《中學數(shù)學教學設計》第四章

不同課型的中學數(shù)學教學設計第四章1新授課2習題課3復習課4活動課5問題解決課目錄CONTENTS6試卷講評課中學數(shù)學新授課教學設計新授課概述新授課教學設計案例新授課設計要素提示一、新授課概述

新授課的主要教學任務就是引導學生學習新知識和新技能，讓學生領悟數(shù)學思想方法，培養(yǎng)學生的數(shù)學能力和素養(yǎng)。新授課的重點在于“新”，這節(jié)課可能是講授某個新的知識，也可能是其他新知識的起點，能夠開啟某個新的內容領域或主題。

下面以較為常見的概念課和命題課為例進行說明。一、新授課概述（一）概念課

數(shù)學研究的是現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系，而數(shù)學概念是反映這些數(shù)學研究對象的本質屬性和特征的思維形式。

例如通過平面切割圓錐的方法來研究幾種曲線，學生獲得了“圓錐曲線是由一平面截二次錐面得到的曲線”的數(shù)學概念。

數(shù)學概念是數(shù)學知識的基本組成單位，它們之間存在著很強的非人為邏輯聯(lián)系。1.概念一、新授課概述

因此，概念課的教學依照學生對概念的學習方式的不同，分為概念形成教學和概念同化教學。（一）概念課2.教學過程數(shù)學概念的學習包括概念形成和概念同化兩種方式。概念形成是利用概念所反映的不同事例，讓學生去發(fā)現(xiàn)概念的本質屬性，繼而形成新概念的一種方式。概念同化是由學生自發(fā)地將自我認知結構中原有的相關概念與新概念進行聯(lián)系和作用，在領悟其含義后獲得新概念的一種方式。一、新授課概述概念形成教學

概念形成教學模式以學生的直接認知和經驗為基礎，對具體事物數(shù)與形的本質屬性進行抽象概括，最終形成數(shù)學概念。概念形成教學模式適合“原始概念”的學習，在教學方法上與布魯納的“發(fā)現(xiàn)法”較為契合，適合于較低年級學生。一般可將其教學過程歸納為如下6個步驟：①創(chuàng)設情境，引入數(shù)學概念；②比較分析不同事例，概括共同特征；③抽象出概念的本質屬性；④形成數(shù)學概念，并將其符號化；⑤剖析概念的內涵和外延；⑥應用概念，建立概念體系。一、新授課概述概念同化教學

概念同化教學模式以學生的間接經驗為基礎，教師直接陳述數(shù)學概念的本質，學生在新舊概念的區(qū)分中，理解新概念。由于該模式節(jié)省了學習數(shù)學概念的時間，而且學生大量練習后就能獲得對概念的完整認識，因此廣泛應用于我國中學數(shù)學新授課堂。一般可將其教學過程歸納為如下5個步驟：一、新授課概述概念同化教學①直接給出概念的名稱、定義和符號，并揭示其本質屬性②就概念的本質屬性，對概念進行分類③使新概念與原有認知結構中的相關概念建立聯(lián)系，同化新概念④用正反例證讓學生進行辨認，明確新舊概念之間的區(qū)別和聯(lián)系⑤把新概念納入相應的概念體系中去，使有關概念融合，組成一個整體一、新授課概述（二）命題課

概念是數(shù)學思維方式建構或轉變的基礎，核心概念更是數(shù)學教學的重中之重。然而單獨概念的實際意義并不能表達一個完整的數(shù)學思想，此時將概念和概念按一定規(guī)則進行聯(lián)結，形成命題，才可表達出一個完整的思想。

數(shù)學命題是用來表示數(shù)學判斷的語句或符號組合，主要包括數(shù)學公理(基本事實)、定理、推論、公式、法則等。1.概念一、新授課概述（二）命題課

由于數(shù)學命題是由概念聯(lián)系組合形成的，命題教學復雜度通常會高于概念教學。然而正是因為命題是概念的有機結合，所以在數(shù)學命題教學時更應當注重數(shù)學對象之間的聯(lián)系，以及它們在數(shù)學整體結構中的作用，進而幫助學生形成完整的認知圖式，經歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的全過程。1.概念一、新授課概述2.教學過程在撰寫命題課教學設計時，一般可將其教學過程歸納為以下7個步驟：①介紹命題背景，激發(fā)學生學習命題的興趣②運用合適的方法導入命題，使學生初步了解命題內容③明確命題內涵，引導學生認識命題的條件、結論，加深對命題的理解④結合已有知識經驗，明確命題條件，引導學生尋找證明途徑，運用探究等方法幫助學生寫出證明過程，拓展證明思路⑤通過提問幫助學生鞏固命題內容，引導學生用自己的語言描述命題內容，切忌死記硬背⑥通過例題帶領學生應用命題，注意配合課堂提問、小組互檢等方式，讓全體學生參與其中⑦通過課后練習，進一步加深命題的應用，幫助學生熟練應用命題二、新授課設計的要素提示■（一）目標和導入好的開始是成功的一半，而精心設計的目標則是成功的保障。教師需要認真考慮學生需要學習什么樣的新知識，才能更好地理解所要講授的知識，才能更好地選擇教學策略。理想的課堂導入通常需要創(chuàng)設問題情境，良好的問題情境可以集中學生的注意，引起學生的興趣，激發(fā)學生的思維，滲透學習的主題。

在了解學生學習基礎的情況下，創(chuàng)設基于學生認知基礎和已有經驗的問題情境，幫助學生明確新知學習的目的，讓學生在心理和認知上做好準備。常見的新授課導入方法有直接導入、復習導入、數(shù)學史或數(shù)學文化導入、生活經驗導入等。二、新授課設計的要素提示■（二）分析和理解

教師應當對新講授的知識進行適當講解，在此過程中，教師應當根據(jù)新授內容的特點，合理設計教學任務，避免“滿堂灌”。

學生對新知的理解掌握是教學目標達成的關鍵環(huán)節(jié)。以數(shù)學概念的新授課為例，教師應當通過概念的典型樣例、非典型樣例、反例等進行多重類比和對比，幫助學生明晰概念的內涵和外延，真正掌握概念的本質屬性，從而真正理解概念。二、新授課設計的要素提示■（三）鞏固和練習鞏固和練習是實現(xiàn)知識從輸入到輸出，能夠檢驗學生是否已將新知納入自身的認知結構。教師應當注意新授課的練習目的是進一步鞏固和加深學生對新知的理解掌握。教師對題目的選擇不應急于使用過于復雜和綜合的中高考真題，應針對初學者的需要，突出新知特點，弱化其他因素。

教師可通過有效的師生互動進行知識的鞏固和練習。在實際教學中，通常采用教師演示與學生展示相結合的方式。當學生上講臺進行板演(黑板演示的簡稱)或展示時，教師既應當關注上講臺的學生，也不能忽視其他學生。教師可以利用全班巡視的方法及時檢查全班學生對新知的掌握情況，也可以選擇合適的題目請不同的學生進行板演或展示，以保障不同學生都得到學習機會，總體提升學生的學習效果。二、新授課設計的要素提示■（四）結課和作業(yè)新授課結課的方式比較多，例如回顧新知的定義、關鍵屬性及典型案例；回顧和探討學習新知的目的；討論新知及其進一步的應用，為學習后續(xù)新知做好鋪墊；直接告訴學生本節(jié)課所學的新知在今后甚至高等數(shù)學中的應用；請學生交流討論本節(jié)課學習之后的感悟。新授課結課的核心是總結回顧、承上啟下和體驗感悟，但切忌流于形式的總結提問，學生只是將新授課標題或教材中部分文字作為答案來回答，而應讓學生獲得具體真切的活動經驗和思想感悟。教師應當根據(jù)對學生原有的了解和新授課具體的教學效果，有篩選、有目的、有計劃地布置課后作業(yè)，避免“大水漫灌”，使得學生陷入題海，同時也要檢查課后作業(yè)，給學生適當?shù)姆答?，采用恰當?shù)姆绞阶寣W生得知明確答案。三、教學設計案例■

【案例4-1】“銳角三角函數(shù)”教學設計“銳角三角函數(shù)”教學設計由北京市第三十五中學王秀閣老師編寫。三、教學設計案例■

【案例4-1】“銳角三角函數(shù)”教學設計教學目標與教學重難點三、教學設計案例■

【案例4-1】“銳角三角函數(shù)”教學設計學習過程環(huán)節(jié)一：將實際情境問題轉化為數(shù)學問題并解決【實際情境問題】攀登白石山

2014年9月中旬，白石山玻璃棧道對外開放。白石山玻璃棧道，全長95米、寬2米、海拔1900米。當時是國內最長、最寬、海拔最高的懸空玻璃棧道。游客可以從處于大約同一海拔高度的東、西兩個門沿著近乎筆直的山路到達玻璃棧道的兩側入口。

小志和小成一起去白石山爬山，體驗玻璃棧道。小志從東門進，小成從西門進，約好在半山腰的玻璃棧道中央會合，兩人用微信計步記錄上山時的步數(shù)。他們一直沿著山路攀登，當小志和小成分別到達玻璃棧道東入口和西入口時，微信運動的數(shù)據(jù)分別顯示，小志走了6600步，小成走了5500步。三、教學設計案例■

【案例4-1】“銳角三角函數(shù)”教學設計學習過程環(huán)節(jié)一：將實際情境問題轉化為數(shù)學問題并解決

【問題1】從小志和小成微信運動顯示的步數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？如果你去體驗的話，你會選擇哪條山路？寫出你的理由。

【問題2】當小志和小成出發(fā)后，好朋友小樂聯(lián)系他們，表示也要去白石山玻璃棧道。當小志、小成在玻璃棧道會和時，聯(lián)系小樂，詢問他的位置，小樂說他手機顯示所在地的海拔高度為1300米，計步器顯示的上山步數(shù)為3800步。根據(jù)以上信息你能判斷小樂是從哪個門上山的嗎？寫出你的判斷過程。

學生讀題，獨立思考該情境可以用到哪些數(shù)學知識，將實際問題轉化為數(shù)學問題，并在筆記本上寫出數(shù)學問題的已知和求證。三、教學設計案例■

【案例4-1】“銳角三角函數(shù)”教學設計學習過程環(huán)節(jié)一：將實際情境問題轉化為數(shù)學問題并解決

【問題1】先用問題串的形式幫助學生梳理實際問題，引導學生嘗試將實際情境轉化為數(shù)學問題，并適時進行相關假設，說明假設的合理性。最后，學生要用數(shù)學語言表述出如何解決問題。

【問題2】將小樂爬山的問題抽象為直角三角形的直角邊與斜邊的問題，與【問題1】中的直角三角形進行對比，著力分析直角三角形的兩條邊與山路及水平面所夾銳角的位置關系，進一步明確直角三角形的一個銳角所對的直角邊與斜邊，為“斜邊與直角邊對應成比例的兩個直角三角形相似”做好鋪墊。通過判斷４條線段成比例，得到兩個直角三角形的斜邊與直角邊對應成比例，判定兩個直角三角形是否相似，進而解決“沿著哪條山路”上山的問題。三、教學設計案例■

【案例4-1】“銳角三角函數(shù)”教學設計學習過程環(huán)節(jié)一：將實際情境問題轉化為數(shù)學問題并解決

從學生熟悉的個人情境出發(fā)，提出問題，運用所學的知識解決問題，激發(fā)學生學習興趣。該問題背景較為簡單，比較容易排除冗余信息，進而探究登山過程中的計步器反映的數(shù)學問題。

調動學生已有經驗，將小樂上山的海拔高度與步數(shù)轉化為直角三角形直角邊與斜邊的問題，從而引入第三個直角三角形，與【問題1】中的兩個直角三角形比較；進一步把直角邊與斜邊理解為直角三角形中一個銳角的對邊與斜邊的問題，突出相似關系中的對應，通過計算直角邊與斜邊的比，來判斷兩個直角三角形是否相似，進而判斷小樂是沿著哪條山路上山的。設計意圖三、教學設計案例■

【案例4-1】“銳角三角函數(shù)”教學設計學習過程環(huán)節(jié)二：反思問題，提煉數(shù)學概念

【問題3】(1)觀察直角三角形中的角及邊的關系，你有什么發(fā)現(xiàn)？(2)回顧解決問題的過程，我們發(fā)現(xiàn)，坡角越大，坡越陡；對邊和斜邊的比值越大，坡越陡。坡角與對邊和斜邊的比值之間有什么聯(lián)系嗎？

學生獨立思考，設計研究對邊與斜邊的比與銳角關系的方案，嘗試從不同角度說明對邊與斜邊的比與角的關系，在筆記本上寫下發(fā)現(xiàn)的結論。師生討論補充。三、教學設計案例■

【案例4-1】“銳角三角函數(shù)”教學設計學習過程環(huán)節(jié)二：反思問題，提煉數(shù)學概念

【問題4】如何表述提煉的數(shù)學概念？

學生在筆記本上寫出銳角三角函數(shù)數(shù)學概念，教師指導并板書銳角三角函數(shù)的定義及表示方法。教師解釋“sin”的由來，總結其讀法及書寫的注意事項，達到文圖式的對應互化，初步理解銳角三角函數(shù)的本質。

回顧解決問題的過程，明確直角三角形除了角的關系(兩個銳角互余)和邊的關系(三邊滿足勾股定理)以外，邊與角(邊的比與角)之間也具有某種關系，并嘗試用函數(shù)知識刻畫這個變化關系。設計意圖三、教學設計案例■

【案例4-1】“銳角三角函數(shù)”教學設計學習過程環(huán)節(jié)三：應用概念，深化理解

【問題5】sinB怎么定義？針對銳角三角函數(shù)，你還能提出哪些問題？

學生自主探究sinB的意義，在筆記本上寫出sinB的表達式。學生不僅理解了在直角三角形中，對邊與斜邊的比值一定，還會發(fā)現(xiàn)其他的結論。

對照銳角的正弦的定義，使學生加深對sinB意義的理解，明確sinB是∠B的對邊與斜邊的比，鞏固對概念的理解，即在直角三角形中，邊的比值隨著角的變化而變化，用銳角三角函數(shù)來刻畫直角三角形的邊角變化關系，進一步體會數(shù)學是理解現(xiàn)實世界的工具。明確鄰邊與斜邊的比，叫做這個銳角的余弦，對邊與鄰邊的比，叫做這個銳角的正切函數(shù)。正弦、余弦、正切統(tǒng)稱為銳角三角函數(shù)三、教學設計案例■

【案例4-1】“銳角三角函數(shù)”教學設計學習過程環(huán)節(jié)三：應用概念，深化理解

通過對sinB的分析，明確在直角△ABC中∠C=90°，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a,b,c，明確對應關系，使學生意識到可以用函數(shù)刻畫直角三角形的邊與角之間的關系，用數(shù)學解釋現(xiàn)實生活。設計意圖三、教學設計案例■

【案例4-1】“銳角三角函數(shù)”教學設計學習過程環(huán)節(jié)四：歸納小結，反思提升

體會銳角三角函數(shù)是解決現(xiàn)實世界中測量、建筑、工程等問題的重要工具。在圖形中研究各個元素之間的關系，并將這種關系用數(shù)量的形式表示出來，在這個過程中感悟數(shù)形結合的思想方法。設計意圖

學生總結、教師補充提升，總結的要點如下所述。

(1)知識方面：本節(jié)課學習了如何從數(shù)學的角度描述一個坡的“陡與緩”；認識了直角三角形的邊的關系、角的關系以及邊角關系。

(2)將實際問題轉化為數(shù)學問題的過程：經歷研究和解決問題的全過程，體會數(shù)學的工具作用。三、教學設計案例■

【案例4-1】“銳角三角函數(shù)”教學設計學習過程環(huán)節(jié)五：布置作業(yè)，拓展結論

鞏固對知識的理解，引發(fā)學生對直角三角形的全方位的深度思考，發(fā)散思維。設計意圖

本節(jié)課研究了直角三角形中一個銳角的三角函數(shù)，互余的兩個銳角的三角函數(shù)具有哪些關系？請把你發(fā)現(xiàn)的這些關系寫出來。三、教學設計案例■

【案例4-1】“銳角三角函數(shù)”教學設計教學反思

本課從學生熟悉的爬山情境入手，通過抽象、表征、設置不同層次的問題，引導學生從直觀到抽象，由抽象到理論再到精確定義，不斷建構銳角三角函數(shù)的定義，實現(xiàn)知識的系統(tǒng)化。整個學習過程充分發(fā)揮了數(shù)形結合的思想，在直角三角形中尋找定義，使用定義。本課結合直角三角形找到相應的邊與邊的比值，體現(xiàn)出由形到數(shù)的轉化；給出具體的邊與邊的比值，再回到具體的直角三角形中，體現(xiàn)出由數(shù)到形的轉化。本課自覺運用數(shù)學思想方法解決問題，用數(shù)學的眼光看問題，用數(shù)學的語言描述問題，用數(shù)學的方法解決問題，在不斷解決問題的過程中提升學生的數(shù)學素養(yǎng)。三、教學設計案例■【案例4-2】“正弦定理”教學設計“正弦定理”教學設計由福建省周寧第一中學張徐生老師編寫。三、教學設計案例■【案例4-2】“正弦定理”教學設計教學目標及教學重點、難點三、教學設計案例■【案例4-2】“正弦定理”教學設計學習過程環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設情境

【問題1】在建設水口電站閩江橋時，需預先測量橋AB的長度，于是在江邊選取一個測量點C，測得CB=435m，∠CBA=88°，∠BCA=42°。由以上數(shù)據(jù)，能測算出橋長AB嗎？這是一個什么數(shù)學問題？引出：解三角形——已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程。師：解三角形，需要用到許多三角形的知識，你對三角形中的邊角知識知多少？生：大角對大邊，大邊對大角。師：“a＞b＞c?A＞B＞C”，這是定性地研究三角形中的邊角關系，我們能否更深刻地從定量的角度研究三角形中的邊角關系？引出課題：正弦定理三、教學設計案例■【案例4-2】“正弦定理”教學設計學習過程環(huán)節(jié)一：創(chuàng)設情境

從實際問題出發(fā)，引入數(shù)學課題。

用聯(lián)系的觀點，從新的角度看過去的問題，使學生對過去的知識有新的認識，同時使新知識建立在已有知識的基礎上，形成良好的知識結構。設計意圖三、教學設計案例■【案例4-2】“正弦定理”教學設計學習過程環(huán)節(jié)二：猜想實驗

培養(yǎng)學生的發(fā)散思維，猜想也是一種數(shù)學能力。設計意圖三、教學設計案例■【案例4-2】“正弦定理”教學設計學習過程環(huán)節(jié)二：猜想實驗

著重培養(yǎng)學生對問題的探究意識和動手實踐能力。設計意圖三、教學設計案例■【案例4-2】“正弦定理”教學設計學習過程環(huán)節(jié)三：證明探究三、教學設計案例■【案例4-2】“正弦定理”教學設計學習過程環(huán)節(jié)三：證明探究三、教學設計案例■【案例4-2】“正弦定理”教學設計學習過程環(huán)節(jié)三：證明探究三、教學設計案例■【案例4-2】“正弦定理”教學設計學習過程環(huán)節(jié)三：證明探究三、教學設計案例■【案例4-2】“正弦定理”教學設計學習過程環(huán)節(jié)四：理解定理，基本應用三、教學設計案例■【案例4-2】“正弦定理”教學設計學習過程環(huán)節(jié)四：理解定理，基本應用三、教學設計案例■【案例4-2】“正弦定理”教學設計學習過程環(huán)節(jié)四：理解定理，基本應用

設置練習(1)的目的是首尾呼應、學以致用。

練習(2)將正弦定理、簡易邏輯與平面幾何知識整合，使學生及時鞏固定理，運用定理。設計意圖三、教學設計案例■【案例4-2】“正弦定理”教學設計學習過程環(huán)節(jié)五：課堂小結

通常，課堂小結均由老師和盤托出，學生接受現(xiàn)成的結論。本教學設計充分發(fā)揮學生的主動性和創(chuàng)造性，通過師生合作，得出課堂小結，讓課堂小結成為點睛之筆。設計意圖三、教學設計案例■【案例4-2】“正弦定理”教學設計教學反思三、教學設計案例■【案例4-2】“正弦定理”教學設計教學反思中學數(shù)學習題課教學設計習題課概述習題課教學設計案例習題課設計要素提示一、習題課概述

習題課是新授課的補充和提煉，通常是教師在某小節(jié)的教學或某些新知識點教學完成后，對所講授的知識進行總結、鞏固和應用。習題課主要是教師有針對性地講解習題，或學生在教師的指導下自主練習。它能夠幫助學生鞏固知識、熟練技能，進而達到靈活運用的目的。（一）

概念一、習題課概述（二）教學過程習題課的授課過程一般概括為復習(整理前階段課程的主要知識點)、練習、總結(分析習題中的錯誤)、布置作業(yè)。習題課的設計應關注和凸顯學生的主體性，積極鼓勵學生的主動參與。習題課的教學有以下幾個策略：把握重點和關鍵，注意習題的篩選和設計，注意結合變式練習；習題要有一定的梯度，注重不同學生的發(fā)展水平；注重提煉數(shù)學思想，適當總結解決規(guī)律，探討解題思路和策略；避免枯燥乏味的題型訓練，激發(fā)和保持學生的學習興趣。二、習題課設計的要素提示■（一）例題和復習

數(shù)學學科的特點是抽象，其具體表現(xiàn)形式多種多樣，同一內容的考題可以有各種形式，學生對知識技能的理解和鞏固顯然不能寄希望于進行大量的題目練習，而是要專注于解決某一類真正有代表性的問題，所以教師在選取例題進行講解時要注意其層次性，循序漸進地組織例題。雖然習題課和新授課都有例題講解環(huán)節(jié)，但講解的側重點不同。新授課側重知識的理解與鞏固，而習題課注重數(shù)學知識的遷移，培養(yǎng)學生運用所學知識綜合解決問題或嘗試解決新問題的能力。二、習題課設計的要素提示■（二）學生自主學習根據(jù)學生水平和目標層次的不同，習題課有以上三種形式，教師可根據(jù)實際需要靈活組合運用。前兩種方法促進了學生之間的交流，可以提高學生自主學習的能力，第三種方法可以充分暴露學生知識掌握方面的問題，給教師教學提供更多信息。學生自主練習是習題課教學設計中的重要組成部分，一方面可以調動和激發(fā)學生學習的積極性，另一方面可以幫助教師了解學生對知識的理解運用水平，使教師及時調整后續(xù)教學計劃、教學設計和相應教學策略。全班整體練習全體學生一起練習，并自由交流。分組或同伴練習學生分小組(兩人或多人)，進行交流和練習，教師給予適當?shù)年P注和反饋。學生個人練習學生個人練習，即學生獨自進行練習。二、習題課設計的要素提示■（三）審題與反思

在出示習題后，教師要留足時間讓學生仔細審題。

在習題課結尾，教師不應忽略對習題課進行小結與反思，應帶領學生回憶這類習題的解法，分析習題類型、知識點考查的形式，歸納總結解題思路等。■（四）課外拓展練習

課外拓展練習是課堂教學設計的一部分。對于中學數(shù)學教學而言，有計劃、有針對性地進行課外拓展練習能夠幫助學生加深理解課堂知識，綜合運用已學知識解決新的問題。

需要注意的是，習題課的拓展練習目的是練習，切忌使之變成教學的延續(xù)。三、教學設計案例■

【案例4-3】“利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間”教學設計

“利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間”教學設計由北京市北京中學胡園燕老師編寫。三、教學設計案例■

【案例4-3】“利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間”教學設計設計意圖

導數(shù)是研究函數(shù)的單調性的一種工具。教師在這個學習環(huán)節(jié)運用提問的方式，幫助學生回憶導數(shù)的正負與函數(shù)的單調性之間的關系。環(huán)節(jié)一：憶中答三、教學設計案例■

【案例4-3】“利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間”教學設計設計意圖【問題3】通過求解一組函數(shù)的單調遞增區(qū)間的問題，在鞏固導數(shù)運算公式和法則的基礎上，熟悉利用導數(shù)的方法判斷函數(shù)單調性的基本流程。環(huán)節(jié)二：做中學三、教學設計案例■

【案例4-3】“利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間”教學設計設計意圖

【問題4】引導學生觀察導函數(shù)值的正負，為含參函數(shù)的分類討論積累分類的經驗。【問題5】關注書寫，提高數(shù)學運算的能力。環(huán)節(jié)二：做中學三、教學設計案例■

【案例4-3】“利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間”教學設計設計意圖【問題6】學會利用函數(shù)單調性進行畫圖。

【問題7】通過畫圖的過程，體會研究函數(shù)的單調性的意義。環(huán)節(jié)三：探中思三、教學設計案例■

【案例4-3】“利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間”教學設計設計意圖

例題從不含參函數(shù)轉變成為含參函數(shù)，使學生體會出參數(shù)所起的作用，理解為何要對參數(shù)進行分類，明確分類標準，從而提升學生的邏輯推理能力。環(huán)節(jié)四：升中練三、教學設計案例■

【案例4-3】“利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間”教學設計設計意圖

例題從不含參函數(shù)轉變成為含參函數(shù)，使學生體會出參數(shù)所起的作用，理解為何要對參數(shù)進行分類，明確分類標準，從而提升學生的邏輯推理能力。環(huán)節(jié)四：升中練三、教學設計案例■

【案例4-3】“利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間”教學設計設計意圖

引導學生梳理本節(jié)課研究的主要內容，以及涉及的知識與方法，從而形成小結。環(huán)節(jié)五：結中理中學數(shù)學復習課教學設計復習課概述復習課教學設計案例復習課設計要素提示一、復習課概述從中學數(shù)學教學實施過程來說，復習課是新授課和習題課在開展到一定階段后(如單元結束、期中、期末，甚至是學段結束)梳理知識點之間的邏輯關系，對學生所學知識進行回顧總結、整理歸納的課程。復習課能夠幫助學生系統(tǒng)化、綜合化地認識與理解所學知識，幫助學生形成良好的知識圖譜，達到靈活運用所學知識的目的。從實際效果來看，復習課可以是一個或多個單元新授課和習題課的高度提煉，可包含基本知識和技能的復習講解，也可包含習題訓練。對于單元或期中的復習課，教師應以階段性的整理和歸納為主，達到復習鞏固、承前啟后的目的。（一）概念一、復習課概述（二）教學過程列舉兩種數(shù)學復習課的教學過程設計模式。張素虹在《建構主義學習環(huán)境下的高三數(shù)學復習課教學模式初探》一文中，提出數(shù)學復習課的“四環(huán)八步”教學模式：第一環(huán)回憶，包括兩個基本步驟——閱讀教材、鞏固練習；第二環(huán)討論，包括一個基本步驟——協(xié)作學習；第三環(huán)歸納，包括兩個基本步驟——歸納小結、構建網絡；第四環(huán)拓展，包括三個基本步驟——拓展練習、反思回顧、意義建構[1]。孫居國在《關于高三數(shù)學復習課的教學設計思考》一文中，認識到當前的數(shù)學復習課主要是以精講多練為主，將課堂教學基本環(huán)節(jié)分為回憶知識要點、分析例題、反饋練習、鞏固提高等環(huán)節(jié)[2]。[1]張素虹.建構主義學習環(huán)境下的高三數(shù)學復習課教學模式初探[J].山西師大學報(社會科學版)，2004(S1)：55-57.[2]孫居國.關于高三數(shù)學復習課的教學設計思考[J].數(shù)學通報，2020，59(8)：36-39+45.二、復習課設計的要素提示■（一）梳理和講解教師對知識點的梳理和講解在復習課設計中占據(jù)十分重要的地位。教師在課程實施過程中要注重對知識技能的梳理和數(shù)學思想方法的提煉。對知識技能進行梳理，不僅能夠幫助學生系統(tǒng)化地認識過去所學內容，達到融會貫通的目的，還能使學生綜合運用所學知識和技能解決陌生情境下的復雜問題。對數(shù)學思想方法的提煉體現(xiàn)了數(shù)學的本質特性，教師可以適當總結常用數(shù)學方法，如數(shù)形結合、反證法、待定系數(shù)法等，幫助學生感悟基本的數(shù)學思想，達到觸類旁通的目的。二、復習課設計的要素提示■（二）課堂提問在復習課中，雖然教師對知識點的梳理和講解占據(jù)重要地位，但也不能忽視學生的主動參與。在復習課中采用提問，特別是復習特定內容時有計劃、有目標地提問，是教師獲得學生信息的高效方法。在復習課中，教師在提問時應當注意以下幾點。適應學生的認知規(guī)律：教師應當避免提出缺少認知沖突的問題，應激發(fā)學生的參與，鼓勵其嘗試進行自主梳理和應用。關注全體學生：提問要有一定梯度，可以面向特定學生，但不可在設計時主動放棄部分學生。保護學生的積極性：教師應充分保護學生的積極性，即使學生回答錯誤，也應當及時識別學生犯錯的問題所在，啟發(fā)引導。二、復習課設計的要素提示■（三）習題練習進行少而精的習題練習同樣可以達到復習的目的。教師應事先設置好復習提綱，選擇形式多樣、覆蓋面廣的典型習題。習題的具體組織形式可以參考學生自主練習的三種形式，根據(jù)實際情況靈活選用。三、教學設計案例■

【案例4-4】“一次問題”專題復習課教學設計“一次問題”專題復習課教學設計由易良斌老師編寫。三、教學設計案例■

【案例4-4】“一次問題”專題復習課教學設計三、教學設計案例■

【案例4-4】“一次問題”專題復習課教學設計三、教學設計案例■

【案例4-4】“一次問題”專題復習課教學設計三、教學設計案例■

【案例4-4】“一次問題”專題復習課教學設計三、教學設計案例■

【案例4-4】“一次問題”專題復習課教學設計三、教學設計案例■

【案例4-4】“一次問題”專題復習課教學設計三、教學設計案例■

【案例4-4】“一次問題”專題復習課教學設計

“學為中心”的核心是以學生的學習為中心，鼓勵學生自己學(起點)，教會學生如何學(過程)，實現(xiàn)今后不教也能學(目標)。要實現(xiàn)這樣的目標，我們的教學應當關注學生的知識水平和已有經驗，激發(fā)學生的學習興趣，引發(fā)學生的數(shù)學思考，鼓勵學生的創(chuàng)造性思維，培養(yǎng)學生養(yǎng)成良好的數(shù)學習慣，使學生獲得問題解決的一般途徑?？偠灾?，教師在進行教學設計時需要做好以下兩個方面。(1)注重教學目標的低起點、高立意。教學目標的高立意對于課堂教學的重要性無須贅述，因為唯有這樣才能使學生在學習數(shù)學知識的過程中學會用數(shù)學思維思考問題，培養(yǎng)理性精神，從而真正體現(xiàn)數(shù)學教育的育人功能。教師在教學中要挖掘數(shù)學知識中蘊含的豐富的育人資源，并融入課堂教學的具體實踐中?！皩W為中心”理念下的教學設計應當以學生已有的認知基礎為出發(fā)點，充分體現(xiàn)數(shù)學活動的低起點。在學習“一次問題”這節(jié)課之前，學生已經學習了代數(shù)式、一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程(組)、一次函數(shù)等知識，對各自的概念、性質、應用都有所了解，因此教師應當引導學生進一步思考一次函數(shù)與一元一次方程、二元一次方程組、一元一次不等式之間的緊密聯(lián)系，引導學生基于函數(shù)的視角看一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程組等知識，從而實現(xiàn)教學目標的低起點、高立意。三、教學設計案例■

【案例4-4】“一次問題”專題復習課教學設計(2)注重從知識技能到數(shù)學能力和數(shù)學思考的有效提升。數(shù)學課程目標是以知識技能的學習為載體，培養(yǎng)、提升學生數(shù)學能力和數(shù)學思考的，通過這堂課，學生不僅掌握了知識，更重要的是學會了思考，思考知識是怎么來的，為什么要這樣想。教師需要不斷思考：如何進行知識概括，如何揭示知識中蘊含的數(shù)學思想方法，如何在教學過程中滲透知識。因此，教師需要經過充分的分析、篩選，提煉出教材中蘊含的數(shù)學思想方法，熟知數(shù)學學科知識的整體結構，把握知識體系的核心，理解學科的本質與內涵。此外，本節(jié)課能夠讓學生從知識的整體結構出發(fā)來研究和拓展知識，明確發(fā)現(xiàn)研究問題的一般途徑與方法，了解學科的結構。本節(jié)課在“辨識A、B面”與“頭腦風暴”兩個環(huán)節(jié)設計了學生自主編題活動，通過這樣的體驗，學生感悟出數(shù)學命題的多元化表征，理解了這些問題在本質上都是一致的。小結環(huán)節(jié)提出了新的問題：通過本節(jié)課的學習，以后的二次函數(shù)問題可以怎樣學習？通過問題設計的方式，引導學生反思其中蘊含的數(shù)學思想、問題解決的策略、需要注意的問題等，幫助學生積累有效、長效的學習經驗，培養(yǎng)正確的學習習慣，切實提升學生的數(shù)學素養(yǎng)。中學數(shù)學活動課教學設計活動課概述活動課設計的要素提示教學設計案例一、活動課概述概念活動課是教師引導學生自主進行數(shù)學活動，通過主動探究或合作交流，以獲得直接經驗和培養(yǎng)實踐能力的課程。與知識技能的教學相比，活動課因其課堂組織形式和課程目標的特殊性，能更好地實現(xiàn)一些育人功能，如激發(fā)學生的學習興趣和動機、促進學生與他人合作交流的能力、積累數(shù)學活動經驗等。此外，著眼長遠目標是活動課的重要設計理念?；顒诱n可能并不著眼于特定的、可測量的、短期教學目標，而要求從多元的角度關注和促進學生的成長與發(fā)展，從而全面提高學生的核心素養(yǎng)，實現(xiàn)全面育人。（一）概念獨特的功能和價值活動主題(內容)選擇的廣泛性活動場所的開放性師生交流的平等性活動組織形式的多樣性實踐性和創(chuàng)造性：即學生有更多機會動手操作、親身實踐，在實踐活動的過程中創(chuàng)造性地理解和使用已有數(shù)學經驗，嘗試解決實際問題一、活動課概述（二）教學過程通常來說，數(shù)學活動課包括確定選題、設計方案、研討方案、實施執(zhí)行、總結評價幾個主要環(huán)節(jié)。教學過程根據(jù)活動課實施場景的不同，活動課的活動可分為課內活動和課外活動兩種。課內活動偏重某些數(shù)學知識和經驗的驗證、應用和體驗課外活動可以更多地借助社會調查、實踐操作、勞動體驗等彌補課內教學的不足，增加數(shù)學學習和數(shù)學應用的趣味性0102一、活動課概述（二）教學過程《普通高中數(shù)學課程標準（2017年2020年修訂）》認為數(shù)學建模素養(yǎng)是一種數(shù)學學科素養(yǎng)，并將數(shù)學探究活動和數(shù)學建模活動納入課程內容中。因此本書將中學數(shù)學活動課分為數(shù)學建模課和數(shù)學探究課兩類無論選擇哪種形式的活動，學生都需要經歷收集信息、處理信息和得出結論的完整過程，不論是提出問題，還是分析問題，或者是選擇解決問題的策略，都需要由學生主導完成。一、活動課概述數(shù)學建模課（二）教學過程數(shù)學建?；顒邮腔跀?shù)學思維運用模型解決實際問題的一類綜合實踐活動，是高中階段數(shù)學課程的重要內容。數(shù)學建模課是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學抽象，用數(shù)學語言表達問題、用數(shù)學方法構建模型解決問題的過程。數(shù)學建模課的具體步驟：

檢驗結果改進模型

確定參數(shù)、計算求解

分析問題、構建模型最終解決實際問題→→→→在實際情境中從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題一、活動課概述數(shù)學探究課（二）教學過程數(shù)學建?；顒优c數(shù)學探究活動以課題研究的形式開展，在必修課程中，要求學生完成其中的一個課題研究。數(shù)學建模課的具體步驟：發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學問題通過自主探索與合作研究論證數(shù)學結論

提出解決問題的思路和方案

猜測合理的數(shù)學結論→→→數(shù)學探究課是圍繞某個具體的數(shù)學問題，開展自主探究、合作研究并最終解決問題的過程。二、活動課設計的要素提示（四）評價與反思（一）興趣與動機（二）合作與交流

（三）過程的監(jiān)督選擇貼近學生生活，有意義、有需要、有價值的活動主題；充分考慮學生已有的知識經驗，建立活動課與學生已有知識技能課程之間的聯(lián)系。鼓勵學生進行合作與交流、商討與研究活動方案的同時，還應當約定合作交流的規(guī)則、設計合作交流的程序、分享合作交流的技巧。預先設置好引領與協(xié)作的觸發(fā)點和具體方式，監(jiān)督學生活動的過程，在適當時給予學生幫助，為學生提供針對性的輔導，關注學生在活動過程中認知發(fā)展和情感態(tài)度的培養(yǎng)。設計必要的評價環(huán)節(jié)，得到相應的評價方式、評價維度，形成評分表或評價手冊，建立適當?shù)脑u價機制，組織學生就活動結果或成果進行小組匯報和展示，并進行研討和互相點評。三、教學設計案例【案例4-5】“與勾股定理有關的畫圖操作”的教學設計「“與勾股定理有關的畫圖操作”的教學設計由北京市宣武外國語實驗學校韓苗苗老師編寫」

教學基本信息單元/主題名稱與勾股定理有關的畫圖操作學科數(shù)學學段初中年級八年級主要教材書名：義務教育教科書《數(shù)學》八年級出版社：人民教育出版社出版日期：2014年4月三、教學設計案例【案例4-5】“與勾股定理有關的畫圖操作”的教學設計

教學目標及教學重點、難點教學目標：(1)應用勾股定理知識、數(shù)學閱讀方法理解文字、符號、圖形的意義，明確題意需要解決的問題，參與畫圖操作活動，積累數(shù)學閱讀和畫圖操作方面的活動經驗；(2)在閱讀畫圖操作活動的過程中，發(fā)展獨立思考、畫圖操作的能力，體會解決閱讀畫圖操作活動問題的基本思想方法；(3)經歷數(shù)學實驗和畫圖操作的過程，體會設計畫圖操作方案，梳理畫圖操作活動流程、思路的基本方法，提高數(shù)學閱讀能力和畫圖操作能力；(4)在問題解決的過程中，積極參與數(shù)學活動，養(yǎng)成獨立思考、動手操作、反思質疑的學習習慣，滲透數(shù)形結合、類比轉化的思想方法。教學重點：積累解決閱讀畫圖操作活動問題的經驗和方法。教學難點：通過閱讀提取有用信息，動手實踐解決畫圖操作的相關問題三、教學設計案例【案例4-5】“與勾股定理有關的畫圖操作”的教學設計學習過程

學習環(huán)節(jié)

主要學習活動

設計意圖前期準備勾股定理是非常重要的知識，圍繞著勾股定理，出現(xiàn)了許多形式新穎、內容豐富的數(shù)學活動，畫圖操作問題就是其中典型的一類。這類問題一般文字敘述較長，信息量較大，對同學們的數(shù)學閱讀理解能力和信息處理能力有一定要求，這就需要我們在平時的學習中不斷實踐，積累經驗。今天就讓我們一起應用數(shù)學閱讀方法和勾股定理知識進行數(shù)學閱讀理解中畫圖操作類問題的學習。

【環(huán)節(jié)1】回顧勾股定理的內容。總結：我們需要從文字語言、符號語言、圖形語言三方面掌握勾股定理。在直角三角形中，已知兩邊求第三邊，可利用勾股定理。在活動之前，學生要進行基礎復習。復習的內容體現(xiàn)知識間的聯(lián)系，符合學生的認知規(guī)律，為活動做好知識、技能、方法方面的準備。三、教學設計案例【案例4-5】“與勾股定理有關的畫圖操作”的教學設計學習過程

學習環(huán)節(jié)

主要學習活動

設計意圖前期準備【環(huán)節(jié)2】填些表1。

總結：填表時，要利用勾股定理，這是勾股定理作用的具體體現(xiàn)。

【環(huán)節(jié)3】尺規(guī)作圖：作一條線段等于已知線段。

總結：要熟練掌握基本作圖，注意作圖中圓規(guī)的正確使用。

【環(huán)節(jié)4】回顧數(shù)學常用閱讀方法。

總結：靈活使用各種閱讀方法進行數(shù)學閱讀，準確理解閱讀材料在活動之前，學生要進行基礎復習。復習的內容體現(xiàn)知識間的聯(lián)系，符合學生的認知規(guī)律，為活動做好知識、技能、方法方面的準備。三、教學設計案例【案例4-5】“與勾股定理有關的畫圖操作”的教學設計學習過程

學習環(huán)節(jié)

主要學習活動

設計意圖活動一：在數(shù)軸上畫出表示的點(n是正整數(shù))

【環(huán)節(jié)1】數(shù)學實驗：嘗試在數(shù)軸上畫出表示的點P。思路分析：數(shù)軸上的點P要表示，需滿足點P在數(shù)軸的正半軸上且離原點O的距離等于，將問題轉化為“找到從原點O出發(fā)的、長為的線段OP”。(1)構造以為斜邊的直角三角形(詳情略)(2)在數(shù)軸上畫出長為的線段OP(詳情略)

【環(huán)節(jié)2】操作活動：畫出表示長為的線段。在之前的課程學習中，我們嘗試畫過表示長為、、的線段，在初步學習了勾股定理的相關內容之后，就能更好地理解這個畫圖過程是如何利用勾股定理來實現(xiàn)的。(1)回顧構造斜邊為的直角三角形的過程(詳情略)(2)畫圖操作活動的步驟分解(詳情略)。通過學生獨立思考并嘗試完成【環(huán)節(jié)1】，讓學生經歷動手畫圖操作的過程，再通過后面的學習進行反思和完善，使學生體會閱讀材料間的關系，積累數(shù)學閱讀畫圖操作類問題的活動經驗。通過綜合運用數(shù)學閱讀方法厘清【環(huán)節(jié)2】的基本框架，準確理解閱讀材料內容和操作指令，培養(yǎng)學生的閱讀理解能力。此處進行了步驟分解，為后面的學習做了鋪墊，使學生能夠初步體會解決此類活動的方法。三、教學設計案例【案例4-5】“與勾股定理有關的畫圖操作”的教學設計學習過程

學習環(huán)節(jié)

主要學習活動

設計意圖活動一：在數(shù)軸上畫出表示的點(n是正整數(shù))

【環(huán)節(jié)3】數(shù)軸上的幾何圖形：在數(shù)軸上畫出表示的點Q。

在前一環(huán)節(jié)的基礎上，在數(shù)軸上畫出表示的點，請依據(jù)以下思路完成畫圖。

第一步：畫長為的線段。分別以環(huán)節(jié)2中所取的兩個正整數(shù)()、()為兩條直角邊長畫Rt△OEF，使O為原點，點E落在數(shù)軸的正半軸上，∠OEF=90°，則斜邊OF的長即為在數(shù)軸上的長度。畫圖(圖略)。

第二步：在數(shù)軸上畫表示的點。在數(shù)軸上畫出表示的點Q，保留畫圖痕跡，并描述第二步的畫圖步驟。在【環(huán)節(jié)3】中，啟發(fā)學生進行畫圖操作之前一定要準確分析條件，通過正確的分析嘗試找到符合條件的三角形，再畫出相應圖形，培養(yǎng)學生分析問題解決問題的能力。三、教學設計案例【案例4-5】“與勾股定理有關的畫圖操作”的教學設計學習過程

學習環(huán)節(jié)

主要學習活動

設計意圖活動一：在數(shù)軸上畫出表示的點(n是正整數(shù))

【環(huán)節(jié)4】回顧反思與方法遷移：在數(shù)軸上畫出表示、的點。

(1)回顧反思：在數(shù)軸上畫出表示的點。目的：對【環(huán)節(jié)1】的畫圖嘗試進行補充、完善。反思：我在【環(huán)節(jié)1】的試驗中是成功還是失敗了？是哪個環(huán)節(jié)出現(xiàn)了什么樣的問題？

(2)方法遷移：在數(shù)軸上畫出表示的點。畫圖操作活動的分解為以下幾步。

第一步：代數(shù)計算。嘗試滿足，使其中a,b都為正整數(shù)，且a≥b。所取的正整數(shù)a=

，b=

。

第二步：畫長為的線段。以第一步中所取的正整數(shù)a,b為兩條直角邊長，畫出Rt△OEF，仿照【環(huán)節(jié)3】中第一步的敘述，使O為原點，描述Rt△OEF的位置，并在數(shù)軸上畫圖(圖略)。

第三步：在數(shù)軸上畫表示的點。在數(shù)軸上畫出表示的點M，保留畫圖痕跡，并仿照【環(huán)節(jié)3】中第二步的敘述，描述第三步的畫圖步驟。一是，讓學生反思在數(shù)軸上畫出表示的點時是怎么想的，怎么做的，總結自己的體會和收獲。教師在這個過程中要引導學生體會如何進行這類問題的反思總結；二是，通過類比之前環(huán)節(jié)的活動思路和方法進行步驟分解，完成活動，使學生體會類比的思想方法在解決問題中的重要作用；三是，通過對此類型問題的分析，讓學生體會畫圖中需要注意的問題，培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力。三、教學設計案例學習過程

學習環(huán)節(jié)

主要學習活動

設計意圖活動一：在數(shù)軸上畫出表示的點(n是正整數(shù))

【環(huán)節(jié)5】畫圖操作活動的數(shù)學閱讀反思。

(1)再次閱讀教材27頁前三段，結合前面的活動梳理“在數(shù)軸上畫出表示的點”的畫圖操作流程，思考、借鑒“畫圖操作活動類的數(shù)學閱讀材料”的閱讀方法，補全表格。明確操作目標：______________。對操作任務進行分解：對整段的閱讀材料的畫圖操作過程進行動作分解，設計操作方案和流程操作任務分解的如下4個階段，完成表2。(2)通過上述活動：①在數(shù)軸上畫出表示的點，②在數(shù)軸上畫出表示的點，③在數(shù)軸上畫出表示的點，選擇其中一個活動敘述畫圖過程。(3)寫出通過上述活動的學習你感悟到的數(shù)學學習方法。通過上述活動的分析和總結，讓學生體會解決數(shù)學閱讀畫圖操作問題的思路和方法，使學生形成活動經驗，能遷移到以后的數(shù)學活動中。在此過程中，使學生感悟數(shù)學學習方法，培養(yǎng)和鍛煉學生的歸納總結能力。三、教學設計案例學習過程

學習環(huán)節(jié)

主要學習活動

設計意圖活動一：在數(shù)軸上畫出表示的點(n是正整數(shù))

【環(huán)節(jié)6】觀看視頻。

通過學習，大家已經能夠把形如(n是正整數(shù))的無理數(shù)在數(shù)軸上用點表示出來，那么大家知道這樣的無理數(shù)是怎么被發(fā)現(xiàn)的嗎？讓我們一起來觀看視頻吧！總結：通過觀看視頻，大家會發(fā)現(xiàn)，由面積是2的正方形的邊長引發(fā)的數(shù)學危機，讓人們發(fā)現(xiàn)了像、、這樣的新數(shù)，也就是我們熟悉的無理數(shù)，而通過學習可知，利用勾股定理可以構造斜邊分別為、、這樣的直角三角形，也就是說，勾股定理溝通了數(shù)與形，可以把像，，，…，(n是正整數(shù))這樣的無理數(shù)在數(shù)軸上用點表示出來.通過觀看視頻，學生能夠了解無理數(shù)產生的數(shù)學史，既總結呼應活動一中【環(huán)節(jié)1】的活動結果，又形象說明勾股定理在構造無理數(shù)中的作用，對前面動手操作活動也是個補充，可以激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣.三、教學設計案例學習過程

學習環(huán)節(jié)

主要學習活動

設計意圖活動二：等腰直角三角形的斜邊與直角邊不可公度問題【環(huán)節(jié)1】閱讀并畫圖。已知：如圖1，在等腰直角三角形ABC中，邊，另有線段。按照以下操作步驟，可以以該等腰直角三角形為基礎，構造一系列的等腰直角三角形，它們之間的直角邊滿足一定的關系，并且一個比一個小。具體步驟如表3所示通過綜合運用數(shù)學閱讀方法厘清材料框架，明確活動目標，理解畫圖操作步驟、作法，明確需要解決的問題，利用類比的思想方法完成后續(xù)的畫圖方案設計和作圖，并在閱讀畫圖操作的過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律解決問題，使學生更好地理解類比的思想方法，提高學生的閱讀理解能力和畫圖操作能力。

三、教學設計案例學習過程

學習環(huán)節(jié)

主要學習活動

設計意圖活動二：等腰直角三角形的斜邊與直角邊不可公度問題

通過綜合運用數(shù)學閱讀方法厘清材料框架，明確活動目標，理解畫圖操作步驟、作法，明確需要解決的問題，利用類比的思想方法完成后續(xù)的畫圖方案設計和作圖，并在閱讀畫圖操作的過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律解決問題，使學生更好地理解類比的思想方法，提高學生的閱讀理解能力和畫圖操作能力。

三、教學設計案例學習過程

學習環(huán)節(jié)

主要學習活動

設計意圖活動二：等腰直角三角形的斜邊與直角邊不可公度問題

請解決以下問題：(1)閱讀以上操作步驟，并根據(jù)第三步、第四步的作法在圖1中畫出第三個和第四個等腰直角三角形。(2)完成表3，其中第五步、第六步請仿照前四步，寫出得到第四個等腰直角三角形CHK的作法。(3)在線段MN上以點M為端點，分別截取線段，，，其中線段的畫圖已完成，請仿照圖中示例繼續(xù)畫出線段，。

通過綜合運用數(shù)學閱讀方法厘清材料框架，明確活動目標，理解畫圖操作步驟、作法，明確需要解決的問題，利用類比的思想方法完成后續(xù)的畫圖方案設計和作圖，并在閱讀畫圖操作的過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律解決問題，使學生更好地理解類比的思想方法，提高學生的閱讀理解能力和畫圖操作能力。

三、教學設計案例學習過程

學習環(huán)節(jié)

主要學習活動

設計意圖活動二：等腰直角三角形的斜邊與直角邊不可公度問題

【環(huán)節(jié)2】閱讀操作中的感悟及方法總結。(1)感悟。經過以上畫圖操作，我們分別得到了一系列面積逐漸縮小的等腰直角三角形，以及長度不斷縮短的線段a1~a4，體會到這個過程可以不斷進行下去，以及“(_______)”這樣一個結論。(2)通過上述畫等腰直角三角形的活動，總結畫等腰直角三角形的過程。(3)寫出畫線段，的作法。通過以上畫圖操作，可得到一系列面積逐漸縮小、直角邊有規(guī)律的等腰直角三角形，從而使學生體會“等腰直角三角形的斜邊與直角邊是不可公度的”這個結論。

三、教學設計案例學習過程

學習環(huán)節(jié)

主要學習活動

設計意圖活動二：等腰直角三角形的斜邊與直角邊不可公度問題

【環(huán)節(jié)3】拓展閱讀：正方形的對角線與邊長不可公度問題。(1)類比【環(huán)節(jié)1】中構造一系列的等腰直角三角形的作法，畫出正方形ABCD中的相關情形。(2)用一句話寫出你對“正方形的對角線與邊長不可公度”的理解。(3)視頻展示在正方形ABCD中“構造一系列的正方形”的過程，并探究這些正方形之間的邊長滿足的關系

【環(huán)節(jié)3】通過類比【環(huán)節(jié)1】中的作法，使學生體到會作圖方法，猜想這些正方形之間的邊長滿足那種關系，體會這兩個不可公度問題的聯(lián)系和區(qū)別。通過視頻展示，學生了解了古希臘的西帕索斯恰恰就是用這樣畫圖的方法證明了“是無理數(shù)”的觀點。【環(huán)節(jié)3】類比前面的作圖方法，讓學生設計出更多的圖形，這樣可調動學生學習數(shù)學的熱情，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣三、教學設計案例學習過程

學習環(huán)節(jié)

主要學習活動

設計意圖課程小結

數(shù)學閱讀的畫圖操作問題必須是在準確理解閱讀材料的基礎上才能進行，綜合運用各種閱讀方法準確理解閱讀材料是活動的前提。

數(shù)學閱讀的畫圖操作的要點有以下幾項。(1)明確活動目標；(2)對操作任務進行活動分解；(3)動手進行畫圖操作；(4)梳理畫圖操作步驟、流程、思路；(5)回顧反思與方法遷移

“課程小結”引導學生回顧本課所學內容，梳理解決閱讀畫圖操作問題的步驟和方法，有利于培養(yǎng)和鍛煉學生的歸納總結能力三、教學設計案例學習過程

學習環(huán)節(jié)

主要學習活動

設計意圖課程彩蛋

總結：前面活動中“重復、無限進行下去”的畫圖過程，相信大家印象深刻吧，在數(shù)學中有一類與之相關的數(shù)學分支就是“分形”。下面請大家欣賞分形之美，這是勾股樹的分形圖(見圖2)，漂亮吧！可以說分形圖具有無可爭議的美學感召力，這是送給大家的課程彩蛋。對“分形”有興趣的同學可以自己去搜找相關資料，相信這些圖片一定會震撼你。

“課程彩蛋”能夠拓寬學生視野，使學生初步欣賞到分形圖的美，激發(fā)學生的學習興趣和創(chuàng)作熱情。中學數(shù)學問題解決課教學設計問題解決課概述教學設計案例問題解決課的要素提醒一、問題解決課概述概念傳統(tǒng)的問題解決課就是教學生解各類數(shù)學題，但不太符合課程改革、學生個體發(fā)展和將來參與社會或國際競爭的需要。（一）概念《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》提出：“注重發(fā)展學生的應用意識和創(chuàng)新意識。”《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020修訂）》提出：”在實際情景中從數(shù)學的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題......最終解決實際問題?！按送?，西方國家將跨學科的問題解決能力視為21世紀人才培養(yǎng)的焦點，PISA也專門設計了學生（合作）問題解決能力測試。因此，基于實際情景的問題解決，或跨學科綜合性的問題解決，已成為我國課程改革和國際教育發(fā)展的趨勢。一、問題解決課概述（一）概念圖4-1為問題解決流程，其中虛線部分是我國傳統(tǒng)學校教育中的“問題解決”，解決的是現(xiàn)實問題經過抽象模式化和設置諸多理想條件后的“問題”。問題解決課應當充分引入真實情境，讓學生經歷問題解決的全過程，獲得從現(xiàn)實世界抽象出數(shù)學問題，運用數(shù)學知識解決問題，用數(shù)學知識解釋現(xiàn)實世界，以及評價反思結果的經驗。一、問題解決課概述情境激活程式（二）教學過程此處采用朱德全教授對數(shù)學問題解決教學設計程式的總結，即情境激活程式→方案構想程式→鑒定施行程式→系統(tǒng)改良程式。教學過程情境激活程式屬于問題解決出發(fā)點的形成階段，這一階段的教學任務在于創(chuàng)設好問題解決的情境，從而引發(fā)全體學生主動參與審題。方案構想程式方案構想程式屬于問題解決的試探階段，這一階段的教學任務在于探索知識經驗系統(tǒng)中的相關信息，引發(fā)全體學生主動探求解決方法，以此形成所有學生解題方法都能涵蓋的方法系統(tǒng)，在擇優(yōu)選取其中的最佳方案。一、問題解決課概述假定施行程式（二）教學過程此處采用朱德全教授對數(shù)學問題解決教學設計程式的總結，即情境激活程式→方案構想程式→鑒定施行程式→系統(tǒng)改良程式。教學過程假定施行程式屬于方案的選擇或證明階段，這一階段的教學任務在于師生共做，或讓最佳者口頭報告期問題解決的思維過程。系統(tǒng)改良程式系統(tǒng)改良程式屬于問題解決后師生對問題解決過程和結果的反思與修正階段，這一階段的教學任務在于師生共同判斷問題解決的質量，強化學生問題解決的策略意識，引發(fā)學生元認知活動參與。二、問題解決課設計的要素提示0203040501情景創(chuàng)設創(chuàng)設情景和提出問題是問題解決教學的出發(fā)點，有選擇有利于進行數(shù)學建模的現(xiàn)實問題，立足數(shù)學學科進行跨學科的問題解決。反思和評價引導學生將數(shù)學世界中獲得的“解”放到現(xiàn)實世界加以評判，考慮現(xiàn)實情況的合理性，進而反思問題解決過程，優(yōu)化數(shù)學模型，調整解決策略。問題設計問題的設計時數(shù)學問題解決教學過程設計的關鍵，問題要具有探索性，開發(fā)性，發(fā)展余地，顯示和啟示意義。數(shù)學問題解決一旦學生能夠從現(xiàn)實情境中提出數(shù)學問題，識別或建立數(shù)模型。問題解決就成功了一大半。學生活動數(shù)學問題解決教學強調的是學生的自主學習活動，主要通過個體探究和群體交流兩種活動進行，與此相適應的教學組織形式有全班教學、個別教學和小組教學三種。三、教學設計案例案例4-6“安裝樓梯問題”的教學設計提出問題

理解題意【設計意圖】教師引導學生在實際情景和平面圖形兩者進行轉化，經過學生不斷的交流，使其畫出平面圖形，獲取關鍵信息，感受圖形作用，理解題目描述情景?！締栴}1】小艾家是高為5.2米的復式，其中第一層高為2.73米(含樓板27厘米)。兩層之間鋪滿樓板相隔。現(xiàn)需在兩層中間的樓板開一個口連接樓梯。根據(jù)人體需要，每級樓梯步長為24厘米,高為21厘米，寬為80厘米。廠家將樓梯定價為每級臺階1500元,單獨制作臺階立面時,每個費用為500元。(1)購買這個樓梯需多少元?(2)為節(jié)省空間，同時又要保證身高1.74米的爸爸可以不低頭通過樓梯,樓板開口最小需要多長?三、教學設計案例提出問題

理解題意小組討論

解決問題【設計意圖】學生在觀察與體驗的基礎上理解問題情境中的空間圖形，從而進一步將其轉化為平面圖形。教師要抓住學生好的解決策略和思維中的關鍵點驚醒板書和引導?！締栴}2】受施工方限制，樓梯安裝工人只上門一次,將樓梯和護欄同時安裝完畢。在裝修期間,小艾家準備在二樓購置一張長2米、寬1.8米、厚25厘米的床墊（不能折疊)。這個床墊能否在安裝樓梯后送達二樓?如果能,請說明理由:如果不能,給出樓梯設計改進建議。旱現(xiàn)問題后,給學生3分鐘獨立解答時間,小組研討5分鐘,全班交流17分鐘。請小組派代表介紹本組成果。介紹內容包括展示抽象出的幾何模型、解決問題的方案及原理。其他組進行補充、質疑。教師要關注學生在做了什么事情之后就找到了解決思路。(提供模型、圖形等直觀工具的支持)案例4-6“安裝樓梯問題”的教學設計三、教學設計案例反思提升感悟交流【設計意圖】通過反思解決問題的全過程，通過交流，將解題策略和解題感悟作為全班同學的共同經驗固化下來。提出問題

理解題意小組討論解決問題(1)學生反思解題過程,總結解題策略、經驗和感受。例如，在解題過程中面對較復雜的情境、數(shù)字時的心情:再如在解題策略上,根據(jù)題目畫出示意圖，并將數(shù)據(jù)上圖，將已知和未知盡可能地集中呈現(xiàn)，對于理解題意及將實際情景數(shù)學化有著積極作用;通過這個問題的解決，體會到數(shù)學在生活中的應用價值。（2)教師根據(jù)學生發(fā)言進行點評,給予學生信心及毅力方面的肯定與鼓勵,并在抽象方法上再次歸納提升。例如,告訴學生在解決實際情境問題時需要進行必要的假設、簡化和抽象:又如床墊厚度是否需要考慮在內:等等。（3)教師在點評的基礎上拋出引申問題,激發(fā)學生進一步思考。例如“如果不加限制,為了解決床墊上樓問題,可以修改情境中的哪些數(shù)據(jù)”“如果樓梯開口一定,那樓梯的步長和臺階數(shù)如何設計可以解決【問題2】中的爸爸上樓問題”。(此環(huán)節(jié)是否在課堂上提出,視教學過程而定)案例4-6“安裝樓梯問題”的教學設計三、教學設計案例案例4-6“安裝樓梯問題”的教學設計學生評價設計【設計意圖】由于【問題1】“安裝樓梯問題”難度較大，課上對【問題2】也只是做了解決方法的討論與探究，沒落實解題過程，教師可通過作業(yè)（1）檢測學生對問題的理解程度。作業(yè)（2）采用了比“安裝樓梯”簡單一些的情境，來檢測學生通過課上學習，空間觀念是否有所提高。反思提升感悟交流提出問題

理解題意