2024-2025學(xué)年山東省濟(jì)南市高一上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年山東省濟(jì)南市高一上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．2．（

）A． B． C． D．3．命題“”的否定是（

）A． B．C． D．4．工藝扇面是中國(guó)書(shū)畫(huà)的一種常見(jiàn)表現(xiàn)形式.如圖所示，已知扇面展開(kāi)后形成一個(gè)中心角為的扇環(huán)，其中扇環(huán)的外圓半徑為，內(nèi)圓半徑為，某同學(xué)準(zhǔn)備用布料制作這樣一個(gè)扇面，若不計(jì)損耗，則需要布料（

）A． B． C． D．5．已知函數(shù)則的圖象大致為（

）A． B．C． D．6．已知，則（

）A． B．C． D．7．如圖所示，線段為半圓的直徑，為圓心，為半圓弧上不與重合的點(diǎn)，.作于于，設(shè)，則下列不等式中可以直接表示的是（

）A． B．C． D．8．已知函數(shù)在區(qū)間有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共4小題）9．下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則10．已知函數(shù)，則（

）A．為奇函數(shù)B．為增函數(shù)C．的值域?yàn)镈．對(duì)，方程有兩個(gè)根11．如圖所示，已知角的始邊為軸的非負(fù)半軸，終邊與單位圓的交點(diǎn)分別為，為線段的中點(diǎn)，射線與單位圓交于點(diǎn)，則（

）A．B．C．點(diǎn)的坐標(biāo)為D．點(diǎn)的坐標(biāo)為12．通常我們把一個(gè)以集合作為元素的集合稱(chēng)為族.若以集合的子集為元素的族，滿足下列三個(gè)條件：（1）和在中；（2）中的有限個(gè)元素取交后得到的集合在中；（3）中的任意多個(gè)元素取并后得到的集合在中，則稱(chēng)族為集合上的一個(gè)拓?fù)?已知全集為的非空真子集，且，則（

）A．族為集合上的一個(gè)拓?fù)銪．族為集合上的一個(gè)拓?fù)銫．族為集合上的一個(gè)拓?fù)銬．若族為集合上的一個(gè)拓?fù)?，將的每個(gè)元素的補(bǔ)集放在一起構(gòu)成族，則也是集合上的一個(gè)拓?fù)淙?、填空題（本大題共4小題）13．已知為第二象限角，若，則的值為.14．定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則的值為.15．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則的值為.16．已知函數(shù)，，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是.四、解答題（本大題共6小題）17．已知集合.(1)若，求；(2)若是的充分不必要條件，求的取值范圍.18．已知函數(shù)的最大值為3，最小值為1.(1)求和的值；(2)把的圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，求的單調(diào)遞減區(qū)間.19．已知函數(shù)為偶函數(shù).(1)求實(shí)數(shù)的值；(2)解不等式.20．如圖所示，在等腰直角中，為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)分別在線段上運(yùn)動(dòng)，且，設(shè).

(1)設(shè)，求的取值范圍及；(2)求面積的最小值.21．中國(guó)茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類(lèi)型和水的溫度有關(guān).經(jīng)驗(yàn)表明：某種紅茶用的水泡制，再等到茶水溫度降至?xí)r飲用可以產(chǎn)生最佳口感，現(xiàn)在室溫下，某實(shí)驗(yàn)小組為探究剛泡好的茶水達(dá)到最佳飲用口感的放置時(shí)間，每隔測(cè)量一次茶水溫度，得到茶水溫度隨時(shí)間變化的數(shù)據(jù)：時(shí)間012345水溫95.0088.0081.7076.0570.9366.30設(shè)茶水溫度從開(kāi)始，經(jīng)過(guò)后的溫度為，現(xiàn)給出以下三種函數(shù)模型：①；②；③.(1)從上述三種函數(shù)模型中選出你認(rèn)為最符合實(shí)際的函數(shù)模型，簡(jiǎn)單敘述理由，并利用前的數(shù)據(jù)求出相應(yīng)的解析式；(2)根據(jù)（1）中所求的函數(shù)模型，求剛泡好的紅茶達(dá)到最佳飲用口感的放置時(shí)間.參考數(shù)據(jù).22．已知函數(shù).(1)若為單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍；(2)設(shè)函數(shù)，記的最大值為.（i）當(dāng)時(shí)，求的最小值；（ii）證明：對(duì).

答案1．【正確答案】B【分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)定義域以及分式型函數(shù)的定義域即可得解.【詳解】由題意，解得或，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：B.2．【正確答案】C【分析】利用誘導(dǎo)公式結(jié)合兩角差的正弦公式可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】.故選：C.3．【正確答案】A【分析】根據(jù)全稱(chēng)量詞命題的否定為存在量詞命題易求.【詳解】根據(jù)全稱(chēng)量詞命題的否定為存在量詞命題知，命題“”的否定是.故選：A4．【正確答案】C【分析】利用扇形的面積公式可求出扇環(huán)的面積，即可得解.【詳解】由題意可知，扇環(huán)的面積為.故選：C.5．【正確答案】C【分析】結(jié)合冪函數(shù)知識(shí)，畫(huà)出的圖象，將該圖象沿軸對(duì)稱(chēng)即可.【詳解】結(jié)合題意可得：當(dāng)時(shí)，易知為冪函數(shù)，在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，易知為冪函數(shù)，在單調(diào)遞增.故函數(shù),圖象如圖所示:要得到，只需將的圖象沿軸對(duì)稱(chēng)即可得到.故選：C.6．【正確答案】B【分析】由指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可求解.【詳解】由題意.故選：B.7．【正確答案】D【分析】根據(jù)條件和幾何圖形，用表示出，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，在中，，又，所以，在中，，故，得到，所以，所以，即，故選：D.8．【正確答案】A【分析】由題意首先得函數(shù)在區(qū)間上的兩個(gè)零點(diǎn)只能是，由此即可進(jìn)一步列出不等式組求解.【詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)在區(qū)間有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，則這兩個(gè)零點(diǎn)只能是，則當(dāng)時(shí)，，解得.故選：A.9．【正確答案】BC【分析】根據(jù)題意，結(jié)合不等式的性質(zhì)，以及特殊驗(yàn)證，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，又，所以，正確；對(duì)于C，由，可得，根據(jù)不等式的性質(zhì)，可得，正確；對(duì)于D，取，滿足，而，錯(cuò)誤.故選：BC10．【正確答案】ACD【分析】利用函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析判斷即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，易知定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，又，即為奇函數(shù)，所以選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)槎x域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，而，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以的增區(qū)間為，又易知，當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋?dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，所以?duì)，方程有兩個(gè)根，即選項(xiàng)C和D均正確，故選：ACD.11．【正確答案】ABC【分析】由角的定義求解可判斷A；由圓的性質(zhì)及角的定義求解可判斷B；由三角函數(shù)定義求解可判斷C；由中點(diǎn)坐標(biāo)公式及三角函數(shù)定義，結(jié)合角的變換、兩角和與差的余弦公式求解可判斷D.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?，，所以，正確；對(duì)于B：依題意為線段的中點(diǎn)，則，則，又，所以，正確；對(duì)于C：為線段的中點(diǎn)，射線與單位圓交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，所以，又，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，正確；對(duì)于D：，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，錯(cuò)誤.故選：ABC12．【正確答案】ABD【分析】對(duì)于ABC，直接由拓?fù)涞亩x驗(yàn)證即可；對(duì)于D，不妨設(shè)族為集合上的一個(gè)拓?fù)?，則由定義可知，，由此即可進(jìn)一步求解.【詳解】對(duì)于A，首先滿足條件（1），其次，中的有限個(gè)元素取交后得到的集合為或，都在中，滿足條件（2），再次，中的任意多個(gè)元素取并后得到的集合為或，都在中，滿足條件（3），故A正確；對(duì)于B，首先滿足條件（1），其次，中的有限個(gè)元素取交后得到的集合為或或，都在中，滿足條件（2），再次，中的任意多個(gè)元素取并后得到的集合為或或，都在中，滿足條件（3），故B正確；對(duì)于C，不妨設(shè)，則，不在中，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由題意不妨設(shè)族為集合上的一個(gè)拓?fù)洌蓷l件（2）可知中的有限個(gè)元素取交后得到的集合都在，且由條件（3）可知中的任意多個(gè)元素取并后得到的集合都在，所以不妨設(shè)，則，且，首先滿足條件（1），其次，中的有限個(gè)元素取交后得到的集合都在中，滿足條件（2），再次，中的任意多個(gè)元素取并后得到的集合都在中，滿足條件（3），故D正確.故選：ABD.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷D選項(xiàng)的關(guān)鍵是首先得到，由此即可順利得解.13．【正確答案】/【分析】先根據(jù)同角函數(shù)的平方關(guān)系求得，再根據(jù)正切公式求解即可.【詳解】因?yàn)闉榈诙笙藿?，且，所以，所?故14．【正確答案】1【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)以及周期性代入即可求解.【詳解】由題意.故1.15．【正確答案】0【分析】由題意利用輔助角公式，化簡(jiǎn)，結(jié)合圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)可求得的值，即可求得a的值，進(jìn)而求得答案.【詳解】由題意得函數(shù)，顯然，，又函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，故,則，故，則，故.故016．【正確答案】【分析】由題意首先得，，進(jìn)一步有，由此即可順利得解.【詳解】由題意設(shè)，則函數(shù)的零點(diǎn)即為方程的根，在同一平面直角坐標(biāo)系中分別畫(huà)出函數(shù)的圖象以及直線如圖所示：若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，（不妨設(shè)為），則方程的根有三個(gè)根，且，所以，且，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，所以，即，所以，令，，解得，令，，解得，所以.故答案為.關(guān)鍵點(diǎn)睛：關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)單調(diào)性得到，由此即可順利得解.17．【正確答案】(1)，(2)【分析】（1）解不等式確定集合A，根據(jù)集合的交集以及并集運(yùn)算，即可求得答那；（2）由題意可得?，列出相應(yīng)不等式組，即可求得答案.【詳解】（1）解可得，故可知，當(dāng)時(shí)，，所以，；（2）因?yàn)槭堑某浞植槐匾獥l件，所以?，則，解得.18．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）由題意列出方程組即可得解.（2）首先得表達(dá)式，進(jìn)一步整體代入列出不等式組即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，由題意可得，解得.（2）由（1）得，所以，由，得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.19．【正確答案】(1)1(2)【分析】（1）由偶函數(shù)的定義得恒等式，由此即可得解.（2）由對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)單調(diào)性等價(jià)變形即可求解.【詳解】（1）設(shè)的定義域?yàn)椋驗(yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，都有，即對(duì)都成立，等價(jià)于對(duì)都成立，整理得都成立，所以，解得.所以的值為1.（2）由題意，移項(xiàng)得，所以，所以，整理得，即，解得，所以不等式的解集為.20．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件得，即可得，在中，利用即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)條件得到，再利用基本不等式即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)闉榈妊苯侨切危瑸榫€段的中點(diǎn)，所以.因?yàn)辄c(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，所以，因?yàn)?，所以，所?（2）因?yàn)椋?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以面積的最小值為.

21．【正確答案】(1)應(yīng)選擇模型②，理由見(jiàn)解析，(2)【分析】（1）根據(jù)題中描述的函數(shù)模型特點(diǎn)選擇相應(yīng)的函數(shù)模型，待定系數(shù)即可求解.（2）由指對(duì)互換、對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)解方程即可求解.【詳解】（1）選擇②作為函數(shù)模型.對(duì)于模型①，當(dāng)時(shí)，函數(shù)無(wú)意義，故而排除；對(duì)于模型③，由表中數(shù)據(jù)可知當(dāng)自變量增大時(shí)，函數(shù)值減小，故而排除；對(duì)于模型②，所給函數(shù)單調(diào)遞減，且符合茶水溫度不低于室溫的要求；故應(yīng)選擇模型②.將前的數(shù)據(jù)帶入，得，解得，所以所求函數(shù)解析式為.（2）由（1）中模型可得，即，所以，即所以剛泡好的紅茶放置能達(dá)到最佳飲用口感.22．【正確答案】(1)或(2)（i）2;（ii）證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的關(guān)系，即可求得的取值范圍；（2）對(duì)于（i）表示出再根據(jù)的大小討論即可；對(duì)于（ii）先討論對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的關(guān)系并表示出，再對(duì)表達(dá)式中的絕對(duì)值大小進(jìn)行討論.【詳解】（1）由，可得