備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學大一輪數(shù)學(人教A版理)-第十二章-§12-4-二項分布與正態(tài)分布

第十二章概率、隨機變量及其分布§12.4

二項分布與

正態(tài)分布考試要求1.了解條件概率的概念，了解兩個事件相互獨立的概念.2.理解n次獨立重復試驗的模型及二項分布，并能解決一些簡單問題.3.借助直觀直方圖認識正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義.

內(nèi)容索引第一部分第二部分第三部分落實主干知識探究核心題型課時精練落實主干知識第一部分1.條件概率及其性質(zhì)(1)一般地，設(shè)A，B為兩個事件，且P(A)>0，稱P(B|A)＝______為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率.在古典概型中，若用n(A)和n(AB)分別表示事件A和事件AB所包含的基本事件的個數(shù)，則P(B|A)＝_______.(2)條件概率具有的性質(zhì)①0≤P(B|A)≤1.②如果B和C是兩個互斥事件，則P(B∪C|A)＝______________.P(B|A)＋P(C|A)2.相互獨立事件(1)設(shè)A，B為兩個事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨立.(2)若A與B相互獨立，則P(B|A)＝_____.(3)若A與B相互獨立，

也都相互獨立.(4)P(AB)＝P(A)P(B)?_______________.P(B)A與B相互獨立3.獨立重復試驗與二項分布(1)一般地，在相同條件下重復做的n次試驗稱為n次獨立重復試驗，在這種試驗中每一次試驗只有兩種結(jié)果，即要么發(fā)生，要么不發(fā)生，且任何一次試驗中發(fā)生的概率都是一樣的.(2)在n次獨立重復試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p，則P(X＝k)＝____________________________，此時稱隨機變量X服從二項分布，記為____________，并稱p為成功概率.X～B(n，p)4.兩點分布與二項分布的均值、方差(1)若隨機變量X服從兩點分布，則E(X)＝__，D(X)＝________.(2)若X～B(n，p)，則E(X)＝___，D(X)＝________.pp(1－p)npnp(1－p)5.正態(tài)分布(1)正態(tài)曲線：函數(shù)φμ，σ(x)＝

，x∈(－∞，＋∞)，其中實數(shù)μ和σ為參數(shù)(σ>0，μ∈R).我們稱函數(shù)φμ，σ(x)的圖象為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線.(2)正態(tài)曲線的特點①曲線位于x軸上方，與x軸不相交.②曲線是單峰的，它關(guān)于直線_____對稱.③曲線在_____處達到峰值

.④曲線與x軸之間的面積為__.⑤當σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖甲所示.⑥當μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ_____，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ_____，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散，如圖乙所示.x＝μx＝μ1越小越大(3)正態(tài)分布的定義及表示一般地，如果對于任何實數(shù)a，b(a<b)，隨機變量X滿足P(a<X≤b)＝

，則稱隨機變量X服從正態(tài)分布，記作_____________.正態(tài)總體在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率值①P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.9973.X～N(μ，σ2)判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)兩點分布是二項分布當n＝1時的特殊情形.(

)(2)若X表示n次獨立重復拋擲1枚骰子出現(xiàn)點數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù)，則X服從二項分布.(

)(3)若事件A，B相互獨立，則P(B|A)＝P(B).(

)(4)當μ取定值時，正態(tài)曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“矮胖”.(

)√√√×1.在8件同一型號的產(chǎn)品中，有3件次品，5件合格品，現(xiàn)不放回地從中依次抽取2件，在第一次抽到次品的條件下，第二次抽到次品的概率是√√3.某班有48名同學，一次考試后的數(shù)學成績服從正態(tài)分布N(80,102)，則理論上在80分到90分的人數(shù)約是A.32 B.16 C.8 D.20√因為數(shù)學成績近似地服從正態(tài)分布N(80,102)，所以P(|x－80|≤10)≈0.6827.根據(jù)正態(tài)密度曲線的對稱性可知，位于80分到90分之間的概率是位于70分到90分之間的概率的一半，所以理論上在80分到90分的人數(shù)是

×0.6827×48≈16.探究核心題型第二部分例1

(1)(2022·哈爾濱模擬)七巧板是中國民間流傳的智力玩具.據(jù)清代陸以湉《冷廬雜識》記載，七巧板是由宋代黃伯思設(shè)計的宴幾圖演變而來的，原為文人的一種室內(nèi)游戲，后在民間逐步演變?yōu)槠磮D版玩具.到明代，七巧板已基本定型為由如圖所示的七塊板組成：五塊等腰直角三角形(其中兩塊小型三角形、一塊中型三角形和兩塊大型三角形)、一塊正方形和一塊平行四邊形，可以拼成人物、動物、植物、房亭、樓閣等1600種以上圖案.現(xiàn)從七巧板中取出兩塊，已知取出的是三角形，則兩塊板恰好是全等三角形的概率為題型一條件概率√設(shè)事件A為“從七巧板中取出兩塊，取出的是三角形”，事件B為“兩塊板恰好是全等三角形”，(2)逢年過節(jié)走親訪友，成年人喝酒是經(jīng)常的事，但是飲酒過度會影響健康，某調(diào)查機構(gòu)進行了針對性的調(diào)查研究.據(jù)統(tǒng)計，一次性飲酒4.8兩，誘發(fā)某種疾病的頻率為0.04，一次性飲酒7.2兩，誘發(fā)這種疾病的頻率為0.16.將頻率視為概率，已知某人一次性飲酒4.8兩未誘發(fā)這種疾病，則他還能繼續(xù)飲酒2.4兩，不誘發(fā)這種疾病的概率為√記事件A：這人一次性飲酒4.8兩未誘發(fā)這種疾病，事件B：這人一次性飲酒7.2兩未誘發(fā)這種疾病，則事件B|A：這人一次性飲酒4.8兩未誘發(fā)這種疾病，繼續(xù)飲酒2.4兩不誘發(fā)這種疾病，則B?A，AB＝A∩B＝B，P(A)＝1－0.04＝0.96，P(B)＝1－0.16＝0.84，求條件概率的常用方法思維升華(3)縮樣法：去掉第一次抽到的情況，只研究剩下的情況，用古典概型求解.跟蹤訓練1

(1)(2023·六盤山模擬)已知5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，每次從中抽取一道題，抽出的題不再放回.在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率為√設(shè)事件A＝“第1次抽到代數(shù)題”，事件B＝“第2次抽到幾何題”，(2)某射擊運動員每次擊中目標的概率為

，現(xiàn)連續(xù)射擊兩次.①已知第一次擊中，則第二次擊中的概率是___；由題意知，第一次擊中與否對第二次沒有影響，②在僅擊中一次的條件下，第二次擊中的概率是___.題型二相互獨立事件與二項分布例2

(1)(2021·新高考全國Ⅰ)有6個相同的球，分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6，從中有放回地隨機取兩次，每次取1個球.甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則A.甲與丙相互獨立 B.甲與丁相互獨立C.乙與丙相互獨立 D.丙與丁相互獨立√命題點1相互獨立事件事件丙與事件丁是互斥事件，不是相互獨立事件，故D錯誤.(2)參加某科普知識競賽，需回答三個問題，競賽規(guī)則規(guī)定：答對第一、二、三個問題分別得100分、100分、200分，答錯或不答均得零分.假設(shè)同學甲答對第一、二、三個問題的概率分別為0.8,0.6,0.5，且各題答對與否相互之間沒有影響，則同學甲得分不低于300分的概率是_____.0.46＝0.8×0.6×0.5＋0.8×0.4×0.5＋0.2×0.6×0.5＝0.46.命題點2二項分布例3

(2022·衡陽模擬)某地政府為鼓勵大學生創(chuàng)業(yè)，制定了一系列優(yōu)惠政策.已知創(chuàng)業(yè)項目甲成功的概率為

，項目成功后可獲得政府獎金20萬元；創(chuàng)業(yè)項目乙成功的概率為P0(0<P0<1)，項目成功后可獲得政府獎金30萬元.項目沒有成功，則沒有獎勵，每個項目有且只有一次實施機會，兩個項目的實施是否成功互不影響，項目成功后當?shù)卣畠冬F(xiàn)獎勵.(1)大學畢業(yè)生張某選擇創(chuàng)業(yè)項目甲，畢業(yè)生李某選擇創(chuàng)業(yè)項目乙，記他們獲得的獎金累計為X(單位：萬元)，若X≤30的概率為

.求P0的大?。挥梢阎?，張某創(chuàng)業(yè)成功的概率為

，李某創(chuàng)業(yè)成功的概率為P0，且兩人是否創(chuàng)業(yè)成功互不影響，記“這2人累計獲得的獎金X≤30”的事件為A，則事件A的對立事件為“X＝50”，(2)若兩位大學畢業(yè)生都選擇創(chuàng)業(yè)項目甲或創(chuàng)業(yè)項目乙進行創(chuàng)業(yè)，問：他們選擇何種創(chuàng)業(yè)項目，累計得到的獎金的均值更大？設(shè)兩位大學畢業(yè)生都選擇創(chuàng)業(yè)項目甲且創(chuàng)業(yè)成功的次數(shù)為X1，都選擇創(chuàng)業(yè)項目乙且創(chuàng)業(yè)成功的次數(shù)為X2，則這兩人選擇項目甲累計獲得的獎金的均值為E(20X1)，選擇項目乙累計獲得的獎金的均值為E(30X2)，E(30X2)＝30E(X2)＝60P0，二項分布問題的解題關(guān)鍵(1)定型：①在每一次試驗中，事件發(fā)生的概率相同.②各次試驗中的事件是相互獨立的.③在每一次試驗中，試驗的結(jié)果只有兩個，即發(fā)生與不發(fā)生.(2)定參：確定二項分布中的兩個參數(shù)n和p，即試驗發(fā)生的次數(shù)和試驗中事件發(fā)生的概率.思維升華跟蹤訓練2

某中學面向全校所有學生開展一項有關(guān)每天睡眠時間的問卷調(diào)查，調(diào)查結(jié)果顯示，每天睡眠時間少于7小時的學生占40%，而每天睡眠時間不少于8小時的學生只有30%.現(xiàn)從所有問卷中隨機抽取4份問卷進行回訪(視頻率為概率).(1)求抽取到的問卷中至少有2份調(diào)查結(jié)果為睡眠時間不少于7小時的概率；所以4份問卷中至少有2份結(jié)果為睡眠時間不少于7小時的概率為(2)記抽取到的問卷中調(diào)查結(jié)果為睡眠時間少于7小時的問卷份數(shù)為X，求X的分布列及均值E(X).所以X的分布列為正態(tài)分布例4

(1)(2023·赤峰模擬)某市有甲、乙兩個工廠生產(chǎn)同一型號的汽車零件，零件的尺寸分別記為X，Y，已知X，Y均服從正態(tài)分布，X～N(μ1，

其正態(tài)曲線如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是①甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值等于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值；②甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值小于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值；③甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性高于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性；④甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性低于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性.A.①③ B.②④ C.①④ D.②③√題型三結(jié)合正態(tài)曲線可知，μ1＝μ2，σ1<σ2，故甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值等于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值，故①正確，②錯誤；甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性高于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性，故③正確，④錯誤.(2)(2022·合肥模擬)某市高三年級共有14000人參加教學質(zhì)量檢測，學生的數(shù)學成績ξ近似服從正態(tài)分布N(90，σ2)(試卷滿分150分)，且P(ξ≥100)＝0.3，據(jù)此可以估計，這次檢測數(shù)學成績在80到90分之間的學生人數(shù)約為A.2800 B.4200C.5600 D.7000√∵ξ近似服從正態(tài)分布N(90，σ2)(試卷滿分150分)，且P(ξ≥100)＝0.3，∴估計這次檢測數(shù)學成績在80到90分之間的學生人數(shù)約為14000×0.2＝2800.解決正態(tài)分布問題的三個關(guān)鍵點(1)對稱軸為x＝μ.(2)標準差為σ.(3)分布區(qū)間.利用對稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由μ，σ，分布區(qū)間的特征進行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ特殊區(qū)間，從而求出所求概率.注意只有在標準正態(tài)分布下對稱軸才為x＝0.思維升華跟蹤訓練3

(1)(2022·新高考全國Ⅱ)已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，則P(X>2.5)＝_____.因為X～N(2，σ2)，所以P(X>2)＝0.5，所以P(X>2.5)＝P(X>2)－P(2<X≤2.5)＝0.5－0.36＝0.14.0.14(2)(2022·西安模擬)某中學開展學生數(shù)學素養(yǎng)測評活動，高一年級測評分值X近似服從正態(tài)分布，正態(tài)曲線如圖①所示.為了調(diào)查參加測評的學生數(shù)學學習的方法與習慣差異，該中學決定在分數(shù)段(m，n]內(nèi)抽取學生，并確定m＝67，且P(m<X≤n)＝0.8186.在某班用簡單隨機抽樣的方法得到20名學生的分值分布莖葉圖如圖②所示.若該班抽取學生分數(shù)在分數(shù)段(m，n]內(nèi)的人數(shù)為k，則k＝___；這k名學生的平均分為___.(附：P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.9973)10

74由圖①可知，μ＝72，σ＝5，∴隨機變量X～N(72,25)，∴P(67<X≤77)≈0.6827，P(62<X≤82)≈0.9545，∵P(67<X≤n)＝0.8186∴n＝82，由圖②可知，該班在(67,82]內(nèi)抽取了10人，即k＝10，∴平均分為課時精練第三部分基礎(chǔ)保分練1234567891011121314√1234567891011121314設(shè)“甲獨立地破解出謎題”為事件A，“乙獨立地破解出謎題”為事件B，2.(2023·昆明模擬)同時拋擲2枚質(zhì)地均勻的硬幣4次，設(shè)2枚硬幣均正面向上的次數(shù)為X，則X的均值為1234567891011121314√12345678910111213143.(2023·西寧模擬)已知某批零件的長度X(單位：毫米)服從正態(tài)分布N(100,32)，從中隨機抽取一件，其長度恰好落在區(qū)間(103,106]內(nèi)的概率約為(附：若隨機變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.9545)A.0.0456 B.0.1359 C.0.2718 D.0.3174√123456789101112131412345678910111213144.下列說法不正確的是A.設(shè)隨機變量X服從二項分布B.已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(X<4)＝0.9，則P(0<X<2)

＝0.4C.甲、乙、丙三人均準備在3個旅游景點中任選一處去游玩，則在至少

有1個景點未被選擇的條件下，恰有2個景點未被選擇的概率是D.E(2X＋3)＝2E(X)＋3，D(2X＋3)＝4D(X)√1234567891011121314對于B，因為隨機變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，所以正態(tài)曲線的對稱軸是直線x＝2.因為P(X<4)＝0.9，所以P(X≥4)＝P(X≤0)＝0.1，所以P(0<X<2)＝P(2<X<4)＝0.4，故B正確；1234567891011121314對于C，設(shè)事件A為至少有1個景點未被選擇，事件B為恰有2個景點未被選擇，對于D，E(2X＋3)＝2E(X)＋3，D(2X＋3)＝4D(X)，故D正確.5.(2022·安慶模擬)高爾頓(釘)板是在一塊豎起的木板上釘上一排排互相平行、水平間隔相等的圓柱形小木塊(如圖所示)，并且每一排小木塊數(shù)目都比上一排多一個，一排中各個小木塊正好對準上面一排兩個相鄰小木塊的正中央，從入口處放入一個直徑略小于兩個小木塊間隔的小球，當小球從之間的間隙下落時，碰到下一排小木塊，它將以相等的可能性向左或向右落下，若小球再通過間隙，又碰到下一排小木塊.如此繼續(xù)下去，小球最后落入下方條狀的格子內(nèi)，則小球落到第⑤個格子的概率是√1234567891011121314123456789101112131412345678910111213146.將甲、乙、丙、丁4名醫(yī)生隨機派往①，②，③三個村莊進行義診活動，每個村莊至少派1名醫(yī)生，A表示事件“醫(yī)生甲派往①村莊”；

B表示事件“醫(yī)生乙派往①村莊”；

C表示事件“醫(yī)生乙派往②村莊”，則A.事件A與B相互獨立B.事件A與C相互獨立√1234567891011121314123456789101112131412345678910111213147.(2023·泰安模擬)隨著時代發(fā)展和社會進步，教師職業(yè)越來越受青睞，考取教師資格證成為不少人的職業(yè)規(guī)劃之一.當前，中小學教師資格考試分筆試和面試兩部分.已知某市2022年共有10000人參加了中小學教師資格考試的筆試，現(xiàn)從中隨機抽取100人的筆試成績(滿分100分)作為樣本，整理得到如下頻數(shù)分布表：筆試成績X[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人數(shù)510253020101234567891011121314由頻數(shù)分布表可認為該市全體考生的筆試成績X近似服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中，μ近似為100名樣本考生筆試成績的平均值(同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替)，則μ＝___.若σ＝12.9，據(jù)此估計該市全體考生中筆試成績高于85.9的人數(shù)約為

_____.(結(jié)果四舍五入精確到個位)參考數(shù)據(jù)：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.9973.筆試成績X[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人數(shù)510253020107315871234567891011121314故估計該市全體考生中筆試成績高于85.9的人數(shù)大約為10000×0.15865≈1587.12345678910111213148.某醫(yī)生一周(7天)晚上值2次班，在已知他周二晚上一定值班的條件下，他在周三晚上值班的概率為___.設(shè)事件A為“周二晚上值班”，事件B為“周三晚上值班”，9.(2022·襄陽模擬)某企業(yè)使用新技術(shù)對某款芯片進行試生產(chǎn).在試產(chǎn)初期，該款芯片的生產(chǎn)有四道工序，前三道工序的生產(chǎn)互不影響，第四道是檢測評估工序，包括智能自動檢測與人工抽檢.已知該款芯片在生產(chǎn)中，前三道工序的次品率分別為(1)求該款芯片生產(chǎn)在進入第四道工序前的次品率；1234567891011121314(2)如果第四道工序中智能自動檢測為次品的芯片會被自動淘汰，合格的芯片進入流水線并由工人進行人工抽查檢驗.在芯片智能自動檢測顯示合格率為90%的條件下，求工人在流水線進行人工抽檢時，抽檢一個芯片恰為合格品的概率.12345678910111213141234567891011121314設(shè)“該款智能自動檢測合格”為事件A，“人工抽檢合格”為事件B，123456789101112131410.“雙減”政策，即有效減輕義務教育階段學生過重作業(yè)負擔和校外培訓負擔的政策，“雙減”政策的出臺對校外培訓機構(gòu)的經(jīng)濟效益產(chǎn)生了嚴重影響.某大型校外培訓機構(gòu)為了降低風險，尋求發(fā)展制定科學方案，工作人員對2022年前200名報名學員的消費金額進行了統(tǒng)計整理，其中數(shù)據(jù)如表所示.消費金額(千元)[3,5)[5,7)[7,9)[9,11)[11,13)[13,15]人數(shù)3050602030101234567891011121314(1)該大型校外培訓機構(gòu)轉(zhuǎn)型方案之一是將文化科主陣地輔導培訓向音體美等興趣愛好培訓轉(zhuǎn)移，為了深入了解當前學生的興趣愛好，工作人員利用分層抽樣的方法在消費金額在區(qū)間[9,11)和[11,13)內(nèi)的學員中抽取了5人，再從這5人中選取3人進行有獎問卷調(diào)查，求抽取的3人中消費金額為[11,13)的人數(shù)的分布列和均值；消費金額(千元)[3,5)[5,7)[7,9)[9,11)[11,13)[13,15]人數(shù)3050602030101234567891011121314設(shè)抽取的3人中消費金額在區(qū)間[11,13)內(nèi)的人數(shù)為X，則X的所有可能取值為1,2,3，1234567891011121314所以X的分布列為1234567891011121314(2)將頻率視為概率，假設(shè)該大型校外培訓機構(gòu)2022年所有學員的消費金額可視為服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，μ，σ2分別為前200名報名學員消費的平均數(shù)

以及方差s2(同一區(qū)間的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值替代).消費金額(千元)[3,5)[5,7)[7,9)[9,11)[11,13)[13,15]人數(shù)305060203010①試估計該機構(gòu)學員2022年消費金額ε在區(qū)間[5.2,13.6)內(nèi)的概率(保留一位小數(shù))；12345678910111213