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安徽省宿州市埇橋區(qū)2023屆高三下學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測(cè)試題(一模)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.要得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度2.“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.某設(shè)備使用年限x(年)與所支出的維修費(fèi)用y(萬(wàn)元)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分別為,,,,由最小二乘法得到回歸直線方程為,若計(jì)劃維修費(fèi)用超過(guò)15萬(wàn)元將該設(shè)備報(bào)廢,則該設(shè)備的使用年限為()A.8年 B.9年 C.10年 D.11年4.復(fù)數(shù)為純虛數(shù),則()A.i B.﹣2i C.2i D.﹣i5.已知的面積是,,,則()A.5 B.或1 C.5或1 D.6.已知向量,,若,則與夾角的余弦值為()A. B. C. D.7.已知正方體的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)在線段上,且,平面經(jīng)過(guò)點(diǎn),則正方體被平面截得的截面面積為()A. B. C. D.8.運(yùn)行如圖所示的程序框圖,若輸出的值為300,則判斷框中可以填()A. B. C. D.9.正項(xiàng)等比數(shù)列中的、是函數(shù)的極值點(diǎn),則()A. B.1 C. D.210.一個(gè)頻率分布表(樣本容量為)不小心被損壞了一部分,只記得樣本中數(shù)據(jù)在上的頻率為,則估計(jì)樣本在、內(nèi)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)共有()A. B. C. D.11.用一個(gè)平面去截正方體,則截面不可能是()A.正三角形 B.正方形 C.正五邊形 D.正六邊形12.幻方最早起源于我國(guó),由正整數(shù)1,2,3,……,這個(gè)數(shù)填入方格中,使得每行、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和相等,這個(gè)正方形數(shù)陣就叫階幻方.定義為階幻方對(duì)角線上所有數(shù)的和,如,則()A.55 B.500 C.505 D.5050二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且,則________.14.設(shè)函數(shù),則滿足的的取值范圍為_(kāi)_______.15.若的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為,則______,含項(xiàng)的系數(shù)是______(用數(shù)字作答).16.已知函數(shù),若恒成立,則的取值范圍是___________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)解不等式;(2)若函數(shù)存在零點(diǎn),求的求值范圍.18.(12分)已知橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為,,焦距為2,且經(jīng)過(guò)點(diǎn),斜率為的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn),與橢圓交于,兩點(diǎn).(1)求橢圓的方程;(2)在軸上是否存在點(diǎn),使得以,為鄰邊的平行四邊形是菱形?如果存在,求出的取值范圍,如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.19.(12分)如圖1,已知四邊形BCDE為直角梯形,,,且,A為BE的中點(diǎn)將沿AD折到位置如圖,連結(jié)PC,PB構(gòu)成一個(gè)四棱錐.(Ⅰ)求證;(Ⅱ)若平面.①求二面角的大?。虎谠诶釶C上存在點(diǎn)M,滿足,使得直線AM與平面PBC所成的角為,求的值.20.(12分)已知函數(shù)的定義域?yàn)?,且滿足,當(dāng)時(shí),有,且.(1)求不等式的解集;(2)對(duì)任意,恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.(12分)如圖,在四棱錐中,底面為菱形,底面,.(1)求證:平面;(2)若直線與平面所成的角為,求平面與平面所成銳二面角的余弦值.22.(10分)在三棱柱中,四邊形是菱形,,,,,點(diǎn)M、N分別是、的中點(diǎn),且.(1)求證:平面平面;(2)求四棱錐的體積.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【解析】
先將化為,根據(jù)函數(shù)圖像的平移原則,即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,所以只需將的圖象向右平移個(gè)單位.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的平移,熟記函數(shù)平移原則即可,屬于基礎(chǔ)題型.2.B【解析】
或,從而明確充分性與必要性.【詳解】,由可得:或,即能推出,但推不出∴“”是“”的必要不充分條件故選【點(diǎn)睛】本題考查充分性與必要性,簡(jiǎn)單三角方程的解法,屬于基礎(chǔ)題.3.D【解析】
根據(jù)樣本中心點(diǎn)在回歸直線上,求出,求解,即可求出答案.【詳解】依題意在回歸直線上,,由,估計(jì)第年維修費(fèi)用超過(guò)15萬(wàn)元.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查回歸直線過(guò)樣本中心點(diǎn)、以及回歸方程的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.4.B【解析】
復(fù)數(shù)為純虛數(shù),則實(shí)部為0,虛部不為0,求出,即得.【詳解】∵為純虛數(shù),∴,解得..故選:.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的分類,屬于基礎(chǔ)題.5.B【解析】∵,,∴①若為鈍角,則,由余弦定理得,解得;②若為銳角,則,同理得.故選B.6.B【解析】
直接利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到向量的坐標(biāo),利用求得參數(shù)m,再用計(jì)算即可.【詳解】依題意,,而,即,解得,則.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算、向量數(shù)量積的應(yīng)用,考查運(yùn)算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想.7.B【解析】
先根據(jù)平面的基本性質(zhì)確定平面,然后利用面面平行的性質(zhì)定理,得到截面的形狀再求解.【詳解】如圖所示:確定一個(gè)平面,因?yàn)槠矫嫫矫妫?,同理,所以四邊形是平行四邊?即正方體被平面截的截面.因?yàn)?,所以,即所以由余弦定理得:所以所以四邊形故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查平面的基本性質(zhì),面面平行的性質(zhì)定理及截面面積的求法,還考查了空間想象和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.8.B【解析】
由,則輸出為300,即可得出判斷框的答案【詳解】由,則輸出的值為300,,故判斷框中應(yīng)填?故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖的應(yīng)用問(wèn)題,解題時(shí)應(yīng)模擬程序框圖的運(yùn)行過(guò)程,以便得出正確的結(jié)論,是基礎(chǔ)題.9.B【解析】
根據(jù)可導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為,得出,再由等比數(shù)列的性質(zhì)可得.【詳解】解:依題意、是函數(shù)的極值點(diǎn),也就是的兩個(gè)根∴又是正項(xiàng)等比數(shù)列,所以∴.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)以應(yīng)用,屬于中檔題.10.B【解析】
計(jì)算出樣本在的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù),再減去樣本在的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)即可得出結(jié)果.【詳解】由題意可知,樣本在的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為,樣本在的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為,因此,樣本在、內(nèi)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用頻數(shù)分布表計(jì)算頻數(shù),要理解頻數(shù)、樣本容量與頻率三者之間的關(guān)系,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.11.C【解析】試題分析:畫(huà)出截面圖形如圖顯然A正三角形,B正方形:D正六邊形,可以畫(huà)出五邊形但不是正五邊形;故選C.考點(diǎn):平面的基本性質(zhì)及推論.12.C【解析】
因?yàn)榛梅降拿啃?、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和相等,可得,即得解.【詳解】因?yàn)榛梅降拿啃?、每列、每條對(duì)角線上的數(shù)的和相等,所以階幻方對(duì)角線上數(shù)的和就等于每行(或每列)的數(shù)的和,又階幻方有行(或列),因此,,于是.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)陣問(wèn)題,考查了學(xué)生邏輯推理,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
利用正弦定理將邊化角,即可容易求得結(jié)果.【詳解】由正弦定理可知,,即.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角互化,屬基礎(chǔ)題.14.【解析】
當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),函數(shù)為常數(shù),故需滿足,且,解得答案.【詳解】,當(dāng)時(shí),函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),函數(shù)為常數(shù),需滿足,且,解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式,意在考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用.15.【解析】的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為,,,項(xiàng)的系數(shù)是,故答案為(1),(2).16.【解析】
求導(dǎo)得到,討論和兩種情況,計(jì)算時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,故,不符合,排除,得到答案?!驹斀狻恳?yàn)椋?,因?yàn)?,所?當(dāng),即時(shí),,則在上單調(diào)遞增,從而,故符合題意;當(dāng),即時(shí),因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,且,所以存在唯一的,使得.令,得,則在上單調(diào)遞減,從而,故不符合題意.綜上,的取值范圍是.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了不等式恒成立問(wèn)題,轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(1)或;(2).【解析】
(1)通過(guò)討論的范圍,將絕對(duì)值符號(hào)去掉,轉(zhuǎn)化為求不等式組的解集,之后取并集,得到原不等式的解集;(2)將函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為曲線交點(diǎn)問(wèn)題解決,數(shù)形結(jié)合得到結(jié)果.【詳解】(1)有題不等式可化為,當(dāng)時(shí),原不等式可化為,解得;當(dāng)時(shí),原不等式可化為,解得,不滿足,舍去;當(dāng)時(shí),原不等式可化為,解得,所以不等式的解集為.(2)因?yàn)?,所以若函?shù)存在零點(diǎn)則可轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖像存在交點(diǎn),函數(shù)在上單調(diào)增,在上單調(diào)遞減,且.數(shù)形結(jié)合可知.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)不等式的問(wèn)題,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有分類討論求絕對(duì)值不等式的解集,將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為曲線交點(diǎn)的問(wèn)題來(lái)解決,數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,屬于簡(jiǎn)單題目.18.(1)(2)存在;實(shí)數(shù)的取值范圍是【解析】
(1)根據(jù)橢圓定義計(jì)算,再根據(jù),,的關(guān)系計(jì)算即可得出橢圓方程;(2)設(shè)直線方程為,與橢圓方程聯(lián)立方程組,求出的范圍,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出的中點(diǎn)坐標(biāo),求出的中垂線與軸的交點(diǎn)橫,得出關(guān)于的函數(shù),利用基本不等式得出的范圍.【詳解】(1)由題意可知,,.又,,,橢圓的方程為:.(2)若存在點(diǎn),使得以,為鄰邊的平行四邊形是菱形,則為線段的中垂線與軸的交點(diǎn).設(shè)直線的方程為:,,,,,聯(lián)立方程組,消元得:,△,又,故.由根與系數(shù)的關(guān)系可得,設(shè)的中點(diǎn)為,,則,,線段的中垂線方程為:,令可得,即.,故,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào),,且.的取值范圍是,.【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的性質(zhì),考查直線與橢圓的位置關(guān)系,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.19.Ⅰ詳見(jiàn)解析;Ⅱ①,②或.【解析】
Ⅰ可以通過(guò)已知證明出平面PAB,這樣就可以證明出;Ⅱ以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以AB,AD,AP為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,可以求出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),求出平面PBC的法向量為、平面PCD的法向量,利用空間向量的數(shù)量積,求出二面角的大小;求出平面PBC的法向量,利用線面角的公式求出的值.【詳解】證明:Ⅰ在圖1中,,,為平行四邊形,,,,當(dāng)沿AD折起時(shí),,,即,,又,平面PAB,又平面PAB,.解:Ⅱ以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以AB,AD,AP為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,由于平面ABCD則0,,0,,1,,0,,1,1,,1,,0,,設(shè)平面PBC的法向量為y,,則,取,得0,,設(shè)平面PCD的法向量b,,則,取,得1,,設(shè)二面角的大小為,可知為鈍角,則,.二面角的大小為.設(shè)AM與面PBC所成角為,0,,1,,,,平面PBC的法向量0,,直線AM與平面PBC所成的角為,,解得或.【點(diǎn)睛】本題考查了利用線面垂直證明線線垂直,考查了利用向量數(shù)量積,求二面角的大小以及通過(guò)線面角公式求定比分點(diǎn)問(wèn)題.20.(1);(2).【解析】
(1)利用定義法求出函數(shù)在上單調(diào)遞增,由和,求出,求出,運(yùn)用單調(diào)性求出不等式的解集;(2)由于恒成立,由(1)得出在上單調(diào)遞增,恒成立,設(shè),利用三角恒等變換化簡(jiǎn),結(jié)合恒成立的條件,構(gòu)造新函數(shù),利用單調(diào)性和最值,求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)設(shè),,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,又因?yàn)楹?,則,所以得解得,即,故的取值范圍為;(2)由于恒成立,恒成立,設(shè),則,令,則,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以,根據(jù)條件,只要,所以.【點(diǎn)睛】本題考查利用定義法求函數(shù)的單調(diào)性和利用單調(diào)性求不等式的解集,考查不等式恒成立問(wèn)題,還運(yùn)用降冪公式、兩角和與差的余弦公式、輔助角公式,考查轉(zhuǎn)化思想和解題能力.21.(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】
(1)由底面為菱形,得,再由底面,可得,結(jié)合線面垂直的判定可得平面;(2)以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以所在直線及過(guò)點(diǎn)且垂直于平面的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面與平面的一個(gè)法向量,由兩法向量所成角的余弦值可得平面與平面所成銳二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:底面為菱形,,底面,平面,又,平面,平面;(2)解:,,為等邊三角形,.底面,是直線與平面所成的角為,在中,由,解得.如圖,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以所在直線及過(guò)點(diǎn)且垂直于平面的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則,,,,.,,,.設(shè)平面與平面的一個(gè)法向量分別為,.由,取,得;由,取,得..平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面垂直的判定,考查空間想象能力
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