深度學習導向下的初中數(shù)學大單元教學：“勾股定理”單元教學設計

深度學習導向下的初中數(shù)學大單元教學：“勾股定理”單元教學設計單元整體教學是初中數(shù)學高效教學活動中重要的模式之一，相比較以往單一課時教學活動而言，單元整體教學立足全局視角，解讀單元整體內(nèi)容，分析學生學情，設計單元整體教學目標，制定單元教學流程，分析單元整體教學方法，設計單元整體活動等，從全局角度思考如何科學設定單元整體教學模式，多措并舉共同促進初中數(shù)學大單元教學質(zhì)量的提升?！窘滩姆治觥俊肮垂啥ɡ怼笔菙?shù)與形的第一定理，古今中外無數(shù)學者對其進行了研究與證明。它刻畫了直角三角形的三邊關系，由“形”定“數(shù)”，體現(xiàn)了“數(shù)”與“形”的完美結(jié)合。勾股定理蘊含著豐富的歷史文化內(nèi)涵，推進了數(shù)的發(fā)展，不僅在數(shù)學領域有著重要地位，還在其他學科領域中被廣泛應用。人教版“勾股定理”包含勾股定理及其逆定理等相關內(nèi)容，是在學生學習了三角形、二次根式等內(nèi)容之后展開的學習，是對三角形性質(zhì)的深入學習，其中包含對勾股定理的探索、發(fā)現(xiàn)以及證明的過程，蘊含了從特殊到一般的數(shù)學思想，逆定理的證明則體現(xiàn)了數(shù)學思維的嚴謹性。勾股定理及其逆定理的學習加深了學生對直角三角形的認識，為后續(xù)矩形、二次函數(shù)綜合運用等內(nèi)容的學習奠定了基礎?！緦W情分析】“勾股定理”是初中階段的重難點內(nèi)容，學生在勾股定理之前學習了三角形、二次根式的相關知識，從幾何角度對三角形的相關知識進行了分析，從代數(shù)角度了解了二次根式的相關內(nèi)容，為學生學習勾股定理奠定了良好的基礎。八年級階段的學生，從學習興趣、學習心理等諸多方面分析，具有好奇、好強、思維活躍等特征。因此在“勾股定理”的學習與實踐過程中，教師可以充分尊重學生主體，創(chuàng)設符合學生學習的多樣化數(shù)學學習與活動平臺，通過整個單元的學習，學生深入理解勾股定理相關知識。【教學目標】1.經(jīng)歷勾股定理的探索過程，感受勾股定理反映的直角三角形三邊之間的數(shù)量關系，從而在探究過程中進一步發(fā)展學生的空間觀念。2.體驗勾股定理的驗證過程，使學生經(jīng)歷猜想—推理—驗證的學習過程，體會數(shù)形結(jié)合、從特殊到一般的數(shù)學思想。3.經(jīng)歷多角度思考問題、解決問題的過程，體驗解決問題的多樣化思路，拓展學生思考問題的思維方式。4.掌握直角三角形的性質(zhì)和判定，對勾股數(shù)的概念有深刻理解，能夠清晰認知勾股定理和逆定理之間的關系，并能用相關知識解決實際問題。（設計意圖：單元整體教學目標的設計是以核心素養(yǎng)為依據(jù)，綜合分析單元整體內(nèi)容，隨后制定系統(tǒng)的目標。深度學習視角下的單元整體教學以學生需求為本，使得課堂教學目標更加明確。不僅如此，在目標設定過程中，教師也明確了本單元學習的重難點內(nèi)容，使學生能夠進一步明確單元整體學習目標以及要達到的學習水平。）【教學建議】1.滲透數(shù)學文化，讓學生在學習過程中獲取更多的與勾股定理相關的知識，以增加學生與勾股定理相關的知識背景，為探究學習奠定基礎。2.以思維培養(yǎng)為基礎，鼓勵學生在體驗、探索、應用過程中深入體會勾股定理的相關內(nèi)容，使學生深入體會從特殊到一般的數(shù)學思想。3.將學生分為學習小組，結(jié)合具體案例將抽象的概念具體化，幫助學生加深對知識的理解深度。4.加強數(shù)學思想方法的滲透。通過勾股定理在幾何問題中的應用，滲透數(shù)形結(jié)合思想、方程與函數(shù)思想、數(shù)學建模思想?！締卧w教學流程】【教學過程】（一）探索勾股定理1.整體導入環(huán)節(jié)首先，從三角形的邊角關系入手，引出學習勾股定理的必然性。（三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊……）教師還可以提出操作任務：分別以3厘米、4厘米為直角邊做一個直角三角形，量一量斜邊的長度，并猜想這個直角三角形三邊有怎樣的數(shù)量關系。其次，通過上述操作活動，教師鼓勵學生以小組為單位進行設計與測量，再通過類似問題的探討，如將直角三角形兩個直角邊的長改為6cm和8cm，那么斜邊的長度是多少呢？這個直角三角形三邊的關系與上一個直角三角形的三邊關系相同嗎？通過銜接活動引導學生猜想學習結(jié)論，合理歸納直角三角形三邊數(shù)量關系，為后續(xù)探究奠定基礎。2.小組合作，探究學習首先，教師設計探究任務，鼓勵學生通過合作學習的方式對教師出示的問題進行合作討論，給出教材第23頁“探究”板塊圖形，提出問題。如，方格圖中含有幾個正方形，那么此正方形的面積為幾個單位面積等，通過提出問題的方式，引導學生認真觀察圖片內(nèi)容，并填寫表格，使學生在觀察、分析、數(shù)數(shù)的過程中探究數(shù)與形之間的相互轉(zhuǎn)化，體會數(shù)形結(jié)合的奧秘。其次，在第一環(huán)節(jié)圖片觀察與討論的基礎上，初步提煉勾股定理的大致內(nèi)容，隨后讓學生說一說自己在第一環(huán)節(jié)中的收獲，并用數(shù)學語言進行總結(jié)，如SA+SB=SC，初步歸納出勾股定理：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（等腰直角三角形、一般直角三角形）。通過這一環(huán)節(jié)的設計，學生探究“從特殊到一般”的數(shù)學思想方法。最后，教師鼓勵學生用數(shù)學語言對勾股定理進行轉(zhuǎn)化、表達，使其通過表達方式的轉(zhuǎn)變，體會數(shù)學知識的奧秘。在此環(huán)節(jié)中，教師承接上述環(huán)節(jié)中總結(jié)的規(guī)律，讓學生用符號語言正確表達勾股定理的相關表達以及形式變換，感悟“形變質(zhì)通”的數(shù)學思想方法。如文字語言：直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。符號語言：∠C=90°。（已知）那么a2+b2=c2（c2-a2=b2等）。3.驗證定理，提升能力首先，教師出示“趙爽弦圖”，并借助多媒體引入數(shù)學文化，引導學生說一說自己對于“趙爽弦圖”的理解，以及其中蘊含哪些知識。其次，教師鼓勵學生借助“趙爽弦圖”驗證勾股定理，將學生分成學習小組，然后根據(jù)三個正方形邊長之間的數(shù)量關系，最終得出勾股定理。在討論過程中，教師引導學生用“內(nèi)嵌法”“外鑲法”兩種方法借助“趙爽弦圖”證明勾股定理，深入理解“形變質(zhì)通”的思想方法。最后，教師出示加菲爾德證明勾股定理的相關圖形，引導學生從另外的角度進行驗證，“拼梯形圖”的方式感受“總統(tǒng)證明法”。這一過程可以充分利用電子白板，通過線上、線下融合活動的方式，有效調(diào)動學生主動參與課堂活動的積極性。4.簡單應用，建構體系首先，出示典型例題：“如果從電線桿離地面8m處向地面拉一條鋼索，若這條鋼索在地面的固定點距離電線桿底部6m，那么需要多長的鋼索？”通過典型例題的運用，引導學生深入理解知識內(nèi)涵，遷移應用數(shù)學知識解決問題，感受勾股定理的內(nèi)涵。其次，以小組為單位，分別對整堂課的知識進行梳理分析，用自己的方式呈現(xiàn)知識之間的聯(lián)系，同時交流自己的感受，以及還有哪些問題想要深入了解。（設計意圖：單元整體視角下，探索勾股定理1課時內(nèi)容設計，按照“課堂導入—深入理解—遷移應用”這一思路，打破了傳統(tǒng)勾股定理數(shù)格子總結(jié)勾股定理的傳統(tǒng)方式，引導學生在實際操作、數(shù)據(jù)猜想中發(fā)現(xiàn)勾股定理；將正方形、梯形面積等內(nèi)容與勾股定理聯(lián)系起來，引導學生建立知識之間的必然聯(lián)系，從而將定理知識內(nèi)化。在深入探究環(huán)節(jié)，以教材內(nèi)容為基礎，但是并沒有被教材內(nèi)容束縛，而是將內(nèi)容適當整合，通過問題引導，使學生經(jīng)歷觀察、操作、發(fā)現(xiàn)、猜想、驗證的過程，實現(xiàn)了單元整體視角下教與學的創(chuàng)新。）（二）一定是直角三角形嗎1.溫故知新通過問題引導的方式，回顧現(xiàn)階段學生掌握的知識：問題1：直角三角形有哪些性質(zhì)？問題2：如何判斷三角形是直角三角形？在上述兩個問題的基礎上，教師引出古埃及人得到直角的方法：“用13個等距的結(jié)，把一根繩子分成等長的12段，然后以3個結(jié)、4個結(jié)、5個結(jié)的長度為邊長，用木樁釘成一個三角形，其中一個角便是直角?！苯處熡靡曨l動畫演示整個過程，隨后請學生觀察這個三角形三邊的關系。2.畫一畫教師給出幾組不同數(shù)字，學生以小組為單位，結(jié)合數(shù)據(jù)進行畫圖分析，看看是不是所給出的幾組數(shù)字都能構成直角三角形。①5，12，13；②6，8，10；③7，24，25；④2.5，6，6.5。問題1：這幾組數(shù)字都滿足勾股數(shù)嗎？問題2：根據(jù)以上數(shù)字畫出的三角形都是直角三角形嗎？通過觀察、繪畫的過程，檢驗學生對勾股定理知識的掌握程度。3.說一說問題1：你從上面幾個例子發(fā)現(xiàn)了什么？說一說自己的觀點。此時學生可以自由發(fā)言，根據(jù)溫故知新、畫一畫兩個環(huán)節(jié)，說一說自己得出的觀點：如果三角形的三邊長為a、b、c，滿足a2+b2=c2，那么這個三角形就是直角三角形。問題2：你知道如何判定一個三角形是不是直角三角形嗎？通過問題2的引導，聯(lián)系問題1，學生可以清晰地了解勾股定理以及逆定理之間的互逆關系，進一步加深對勾股定理的認知。4.做一做教師通過典型例題，引導學生將課堂所學知識應用于例題活動中，從而更進一步深化學生對勾股定理逆定理的理解深度。例題1：判斷由a、b、c組成的三角形是不是直角三角形。（1）a=15cm，b=8cm，c=17cm；（2）a=13cm，b=15cm，c=14cm。例題2：在三角形ABC中，a=15cm，b=17cm，c=8cm，求這個三角形的面積。教師設計例題，引導學生將課堂所學內(nèi)容應用于例題解答過程中，在例題設計中還可以延伸到生活場景中，檢驗學生能否將知識融會貫通。（設計意圖：本堂課內(nèi)容的設計同樣使學生經(jīng)歷了探索、猜想、歸納、驗證、應用、拓展的過程，將直角三角形的判定等內(nèi)容融會貫通，并應用于實踐活動中，達到提高學生應用勾股定理逆定理解決問題能力的目的。）（三）勾股定理的應用1.情境創(chuàng)設：怎么走最近如圖1，從教學綜合樓的B點走到二教學樓的A點，你知道怎么走最近嗎？（預設：兩點之間線段最短。）（設計意圖：通過創(chuàng)設生活情境，學生初步認識到兩點之間線段最短，為后續(xù)探究合作做好充分準備。）2.小組合作，深度探究情境創(chuàng)設：小螞蟻從一個高是12cm，底面上圓的周長等于18cm的圓柱上運動，如果螞蟻在圓柱下底面的點A處，但是它想吃到上底面上與點A相對的點B處的食物，沿圓柱側(cè)面爬行到B點，求其爬行的最短路程是多少？關于最短距離的問題是勾股定理延伸問題中的重難點問題，也是易錯點，針對這一情境設計，教師可以將學生分為幾個探究小組，然后讓學生先根據(jù)自己的理解進行探究，在探究過程中，可根據(jù)學生的不同學習能力給出適當?shù)奶崾?。提?：觀察手里的圓柱體（每個小組一個），你能畫出幾條路線呢？你覺得哪條路線最短呢？提示2：我們曾經(jīng)學習過圓柱體的展開圖，那么在展開圖上你能找到B點的對應位置嗎？請嘗試畫出圓柱體的展開圖，標出B點位置。提示3：在展開圖中從A點到B點的最短距離如何確定？提示4：在圓柱體中，螞蟻從A到B的最短路線，你覺得是哪一條呢？它沿側(cè)面爬行了多少距離？（設計意圖：最短距離問題是勾股定理中比較典型的變式問題，通過最短距離問題的設計，一方面能夠檢驗學生對本單元知識的學習深度，另一方面也能夠?qū)⒈締卧鶎W知識融會貫通，并運用于實際問題的解決過程中。在這一過程中，學生再次經(jīng)歷猜想、驗證、實踐、反思的過程，對學生而言也是知識理解、內(nèi)化的過程。）3.遷移運用，全面提升拓展問題1：長方體的底面邊長分別為1cm和3cm，高為6cm，如果一只螞蟻從點A開始經(jīng)過4個側(cè)面爬行一圈到達點B，那么螞蟻爬行的最短路徑長為多少？拓展問題2：一個三級臺階，每級臺階長、寬、高分別為2dm、3dm、2dm，一只螞蟻想從A點爬到其對應B點，你能幫螞蟻設計一條最短的路線嗎？求出最短路線的長。這一環(huán)節(jié)問題設計中，教師可以采用分層設計的方式。能力較強的學習小組，學生可以自主作圖，如果小組學生能力相對較差，那么需要教師給出立體圖和平面圖，并標注相應的數(shù)據(jù)內(nèi)容，學生根據(jù)教師標注、提示，嘗試解決問題。（設計意圖：通過設計分層活動，不僅實現(xiàn)了因材施教，還將本單元知識與相關知識點系統(tǒng)串聯(lián)起來，使學生在解決問題的過程中建構知識體系，有效提升學生學習質(zhì)量。）【教學反思】深度學習視角下單元整體教學設計是將單元內(nèi)容看作一個整體，從整體角度對本單元知識進行綜合整理與分析，制定單元整體教學目標，根據(jù)學情確定單元整體教學流程，設計驅(qū)動任