【八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)湘教版】第一章 直角三角形（單元重點(diǎn)綜合測(cè)試）

第一章直角三角形（單元重點(diǎn)綜合測(cè)試）（考試時(shí)間：120分鐘；滿分：120分）一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（本題3分）（2024上·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列四組數(shù)中，可以作為直角三角形的三邊長(zhǎng)的一組是（

）A．2，3，4 B．3，5，7 C．5，12，13 D．8，10，122．（本題3分）（2023上·甘肅平?jīng)觥ぐ四昙?jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)P是的平分線上一點(diǎn)，，若，則點(diǎn)P到邊的距離是（）A．4 B． C．2 D．13．（本題3分）（2022上·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列三角形中，不是直角三角形的是（）A．中， B．中，，C．中， D．中，三邊之比為4．（本題3分）（2024上·河南南陽(yáng)·八年級(jí)校聯(lián)考期末）在中，，，，則點(diǎn)到的距離是（

）A． B． C． D．5．（本題3分）（2023上·浙江·八年級(jí)期末）如圖，頂角為，，現(xiàn)將折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為，則的長(zhǎng)為（）A．1 B．2 C．4 D．36．（本題3分）（2024上·北京通州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，以的三邊為邊向外作三個(gè)正方形，如果正方形和正方形的面積分別為和，那么正方形的面積是（

）A． B． C． D．7．（本題3分）（2024上·新疆喀什·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，平分，交于D，E是上一點(diǎn)，，交于F．若，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．8．（本題3分）（2023上·四川德陽(yáng)·八年級(jí)四川省德陽(yáng)市第二中學(xué)校校考期中）如圖，在中，，以頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)M，N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線交邊于點(diǎn)D，若，，則的面積是（

）A．15 B．30 C．45 D．609．（本題3分）（2019下·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖所示，AB∥CD，O為∠BAC、∠ACD的平分線交點(diǎn)，OE⊥AC于E，若OE＝2，則AB與CD之間的距離是（）A．2 B．4 C．6 D．810．（本題3分）（2023上·福建龍巖·八年級(jí)龍巖初級(jí)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，中，，的角平分線，相交于點(diǎn)P，過(guò)P作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交于點(diǎn)H，則下列結(jié)論：①；②；③平分；④；⑤，其中正確的結(jié)論是（

）A．①③⑤ B．①②④ C．①②③④ D．①②④⑤二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分。請(qǐng)把答案直接填寫在橫線上）11．（本題3分）（2024上·北京通州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，要根據(jù)“”證明，應(yīng)添加的直接條件是________.12．（本題3分）（2023上·陜西榆林·九年級(jí)校考期末）如圖，是的中線，，，則的度數(shù)為_(kāi)_______．13．（本題3分）（2024上·寧夏銀川·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，長(zhǎng)方形的邊在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示數(shù)0，點(diǎn)B表示數(shù)4，．以點(diǎn)A為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，與數(shù)軸正半軸交于點(diǎn)E，則點(diǎn)E表示的數(shù)為_(kāi)_____．14．（本題3分）（2019下·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在Rt△BAC和Rt△BDC中，∠BAC＝∠BDC＝90°，O是BC的中點(diǎn)，連接AO、DO．若AO＝3，則DO的長(zhǎng)為_(kāi)____．

15．（本題3分）（2023上·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，中，平分，且平分，于E，于F．若，，則________．16．（本題3分）（2024上·河南南陽(yáng)·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在中，，，是BC的中點(diǎn)，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是______．

17．（本題3分）（2019·浙江紹興·校聯(lián)考一模）如圖，在等腰Rt△OAA1中，∠OAA1＝90°，OA＝1，以O(shè)A1為直角邊作等腰Rt△OA1A2，以O(shè)A2為直角邊作等腰Rt△OA2A3，…則OA8的長(zhǎng)度為_(kāi)____．18．（本題3分）（2024上·遼寧盤錦·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)E為線段上一點(diǎn)，，，，結(jié)論：①；②；③；④；⑤四邊形的面積為18中正確的有_____．（填序號(hào)）三、解答題（本大題共8小題，共66分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）19．（本題6分）（2022·湖北恩施·二模）如圖，是的角平分線，、分別是和的高，求證：垂直平分EF．20．（本題6分）（2022上·江蘇南京·八年級(jí)南京市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）一架梯子長(zhǎng)25m，底部長(zhǎng)7m，斜靠在墻，若梯子下滑了4m，問(wèn)梯子底部滑動(dòng)了多少米?21．（本題8分）（2023上·廣西南寧·八年級(jí)?？计谥校┮阎鐖D，點(diǎn)、、、在同一條直線上，，，，(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)22．（本題8分）（2023上·廣西南寧·八年級(jí)三美學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知：如圖，在中，，是的角平分線，，垂足為點(diǎn)E，．(1)求的度數(shù)；(2)如果，，求四邊形的周長(zhǎng)．23．（本題9分）（2024上·北京朝陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在等腰直角中，是邊上任意一點(diǎn)（不與重合），將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．(1)求的度數(shù)；(2)若，求的長(zhǎng)．24．（本題9分）（2023上·廣東潮州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別在邊上勻速移動(dòng)，它們的速度分別為點(diǎn)P每秒，點(diǎn)Q每秒，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)當(dāng)t為何值時(shí)，為等邊三角形；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，為直角三角形．25．（本題10分）（2024上·廣東佛山·八年級(jí)校考期末）綜合與實(shí)踐【問(wèn)題】在圓柱表面，螞蟻怎么爬行路徑最短?（計(jì)算過(guò)程中的取3）素材1

如圖1，圓柱形紙盒的高為12厘米，底面直徑為6厘米，在圓柱下底圓周上的A點(diǎn)有一只螞蟻，它想吃到上底面圓周上與A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的B點(diǎn)處的食物.（1）若螞蟻沿圖1中的折線A→C→B爬行的最短路徑記為“路線一”，此時(shí)最短路程是厘米.將圓柱沿著將側(cè)面展開(kāi)得到圖2，請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出螞蟻爬行的最短路徑（此路徑記為“路線二”），此時(shí)最短路程是_______厘米；比較可知：螞蟻爬行的最短路徑是路線______（用“一”或“二”填空）素材2

如圖3所示的實(shí)踐活動(dòng)器材包括：底面直徑為6厘米，高為10厘米的木質(zhì)圓柱、橡皮筋、細(xì)線（借助細(xì)線來(lái)反映爬行的路線）、直尺，通過(guò)調(diào)節(jié)橡皮筋的位置達(dá)到改變圓柱的高度的目的，（1）中兩種路線路程的長(zhǎng)度如下表所示（單位：厘米）：圓柱高度沿路線一路程x沿路線二路程y比較x與y的大小51110.34109.853a9.49b（2）填空：表格中a的值是________；表格中b表示的大小關(guān)系是_________；（3）經(jīng)歷上述探究后，請(qǐng)你思考：若圓柱的半徑為r，圓柱的高為h.在r不變的情況下，當(dāng)圓柱半徑為r與圓柱的高度h存在怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，螞蟻在圓柱表面的兩種爬行路線的路程相等?26．（本題10分）（2022下·四川內(nèi)江·八年級(jí)四川省內(nèi)江市第六中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）如圖，四邊形ABCD中，∠B=∠C，P是線段BC上一點(diǎn)，PA=PD，且∠APD=90°．(1)如圖1，若∠B=∠C=90°，求證：AB+CD=BC；(2)如圖1，若∠B=∠C=90°，問(wèn)AB2、CD2、AD2之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫出你的猜想，并給予證明；(3)如圖2，若∠B=∠C=45°，且PB=PC，問(wèn)AB2、CD2、AD2之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)直接寫出你的猜想即可，不需要證明．

第一章直角三角形（單元重點(diǎn)綜合測(cè)試）答案全解全析一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1．（本題3分）（2024上·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列四組數(shù)中，可以作為直角三角形的三邊長(zhǎng)的一組是（

）A．2，3，4 B．3，5，7 C．5，12，13 D．8，10，12【答案】C【分析】本題考查了勾股定理逆定理，如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形．根據(jù)勾股定理的逆定理對(duì)所給的數(shù)據(jù)看是否符合兩個(gè)較小數(shù)的平方和等于最大數(shù)的平方即可．【詳解】解∶A．∵，∴2，3，4不可以作為直角三角形的三邊長(zhǎng)；B．∵，∴3，5，7不可以作為直角三角形的三邊長(zhǎng)；C．∵，∴5，12，13可以作為直角三角形的三邊長(zhǎng)；D．∵82+102≠122，∴8，10，12不可以作為直角三角形的三邊長(zhǎng)；故選：C．2．（本題3分）（2023上·甘肅平?jīng)觥ぐ四昙?jí)?？计谥校┤鐖D，點(diǎn)P是的平分線上一點(diǎn)，，若，則點(diǎn)P到邊的距離是（）A．4 B． C．2 D．1【答案】C【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．根據(jù)角平分線的性質(zhì)解答．【詳解】如圖，作于E，∵點(diǎn)P是的角平分線上一點(diǎn)，，∴，故選：C．3．（本題3分）（2022上·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下列三角形中，不是直角三角形的是（）A．中， B．中，，C．中， D．中，三邊之比為【答案】A【分析】根據(jù)直角三角形的判定方法：有一個(gè)角為的三角形，或利用勾股定理逆定理，逐一進(jìn)行判斷即可；【詳解】A、中，，設(shè)，則：，解得：，∴，∴不是直角三角形，符合題意；B、中，，則：，∴，∴是直角三角形，不符合題意；C、中，，則：，∴是直角三角形，不符合題意；D、中，三邊之比為，設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為：，∵，∴是直角三角形，不符合題意；故選A．4．（本題3分）（2024上·河南南陽(yáng)·八年級(jí)校聯(lián)考期末）在中，，，，則點(diǎn)到的距離是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了勾股定理在直角三角形中的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確的運(yùn)用勾股定理．首先根據(jù)勾股定理求出斜邊的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的面積為定值求解即可．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)到的距離為，在中，，則有，，，，，故選：A．5．（本題3分）（2023上·浙江·八年級(jí)期末）如圖，頂角為，，現(xiàn)將折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕為，則的長(zhǎng)為（）A．1 B．2 C．4 D．3【答案】A【分析】本題考查的是翻折變換的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形，掌握30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．根據(jù)折疊的性質(zhì)，，，又，可知，據(jù)30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，可知．【詳解】解：∵，∴，根據(jù)折疊的性質(zhì)，，∴，∴，∵，∴．故選：A．6．（本題3分）（2024上·北京通州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，以的三邊為邊向外作三個(gè)正方形，如果正方形和正方形的面積分別為和，那么正方形的面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，利用勾股定理直接求解即可，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵正方形和正方形的面積分別為和，∴，，∵，∴，∴正方形的面積為，故選：．7．（本題3分）（2024上·新疆喀什·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，平分，交于D，E是上一點(diǎn)，，交于F．若，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角定理以及角平分線的性質(zhì)．根據(jù)垂直定義可得，從而利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得，然后利用三角形的外角性質(zhì)可得，再利用角平分線的定義可得，從而利用三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算，即可解答【詳解】解：∵，∴，∵∴∵是的一個(gè)外角，∴，∵平分，∴，∴，故選：A．8．（本題3分）（2023上·四川德陽(yáng)·八年級(jí)四川省德陽(yáng)市第二中學(xué)校?？计谥校┤鐖D，在中，，以頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)M，N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線交邊于點(diǎn)D，若，，則的面積是（

）A．15 B．30 C．45 D．60【答案】B【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)、基本作圖，過(guò)點(diǎn)作于，根據(jù)題意可知平分，由角平分線的性質(zhì)得出，再由三角形的面積公式可得出結(jié)論．掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于．由題意可知：平分，∵，，即，∴，∵，∴的面積，故選：B．9．（本題3分）（2019下·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖所示，AB∥CD，O為∠BAC、∠ACD的平分線交點(diǎn)，OE⊥AC于E，若OE＝2，則AB與CD之間的距離是（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】過(guò)點(diǎn)O作MN，MN⊥AB于M，求出MN⊥CD，則MN的長(zhǎng)度是AB和CD之間的距離；然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)，分別求出OM、ON的長(zhǎng)度是多少，再把它們求和即可．【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)O作MN，MN⊥AB于M，交CD于N，∵AB∥CD，∴MN⊥CD，∵AO是∠BAC的平分線，OM⊥AB，OE⊥AC，OE=2，∴OM=OE=2，∵CO是∠ACD的平分線，OE⊥AC，ON⊥CD，∴ON=OE=2，∴MN=OM+ON=4，即AB與CD之間的距離是4．故選B．10．（本題3分）（2023上·福建龍巖·八年級(jí)龍巖初級(jí)中學(xué)?？计谥校┤鐖D，中，，的角平分線，相交于點(diǎn)P，過(guò)P作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，交于點(diǎn)H，則下列結(jié)論：①；②；③平分；④；⑤，其中正確的結(jié)論是（

）A．①③⑤ B．①②④ C．①②③④ D．①②④⑤【答案】B【分析】①利用三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義即可判定；②證明，推出，再證明，推出即可判定；③利用反證法，假設(shè)成立，推出矛盾即可；④由，利用等高模型即可判定．⑤可以證明，據(jù)此即可判定；【詳解】解：①在中，，，又、分別平分、，，，，，故①正確；②，又，，，，在和中，，，，，，，在和中，，，，，故②正確；③若平分，則，，，，，這個(gè)與已知條件不符，故③不正確，④，，，，，，，，，，即，故④正確；⑤，故⑤不正確；綜上所述，正確的結(jié)論有①②④，故選：B．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分。請(qǐng)把答案直接填寫在橫線上）11．（本題3分）（2024上·北京通州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，要根據(jù)“”證明，應(yīng)添加的直接條件是________.【答案】【分析】本題主要考查全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵．根據(jù)“”所需要的條件即可得到答案．【詳解】解：和有一條公共直角邊，根據(jù)“”證明，應(yīng)添加的直接條件是．故答案為：．12．（本題3分）（2023上·陜西榆林·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，是的中線，，，則的度數(shù)為_(kāi)_______．【答案】/度【分析】本題考查直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．【詳解】解：是斜邊的中線，，．是的一個(gè)外角，，．．故答案為：．13．（本題3分）（2024上·寧夏銀川·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，長(zhǎng)方形的邊在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示數(shù)0，點(diǎn)B表示數(shù)4，．以點(diǎn)A為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，與數(shù)軸正半軸交于點(diǎn)E，則點(diǎn)E表示的數(shù)為_(kāi)_____．【答案】【分析】本題主要考查了勾股定理，實(shí)數(shù)與數(shù)軸，先利用勾股定理求出，再由數(shù)軸上兩點(diǎn)距離計(jì)算公式即可求出答案．【詳解】解：由題意得，，∴，∴，∴點(diǎn)E表示的數(shù)為，故答案為：．14．（本題3分）（2019下·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在Rt△BAC和Rt△BDC中，∠BAC＝∠BDC＝90°，O是BC的中點(diǎn)，連接AO、DO．若AO＝3，則DO的長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】3【分析】根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半求解即可.【詳解】∵在Rt△BAC和Rt△BDC中，∠BAC＝∠BDC＝90°，O是BC的中點(diǎn)，∴,,∴DO=AO=3.故答案為3.15．（本題3分）（2023上·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，中，平分，且平分，于E，于F．若，，則________．【答案】2【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得，由線段垂直平分線的性質(zhì)得，從而證明，得，從而解決問(wèn)題．【詳解】解：∵平分，∴，∵且平分，∴，∴，∴，同理可證，∴，∴，∴，故答案為：2．16．（本題3分）（2024上·河南南陽(yáng)·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在中，，，是BC的中點(diǎn)，是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是______．

【答案】【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱—路徑最短問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是確定動(dòng)點(diǎn)在何位置時(shí)，使的值最?。^(guò)點(diǎn)作于，延長(zhǎng)到，使，連接交于，此時(shí)的值最小，由對(duì)稱性知，得到，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】過(guò)點(diǎn)作于，延長(zhǎng)到，使，連接交于，此時(shí)的值最小，

是BC的中點(diǎn)，，連接，由對(duì)稱性知，，，，，根據(jù)勾股定理可得：，故答案為：．17．（本題3分）（2019·浙江紹興·校聯(lián)考一模）如圖，在等腰Rt△OAA1中，∠OAA1＝90°，OA＝1，以O(shè)A1為直角邊作等腰Rt△OA1A2，以O(shè)A2為直角邊作等腰Rt△OA2A3，…則OA8的長(zhǎng)度為_(kāi)____．【答案】16【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行分析，可得到邊的長(zhǎng)度特點(diǎn).【詳解】解：∵△OAA1為等腰直角三角形，OA＝1，∴AA1＝OA＝1，OA1＝OA＝；∵△OA1A2為等腰直角三角形，∴A1A2＝OA1＝，OA2＝OA1＝2；∵△OA2A3為等腰直角三角形，∴A2A3＝OA2＝2，OA3＝OA2＝2；∵△OA3A4為等腰直角三角形，∴A3A4＝OA3＝2，OA4＝OA3＝4．∵△OA4A5為等腰直角三角形，∴A4A5＝OA4＝4，OA5＝OA4＝4．∵△OA5A6為等腰直角三角形，∴A5A6＝OA5＝4，OA6＝OA5＝8．∴OA8的長(zhǎng)度為＝16．故答案為16．18．（本題3分）（2024上·遼寧盤錦·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)E為線段上一點(diǎn)，，，，結(jié)論：①；②；③；④；⑤四邊形的面積為18中正確的有_____．（填序號(hào)）【答案】①②③⑤【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，垂直的定義，直角三角形兩銳角互余等知識(shí)，證明是解答本題的關(guān)鍵．根據(jù)可證明可判斷①；求出可判斷②；利用全等三角形的性質(zhì)可判斷③；無(wú)法判斷④正確；利用三角形的面積公式可判斷⑤．【詳解】解：如圖，∵，，，∴，故①正確；∴，∵，∴，∴，∴，故②正確；∵，∴，∵，∴，故③正確；無(wú)法證明，故④不正確；∵，∴四邊形的面積，故⑤正確．故答案為：①②③⑤．三、解答題（本大題共8小題，共66分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）19．（本題6分）（2022·湖北恩施·二模）如圖，是的角平分線，、分別是和的高，求證：垂直平分EF．【答案】見(jiàn)解析【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)定理和垂直平分線的判定定理，利用角平分線的性質(zhì)得到，從而得到點(diǎn)D在的垂直平分線上，再利用證明，可知，得到點(diǎn)A在的垂直平分線上，從而得證，掌握垂直平分線的判定定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】證明：∵平分，，，∴，∴點(diǎn)D在的垂直平分線上．∵，∴，在和中，，∴，∴．∴點(diǎn)A在的垂直平分線上．又∵點(diǎn)D在的垂直平分線上．∴是線段的垂直平分線．20．（本題6分）（2022上·江蘇南京·八年級(jí)南京市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）一架梯子長(zhǎng)25m，底部長(zhǎng)7m，斜靠在墻，若梯子下滑了4m，問(wèn)梯子底部滑動(dòng)了多少米?【答案】8米【分析】首先表示出CO長(zhǎng)，然后再利用勾股定理在直角中表示出長(zhǎng)，再用可得長(zhǎng)．【詳解】∵梯子長(zhǎng)25m，底部長(zhǎng)7m∴m∵梯子的頂端下滑了4米，∴m，∵m，∴m，∴15m，∵m，∴（m），故窗子底端向外滑動(dòng)了8m．21．（本題8分）（2023上·廣西南寧·八年級(jí)校考期中）已知，如圖，點(diǎn)、、、在同一條直線上，，，，

(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理：（1）先證，再證即可；（2）根據(jù)可得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】（1）證明：，，和是直角三角形，，，即，在和中，，；（2）解：，，，，．22．（本題8分）（2023上·廣西南寧·八年級(jí)三美學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知：如圖，在中，，是的角平分線，，垂足為點(diǎn)E，．(1)求的度數(shù)；(2)如果，，求四邊形的周長(zhǎng)．【答案】(1)(2)10【分析】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、直角三角形的特征、等腰三角形的判定及性質(zhì)：（1）利用等腰三角形的判定及性質(zhì)得，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得，進(jìn)而可求解；（2）利用角平分線的性質(zhì)得，再利用得，進(jìn)而可得，，進(jìn)而可求解；熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：，且，，，是的角平分線，，，,．（2）是的角平分線，且，，，在和中，，，，，，，四邊形為：．23．（本題9分）（2024上·北京朝陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在等腰直角中，是邊上任意一點(diǎn)（不與重合），將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，連接．(1)求的度數(shù)；(2)若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，從而得到，證明得出，從而得到；（2）由（1）可知，，得到，由勾股定理可得，從而得出，最后由勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：是等腰直角三角形，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，，即，，，，；（2）解：由（1）可知，，，，，，在中，根據(jù)勾股定理．24．（本題9分）（2023上·廣東潮州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別在邊上勻速移動(dòng)，它們的速度分別為點(diǎn)P每秒，點(diǎn)Q每秒，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)當(dāng)t為何值時(shí)，為等邊三角形；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，為直角三角形．【答案】(1)；(2)t為或時(shí).【分析】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)及判定和直角三角形的性質(zhì)：（1）由題意可知，，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，則有，即，可求得t；（2）當(dāng)時(shí)，在中，，可得；當(dāng)時(shí)，可得，可得分別求得t的值即可．【詳解】（1）由題意可知，則，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，則有，即，解得，即當(dāng)時(shí)，為等邊三角形；（2）當(dāng)時(shí)，∵°，∴，在中，，即，解得；當(dāng)時(shí)，同理可得，即，解得，綜上可知當(dāng)t為或時(shí)，為直角三角形．25．（本題10分）（2024上·廣東佛山·八年級(jí)校考期末）綜合與實(shí)踐【問(wèn)題】在圓柱表面，螞蟻怎么爬行路徑最短?（計(jì)算過(guò)程中的取3）素材1

如圖1，圓柱形紙盒的高為12厘米，底面直徑為6厘米，在圓柱下底圓周上的A點(diǎn)有一只螞蟻，它想吃到上底面圓周上與A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的B點(diǎn)處的食物.（1）若螞蟻沿圖1中的折線A→C→B爬行的最短路徑記為“路線一”，此時(shí)最短路程是厘米.將圓柱沿著將側(cè)面展開(kāi)得到圖2，請(qǐng)?jiān)趫D2中畫出螞蟻爬行的最短路徑（此路徑記為“路線二”），此時(shí)最短路程是_______厘米；比較可知：螞蟻爬行的最短路徑是路線______（用“一”或“二”填空）素材2

如圖3所示的實(shí)踐活動(dòng)器材包括：底面直徑為6厘米，高為10厘米的木質(zhì)圓柱、橡皮筋、細(xì)線（借助細(xì)線來(lái)反映爬行的路線）、直尺，通過(guò)調(diào)節(jié)橡皮筋的位置達(dá)到改變圓柱的高度的目的，（1）中兩種路線路程的長(zhǎng)度如下表所示（單位：厘米）：圓柱高度沿路線一路程x沿路線二路程y比較x與y的大小51110.34109.853a9.49b（2）填空：表格中a的值是________；表格中b表示的大小關(guān)系是_________；（3）經(jīng)歷上述探究后，請(qǐng)你思考：若圓柱的半徑為r，圓柱的高為h.在r不變的情況下，當(dāng)圓柱半徑為r與圓柱的高度h存在怎樣的數(shù)量關(guān)系時(shí)，螞蟻在圓柱表面的兩種爬行路線的路程相等?【答案】（1）作圖見(jiàn)解析，，二（2），

（3）r=45h【分析】此題主要考查了平面展開(kāi)圖的最短路徑問(wèn)題，利用分類討論得出是解題關(guān)鍵．（1