2024-2025學年天津市高三上學期第四次質量調查數(shù)學檢測試卷（附解析）

2024-2025學年天津市高三上學期第四次質量調查數(shù)學檢測試卷一、單選題（本大題共9小題）1．已知全集，，，則圖中陰影部分表示的集合為（

）A． B． C． D．2．已知a，b都是實數(shù)，那么“”是“”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件3．三個數(shù)，，之間的大小關系是（

）A． B． C． D．4．函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．5．設，是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，給出下列四個命題：①若，，則；②若，，則；③若，，，則；④若，，，，，則．其中真命題的個數(shù)是（

）A． B． C． D．6．《九章算術》與《幾何原本》并稱現(xiàn)代數(shù)學的兩大源泉.在《九章算術》卷五商功篇中介紹了羨除（此處是指三面為等腰梯形，其他兩側面為直角三角形的五面體）體積的求法.在如圖所示的羨除中，平面是鉛垂面，下寬，上寬，深，平面BDEC是水平面，末端寬，無深，長（直線到的距離），則該羨除的體積為（

）A． B． C． D．7．若雙曲線的中心為原點，是雙曲線的焦點，過的直線與雙曲線相交于M，N兩點，且的中點為，則雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)的圖象關于直線對稱，函數(shù)，則下列四個命題中，①的圖象關于點成中心對稱；②若對，都有，則的最小值為；③將的圖象向左平移個單位，可以得到的圖象；④，使.真命題有（

）A．①③ B．②③ C．①④ D．②④9．已知函數(shù)，若恒成立，則的取值范圍是（）A．0,1 B．1,+∞ C． D．二、填空題（本大題共6小題）10．是虛數(shù)單位，復數(shù).11．的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）.12．已知圓的圓心與拋物線的焦點關于直線對稱，直線與圓相交于兩點，且，則圓的方程為．13．甲乙丙三個盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球，其總數(shù)之比為．這三個盒子中黑球占總數(shù)的比例分別為．現(xiàn)從三個盒子中各取一個球，取到的三個球都是黑球的概率為；將三個盒子混合后任取一個球，是白球的概率為．14．我國東漢末數(shù)學家趙爽在《周髀算經》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示，在“趙爽弦圖”中，大正方形邊長為，，則．15．已知函數(shù)若存在實數(shù)，使得函數(shù)有6個零點，則實數(shù)的取值范圍是.三、解答題（本大題共5小題）16．在中，角，，所對的邊分別為，，，已知的面積為，，.(1)求和的值：(2)求的值.17．如圖，四棱錐中，底面，，，，，，是線段上的一點（不包括端點）.

(1)求證：平面；(2)求點到平面的距離；(3)試確定點的位置，使直線與平面所成角的正弦值為.18．設橢圓的離心率等于，拋物線的焦點是橢圓的一個頂點，分別是橢圓的左右頂點.(1)求橢圓的方程；(2)動點、為橢圓上異于的兩點，設直線，的斜率分別為，，且，求證：直線經過定點.19．設數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，滿足，；數(shù)列的前項和為，且滿足.(1)求數(shù)列、的通項公式；(2)求值；(3)在和之間插入1個數(shù)，使，，成等差數(shù)列；在和之間插入2個數(shù)，，使，，，成等差數(shù)列；……；在和之間插入個數(shù)，，…，，使，，，…，成等差數(shù)列.（i）求；（ii）寫出所有使成立的正整數(shù)對.（直接寫結果）20．已知函數(shù).(1)當時，求函數(shù)的單調區(qū)間；(2)若有3個零點，，，其中.（i）求實數(shù)的取值范圍；（ii）求證.答案1．【正確答案】A【分析】根據(jù)韋恩圖表達的集合和之間的關系，求解陰影部分所表達的集合即可．【詳解】集合，集合，則或，又因為圖中陰影部分表示的集合為，所以.故選：A.2．【正確答案】B【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷．【詳解】由對數(shù)函數(shù)性質知，即充分性滿足，但時，而不成立（不存在），必要性不滿足，故為充分不必要條件，故選：B．3．【正確答案】C【分析】與特定的指數(shù)對數(shù)值進行比較即可得解.【詳解】，，，所以，故選：C.4．【正確答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)解析式可判斷為奇函數(shù)，再由函數(shù)值的符號可得結論.【詳解】易知函數(shù)的定義域為，且，可知為奇函數(shù)，圖象應關于原點成中心對稱，可排除AD；顯然，不妨取，可排除C.故選：B5．【正確答案】C【分析】由線面平行的性質定理和線線垂直的性質，即可判斷①；由線面的位置關系和線面平行的判定定理，即可判斷②；由線面垂直的性質定理及面面垂直的性質定理，即可判斷③；由面面平行的判定定理，即可判斷④.【詳解】對于①，假設，因為，所以，又，所以，而，所以，①正確；對于②，若，則或，故②錯誤；對于③，若，則，又，所以在平面內一定存在一條直線，使，而，所以，則，③正確；對于④，因為，所以在平面內一定存在一條直線，使，又因為，所以，同理可得在平面內一定存在一條直線，使得，從而有，又，則與也會相交，所以由面面平行的判定定理，可以判斷出④是正確的.故真命題有3個.故選：C6．【正確答案】C在，上分別取點，，使得，連接，，，把幾何體分割成一個三棱柱和一個四棱錐，然后由棱柱、棱錐體積公式計算．【詳解】如圖，在，上分別取點，，使得，連接，，，則三棱柱是斜三棱柱，該羨除的體積三棱柱四棱錐.故選：C．思路點睛：本題考查求空間幾何體的體積，解題思路是觀察幾何體的結構特征，合理分割，將不規(guī)則幾何體體積的計算轉化為錐體、柱體體積的計算．考查了空間想象能力、邏輯思維能力、運算求解能力．7．【正確答案】B【分析】設雙曲線方程為，設，代入雙曲線方程相減，結合中點坐標，直線斜率得出關系，然后由焦點坐標求得得雙曲線方程．【詳解】設雙曲線方程為，，則，兩式相減得，所以，為線段中點，則，，又，所以，即，而是焦點，所以，，則，經驗證雙曲線符合題意，所以雙曲線方程為，故選：B．8．【正確答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性求出，即可得到函數(shù)、的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質一一判斷即可.【詳解】函數(shù)關于直線對稱，所以，解得，，又，當時，所以；所以函數(shù)，①令，解得，當時，，所以的圖象關于點成中心對稱，故①正確.②若對，都有，即，，則的最小值為，故②錯誤.③將的圖象向左平移個單位，得到，故③錯誤.④由于，當滿足時，，故④正確；故真命題為①④.故選：C.9．【正確答案】A【分析】利用同構可得，故可得，參變分離后可求參數(shù)的取值范圍.【詳解】可變形為，，注意，令，則，所以在0,+∞上單調遞增，不等式可化為，所以，所以，因為，，當時，；當時，，所以在上單調遞減，在0,+∞上單調遞增，則，所以，.故選：A.10．【正確答案】/【分析】利用復數(shù)的除法運算化簡即可求解.【詳解】,故11．【正確答案】?8【分析】先化簡二項式再應用二項式展開式分別得出系數(shù)計算即可.【詳解】因為,又因為的通項公式為所以項的系數(shù)為.故?8.12．【正確答案】【分析】根據(jù)圓心與焦點關于直線對稱，求得圓心坐標，在此基礎上由直線與圓相交的弦長求得圓的半徑.【詳解】由的焦點坐標2,0關于直線的對稱點為0,2，所以圓的圓心為0,2，設半徑為，點C到直線的距離為d，則，所以，所以圓的方程為：，故答案是.13．【正確答案】【分析】先根據(jù)題意求出各盒中白球,黑球的數(shù)量，再根據(jù)概率的乘法公式可求出第一空；根據(jù)古典概型概率公式可求出第二個空．【詳解】設甲,乙,丙三個盒子中的球的個數(shù)分別為，所以總數(shù)為，所以甲盒中黑球個數(shù)為，白球個數(shù)為；乙盒中黑球個數(shù)為，白球個數(shù)為；丙盒中黑球個數(shù)為，白球個數(shù)為.記“從三個盒子中各取一個球，取到的球都是黑球”為事件，所以.記“將三個盒子混合后取出一個球，是白球”為事件，黑球總共有個，白球共有個，所以．故；．14．【正確答案】【分析】根據(jù)圖象得到，將原式轉換為，然后利用向量數(shù)量積公式進行運算．【詳解】根據(jù)題意，如圖，可得因為，又因為四個直角三角形全等，所以，又因為，即得，所以，所以，又，，所以．故．15．【正確答案】【分析】先作出函數(shù)的大致圖象，由題得，三點的高度應滿足或，所以或，解不等式即得解.【詳解】對于，，對其求導，，易得故函數(shù)在單調遞減，在單調遞增，且.由題得，，.因為函數(shù)的圖象和直線有六個交點，所以，，三點的高度應滿足或，即或.顯然，由三點高度知道，，所以解不等式可得或，綜合得.故答案為.關鍵點點睛：由得到單調性，畫出圖形，根據(jù)零的個數(shù)，進而得到得大致圖像，從而確定，，三點的高度關系，轉為坐標大小是關鍵，屬于難題.16．【正確答案】(1)，，(2)．【分析】（1）由三角形的面積求得，再結合已知可求得，然后由余弦定理求得，由正弦定理求得；（2）由同角關系求得，由二倍角公式求得，再由兩角和的余弦公式計算．【詳解】（1）∵，∴，，∴，由，解得（負值舍去），，由正弦定理，得；（2），是鈍角，則是銳角，∴，，，∴．17．【正確答案】(1)證明見解析(2)(3)當為的中點時,【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質可得，即可根據(jù)線線垂直證明平面．（2）建立空間直角坐標系，利用向量法能求出點到平面的距離．（3）設,,，根據(jù)向量法求解直線與平面所成角即可得解．【詳解】（1）底面，平面，，，，又，平面平面．（2）取的中點，則，，又底面，，建立如圖所示空間直角坐標系，則,0,，,0,，,,，,,,0,，,,，,,．設平面的一個法向量,,，則，取，得,0,，點到平面的距離為．（3）設,,，，則,,,，解得點,,，即,，由，解得（不合題意舍去）或，當為的中點時，直線與平面所成角的正弦值為．

18．【正確答案】(1)(2)證明見解析；【分析】（1）由拋物線方程可得焦點坐標，由橢圓離心率的值和它的一個頂點，可得的值，即求出橢圓方程；（2）設直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，可得點坐標，同理可得點坐標，進而求得直線方程，可證得直線經過定點.【詳解】（1）易知拋物線的焦點F0,1，由可得，由離心率，且，解得；所以橢圓的方程為；（2）證明：由（1）可知，顯然直線的斜率存在，且不為零，設直線的斜率為，則直線的方程為，如下圖所示：聯(lián)立，整理可得，因為直線過點A?2,0，所以，可得；代入可得，即；由可得直線的斜率為，所以直線的方程為；聯(lián)立，消去整理可得.因為直線過點，所以，可得；代入可得，即；若，即，可得，直線的斜率為；直線的方程為，令，解得所以直線過定點1,0，若，則，此時，直線也過定點1,0.綜上可得，直線過定點1,019．【正確答案】(1)(2)(3)（i）（ii）和．【分析】（1）利用等差數(shù)列基本量的計算即可求解根據(jù)的關系即可得；（2）利用分組求和和裂項相消求和，結合等差數(shù)列求和公式即可求解；（3）（i）根據(jù)，可得，即可根據(jù)分組求和以及等差求和公式得，進而利用錯位相減求和可得，由，對求值驗證，再證明當時，構造函數(shù)，求導利用單調性可得，由此能求出所有的正整數(shù)對．【詳解】（1）設數(shù)列的公差為，，則由，得，，，，將代入上式，得，，，，．由，①當時，，②①②，得，，，又，，是首項為，公比為的等比數(shù)列，，．（2），；（3）（i）在和之間插入個數(shù)，，，，，，，，成等差數(shù)列，設公差為，，則，，故①則，②①②，得，．（ii）假設存在正整數(shù)，，使成立，．，當時，，當時，，當時，，下證，當時，有，即證，設，，則，在,上單調遞增，故時，，，時，不是整數(shù)，所有的正整數(shù)對為和．方法點睛：常見的數(shù)列求和的方法有公式法即等差等比數(shù)列求和公式，分組求和類似于，其中和分別為特殊數(shù)列，裂項相消法類似于，錯位相減法類似于，其中為等差數(shù)列，為等比數(shù)列等.20．【正確答案】(1)單調遞增區(qū)間為，無單調遞減區(qū)間;(2)（?。áⅲ┳C明見解析.【分析】（1）先由對函數(shù)求導函數(shù)，根據(jù)導函數(shù)在定義域內的符號判斷函數(shù)的單調性，可得單調區(qū)間；（2）（ⅰ）將函數(shù)有三個零點轉化為有兩個零點，分類討論，得使條件成立的a的取值范圍；（ⅱ）由，得，證明，得，可證明原命題成立.【詳解】（1）當時，，，則f′x>0在0,+∞恒成立，所以故的單調遞增區(qū)間為0,+∞，無單調遞減區(qū)間．（2）（?。?，由，得，所以，又由于f1=0，再由函數(shù)有三個零點，可知除1外還有兩個零點，，令，當時，?x<0在0,+∞恒成立，則所以在0,+∞單調遞減，不滿足題意，故舍去；當時，除1外還有兩個零點，故不單調，所以?x存在兩個零點，所以，解得，當時，設?x的兩個零點為，則，，所以．當時，?x>0，f′x當時，?x<0，f′x當時，?x>0，f′