2024-2025學(xué)年天津南開區(qū)高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（附解析）

2024-2025學(xué)年天津南開區(qū)高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單選題（本大題共9小題）1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．設(shè)，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知數(shù)據(jù)的平均數(shù)為8，方差為6，則，的平均數(shù)和方差分別為（

）A．26，54 B．26，56 C．24，54 D．24，564．設(shè)，則（

）A． B．C． D．5．若函數(shù)為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．6．若關(guān)于的不等式的解集是，則關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)的圖象與直線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于，則的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．8．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別為的中點(diǎn)，則平面截該正方體的外接球得到的截面的面積為（

）A． B． C． D．9．已知雙曲線的離心率為為的兩個(gè)焦點(diǎn)，過作的一條漸近線的垂線，垂足為為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A． B．2 C． D．二、填空題（本大題共6小題）10．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則.11．的二項(xiàng)展開式中，常數(shù)項(xiàng)為.12．圓與圓的公共弦長(zhǎng)為.13．已知甲?乙?丙三人參加射擊比賽，甲?乙?丙三人射擊一次命中的概率分別為，且每個(gè)人射擊相互獨(dú)立，若每人各射擊一次，則三人中恰有兩人命中的概率為；在三人中恰有兩人命中的前提下，甲命中的概率為.14．在中，為線段上一點(diǎn).，則；若在線段上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍是.15．已知函數(shù)若函數(shù)有5個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.三、解答題（本大題共5小題）16．在中，角所對(duì)的邊分別為，且.(1)求；(2)求；(3)求的值.17．如圖，在直三棱柱中，，且分別是的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求到平面的距離；(3)求平面與平面夾角的余弦值.18．已知離心率為的橢圓過點(diǎn).(1)求橢圓的方程和離心率；(2)為橢圓的左焦點(diǎn)，為上頂點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，且.過點(diǎn)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程.19．已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，且.設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，集合，求A（用列舉法表示）；(3)求.20．已知函數(shù).(1)求曲線在其零點(diǎn)處的切線方程；(2)若方程有兩個(gè)解，且.（i）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（ii）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

答案1．【正確答案】C【詳解】由題意，，則.故選：C.2．【正確答案】B【詳解】若，當(dāng)時(shí)，滿足，但不成立，故充分性不成立；當(dāng)時(shí)，滿足，故必要成立，此時(shí)“”是“”是必要不充分條件；若，由，得或，所以“”是“”是必要不充分條件.綜上，“”是“”是必要不充分條件.故選：B3．【正確答案】A【詳解】由題意數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，根據(jù)平均數(shù)和方差性質(zhì)可得數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，故選：A4．【正確答案】D【詳解】，故.故選：D5．【正確答案】B【詳解】，則，則，故，得，當(dāng)時(shí)，定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，滿足題意，故，故選：B6．【正確答案】D【詳解】由于關(guān)于的不等式的解集是，所以則有且，所以等價(jià)于，解得，即不等式的解集為．故選：D.7．【正確答案】C【詳解】，由于直線與其圖象兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的距離等于，故，故，，，解得，故單調(diào)遞增區(qū)間為.故選：C8．【正確答案】D【詳解】如圖，連接，由題意易知，，故四邊形為平行四邊形.設(shè)，取的中點(diǎn)，連接，在Rt中，，故點(diǎn)到的距離為，故點(diǎn)到的距離為，因此圓心到平面的距離為.由題易知球的半徑，故平面截球得到的截面圓的半徑，故截面圓的面積.故選：D9．【正確答案】A【詳解】根據(jù)題意，，由，則，．由余弦定理可得，，所以，所以．故選：A10．【正確答案】【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，所以，所以.故11．【正確答案】【詳解】的通項(xiàng)為，令，則，故常數(shù)項(xiàng)為，故12．【正確答案】【詳解】將兩個(gè)圓的方程作差得：，即公共弦所在的直線為，又知，則到直線的距離為：，所以公共弦長(zhǎng)為.故答案為.13．【正確答案】；．【詳解】記甲?乙?丙三人射擊一次命中分別為事件，由題意，則每人各射擊一次，則三人中恰有兩人命中的概率為,記三人中恰有兩人命中為事件，“三人中恰有兩人命中的前提下，甲命中”為事件，則，，，故；．14．【正確答案】15/【詳解】依題意，，所以，由于三點(diǎn)共線，所以.因?yàn)椋?，所?設(shè).由向量減法的三角形法則可得.那么..已知，，，根據(jù)向量數(shù)量積公式（為與的夾角），可得.展開得：，把，，代入上式：，展開并整理：，合并同類項(xiàng)得.令，，這是一個(gè)二次函數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)，圖象開口向上，對(duì)稱軸為.當(dāng)時(shí)，取得最小值，.當(dāng)或時(shí)，，.所以的取值范圍是.故；15．【正確答案】或.【詳解】作出函數(shù)圖像如下：設(shè)，，由圖可知，至多只有四個(gè)根，于是必有兩個(gè)不等實(shí)根.設(shè)當(dāng)時(shí)，有個(gè)根，有個(gè)根，此時(shí)有個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)二次函數(shù)根的分布可知，，解得；當(dāng)，，有個(gè)根，有個(gè)根，此時(shí)有個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)，解得，則，時(shí)，，，符合題意；當(dāng)，，有個(gè)根，有個(gè)根，此時(shí)有個(gè)零點(diǎn)，此時(shí)，解得，則，時(shí)，，，不符合題意.綜上可知，或.故或.16．【正確答案】(1)(2)(3)【詳解】（1）由正弦定理可得,故（2）由余弦定理可得，由于，故，（3）由余弦定理可得，故17．【正確答案】(1)證明見解析(2)(3)【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，.因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以且.又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，直三棱柱中且，所以且.所以四邊形是平行四邊形，則.因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（2）由已知，可得.根據(jù)勾股定理可得.，，.根據(jù)余弦定理可得，所以，則..設(shè)到平面的距離為.因?yàn)?，根?jù)三棱錐體積公式（為底面積，為高）可得：，即，解得.（3）依題意可知，兩兩相互垂直，以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則，，，.，，，.設(shè)平面的法向量為n1=x1,y令，可得，，所以.設(shè)平面的法向量為，則，即，令，可得，，所以.設(shè)平面與平面夾角為，根據(jù)向量夾角公式可得：.18．【正確答案】(1)；(2)【詳解】（1）由已知得方程組解得.所以橢圓的方程為.橢圓離心率，所以.（2）先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，由（1）得.因?yàn)椋蛄?，設(shè)，則.由于，即，根據(jù)向量數(shù)量積公式，得到，解得，所以.

設(shè)直線，，代入橢圓方程，并整理得.，展開并化簡(jiǎn)得，，進(jìn)一步得到，解得.由韋達(dá)定理可得，.計(jì)算，將，代入得.把，代入上式得.因?yàn)?，即，化?jiǎn)得，即，解得，所以.

直線的方程為.19．【正確答案】(1)，；(2)(3)【詳解】（1），又為等差數(shù)列，，設(shè)公差為，則，故的通項(xiàng)公式為，又，故，即的通項(xiàng)公式為；（2），其中，，故，要想，則需要能整除12，又，故，此時(shí)，故；（3）因?yàn)椋?，所以，故，若為偶?shù)，則①，②，式子①+②得，所以，若為奇數(shù)，則，所以.20．【正確答案】(1)(2)（i），（ii）【詳解】（1）令得，且，零點(diǎn)處切線的斜率為，切點(diǎn)的坐標(biāo)為，故零點(diǎn)處的切線方程為；（2）（i）由得，設(shè)，則，①

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，則方程至多有一個(gè)解；②

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；

當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，，單調(diào)遞減；若方程有兩個(gè)