滿足．(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)取中點(diǎn)M，連接，與關(guān)于所在直線對(duì)稱，連接并延長(zhǎng)，交x軸于點(diǎn)P．①求的長(zhǎng)；②如圖2，點(diǎn)D位于線段上，且．點(diǎn)E為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，滿足，連接．請(qǐng)你求出線段長(zhǎng)度的最大值．

第九章中心對(duì)稱圖形平行四邊形（坐標(biāo)與旋轉(zhuǎn)、矩形折疊、特殊四邊形動(dòng)點(diǎn)）答案全解全析知識(shí)拓展坐標(biāo)與旋轉(zhuǎn)規(guī)律問題典例1如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)的坐標(biāo)為,將線段繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),再將其長(zhǎng)度伸長(zhǎng)為的倍,得到線段;又將線段繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),長(zhǎng)度伸長(zhǎng)為的倍,得到線段;如此下去,得到線段,,…（n為正整數(shù)）,則點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查勾股定理,旋轉(zhuǎn),規(guī)律變化知識(shí)．正確分析出變化規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．【詳解】解:∵點(diǎn)的坐標(biāo)為,∴,∵將線段繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),再將其長(zhǎng)度伸長(zhǎng)為的倍,得到線段,∴,∵將線段繞點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn),長(zhǎng)度伸長(zhǎng)為的倍,得到線段,∴,∴,∴,∵每次旋轉(zhuǎn),∴,∴點(diǎn)應(yīng)旋轉(zhuǎn)到軸負(fù)半軸位置,∴,故選:C．典例2如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將繞點(diǎn)A順指針旋轉(zhuǎn)到的位置，點(diǎn)B、O分別落在點(diǎn)、處，點(diǎn)在x軸上，再將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，點(diǎn)在x軸上，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，點(diǎn)在x軸上，依次進(jìn)行下去…，若點(diǎn)、，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）

A．10110 B． C． D．10120【答案】D【分析】先根據(jù)勾股定理求得的長(zhǎng)，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)找到點(diǎn)之間的規(guī)律，即可得每偶數(shù)之間的C相差10個(gè)單位長(zhǎng)度，根據(jù)這個(gè)規(guī)律可得到結(jié)果．【詳解】解：∵點(diǎn)、，是直角三角形，∴，∴，根據(jù)邊長(zhǎng)之間的關(guān)系可得：，根據(jù)點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)的規(guī)律可得，∴即，∴的橫坐標(biāo)為，故答案選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的坐標(biāo)規(guī)律，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確利用旋轉(zhuǎn)求出三角形的三邊長(zhǎng)．典例3如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形OAB，，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)是．若將繞點(diǎn)O順時(shí)針方向依次旋轉(zhuǎn)45°后得到，，，…，可得，，，…則的坐標(biāo)是______．【答案】【分析】本題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)的規(guī)律探究．解題的關(guān)鍵在于推導(dǎo)出一般性規(guī)律．根據(jù)題意求出：，，，，，的坐標(biāo)，推導(dǎo)出每旋轉(zhuǎn)8次為一個(gè)循環(huán)，再由，求出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：，，，，，，，，…，∴可推導(dǎo)一般性規(guī)律：點(diǎn)坐標(biāo)的變化每旋轉(zhuǎn)8次為一個(gè)循環(huán)，∵，∴的坐標(biāo)是．故答案為：．典例4如圖，在平而直角坐標(biāo)系中，將，，繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到，依此方式，繞點(diǎn)O連續(xù)旋轉(zhuǎn)2022次得到，如果點(diǎn)A的坐標(biāo)為，那么點(diǎn)的坐標(biāo)為______．【答案】【分析】根據(jù)圖形可知：點(diǎn)B在以O(shè)為圓心，以為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，由旋轉(zhuǎn)可知：將繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到，相當(dāng)于將線段繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，可得對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)規(guī)律發(fā)現(xiàn)是8次一循環(huán)，然后按此規(guī)律解答即可．根據(jù)題意、歸納出點(diǎn)B的坐標(biāo)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，∴，∴，∴，由旋轉(zhuǎn)可知：，∵將繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到，∴相當(dāng)于將線段繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，依次得到：，∴，，，，，，，，……∴每8次完成一個(gè)循環(huán)，∵，∴的坐標(biāo)與的坐標(biāo)相同，∴的坐標(biāo)為．故答案為：．跟蹤訓(xùn)練1如圖，將邊長(zhǎng)為1的正三角形沿x軸正方向連續(xù)翻轉(zhuǎn)2023次，點(diǎn)P依次落在點(diǎn)，，，…，的位置，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（

）A．2022 B．2023 C．2024 D．【答案】B【分析】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，根據(jù)圖形的翻轉(zhuǎn)，分別得出、、…的橫坐標(biāo)，再根據(jù)規(guī)律即可得出各個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)．【詳解】解：如圖，過P作軸，垂足為Q，∵正三角形的邊長(zhǎng)為1，∴，可知、的橫坐標(biāo)是1，的橫坐標(biāo)是，、的橫坐標(biāo)是4，的橫坐標(biāo)是，依此類推下去，，則的橫坐標(biāo)是2023，故選B．跟蹤訓(xùn)練2如圖，在中，，，將沿軸依次以點(diǎn)、、為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，分別得到圖②、圖③則旋轉(zhuǎn)得到的第個(gè)三角形的直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)為_________.

【答案】【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形的變化—旋轉(zhuǎn)，勾股定理；利用勾股定理得到的長(zhǎng)度，結(jié)合圖形可求出圖③的直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)．根據(jù)圖形不難發(fā)現(xiàn)，每3個(gè)圖形為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，且下一組的第一個(gè)圖形與上一組的最后一個(gè)圖形的直角頂點(diǎn)重合．據(jù)此可得出結(jié)果．【詳解】解：，，，，根據(jù)圖形，每個(gè)圖形為一個(gè)循環(huán)組，，且第、個(gè)三角形的直角頂點(diǎn)在同一個(gè)位置；，第、個(gè)三角形的直角頂點(diǎn)在軸上，橫坐標(biāo)為，第個(gè)三角形的直角頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：．跟蹤訓(xùn)練3如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將正方形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到正方形，依此方式，繞點(diǎn)連續(xù)旋轉(zhuǎn)2020次得到正方形，如果點(diǎn)的坐標(biāo)為，那么點(diǎn)的坐標(biāo)為______．

【答案】【分析】由旋轉(zhuǎn)可知：將正方形繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到正方形，相當(dāng)于將線段繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，可得，，，，根據(jù)規(guī)律發(fā)現(xiàn)是8次一循環(huán)，可得結(jié)論．【詳解】解：∵四邊形是正方形，且，∴，如圖，

由旋轉(zhuǎn)得：，∵將正方形繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到正方形，相當(dāng)于將線段繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，依次得到，，∴，，，，∵8次一循環(huán)，∴余4，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了坐標(biāo)與圖形的變化、規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)從特殊到一般的探究規(guī)律的方法，屬于中考常考題型．矩形與折疊問題典例5如圖①所示，四邊形是長(zhǎng)方形，將長(zhǎng)方形折疊，點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)處，折痕為，如圖②所示：(1)圖②中，證明：：(2)將圖②折疊，點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕為，如圖③所示，當(dāng)時(shí)：①當(dāng)時(shí)，求長(zhǎng)方形的面積；②將圖③中的繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合．如圖④，求證：．【答案】(1)見解析(2)①；②見解析【分析】本題考查了勾股定理、折疊的性質(zhì)、三角形全等的性質(zhì)和判定．（1）由折疊得：，再由平行線的性質(zhì)可得：，所以；（2）①先求的長(zhǎng)，再作的高線，并利用面積法求，根據(jù)面積公式求長(zhǎng)方形的面積；②由（1）得：，同理，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)得：，再證明，根據(jù)可證明兩三角形全等．【詳解】（1）證明：如圖②，由翻折知，，又，，，；（2）解：①過點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖③，，，，，長(zhǎng)方形的面積，②由旋轉(zhuǎn)的特征知，，又，點(diǎn)三點(diǎn)共線，與（1）同理，可得，且，，由（1）得，由圖③，知，故，，，，，，．．典例6同學(xué)們，折紙中也有很大的學(xué)問呢．張老師出示了以下三個(gè)問題，小聰、小明、小慧分別在黑板上進(jìn)行了板演，請(qǐng)你也解答這個(gè)問題：在一張長(zhǎng)方形紙片中，，，現(xiàn)將這張紙片按下列圖示方法折疊，請(qǐng)解決下列問題．(1)如圖1，折痕為，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F在上，則折痕的長(zhǎng)為____cm；(2)如圖2，H，G分別為，的中點(diǎn)，A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F在上，折痕為，則_____°．重疊部分的面積為______；(3)如圖3，在圖2中，把長(zhǎng)方形沿著對(duì)開，變成兩張長(zhǎng)方形紙片，將兩張紙片任意疊合后，發(fā)現(xiàn)重疊部分是一個(gè)_______形，證明你的結(jié)論；(4)在（3）的條件下，這個(gè)重疊部分的周長(zhǎng)最短是________cm，重疊部分的周長(zhǎng)最大周長(zhǎng)是________cm．【答案】(1)(2)30，(3)菱，理由見詳解(4)40，58【分析】（1）根據(jù)圖形折疊的性質(zhì)可知，再根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論；（2）連接，由題意易得四邊形是矩形，則有是等邊三角形，然后再根據(jù)含30度直角三角形的性質(zhì)得到的長(zhǎng)，利用三角形的面積公式即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)平行四邊形的判定首先證得四邊形是平行四邊形，因?yàn)閮蓷l矩形的寬度相等，然后根據(jù)平行四邊形的面積公式即可證得四邊形的鄰邊相等，進(jìn)而證得四邊形是菱形；（4）當(dāng)矩形紙片互相垂直時(shí)，這個(gè)菱形的周長(zhǎng)最短，最小值是，如圖2所示放置時(shí)，重疊部分的菱形面積最大，設(shè)，則，利用勾股定理即可求出的值，進(jìn)而可得出菱形的周長(zhǎng)．【詳解】（1）解：由折疊可知四邊形是正方形，∴，；故答案為；（2）解：連接，如圖所示：∵四邊形是矩形，∴，，分別為，的中點(diǎn)，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是矩形，∴垂直且平分線段，∴，由折疊可知，，∴是等邊三角形，∴，由折疊可知，∴，即，；故答案為30，．（3）解：重疊四邊形的形狀是菱形；理由如下：因紙片都是矩形，則重疊四邊形的對(duì)邊互相平行，則四邊形是平行四邊形．如圖1，過作于點(diǎn)，于點(diǎn)，又，，，四邊形的形狀是菱形；故答案為菱．（4）解：由（2）可知：分開的兩張矩形紙片的寬都為，根據(jù)點(diǎn)到直線垂線段最短可知：當(dāng)矩形紙片互相垂直時(shí)，這個(gè)菱形的周長(zhǎng)最短，最短周長(zhǎng)為．最大的菱形如圖2所示放置時(shí)，重疊部分的菱形面積最大．設(shè)，則．在中，，解得．則菱形的最大周長(zhǎng)為；故答案為40，58．【點(diǎn)睛】本題考查的是圖形的翻折變換、菱形及矩形的性質(zhì)、三角形的面積公式，熟知圖形翻折變換的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．跟蹤訓(xùn)練4長(zhǎng)方形中，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，將沿向下折疊后得到，將延長(zhǎng)線交直線于點(diǎn)F．

(1)若點(diǎn)G恰好落在邊上，則與的數(shù)量關(guān)系是____________；(2)如果點(diǎn)G在長(zhǎng)方形的內(nèi)部，如圖所示：①試探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②若，，求的長(zhǎng)度．【答案】(1)(2)①，理由見解析；②的長(zhǎng)度為【分析】（1）由四邊形是長(zhǎng)方形得，當(dāng)點(diǎn)G在邊上，則，所以；（2）①由折疊得，則，即可根據(jù)直角三角形全等的判定定理“”證明，得，即可得出結(jié)論；②設(shè)，則，，所以，，根據(jù)勾股定理得，求出符合題意的x的值即可．此題重點(diǎn)考查軸對(duì)稱的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用等知識(shí)與方法，此題綜合性強(qiáng)，難度較大，屬于考試壓軸題．【詳解】（1）解：如圖1，點(diǎn)G在邊上，

∵四邊形是長(zhǎng)方形，，由折疊得，，，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，，故答案為：；（2）解：①，理由如下：如圖，連接，

由圖形的翻折可知，，，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，，，在和中，，，，，即；②設(shè)，則，，，，，，解得或（不符合題意，舍去），，即的長(zhǎng)度為重疊面積問題典例7如圖，有A、B兩個(gè)正方形，若將這兩個(gè)正方形疊放在一起可得到圖①，則圖中陰影部分面積為1，若將A，B并列放置構(gòu)造出新的正方形可得到圖②，圖中陰影部分面積為24，則新構(gòu)造出的正方形面積為（

）A．49 B．65 C．78 D．97【答案】A【分析】分別設(shè)A、B兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為和，利用正方形性質(zhì)，可知疊放在一起后陰影部分的小正方形邊長(zhǎng)是，并列在一起后邊長(zhǎng)為，用和表示出陰影部分面積，列出方程組解答即可求出和的長(zhǎng)，即可得出結(jié)果．【詳解】解：設(shè)A正方形邊長(zhǎng)為，B正方形邊長(zhǎng)為，由圖可知①中小正方形的邊長(zhǎng)為，面積為1，，，，由圖可知②中新構(gòu)造出的正方形邊長(zhǎng)為，面積，，，，解得：或（舍去），當(dāng)時(shí)，，新構(gòu)成的正方形面積為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，掌握完全平方公式及其變形是解題的關(guān)鍵．跟蹤訓(xùn)練5如圖，兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都為2．其中一個(gè)正方形的一頂點(diǎn)在另一個(gè)正方形的中心，則兩個(gè)正方形重疊部分的面積是（

）A．0.5 B．1 C．2 D．無法確定【答案】B【分析】如圖：連接ABCD的對(duì)角線，根據(jù)題意可以推出△COF≌△DOE，所以重合部分的面積為△OCD的面積．【詳解】解：如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴BO＝CO＝DO，∠BDC＝∠BCO＝45°，AC⊥BD，∴∠DOC＝∠EOF＝90°，∴∠DOE＝∠COF，在△COF和△DOE中，，∴△COF≌△DOE（ASA），∴S△COF＝S△DOE，∴四邊形OECF的面積＝S△OCD＝S正方形ABCD＝，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、三角形的面積、全等三角形的判定和性質(zhì)．解題關(guān)鍵在于找到全等三角形進(jìn)行代換．跟蹤訓(xùn)練6如圖，正方形、、、的邊長(zhǎng)分別為2、4、6、4，四個(gè)正方形按照如圖所示的方式擺放，點(diǎn)、、分別位于正方形、、、對(duì)角線的交點(diǎn)，則陰影部分的面積和為（）A．12 B．13 C．14 D．18【答案】C【分析】根據(jù)正方形的中心對(duì)稱性，得到每一個(gè)陰影部分的面積為其所在的小正方形的面積的，即可解答．【詳解】解：∵正方形具有中心對(duì)稱性，則每一個(gè)陰影部分的面積為其所在的小正方形的面積的，∴==14故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的中心對(duì)稱性，根據(jù)中心對(duì)稱性得到每一個(gè)陰影部分的面積為其所在的小正方形的面積的是解題的關(guān)鍵．過關(guān)訓(xùn)練1．如圖，已知菱形的頂點(diǎn)，，若菱形繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)，則第2025秒時(shí)，菱形的對(duì)角線交點(diǎn)D的坐標(biāo)為______【答案】【分析】菱形的頂點(diǎn),,得D點(diǎn)坐標(biāo)為，每秒旋轉(zhuǎn),則第2025秒時(shí),菱形旋轉(zhuǎn)了253.125圈,可得D點(diǎn)的坐標(biāo)為.【詳解】解：菱形的頂點(diǎn),,得點(diǎn)坐標(biāo)為,即每秒旋轉(zhuǎn)，則第2025秒時(shí)，得菱形旋轉(zhuǎn)了253.125圈，菱形的對(duì)角線交點(diǎn)D的坐標(biāo)為故答案為：.2．如圖，正方形的定點(diǎn)與正方形的對(duì)角線交點(diǎn)O重合，正方形和正方形的邊長(zhǎng)都是，則圖中重疊部分的面積是___________．【答案】1【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是題中重合的部分的面積是不變的，且總是等于正方形面積的．根據(jù)題意可得：，所以，從而可求得其面積．【詳解】解：如圖，正方形和正方形的邊長(zhǎng)都是，，，，在和中，，，；則圖中重疊部分的面積是，故答案為：1．3．如圖，正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，以為頂點(diǎn)的正方形的兩邊，分別變正方形的邊，于點(diǎn)，．記的面積為，的面積為，若正方形的邊長(zhǎng)，則的大小為_____．【答案】【分析】本題考查對(duì)正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出，，，推出，證出可得答案，證明是解此題的關(guān)鍵．【詳解】∵四邊形和四邊形都是正方形，∴，，，∴，在與中，，∴，∴，∴，故答案為：．4．如圖，兩個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形重疊在一起，點(diǎn)是其中一個(gè)正方形的中心，則圖中陰影部分的面積為_____．【答案】【分析】連接、，證明，得到，再由，代值求解即可得到答案．【詳解】解：連接、，如圖所示：，，是正方形，為正方形的中心，，，在和中，，，，，故答案是：4．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，構(gòu)造全等三角形得到陰影部分的面積等于的面積是解決問題的關(guān)鍵．5．綜合與實(shí)踐：在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形紙片的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．在矩形中，為邊上一點(diǎn)，為邊上一點(diǎn)，連接、，分別將和沿、翻折，點(diǎn)、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)、，且、、三點(diǎn)共線．(1)如圖1，若為邊的中點(diǎn)，，點(diǎn)與點(diǎn)重合，則____，____；(2)如圖2，若為的中點(diǎn)，，，求的長(zhǎng)．(3)，，若為的三等分點(diǎn)(圖僅供參考)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)．【答案】(1)，(2)(3)2或【分析】（1）證明四邊形是正方形，由正方形的性質(zhì)得出，，由勾股定理及折疊的性質(zhì)可得出答案；（2）延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接，證明，在中，勾股定理求得，在中，勾股定理即可求解．（3）分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，如圖，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，則四邊形為矩形，，，證明（），由全等三角形的性質(zhì)得出，設(shè)，，，得出，則可得出答案；②當(dāng)時(shí)，如圖，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，則四邊形為矩形，，，設(shè)，，，由勾股定理得出，求出則可得出答案．【詳解】（1）解：，四邊形是矩形，四邊形是正方形，，，為的中點(diǎn)，，將和沿、翻折，點(diǎn)、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)、，，，設(shè)，則，，，，，．將和沿、翻折，點(diǎn)、的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)、，，，，．故答案為：45；2；（2）解：如圖2，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，連接，∵四邊形是矩形，∴∵是的中點(diǎn)，∴∵折疊，∴在中，∴∴設(shè)，在Rt△CBT中，，，即解得：,即∵∴，設(shè)，則，在中，,∴解得：即；（3）2或．分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，如圖3，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，則四邊形為矩形，，，由折疊的性質(zhì)可知，，，，，，，在和中，，，，設(shè)，，，，解得，．②當(dāng)時(shí)，如圖4，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接，則四邊形為矩形，，，由折疊的性質(zhì)可知，，，，，．設(shè)，，，，，解得，．綜上可知，的長(zhǎng)為2或．【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，主要考查了矩形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．綜合與實(shí)踐：操作體驗(yàn)：數(shù)學(xué)活動(dòng)《折紙與證明》中，有這樣一段活動(dòng)材料：①如圖1-①，把正方形對(duì)折后再展開，折痕為；②如圖1-②，將點(diǎn)A翻折到上的點(diǎn)處，且使折痕過點(diǎn)B；③如圖1-③，沿折疊，得（如圖1-④）．（1）根據(jù)以上操作，試證明是等邊三角形；初步探究：（2）某活動(dòng)小組發(fā)現(xiàn)另一種折等邊三角形的方法：如圖2，點(diǎn)N在邊上，翻折，使得點(diǎn)B落在折痕上的點(diǎn)