安徽省合肥市眾興中學(xué)2024屆高三下學(xué)期5月模擬考試數(shù)學(xué)試題試卷

安徽省合肥市眾興中學(xué)2023屆高三下學(xué)期5月模擬考試數(shù)學(xué)試題試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．復(fù)數(shù)的（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．集合，，則=()A． B．C． D．3．在平行四邊形中，若則()A． B． C． D．4．某四棱錐的三視圖如圖所示，該幾何體的體積是（）A．8 B． C．4 D．5．元代數(shù)學(xué)家朱世杰的數(shù)學(xué)名著《算術(shù)啟蒙》是中國古代代數(shù)學(xué)的通論，其中關(guān)于“松竹并生”的問題：松長五尺，竹長兩尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而長等.下圖是源于其思想的一個(gè)程序圖，若，，則輸出的（）A．3 B．4 C．5 D．66．正方體，是棱的中點(diǎn)，在任意兩個(gè)中點(diǎn)的連線中，與平面平行的直線有幾條（）A．36 B．21 C．12 D．67．已知f（x）=ax2+bx是定義在[a–1，2a]上的偶函數(shù)，那么a+b的值是A． B．C． D．8．若,,,則下列結(jié)論正確的是()A． B． C． D．9．若函數(shù)的圖象上兩點(diǎn)，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在的圖象上，則的取值范圍是（）A． B． C． D．10．某地區(qū)教育主管部門為了對該地區(qū)模擬考試成進(jìn)行分析，隨機(jī)抽取了200分到450分之間的2000名學(xué)生的成績，并根據(jù)這2000名學(xué)生的成績畫出樣本的頻率分布直方圖，如圖所示，則成績在，內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為（）A．800 B．1000 C．1200 D．160011．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F,拋物線C與圓交于M,N兩點(diǎn),若,則的面積為()A． B． C． D．12．已知點(diǎn)在雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，已知一塊半徑為2的殘缺的半圓形材料，O為半圓的圓心，，殘缺部分位于過點(diǎn)C的豎直線的右側(cè)，現(xiàn)要在這塊材料上裁出一個(gè)直角三角形，若該直角三角形一條邊在上，則裁出三角形面積的最大值為______.14．的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為__________.15．如圖是一個(gè)算法流程圖，若輸出的實(shí)數(shù)的值為，則輸入的實(shí)數(shù)的值為______________.16．《九章算術(shù)》中記載了“今有共買豕，人出一百，盈一百；人出九十，適足。問人數(shù)、豕價(jià)各幾何？”.其意思是“若干個(gè)人合買一頭豬，若每人出100，則會(huì)剩下100；若每人出90，則不多也不少。問人數(shù)、豬價(jià)各多少？”.設(shè)分別為人數(shù)、豬價(jià)，則___，___.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）“綠水青山就是金山銀山”，為推廣生態(tài)環(huán)境保護(hù)意識(shí)，高二一班組織了環(huán)境保護(hù)興趣小組，分為兩組，討論學(xué)習(xí)．甲組一共有人，其中男生人，女生人，乙組一共有人，其中男生人，女生人，現(xiàn)要從這人的兩個(gè)興趣小組中抽出人參加學(xué)校的環(huán)保知識(shí)競賽.（1）設(shè)事件為“選出的這個(gè)人中要求兩個(gè)男生兩個(gè)女生，而且這兩個(gè)男生必須來自不同的組”，求事件發(fā)生的概率；（2）用表示抽取的人中乙組女生的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和期望18．（12分）如圖，橢圓的長軸長為，點(diǎn)、、為橢圓上的三個(gè)點(diǎn)，為橢圓的右端點(diǎn)，過中心，且，．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)、是橢圓上位于直線同側(cè)的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（異于、），且滿足，試討論直線與直線斜率之間的關(guān)系，并求證直線的斜率為定值.19．（12分）已知函數(shù)f(x)=x-2a-x-a（Ⅰ）若f(1)>1，求a的取值范圍；（Ⅱ）若a<0，對?x，y∈-∞,a，都有不等式f(x)≤(y+2020)+20．（12分）定義：若數(shù)列滿足所有的項(xiàng)均由構(gòu)成且其中有個(gè)，有個(gè)，則稱為“﹣數(shù)列”．（1）為“﹣數(shù)列”中的任意三項(xiàng)，則使得的取法有多少種？（2）為“﹣數(shù)列”中的任意三項(xiàng)，則存在多少正整數(shù)對使得且的概率為.21．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的值域；（Ⅱ）若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）在新中國成立70周年國慶閱兵慶典中，眾多群眾在臉上貼著一顆紅心，以此表達(dá)對祖國的熱愛之情，在數(shù)學(xué)中，有多種方程都可以表示心型曲線，其中有著名的笛卡爾心型曲線，如圖，在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.圖中的曲線就是笛卡爾心型曲線，其極坐標(biāo)方程為（），M為該曲線上的任意一點(diǎn).（1）當(dāng)時(shí)，求M點(diǎn)的極坐標(biāo)；（2）將射線OM繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)與該曲線相交于點(diǎn)N，求的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．C【解析】所對應(yīng)的點(diǎn)為（-1，-2）位于第三象限.【考點(diǎn)定位】本題只考查了復(fù)平面的概念，屬于簡單題.2．C【解析】

先化簡集合A,B，結(jié)合并集計(jì)算方法，求解，即可．【詳解】解得集合，所以，故選C．【點(diǎn)睛】本道題考查了集合的運(yùn)算，考查了一元二次不等式解法，關(guān)鍵化簡集合A,B，難度較小．3．C【解析】

由，,利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算,先求得利用平行四邊形的性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】如圖所示,

平行四邊形中,,

，，,

因?yàn)?

所以

,

，所以，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的幾何運(yùn)算以及平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則，屬于中檔題.向量的運(yùn)算有兩種方法：（１）平行四邊形法則（平行四邊形的對角線分別是兩向量的和與差）；（２）三角形法則（兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是和）.4．D【解析】

根據(jù)三視圖知，該幾何體是一條垂直于底面的側(cè)棱為2的四棱錐，畫出圖形，結(jié)合圖形求出底面積代入體積公式求它的體積．【詳解】根據(jù)三視圖知，該幾何體是側(cè)棱底面的四棱錐，如圖所示：結(jié)合圖中數(shù)據(jù)知，該四棱錐底面為對角線為2的正方形，高為PA=2，∴四棱錐的體積為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查由三視圖求幾何體體積，由三視圖正確復(fù)原幾何體是解題的關(guān)鍵，考查空間想象能力．屬于中等題.5．B【解析】分析：根據(jù)流程圖中的可知，每次循環(huán)的值應(yīng)是一個(gè)等比數(shù)列，公比為；根據(jù)流程圖中的可知，每次循環(huán)的值應(yīng)是一個(gè)等比數(shù)列，公比為，根據(jù)每次循環(huán)得到的的值的大小決定循環(huán)的次數(shù)即可.詳解：記執(zhí)行第次循環(huán)時(shí)，的值記為有，則有；記執(zhí)行第次循環(huán)時(shí)，的值記為有，則有.令，則有，故，故選B.點(diǎn)睛：本題為算法中的循環(huán)結(jié)構(gòu)和數(shù)列通項(xiàng)的綜合，屬于中檔題，解題時(shí)注意流程圖中蘊(yùn)含的數(shù)列關(guān)系（比如相鄰項(xiàng)滿足等比數(shù)列、等差數(shù)列的定義，是否是求數(shù)列的前和、前項(xiàng)積等）.6．B【解析】

先找到與平面平行的平面，利用面面平行的定義即可得到.【詳解】考慮與平面平行的平面，平面，平面，共有，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的判定定理以及面面平行的定義，涉及到了簡單的組合問題，是一中檔題.7．B【解析】

依照偶函數(shù)的定義，對定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，f（﹣x）=f（x），且定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，a﹣1=﹣2a，即可得解.【詳解】根據(jù)偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，且f（x）是定義在[a–1，2a]上的偶函數(shù)，得a–1=–2a，解得a=，又f（–x）=f（x），∴b=0，∴a+b=．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查偶函數(shù)的定義，對定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，f（﹣x）=f（x）；奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義域必然關(guān)于原點(diǎn)對稱，定義域區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)互為相反數(shù)．8．D【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，取得的取值范圍，即可求解，得到答案.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，即，又由，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了指數(shù)冪的比較大小，其中解答中熟記指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求得的取值范圍是解答的關(guān)鍵，著重考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9．D【解析】

由題可知，可轉(zhuǎn)化為曲線與有兩個(gè)公共點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化為方程有兩解，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，分析即得解【詳解】函數(shù)的圖象上兩點(diǎn)，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在上，即曲線與有兩個(gè)公共點(diǎn)，即方程有兩解，即有兩解，令，則，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故時(shí)取得極大值，也即為最大值，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以滿足條件．故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)形結(jié)合，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于較難題.10．B【解析】

由圖可列方程算得a，然后求出成績在內(nèi)的頻率，最后根據(jù)頻數(shù)=總數(shù)×頻率可以求得成績在內(nèi)的學(xué)生人數(shù).【詳解】由頻率和為1，得，解得，所以成績在內(nèi)的頻率，所以成績在內(nèi)的學(xué)生人數(shù).故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查頻率直方圖的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.11．B【解析】

由圓過原點(diǎn)，知中有一點(diǎn)與原點(diǎn)重合，作出圖形，由，，得，從而直線傾斜角為，寫出點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線方程求出參數(shù)，可得點(diǎn)坐標(biāo)，從而得三角形面積．【詳解】由題意圓過原點(diǎn)，所以原點(diǎn)是圓與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)，不妨設(shè)為，如圖，由于，，∴，∴，，∴點(diǎn)坐標(biāo)為，代入拋物線方程得，，∴，．故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與圓相交問題，解題關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)原點(diǎn)是其中一個(gè)交點(diǎn)，從而是等腰直角三角形，于是可得點(diǎn)坐標(biāo)，問題可解，如果僅從方程組角度研究兩曲線交點(diǎn)，恐怕難度會(huì)大大增加，甚至沒法求解．12．C【解析】

將點(diǎn)A坐標(biāo)代入雙曲線方程即可求出雙曲線的實(shí)軸長和虛軸長，進(jìn)而求得離心率.【詳解】將,代入方程得，而雙曲線的半實(shí)軸，所以，得離心率,故選C.【點(diǎn)睛】此題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和離心率的概念，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

分兩種情況討論：（1）斜邊在BC上，設(shè)，則，（2）若在若一條直角邊在上，設(shè)，則，進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和三角函數(shù)關(guān)系式恒等變形和函數(shù)單調(diào)性即可求出最大值.【詳解】（1）斜邊在上，設(shè)，則，則，，從而.當(dāng)時(shí)，此時(shí)，符合.（2）若一條直角邊在上，設(shè)，則，則，，由知.，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，.當(dāng)，即時(shí)，最大.故答案為：.【點(diǎn)睛】此題考查實(shí)際問題中導(dǎo)數(shù)，三角函數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用，注意分類討論把所有情況考慮完全，屬于一般性題目.14．31【解析】

由二項(xiàng)式定理及其展開式得通項(xiàng)公式得：因?yàn)榈恼归_式得通項(xiàng)為，則的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為：，得解.【詳解】解：，則的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為：.故答案為：31.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理及其展開式的通項(xiàng)公式，求某項(xiàng)的導(dǎo)數(shù)，考查計(jì)算能力.15．【解析】

根據(jù)程序框圖得到程序功能，結(jié)合分段函數(shù)進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】解：程序的功能是計(jì)算，若輸出的實(shí)數(shù)的值為，則當(dāng)時(shí)，由得，當(dāng)時(shí)，由，此時(shí)無解.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖的識(shí)別和判斷，理解程序功能是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.16．10900【解析】

由題意列出方程組，求解即可.【詳解】由題意可得，解得.故答案為10900【點(diǎn)睛】本題主要考查二元一次方程組的解法，用消元法來求解即可，屬于基礎(chǔ)題型.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列見解析，.【解析】

（Ⅰ）直接利用古典概型概率公式求.（Ⅱ）先由題得可能取值為,再求x的分布列和期望.【詳解】（Ⅰ）（Ⅱ）可能取值為,,,,,的分布列為0123.【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型的計(jì)算，考查隨機(jī)變量的分布列和期望的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.18．（1）；（2）詳見解析.【解析】試題分析：（1）利用題中條件先得出的值，然后利用條件，結(jié)合橢圓的對稱性得到點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程求出的值，從而確定橢圓的方程；（2）將條件得到直線與的斜率直線的關(guān)系（互為相反數(shù)），然后設(shè)直線的方程為，將此直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，注意到直線與的斜率之間的關(guān)系得到點(diǎn)的坐標(biāo)，最后再用斜率公式證明直線的斜率為定值.（1），，又是等腰三角形，所以，把點(diǎn)代入橢圓方程，求得，所以橢圓方程為；（2）由題易得直線、斜率均存在，又，所以，設(shè)直線代入橢圓方程，化簡得，其一解為，另一解為，可求，用代入得，，為定值.考點(diǎn)：1.橢圓的方程；2.直線與橢圓的位置關(guān)系；3.兩點(diǎn)間連線的斜率19．（Ⅰ）(-∞,-1)∪(1,+∞)；（Ⅱ）-1010,0.【解析】

（Ⅰ）由題意不等式化為|1-2a|-|1-a|>1，利用分類討論法去掉絕對值求出不等式的解集即可；（Ⅱ）由題意把問題轉(zhuǎn)化為[f(x)]max≤[|y+2020|+|y-a|]min，分別求出【詳解】（Ⅰ）由題意知，f(1)=|1-2a|-|1-a|>1，若a≤12，則不等式化為1-2a-1+a>1，解得若12<a<1，則不等式化為2a-1-(1-a)>1，解得若a≥1，則不等式化為2a-1+1-a>1，解得a>1，綜上所述，a的取值范圍是(-∞,-1)∪(1,+∞)；（Ⅱ）由題意知，要使得不等式f(x)≤|(y+2020)|+|y-a|恒成立，只需[f(x)]max當(dāng)x∈(-∞,a]時(shí)，|x-2a|-|x-a|≤-a，[f(x)]max因?yàn)閨y+2020|+|y-a|≥|a+2020|，所以當(dāng)(y+2020)(y-a)≤0時(shí)，[|y+2020|+|y-a|]min即-a≤|a+2020|，解得a≥-1010，結(jié)合a<0，所以a的取值范圍是[-1010,0).【點(diǎn)睛】本題考查了絕對值不等式的求解問題，含有絕對值的不等式恒成立應(yīng)用問題，以及絕對值三角不等式的應(yīng)用，考查了分類討論思想，是中檔題．含有絕對值的不等式恒成立應(yīng)用問題，關(guān)鍵是等價(jià)轉(zhuǎn)化為最值問題，再通過絕對值三角不等式求解最值，從而建立不等關(guān)系，求出參數(shù)范圍.20．（1）16；（2）115.【解析】

(1)易得使得的情況只有“”,“”兩種,再根據(jù)組合的方法求解兩種情況分別的情況數(shù)再求和即可.(2)易得“”共有種,“”共有種.再根據(jù)古典概型的方法可知,利用組合數(shù)的計(jì)算公式可得,當(dāng)時(shí)根據(jù)題意有,共個(gè)；當(dāng)時(shí)求得,再根據(jù)換元根據(jù)整除的方法求解滿足的正整數(shù)對即可.【詳解】解：（1）三個(gè)數(shù)乘積為有兩種情況：“”,“”,其中“”共有：種,“”共有：種,利用分類計(jì)數(shù)原理得：為“﹣數(shù)列”中的任意三項(xiàng),則使得的取法有：種．（2）與(1)同理,“”共有種,“”共有種,而在“﹣數(shù)列”中任取三項(xiàng)共有種,根據(jù)古典