2024-2025學年人教版八年級(上)數(shù)學寒假作業(yè)（七）

第1頁（共1頁）2024-2025學年人教版八年級(上)數(shù)學寒假作業(yè)（七）一．選擇題（共5小題）1．（2024春?懷化期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，AB＝8cm，則BC的長度為（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm2．（2023秋?谷城縣期末）如圖，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，現(xiàn)有兩點M、N分別從點A、點B同時出發(fā)，沿三角形的邊運動，已知點M的速度為1cm/s，點N的速度為2cm/s．當點N第一次到達A點時，M、N同時停止運動．點M、N運動（）s后，可得到等邊△AMN．A．1 B．0.5 C．4 D．23．（2024秋?昭通月考）如圖所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點D，若∠B＝30°，BC＝8cm，則CD的長為（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm4．（2024秋?寧波期中）下列條件中，可以判定△ABC是等腰三角形的是（）A．∠B＝40°，∠C＝80° B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C．2∠A＝∠B+∠C D．三個角的度數(shù)之比是2：2：15．（2024秋?長春月考）如圖，已知△ABD是等邊三角形，BC＝DC，E是AD上的點，CE∥AB，與BD交于點F．若∠CBD＝40°，則∠DCE的度數(shù)為（）A．40° B．20° C．2° D．25°二．填空題（共5小題）6．（2024?武威三模）如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分線交于O點，過點O作BC的平行線交AB于M點，交AC于N點，則△AMN的周長為．7．（2024秋?啟東市期中）如圖，D為△ABC內(nèi)一點，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足為D，交AC于點E，若∠A＝∠ABE，AC＝10，BC＝6，則BD的長為．8．（2024秋?綦江區(qū)期中）若一個等腰三角形的兩邊長分別為4和9，則該等腰三角形的周長為．9．（2024秋?龍亭區(qū)校級期中）某數(shù)學興趣小組開展了一次活動，過程如下：設(shè)∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）．現(xiàn)把小棒依次擺放在兩射線之間，并使小棒兩端分別落在射線AB、AC上．從點A1開始，用等長的小棒依次向右擺放，其中A1A2為第一根小棒，且A1A2＝AA1，若只能擺放4根小棒，則θ的范圍為．10．（2023秋?甘井子區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN經(jīng)過點O與AB、AC相交于點M、N，且MN∥BC，AB＝6，AC＝10，△AMN的周長為．三．解答題（共5小題）11．（2024秋?中山區(qū)校級期中）如圖所示，∠ABC的平分線BF與△ABC中∠ACB的相鄰外角的平分線CF相交于點F，過F作DF∥BC，交BA延長線于D，交CA延長線于E，延長BC至M，試說明BD，CE，DE之間的數(shù)量關(guān)系．12．（2024秋?佳木斯月考）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，O是AB的中點，點D，E分別在直角邊AC，BC上，且∠DOE＝90°，DE交OC于點P．（1）求證：△AOD≌△COE；（2）直接寫出△ABC的面積與四邊形CDOE的面積的數(shù)量關(guān)系．13．（2024秋?荷塘區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，BE⊥AB，點D為BC上一點，且CD＝BE，AD，CE交于點P．（1）試說明△ACD≌△CBE；（2）猜想∠APC的度數(shù)，并證明．14．（2024春?鄄城縣期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BD分∠ABC交AC于點D，過點D作DE∥AB交BC于點E，DF⊥AB，垂足為點F．（1）求證：BE＝DE；（2）若DE＝2，DF=3，求15．（2024秋?周村區(qū)期中）已知△ABC是等邊三角形，將一塊含有30°角的直角三角尺DEF按如圖所示放置，讓三角尺在BC所在的直線上向右平移．如圖1，當點E與點B重合時，點A恰好落在三角尺的斜邊DF上．（1）利用圖1證明：EF＝2BC；（2）如圖2，在三角尺平移過程中，設(shè)AB，AC與三角尺的斜邊的交點分別為G，H，猜想線段AH與BE存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．

2024-2025學年人教版八年級(上)數(shù)學寒假作業(yè)（七）參考答案與試題解析題號12345答案CCBDB一．選擇題（共5小題）1．（2024春?懷化期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，AB＝8cm，則BC的長度為（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm【考點】含30度角的直角三角形．【專題】等腰三角形與直角三角形；幾何直觀；運算能力．【答案】C【分析】先求出∠A＝30°，再根據(jù)含有30°角的直角三角形性質(zhì)可得BC的長．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，AB＝8cm，∴∠A＝30°，∴BC=12AB＝4（故選：C．【點評】此題主要考查了含有30°角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握含有30°角的直角三角形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．2．（2023秋?谷城縣期末）如圖，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，現(xiàn)有兩點M、N分別從點A、點B同時出發(fā)，沿三角形的邊運動，已知點M的速度為1cm/s，點N的速度為2cm/s．當點N第一次到達A點時，M、N同時停止運動．點M、N運動（）s后，可得到等邊△AMN．A．1 B．0.5 C．4 D．2【考點】等邊三角形的判定；等邊三角形的性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】C【分析】設(shè)點M、N運動xs后，可得到等邊△AMN，求出AM＝xcm，AN＝（12﹣2x）cm，由等邊三角形的性質(zhì)得到∠A＝60°，當AM＝AN時，△AMN是等邊三角形，得到x＝12﹣2x，求出x＝4，即可得到答案．【解答】解：設(shè)點M、N運動xs后，可得到等邊△AMN，∴AM＝xcm，AN＝AB﹣BN＝（12﹣2x）cm，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝60°，∴AM＝AN時，△AMN是等邊三角形，∴x＝12﹣2x，∴x＝4，∴點M、N運動4s后，可得到等邊△AMN．故選：C．【點評】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握等邊三角形的判定：有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形．3．（2024秋?昭通月考）如圖所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點D，若∠B＝30°，BC＝8cm，則CD的長為（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【考點】含30度角的直角三角形；直角三角形的性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】B【分析】求出∠CAD＝30°，利用含30°的直角三角形的性質(zhì)求出AC＝4cm，則CD可求出．【解答】解：∵∠BAC＝90°，∠B＝30°，∴∠C＝90°﹣∠B＝60°，∵AD⊥BC于點D，∴∠CAD＝30°，∴在Rt△ABC中，AC=∴Rt△ACD中，CD=故選：B．【點評】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形，利用含30°的直角三角形的性質(zhì)求出CD的長是解題的關(guān)鍵．4．（2024秋?寧波期中）下列條件中，可以判定△ABC是等腰三角形的是（）A．∠B＝40°，∠C＝80° B．∠A：∠B：∠C＝1：2：3 C．2∠A＝∠B+∠C D．三個角的度數(shù)之比是2：2：1【考點】等腰三角形的判定；三角形內(nèi)角和定理．【專題】三角形；等腰三角形與直角三角形；運算能力；推理能力．【答案】D【分析】根據(jù)選項中△ABC三個角的關(guān)系，利用三角形的內(nèi)角和定理可分別求出△ABC三個角的度數(shù)，進而根據(jù)等腰三角形的判定可得出答案．【解答】解：對于選項A，∵∠B＝40°，∠C＝80°∴∠A＝180°﹣（∠B+∠C）＝60°，故選項A不能判定△ABC為等腰三角形；對于選項B，∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，可設(shè)∠A＝k，∠B＝2k，∠C＝3k，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴k+2k+3k＝180°，解得：k＝30°，∴∠A＝k＝30°，∠B＝2k＝60°，∠C＝3k＝90°，故選項B不能判定△ABC為等腰三角形；對于選項C，∵2∠A＝∠B+∠C，又∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴3∠A＝180°，解得：∠A＝60°，此時不能確定∠B和∠C的度數(shù)，無法判定△ABC的形狀，故選項C不能判定△ABC為等腰三角形；對于選項D，∵三個角的度數(shù)之比是2：2：1，不妨假設(shè)∠A：∠B：∠C＝2：2：1，可設(shè)∠A＝2k，∠B＝2k，∠C＝k，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴2k+2k+2＝180°，解得：k＝36°，∴∠A＝2k＝72°，∠B＝2k＝72°，∠C＝k＝36°，∵∠A＝∠B，∴△ABC為等腰三角形，故選項D可以判定△ABC為等腰三角形．故選：D．【點評】此題主要考查了等腰三角形的判定，三角形的內(nèi)角和定理，理解等腰三角形的判定，靈活利用三角形的內(nèi)角和定理進行角度的計算是解決問題的關(guān)鍵．5．（2024秋?長春月考）如圖，已知△ABD是等邊三角形，BC＝DC，E是AD上的點，CE∥AB，與BD交于點F．若∠CBD＝40°，則∠DCE的度數(shù)為（）A．40° B．20° C．2° D．25°【考點】等邊三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)．【專題】線段、角、相交線與平行線；等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】B【分析】由等邊三角形的性質(zhì)求出∠ABD＝60°，由CE∥AB得∠ABD＝∠EFD＝60°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠CDB＝∠CBD＝40°，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠DCE的度數(shù)即可．【解答】解：∵△ABD是等邊三角形，∴∠ABD＝60°，∵CE∥AB，∴∠ABD＝∠EFD＝60°，∵BC＝BD，∠CBD＝40°，∴∠CDB＝∠CBD＝40°，∵∠DCE+∠CDB＝∠EFD，∴∠DCE＝20°，故選：B．【點評】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，熟記等邊三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）6．（2024?武威三模）如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC和∠ACB的平分線交于O點，過點O作BC的平行線交AB于M點，交AC于N點，則△AMN的周長為10．【考點】等腰三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】利用角平分線及平行線性質(zhì)，結(jié)合等腰三角形的判定得到MB＝MO，NC＝NO，將三角形AMN周長轉(zhuǎn)化，求出即可．【解答】解：∵BO為∠ABC的平分線，CO為∠ACB的平分線，∴∠ABO＝∠CBO，∠ACO＝∠BCO，∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC，∠NOC＝∠BCO，∴∠ABO＝∠MOB，∠NOC＝∠ACO，∴MB＝MO，NC＝NO，∴MN＝MO+NO＝MB+NC，∵AB＝4，AC＝6，∴△AMN周長為AM+MN+AN＝AM+MB+AN+NC＝AB+AC＝10，故答案為：10【點評】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，以及平行線的性質(zhì)，熟練掌握各自的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．7．（2024秋?啟東市期中）如圖，D為△ABC內(nèi)一點，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足為D，交AC于點E，若∠A＝∠ABE，AC＝10，BC＝6，則BD的長為2．【考點】等腰三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】由已知條件判定△BEC的等腰三角形，且BC＝CE；由等角對等邊判定AE＝BE，則易求BD＝2．【解答】解：如圖，∵CD平分∠ACB，BE⊥CD，則∠BCD＝∠ECD，∠BDC＝∠EDC＝90°，在△BCD和△ECD中，∠BCD∴△BCD≌△ECD（ASA），∴BC＝CE．又∵∠A＝∠ABE，∴AE＝BE．∴BD=∵AC＝10，BC＝6，∴BD=故答案是：2．【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2024秋?綦江區(qū)期中）若一個等腰三角形的兩邊長分別為4和9，則該等腰三角形的周長為22．【考點】等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系．【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】22．【分析】分腰長為4和腰長為9兩種情況進行分析，三角形的三條邊需滿足兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．【解答】解：①當腰長為4時，4、4、9，4+4＜9，不能夠組成三角形；②當腰長為9時，4、9、9，能夠組成三角形，此時周長＝4+9+9＝22．∴這個等腰三角形的周長是22．故答案為：22．【點評】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2024秋?龍亭區(qū)校級期中）某數(shù)學興趣小組開展了一次活動，過程如下：設(shè)∠BAC＝θ（0°＜θ＜90°）．現(xiàn)把小棒依次擺放在兩射線之間，并使小棒兩端分別落在射線AB、AC上．從點A1開始，用等長的小棒依次向右擺放，其中A1A2為第一根小棒，且A1A2＝AA1，若只能擺放4根小棒，則θ的范圍為18°≤θ＜22.5°．【考點】等腰三角形的性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)．【專題】三角形；推理能力．【答案】18°≤θ＜22.5°．【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角定理推出∠A2A1A3＝2∠BAC＝2θ，∠A3A2A4＝3θ，∠A4A3C＝4θ，∠A5A4B＝∠A5A6A＝5θ，根據(jù)只能擺放4根小棒，列出不等式組求解即可．【解答】解：如圖，∵AA1＝A1A2，∴∠AA2A1＝∠A，∴∠A2A1A3＝∠AA2A1+∠A＝2∠BAC＝2θ，∵A1A2＝A2A3，∴∠A2A1A3＝∠A2A3A1＝2θ，∴∠A3A2A4＝∠A+∠A2A3A1＝θ+2θ＝3θ，∵A2A3＝A3A4，∴∠A3A2A4＝∠A3A4A＝3θ，∴∠A4A3C＝∠A3A4A+∠BAC＝4θ，同理∠A5A4B＝∠A5A6A＝5θ，∵只能擺放4根小棒，∴4θ＜90°且5θ≥90°，解得：18°≤θ＜22.5°，故答案為：18°≤θ＜22.5°．【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角定理，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形“等邊對等角”，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角之和．10．（2023秋?甘井子區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN經(jīng)過點O與AB、AC相交于點M、N，且MN∥BC，AB＝6，AC＝10，△AMN的周長為16．【考點】等腰三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)．【專題】線段、角、相交線與平行線；等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】16．【分析】根據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可證△BMO和△CNO是等腰三角形，從而得到MB＝MO，NC＝NO，然后利用等量代換可得到△AMN的周長為AB+AC，進行計算即可解答．【解答】解：∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠MBO＝∠CBO，∠NCO＝∠BCO，∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠CBO，∠NOC＝∠BCO，∴∠MBO＝∠MOB，∠NCO＝∠NOC，∴MB＝MO，NC＝NO，∴△AMN的周長為：AM+MN+AN＝AM+MO+NO+AN＝AM+BM+CN+AN＝AB+AC＝16，故答案為：16．【點評】本題主要考查了平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是平行線性質(zhì)的熟練掌握．三．解答題（共5小題）11．（2024秋?中山區(qū)校級期中）如圖所示，∠ABC的平分線BF與△ABC中∠ACB的相鄰外角的平分線CF相交于點F，過F作DF∥BC，交BA延長線于D，交CA延長線于E，延長BC至M，試說明BD，CE，DE之間的數(shù)量關(guān)系．【考點】等腰三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)．【專題】線段、角、相交線與平行線；等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】CE＝BD+DE，理由見解析．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠DFB＝∠CBF，∠FCM＝∠CFE，根據(jù)角平分線的定義得出∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCM，于是推出∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝CFE，再根據(jù)等腰三角形的判定即可得出BD＝DF，CE＝EF，從而問題得證．【解答】解：CE＝BD+DE，理由：∵DF∥BC，∴∠DFB＝∠CBF，∠FCM＝∠CFE，∵∠ABC的平分線BF與△ABC中∠ACB的相鄰外角的平分線CF相交于點F，∴∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCM，∴∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝CFE，∴BD＝DF，CE＝EF，∵EF＝DF+DE，∴CE＝BD+DE．【點評】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握這兩個定理是解題的關(guān)鍵．12．（2024秋?佳木斯月考）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，O是AB的中點，點D，E分別在直角邊AC，BC上，且∠DOE＝90°，DE交OC于點P．（1）求證：△AOD≌△COE；（2）直接寫出△ABC的面積與四邊形CDOE的面積的數(shù)量關(guān)系．【考點】等腰三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；運算能力．【答案】（1）見解析；（2）△ABC的面積等于四邊形CDOE的面積的2倍．【分析】（1）根據(jù)題意可求得AO＝CO，∠AOD＝∠COE，∠OAD＝∠OCE，進而可求得結(jié)論；（2）根據(jù)S四邊形CDOE＝S△COD+S△COE＝S△COD+S△AOD＝S△AOC，即可求得答案．【解答】（1）證明：由題意可得：∴∠ACO＝∠OCE＝45°，∠AOC＝90°．∴△AOC為等腰直角三角形．∴AO＝CO，∠OAD＝45°．∴∠OAD＝∠OCE．∵∠AOD+∠DOC＝∠DOC+∠COE＝90°，∴∠AOD＝∠COE．在△AOD和△COE中，∠AOD∴△AOD≌△COE（ASA）；（2）解：S四邊形即△ABC的面積等于四邊形CDOE的面積的2倍．【點評】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)及判定，正確記憶相關(guān)知識點是解題關(guān)鍵．13．（2024秋?荷塘區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，BE⊥AB，點D為BC上一點，且CD＝BE，AD，CE交于點P．（1）試說明△ACD≌△CBE；（2）猜想∠APC的度數(shù)，并證明．【考點】等腰三角形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】等腰三角形與直角三角形；運算能力．【答案】（1）見解析；（2）60°，證明見解析．【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理可得∠CAB＝∠CBA＝30°，從而得到∠ACB＝∠CBE，由SAS即可證明△ACD≌△CBE；（2）由（1）得△ACD≌△CBE，從而可得∠CAP＝∠PCD，由∠ACP+∠PCD＝120°得到∠CAP+∠ACP＝120°，最后由三角形內(nèi)角和定理進行計算即可得到答案．【解答】（1）證明：∵AC＝BC，∠ACB＝120°，∴∠CAB＝∠CBA＝30°，∵BE⊥AB，∴∠CBE＝30°+90°＝120°，∴∠ACB＝∠CBE，在△ACD和△CBE中，AC=∴△ACD≌△CBE（SAS）；（2）解：∠APC＝60°，理由如下：∵△ACD≌△CBE，∴∠CAP＝∠PCD，∵∠ACP+∠PCD＝120°，∴∠CAP+∠ACP＝120°，∴∠APC＝180°﹣120°＝60°．【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，是解題的關(guān)鍵．14．（2024春?鄄城縣期末）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BD分∠ABC交AC于點D，過點D作DE∥AB交BC于點E，DF⊥AB，垂足為點F．（1）求證：BE＝DE；（2）若DE＝2，DF=3，求【考點】等腰三角形的判定；角平分線的性質(zhì)．【答案】（1）詳見解答；（2）23．【分析】（1）利用角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)先說明∠CBD＝∠EDB，再利用等腰三角形的判定得結(jié)論；（2）利用角平分線的性質(zhì)先得到CD＝DF，再在Rt△CDE中利用勾股定理求出CE的長，最后在Rt△CDB中利用勾股定理求出BD的長．【解答】（1）證明：∵BD分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD．∵DE∥AB，∴∠EDB＝∠ABD．∴∠CBD＝∠EDB．∴DE＝EB．（2）解：∵∠C＝90°，∴DC⊥BC．又∵BD分∠ABC交AC于點D，DF⊥AB，∴CD＝DF=3在Rt△CDE中，CE=DE∵DE＝EB＝2，∴BC＝CE+EB＝3．在Rt△CDB中，BD=CD2【點評】本題主要考查了角平分線和等腰三角形，掌握角平分線的性質(zhì)和等腰三角形的判定、勾股定理是解決本題的關(guān)鍵．15．（2024秋?周村區(qū)期中）已知△ABC是等邊三角形，將一塊含有30°角的直角三角尺DEF按如圖所示放置，讓三角尺在BC所在的直線上向右平移．如圖1，當點E與點B重合時，點A恰好落在三角尺的斜邊DF上．（1）利用圖1證明：EF＝2BC；（2）如圖2，在三角尺平移過程中，設(shè)AB，AC與三角尺的斜邊的交點分別為G，H，猜想線段AH與BE存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．【考點】等邊三角形的性質(zhì)；平移的性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)．【專題】線段、角、相交線與平行線；平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；推理能力．【答案】（1）證明見解析；（2）AH＝BE，證明見解析．【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)證明AC＝BC，∠CAF＝∠F，進而可證明CA＝CF，據(jù)此根據(jù)線段的和差關(guān)系即可證明結(jié)論；（2）同（1）可證明CF＝CH，再由（1）的結(jié)論和線段的和差關(guān)系即可得到結(jié)論．【解答】（1）證明：由題意得，∠F＝30°，∵△ABC是等邊三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°，∴∠CAF＝∠ACB﹣∠F＝60°﹣30°＝30°，∴∠CAF＝∠F＝30°，∴CA＝CF，∴BC＝CF，∴EF＝2BC；（2）解：AH＝BE，證明如下：∵△ABC是等邊三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°，∴∠CHF＝∠ACB﹣∠F＝60°﹣30°＝30°，∴∠CHF＝∠F，∴CF＝CH，∵EF＝2BC，∴BE+CF＝BC，又∵AC＝AH+CH，AC＝BC，∴AH＝BE．【點評】本題主要考查了等邊三角形性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，關(guān)鍵是等邊三角形性質(zhì)的熟練掌握．

考點卡片1．平行線的性質(zhì)1、平行線性質(zhì)定理定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡單說成：兩直線平行，同位角相等．定理2：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補．簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等．簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．2、兩條平行線之間的距離處處相等．2．三角形三邊關(guān)系（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊．（2）在運用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時并不一定要列出三個不等式，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個三角形．（3）三角形的兩邊差小于第三邊．（4）在涉及三角形的邊長或周長的計算時，注意最后要用三邊關(guān)系去檢驗，這是一個隱藏的定時炸彈，容易忽略．3．三角形內(nèi)角和定理（1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個三角形都有三個內(nèi)角，且每個內(nèi)角均大于0°且小于180°．（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．（3）三角形內(nèi)角和定理的證明證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個內(nèi)角移到一起，組合成一個平角．在轉(zhuǎn)化中借助平行線．（4）三角形內(nèi)角和定理的應用主要用在求三角形中角的度數(shù)．①直接根據(jù)兩已知角求第三個角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法求三個角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角．4．三角形的外角性質(zhì)（1）三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六個外角，其中有公共頂點的兩個相等，因此共有三對．（2）三角形的外角性質(zhì)：①三角形的外角和為360°．②三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和．③三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內(nèi)角．（3）若研究的角比較多，要設(shè)法利用三角形的外角性質(zhì)②將它們轉(zhuǎn)化到一個三角形中去．（4）探究角度之間的不等關(guān)系，多用外角的性質(zhì)③，先從最大角開始，觀察它是哪個三角形的外角．5．全等三角形的判定與性質(zhì)（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件．（2）在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構(gòu)造三角形．6．角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．注意：①這里的距離是指點到角的兩邊垂線段的長；②該性質(zhì)可以獨立作為證明兩條線段相等的依據(jù)，有時不必證明全等；③使用該結(jié)論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質(zhì)語言：如圖，∵C在∠AOB的平分線上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE7．等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個底角相等．【簡稱：等邊對等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個元素中，從中任意取出兩個元素當成條件，就可以得到另外兩個元素為結(jié)論．8．等腰三角形的判定判定定理：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等．【簡稱：等角對等邊】說明：①等腰三角形是一個軸對稱圖形，它的定義既作為性質(zhì)，又可作為判定辦法．②等腰三角形的判定和性質(zhì)互逆；③在判定定理的證明中，可以作未來底邊的高線也可以作未來頂角的角平分線，但不能作未來底邊的中線；④判定定理在同一個三角形中才能適用．9．等腰三角形的判定與性質(zhì)1、等腰三角形提供了好多相等的線段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是證明線段相等、角相等的重要手段．2、在等腰三角形有關(guān)問題中，會遇到一些添加輔助線的問題，其頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見的輔助線，雖然“三線合一”，但添加輔助線時，有時作哪條線都可以，有時不同的做法引起解決問題的復雜程度不同，需要具體問題具體分析．3、等腰三角形性質(zhì)問題都可以利用三角形全等來解決，但要注意糾正不顧條件，一概依賴全等三角形的思維定勢，凡可以直接利用等腰三角形的問題，應當優(yōu)先選擇簡便