2025年滬科版八年級數(shù)學寒假復習 專題06 軸對稱圖形與等腰三角形

專題06軸對稱圖形與等腰三角形考點聚焦：核心考點+中考考點，有的放矢重點專攻：知識點和關鍵點梳理，查漏補缺提升專練：真題感知+精選專練，全面突破知識點1：軸對稱圖形1.軸對稱圖形如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸.這時，我們也說這個圖形關于這條直線(成軸)對稱.注意：(1)軸對稱圖形是指一個圖形，圖形被軸分成的兩部分能夠互相重合.(2)一個軸對稱圖形的對稱軸不一定只有1條，也可以有兩條或多條.如正方形、圓等.2.軸對稱把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線(成軸)對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點是對應點，叫做對稱點.兩個圖形關于直線對稱也叫做軸對稱.3.軸對稱的特征：①有兩個圖形.②沿某一條直線對折后能夠完全重合，③對稱軸是直線.4.軸對稱和軸對稱圖形之間有區(qū)別也有聯(lián)系，（1）

區(qū)別是：軸對稱是兩個圖形的位置關系，軸對稱圖形是某一個圖形具有軸對稱這一特征．（2）聯(lián)系是：把成軸對稱的兩個圖形看成一個圖形時是軸對稱圖形；將軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，這兩個圖形關于這條對稱軸成軸對稱．5.線段的垂直平分線線段的垂直平分線的性質和判定是互逆的，角平分線的性質和判定也是互逆的，經(jīng)常配合三角形全等進行運用．6.圖形軸對稱的性質(1)如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.(2)軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.注意：(1)軸對稱圖形(或關于某條直線對稱的兩個圖形)的對應線段(對折后亞合的線段)相等，對應角(對折后重合的角)相等.(2)成軸對稱的兩個圖形全等；軸對稱圖形被對稱軸分成的兩部分也全等，但全等的兩個圖形不一定是軸對稱圖形.7.線段的垂直平分線的性質與判定(1)線段的垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.(2)與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.8.畫軸對稱圖形幾何圖形都可看作由點組成，我們只要分別畫出這些點關于對稱軸的對稱點，再連接這些對稱點，就可得到原圖形的軸對稱圖形；對于一些由直線、線段或射線組成的圖形，只要畫出圖形中的一些特殊點(如線段端點)關于對稱軸的對稱點，連接這些對稱點，就可得到原圖形的軸對稱圖形.畫軸對稱圖形的方法步驟：(1)找——在原圖形找到特殊點.(2)畫——作出一些關鍵點或特殊點的對稱點.(3)連——按原圖形的連接方式連接所得到的對稱點，即得到原圖形的軸對稱圖形.9.用坐標表示軸對稱（1）關于坐標軸對稱①點(x,y)關于x軸對稱的點的坐標是(x,-y).②點(x,y)關于y軸對稱的點的坐標是(-x,y).③點P(x,y)關于第一、三象限角平分線對稱的點的坐標是(y,x).④點P(x,y)關于第二、四象限角平分線對稱的點的坐標是(-y,-x).（2）在坐標系中畫軸對稱圖形的方法①計算——計算對稱點的坐標.②描點——根據(jù)對稱點的坐標描點.③連接——依次連接所描各點得到軸對稱圖形.知識點2：等腰三角形1.等腰三角形的相關概念有兩條邊相等的三角形是等腰三角形.相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊.兩腰所央的角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角.2.等腰三角形的性質(1)性質1:等腰三角形的兩個底角相等(簡寫成“等邊對等角”).注意：①性質1是等腰三角形的重要性質，是證明角相等常用的方法.②應用這個性質時，必須在一個三角形中.(2)性質2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合(簡寫成“三線合一”).注意：①應用“三線合一”性質的前提條件是“在等腰三角形中“,且必須是底邊上的中線、底邊上的高和頂角的平分線互相重合，若是一腰上的高和中線就不一定重合.②等腰三角形是軸對稱圖形，頂角的平分線(或底邊上的高，底邊上的中線)所在的直線是它的對稱軸.3.等腰三角形的判定：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(簡寫成“等角對等邊”).4.等邊三角形的定義三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，也叫做正三角形.5.等邊三角形的性質(1)等邊三角形的三個內角都相等，并且每一個角都等于60°.(2)等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸，三條對稱軸交于一點，該點稱為“中心”.(3)等邊三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性質.6.等邊三角形的判定方法(1)三條邊都相等的三角形是等邊三角形.(2)三個角都相等的三角形是等邊三角形.(3)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.7.含30°角的直角三角形的性質在直角三角形中，如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.題型歸納【考點01軸對稱圖形的識別】1．（24-25八年級上·河南信陽·期末）下列四個選項中，是軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．2．（23-24八年級上·安徽安慶·期末）下列四種網(wǎng)絡運營商的標志中，為軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．3．（24-25八年級上·重慶·期中）下列圖案中，不是軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．4．（23-24八年級上·湖南長沙·期末）下面的圖形是軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．【考點02軸對稱的特征與性質】1．（23-24八年級上·河北唐山·期末）下列圖形中，與成軸對稱的是（

）A．

B．

C．

D．

2．（23-24八年級上·江西贛州·期末）如圖，彈性小球從點出發(fā)，沿所示方向運動，每當小球碰到矩形的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角，當小球第1次碰到矩形的邊時的點為，第2次碰到矩形的邊時的點為，……；第2024次碰到矩形的邊時的點為圖中的（

）

A．點 B．點 C．點 D．點3．（24-25八年級上·江蘇淮安·期中）如圖，在銳角中，，的面積為，平分，若M、N分別是、上的動點，則的最小值是．4．（24-25八年級上·安徽阜陽·期中）如圖，，點、分別在射線、，，的積為3，則三角形的邊上的高是；是直線上的動點，點關于對稱的點為，點關于對稱的點為，當點在直線上運動時，三角形的面積最小值為．【考點03折疊問題】1．（23-24八年級上·廣西欽州·期末）在中，將，按如圖方式折疊，點B，C均落在邊上的點G處，線段，為折痕．若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．2．（23-24八年級上·湖北宜昌·期末）如圖，將沿直線折疊后，使點B與點A重合．已知，的周長為，則的長（

）A． B． C． D．3．（23-24八年級上·遼寧大連·期末）如圖的三角形紙片中，，，，沿過點B的直線折疊這個三角形，使點C落在邊上的點E處，折痕為，則的周長為（

）．A．6 B．7 C．8 D．114．（24-25八年級上·山西陽泉·期中）綜合與探究問題情境：已知，點，分別在射線，上，連接，是的平分線．獨立思考：（1）如圖1，若所在的直線交的平分線于點．①當時，______；當時，______；②當點，分別在射線，上運動時（不與點重合），試問：隨著點，的運動，的大小會發(fā)生變化嗎？如果不會，請求出的度數(shù)；如果會，請求出度數(shù)的變化范圍．拓展延伸：（2）如圖2，當所在的直線交的平分線于點，點，分別在，上時，將沿折疊，使點落在內的點處，求的度數(shù)．【考點04畫軸對稱圖形】1．（24-25八年級上·江西贛州·期中）如圖，在平面直角坐標系中，的三個頂點分別為、、．(1)請在圖中作出關于軸的軸對稱圖形（、、的對稱點分別是、、），并直接寫出、、的坐標；(2)求的面積．2．（23-24八年級上·河北石家莊·期末）如圖，中，已知點，，．(1)作關于x軸對稱的；(2)分別寫出點、、關于y軸對稱的點的坐標．3．（24-25八年級上·遼寧沈陽·期中）如圖，在直角坐標系中有，其中、、，(1)畫出關于軸的對稱圖形，點的坐標為______，點的坐標為______；(2)在軸上有一點，當最小時，畫出點的位置；(3)在軸上有一點，使，則點的坐標為______．4．（24-25八年級上·北京·期中）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為，，的頂點都在網(wǎng)格線的交點上，在圖中建立平面直角坐標系，使與關于軸對稱，且點的坐標為．(1)在圖中畫出平面直角坐標系；(2)①寫出點關于軸的對稱點的坐標；②畫出關于軸對稱的圖形，其中點的對稱點是，點的對稱點是．【考點05坐標與軸對稱】1．（24-25八年級上·甘肅定西·期末）點P關于y軸對稱點的坐標是（）A． B． C． D．2．（24-25八年級上·云南曲靖·期末）已知直角坐標系中點和點關于y軸對稱，則．3．（24-25八年級上·浙江臺州·期中）已知點關于y軸的對稱點是，則．4．（24-25八年級上·安徽淮南·期中）已知點，規(guī)定一次變換是：先作點關于軸對稱，再將對稱點向右平移1個單位長度，則連續(xù)經(jīng)過2024次變換后，點的坐標變?yōu)椋究键c06線段垂直平分線】1．（23-24八年級上·河北石家莊·期末）如圖，在中，，直線m是中邊的垂直平分線，P是直線m上的一動點，則的周長的最小值為．2．（23-24八年級上·江蘇·期中）如圖，四邊形的對角線、相交于點，，下列結論：①；②；③；④．其中不正確結論的序號是．3．（24-25八年級上·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，中，，的垂直平分線與相交于點D，若的周長是9，則的長為．4．（22-23八年級下·甘肅張掖·期末）如圖，在中，點是邊上的一點，連接，垂直平分，垂足為，交于點．連接．(1)若的周長為，的周長為，求的長；(2)若，，求的度數(shù)．【考點07等邊對等角】1．（24-25八年級上·四川宜賓·期中）如圖，在中，的平分線交于點D，過點D作交于點E，交于點F．若，則的周長是（）A．17 B．18 C．20 D．222．（23-24八年級上·上海長寧·期末）如圖，在中，，，邊的垂直平分線交于，若，則．3．（23-24八年級上·四川眉山·期末）如圖，在中，，，，分別是邊，，AB上的點，且，．若，則的度數(shù)為°．4．（24-25八年級上·江蘇無錫·期中）如圖，在中，、分別垂直平分和，交于M、N兩點，與相交于點F．(1)若，求的周長；(2)若，則的度數(shù)為．【考點08三線合一】1．（24-25八年級上·廣西柳州·期中）如圖．在中，平分，交于點，點分別為上的動點，若的面積為6，則的最小值為（

）A．2 B．5 C．3.5 D．32．（23-24八年級上·安徽安慶·期末）如圖，在中，、是上兩點，且，，、分別平分、，、交于點，求證：點到的三個頂點的距離相等．3．（23-24八年級上·云南紅河·期末）如圖，在中，，D為直線上一動點（不與點B，C重合），在的右側作，使得，連接．(1)當D在線段上時，求證：．(2)請判斷點D在何處時，，并說明理由．(3)當時，若中最小角為，直接寫出的度數(shù)．4．（22-23八年級上·湖北武漢·期末）如圖，中，，，點D在斜邊上，且，過點B作交直線于點E，過點A作于點F．(1)求的度數(shù)；(2)求證：．【考點09等角對等邊】1．（22-23八年級上·安徽合肥·期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，與軸交于，點為延長線上一動點，以為直角邊在其上方作等腰三角形，連接．(1)求證；(2)求直線與軸交點的坐標．2．（23-24八年級上·安徽亳州·期末）如圖，在中，是斜邊上的高線，是的平分線．(1)若，求的度數(shù)；(2)求證：．3．（23-24八年級上·安徽合肥·期末）如圖，點E，F(xiàn)在上，與交于點O，，求的長．4．（23-24八年級上·山東濟寧·期末）如圖，是的角平分線，交的延長線于點．是上一點，，作交的延長線于點，交于點．(1)求證：；(2)若，，求的長．【考點10等腰三角形的性質和判定】1．（23-24八年級上·四川眉山·期末）如圖，在中，，過點作于點，過點作于點，連接，過點作，交于點．與相交于點，若點是的中點，則下列結論中，①；②；③；④．正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（24-25八年級上·全國·期末）如圖，在中，，點為線段上一動點（不與點，重合），連接，作，交線段于點，下列結論：①；②若，則；③當時，為中點；④當為等腰三角形時，．其中正確的有（填序號）．3．（24-25八年級上·全國·期末）已知：如圖，為的角平分線，且為延長線上的一點，，過E作，F(xiàn)為垂足，下列結論：①；②；③；④．其中正確的是．（只填序號）4．（23-24八年級上·湖北宜昌·期末）在平面直角坐標系中，點為坐標原點，，，且滿足．(1)求點的坐標．(2)為軸上一動點，連接，過點在線段上方作，且．①如圖1，若點在軸正半軸上，點在第一象限，連接，過點作的平行線交軸于點，求點的坐標（用含的式子表示）．②如圖2，連接，探究當取最小值時，線段與的關系．【考點11含30°角的直角三角形】1．（23-24八年級上·安徽安慶·期末）如圖，中，，是斜邊上的高，，，則的長為（

）A． B． C． D．2．（24-25八年級上·山東日照·期中）如圖，是邊長為的等邊三角形，點，分別從頂點，同時出發(fā)，沿線段，運動，且它們的速度都為．當點到達點時，兩點停止運動．設點的運動時間為．當時，是直角三角形．3．（23-24八年級上·福建廈門·期末）如圖，等邊三角形中，，點D是上一點，且．若點E是y軸正半軸上一動點，F(xiàn)是線段上一動點．當?shù)闹底钚r，點F的橫坐標為．（用含a的式子表示）4．（23-24八年級上·云南紅河·期末）如圖，是邊長為9的等邊三角形，P是邊上的動點，由點A向點C運動（與A，C不重合），Q是延長線上的動點，與點P以相同的速度同時由點B向延長線方向運動（點Q不與點B重合），過點P作于點E，連接交AB于D．(1)當時，求的長；(2)過P作交AB于M．①求證：是等邊三角形；②求線段的長．【考點12等邊三角形的性質和判定】1．（24-25八年級上·浙江杭州·期末）如圖，點P是內部一點，點關于，的對稱點分別是，，直線交，于點，，若的周長是15，且，則的長為（

）A． B． C． D．52．（24-25八年級上·全國·期末）如圖，在等腰直角三角形中，，，以為邊作等邊三角形，點，分別在線段，上，，，與相交于點，延長交于點．(1)求證：是等邊三角形；(2)試判斷線段和的數(shù)量關系，并說明理由．3．（22-23八年級上·廣東東莞·期末）是等邊三角形，點D是邊上動點，，把沿對折，得到．(1)如圖1，若，則______°．(2)如圖2，點P在延長線上，且．①連接，試探究之間是否存在一定數(shù)量關系，猜想并說明理由．②連接，若，C，P三點共線，，求的長．4．（22-23八年級上·湖南衡陽·期末）已知：為等邊三角形．(1)如圖1，點D、E分別為邊上的點，且．①求證：；②求的度數(shù)．(2)如圖2，點D為外一點，，、的延長線交于點E，連接，猜想線段、、之間的數(shù)量關系并加以證明．(3)如圖3，D是等邊三角形外一點．若，連接，直接寫出的最大值與最小值的差．【考點13角平分線的性質與判定】1．（23-24八年級上·貴州遵義·期末）已知：如圖，在中，，D是上一點，于E，且．(1)求證：平分；(2)若，求的度數(shù)．2．（24-25八年級上·吉林·期中）如圖，點E是的平分線上的一點，，，垂足分別為點C、D，連接交于點F，且．(1)求證：是等邊三角形．(2)若，時，直接寫出的周長．（用含m、n的式子表示）3．（24-25八年級上·云南曲靖·期末）如圖，是的角平分線，，，垂足分別為E，F(xiàn)，連接，與相交于點G，求證：是的垂直平分線．4．（24-25八年級上·江蘇無錫·期中）如圖，中，點D在邊上，，的平分線交于點E，過點E作，垂足為，且，連接．(1)求證：平分(2)若，三角形的面積是16，求的面積．過關檢測一、單選題1．（24-25八年級上·廣西南寧·期中）如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為0,4，點的坐標為8,4，點是軸上任意一點，若要使的值最小，則點的坐標為（

）A． B．2,0 C． D．2．（24-25八年級上·山西大同·期中）如圖，在2×2的正方形的網(wǎng)格中，格線的交點稱為格點，以格點為頂點的三角形稱為格點三角形．圖中的為格點三角形，在圖中最多能畫出（

）個不同的格點三角形與成軸對稱．A．2 B．3 C．4 D．53．（24-25八年級上·云南曲靖·期末）如圖，在中，，的面積為12，于點D，直線垂直平分，交于點E，交于點F，P是線段上的一個動點，則的最小值是（

）A．4 B．6 C．7 D．124．（24-25八年級上·內蒙古赤峰·期中）如圖，在中，分別以點A和點B為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N，作直線，交于點D，連接．若的周長為12，，則的周長為（

）A．7 B．14 C．17 D．205．（24-25八年級上·浙江寧波·期中）如圖點C為線段上一動點（不與點B、D重合），，，，與交于點O，與交于點M，與交于點N，連接，以下四個結論：①，②，③，④．

正確的有多少個？（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個6．（24-25八年級上·重慶·期中）如圖，在中，是邊上的高，，，，連接，交的延長線于點E，連接，．則下列結論：①；②；③；④，其中正確的有（

）A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②④7．（24-25八年級上·山東德州·期中）如圖，在中，和的平分線相交于點，過點作交于點，交于點，過點作于，下列四個結論：①；②；③點到各邊的距離相等；④設，，則；⑤；⑥的周長．正確的結論有（

）A．6個 B．5個 C．4個 D．3個8．（24-25八年級上·湖北十堰·期中）如圖，中，于平分，且于，與相交于點于，交于，下列結論：①；②；③；④．其中正確的是（

）A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④二、填空題9．（24-25八年級上·浙江寧波·期中）已知有序數(shù)對及常數(shù)，我們稱有序數(shù)對，為有序數(shù)對的“階結伴數(shù)對”．如的“1階結伴數(shù)對”為即．若有序數(shù)對與它的“階結伴數(shù)對”關于軸對稱，則此時的值為．10．（24-25八年級上·重慶·期中）如圖，中，的平分線交于點E，過點E作于點F．點D在邊上，連接、，平分，若，則的面積為．11．（24-25八年級上·安徽淮南·期中）如圖，在中，的垂直平分線交于點D，垂足為點E．（1）若的周長為，則的周長為；（2）若平分，則的度數(shù)為．12．（24-25八年級上·全國·期末）如圖，在中，，，，點M在線段上運動（不包含點B），連接，將沿直線翻折得到．（1）當時，則．（2）在點M運動過程中，點到直線距離的最大值是．三、解答題13．（24-25八年級上·山東菏澤·期中）如圖，在中，分別垂直平分和，交于M，N兩點，與相交于點F．(1)若，求的周長．(2)連接，在（1）的條件下，若的周長為18，求的長．14．（24-25八年級上·云南昆明·期中）如圖，在中，是高，點是邊的中點，點在邊的延長線上，的延長線交于點，且，若．(1)求證：是等邊三角形；(2)若，求長．15．（24-25八年級上·湖北恩施·期中）如圖，在平面直角坐標系中，各頂點的坐標分別為、、．(1)作出關于x軸對稱的圖形，并寫出頂點的坐標．(2)求的面積．16．（24-25八年級上·福建寧德·期中）直線分別與x軸，y軸交于點A，(1)求直線的表達式和點A的坐標；(2)的垂直平分線l交于點D，交于點E，點P是直線l上一點，且點P在點E的上方，．①求點P的坐標②在第一象限內是否存在一點C，使得是等腰直角三角形，其中？若存在，請直接寫出點C的坐標，若不存在，請說明理由．17．（24-25八年級上·四川成都·期中）如圖，一次函數(shù)的圖象分別與軸、軸相交于點、，且與經(jīng)過軸負半軸上的點的一次函數(shù)的圖象相交于點，直線與軸相交于點，與關于軸對稱，．(1)直線的函數(shù)表達式為______；點D的坐標______；（直接寫出結果）(2)點為線段（含、兩點）上的一個動點，連接．若直線將的面積分為兩部分．試求點的坐標；(3)在軸上找一點，使得，請直接寫出點的坐標．18．（24-25八年級上·福建廈門·期中）平面直角坐標系中，點A，C分別是x軸和y軸上的動點，，．(1)如圖1，若，，求點B的坐標；(2)如圖2，設交x軸于點D，若AD平分，，則B的縱坐標為______；(3)如圖3，當點C運動到原點O時，的平分線交y軸于點E，為線段上一點，將沿翻折，的對應邊的延長線交AB于點G，H為線段上一點，且，求的值．（用含m的式子表示）19．（24-25八年級上·河北保定·期中）如圖1，圖2，在中，，D為的平分線上一點．(1)如圖1，當點D在線段上時，平分，分別交，于點E，F(xiàn)，求的度數(shù)；(2)如圖2，當點D在的外部時，過點D作，交于點M，，交的延長線于點N，且．①連接，．求證：點D在的垂直平分線上；②若，，則______．20．（24-25八年級上·山西朔州·期中）數(shù)學實驗能增加學習數(shù)學的興趣，也是提高動手能力和發(fā)展創(chuàng)新意識的手段之一．八年級1班同學在運用數(shù)學實驗研究角平分線時提出了如下問題，請你解答．(1)“行知”小組開展“用直尺和圓規(guī)作角平分線”的探究活動，作圖痕跡如下圖：其中射線為的平分線的共有______A．1個

B．2個

C．3個

D．4個(2)如圖1，“善思”小組嘗試制作可以用來平分角的儀器，其中，將儀器上的點A與的頂點R重合，調整和，使它們落在角的兩邊上，沿畫一條射線，則就是的平分線．請說明理由．(3)如圖2，“智慧”小組嘗試制作可以用來三等分角的儀器，儀器是一個直角角尺，圖中的點A，B，C在一條直線上，且．小組同學給出儀器三等分的步驟：第一步，將儀器如圖3放置，使落到的邊所在的直線上，畫出此時所在直線；第二步，將儀器如圖4放置，使所在直線過的頂點O，且點A，C分別落在直線，射線上；第三步，在圖4中分別作射線，射線，得到圖5．下面是小組同學展示的部分推理過程：如圖5，過點A作，垂足為D，連接．由儀器特征和操作過程可知，且．∴（▲）．……①“▲”處的推理依據(jù)是；②補全推理過程．

專題06軸對稱圖形與等腰三角形考點聚焦：核心考點+中考考點，有的放矢重點專攻：知識點和關鍵點梳理，查漏補缺提升專練：真題感知+精選專練，全面突破知識點1：軸對稱圖形1.軸對稱圖形如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸.這時，我們也說這個圖形關于這條直線(成軸)對稱.注意：(1)軸對稱圖形是指一個圖形，圖形被軸分成的兩部分能夠互相重合.(2)一個軸對稱圖形的對稱軸不一定只有1條，也可以有兩條或多條.如正方形、圓等.2.軸對稱把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這條直線(成軸)對稱，這條直線叫做對稱軸，折疊后重合的點是對應點，叫做對稱點.兩個圖形關于直線對稱也叫做軸對稱.3.軸對稱的特征：①有兩個圖形.②沿某一條直線對折后能夠完全重合，③對稱軸是直線.4.軸對稱和軸對稱圖形之間有區(qū)別也有聯(lián)系，（1）

區(qū)別是：軸對稱是兩個圖形的位置關系，軸對稱圖形是某一個圖形具有軸對稱這一特征．（2）聯(lián)系是：把成軸對稱的兩個圖形看成一個圖形時是軸對稱圖形；將軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，這兩個圖形關于這條對稱軸成軸對稱．5.線段的垂直平分線線段的垂直平分線的性質和判定是互逆的，角平分線的性質和判定也是互逆的，經(jīng)常配合三角形全等進行運用．6.圖形軸對稱的性質(1)如果兩個圖形關于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.(2)軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應點所連線段的垂直平分線.注意：(1)軸對稱圖形(或關于某條直線對稱的兩個圖形)的對應線段(對折后亞合的線段)相等，對應角(對折后重合的角)相等.(2)成軸對稱的兩個圖形全等；軸對稱圖形被對稱軸分成的兩部分也全等，但全等的兩個圖形不一定是軸對稱圖形.7.線段的垂直平分線的性質與判定(1)線段的垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.(2)與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.8.畫軸對稱圖形幾何圖形都可看作由點組成，我們只要分別畫出這些點關于對稱軸的對稱點，再連接這些對稱點，就可得到原圖形的軸對稱圖形；對于一些由直線、線段或射線組成的圖形，只要畫出圖形中的一些特殊點(如線段端點)關于對稱軸的對稱點，連接這些對稱點，就可得到原圖形的軸對稱圖形.畫軸對稱圖形的方法步驟：(1)找——在原圖形找到特殊點.(2)畫——作出一些關鍵點或特殊點的對稱點.(3)連——按原圖形的連接方式連接所得到的對稱點，即得到原圖形的軸對稱圖形.9.用坐標表示軸對稱（1）關于坐標軸對稱①點(x,y)關于x軸對稱的點的坐標是(x,-y).②點(x,y)關于y軸對稱的點的坐標是(-x,y).③點P(x,y)關于第一、三象限角平分線對稱的點的坐標是(y,x).④點P(x,y)關于第二、四象限角平分線對稱的點的坐標是(-y,-x).（2）在坐標系中畫軸對稱圖形的方法①計算——計算對稱點的坐標.②描點——根據(jù)對稱點的坐標描點.③連接——依次連接所描各點得到軸對稱圖形.知識點2：等腰三角形1.等腰三角形的相關概念有兩條邊相等的三角形是等腰三角形.相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊.兩腰所央的角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角.2.等腰三角形的性質(1)性質1:等腰三角形的兩個底角相等(簡寫成“等邊對等角”).注意：①性質1是等腰三角形的重要性質，是證明角相等常用的方法.②應用這個性質時，必須在一個三角形中.(2)性質2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合(簡寫成“三線合一”).注意：①應用“三線合一”性質的前提條件是“在等腰三角形中“,且必須是底邊上的中線、底邊上的高和頂角的平分線互相重合，若是一腰上的高和中線就不一定重合.②等腰三角形是軸對稱圖形，頂角的平分線(或底邊上的高，底邊上的中線)所在的直線是它的對稱軸.3.等腰三角形的判定：如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(簡寫成“等角對等邊”).4.等邊三角形的定義三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，也叫做正三角形.5.等邊三角形的性質(1)等邊三角形的三個內角都相等，并且每一個角都等于60°.(2)等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸，三條對稱軸交于一點，該點稱為“中心”.(3)等邊三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性質.6.等邊三角形的判定方法(1)三條邊都相等的三角形是等邊三角形.(2)三個角都相等的三角形是等邊三角形.(3)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.7.含30°角的直角三角形的性質在直角三角形中，如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.題型歸納【考點01軸對稱圖形的識別】1．（24-25八年級上·河南信陽·期末）下列四個選項中，是軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：A、B、C選項均無法找到這樣的一條直線，使得沿著這條直線折疊之后，直線兩旁的部分能完全重合，故它們都不是軸對稱圖形；D選項，能找到這樣的一條直線，使得沿著這條直線折疊之后，直線兩旁的部分能完全重合，故它是軸對稱圖形．故選：D2．（23-24八年級上·安徽安慶·期末）下列四種網(wǎng)絡運營商的標志中，為軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：A，B，C選項中的圖形不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形，D選項中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形．故選：D．3．（24-25八年級上·重慶·期中）下列圖案中，不是軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：根據(jù)軸對稱圖形的定義，B、C、D都是軸對稱圖形，只有A不是軸對稱圖形．故選：A．4．（23-24八年級上·湖南長沙·期末）下面的圖形是軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：選項A、B、D均不能找到這樣的一條直線，使圖形沿該直線對折后直線兩旁的部分能夠完全重合，所以不是軸對稱圖形，選項C能找到這樣的一條直線，使圖形沿該直線對折后直線兩旁的部分能夠完全重合，所以是軸對稱圖形．故選C．【考點02軸對稱的特征與性質】1．（23-24八年級上·河北唐山·期末）下列圖形中，與成軸對稱的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【解析】解：A、不成軸對稱，故本選項錯誤；B、成軸對稱，故本選項正確；C、不成軸對稱，故本選項錯誤；D、不成軸對稱，故本選項錯誤．故選：B．2．（23-24八年級上·江西贛州·期末）如圖，彈性小球從點出發(fā)，沿所示方向運動，每當小球碰到矩形的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角，當小球第1次碰到矩形的邊時的點為，第2次碰到矩形的邊時的點為，……；第2024次碰到矩形的邊時的點為圖中的（

）

A．點 B．點 C．點 D．點【答案】C【解析】解：如圖，

第1次碰到：，第次碰到：，第次碰到：，第次碰到：，第次碰到：，第次碰到：，第次碰到：，第次碰到：，，從到，每次循環(huán)次，，第次碰到是第組的第次碰到；故選：C．3．（24-25八年級上·江蘇淮安·期中）如圖，在銳角中，，的面積為，平分，若M、N分別是、上的動點，則的最小值是．【答案】【解析】解：如圖，在上截取，連接，平分，，在和中，，，，，垂線段最短，當點、、在同一直線上，且時，的值最小，即的值最小，此時，即為邊上的高，，即：，，即：的最小值是，故答案為：．4．（24-25八年級上·安徽阜陽·期中）如圖，，點、分別在射線、，，的積為3，則三角形的邊上的高是；是直線上的動點，點關于對稱的點為，點關于對稱的點為，當點在直線上運動時，三角形的面積最小值為．【答案】32【解析】解：如圖，連接，過點作交的延長線于，，且，，點關于對稱的點為，點關于對稱的點為，，，，，，的面積為，由垂線段最短可知，當點與點重合時，取得最小值，最小值為，的面積的最小值為，故答案為：32，．【考點03折疊問題】1．（23-24八年級上·廣西欽州·期末）在中，將，按如圖方式折疊，點B，C均落在邊上的點G處，線段，為折痕．若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：將，折疊，點B，C均落在邊上的點G處，線段，為折痕．∴根據(jù)折疊的性質得：，，∵，，∴，∵，∴；故選：C．2．（23-24八年級上·湖北宜昌·期末）如圖，將沿直線折疊后，使點B與點A重合．已知，的周長為，則的長（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：由折疊知，∵的周長為，，，∴；故選：A．3．（23-24八年級上·遼寧大連·期末）如圖的三角形紙片中，，，，沿過點B的直線折疊這個三角形，使點C落在邊上的點E處，折痕為，則的周長為（

）．A．6 B．7 C．8 D．11【答案】B【解析】解：由折疊可知，，，則，∴的周長為：，故選：B．4．（24-25八年級上·山西陽泉·期中）綜合與探究問題情境：已知，點，分別在射線，上，連接，是的平分線．獨立思考：（1）如圖1，若所在的直線交的平分線于點．①當時，______；當時，______；②當點，分別在射線，上運動時（不與點重合），試問：隨著點，的運動，的大小會發(fā)生變化嗎？如果不會，請求出的度數(shù)；如果會，請求出度數(shù)的變化范圍．拓展延伸：（2）如圖2，當所在的直線交的平分線于點，點，分別在，上時，將沿折疊，使點落在內的點處，求的度數(shù)．【答案】(1)①45，45，②不會發(fā)生變化，(2)【解析】解：（1）①∵，∴，．∵平分，∴．∵平分，∴，∴，∴；∵，∴，．∵平分，∴．∵平分，∴，∴，∴；故答案為：45，45；②隨著點A，B的運動，的大小不會發(fā)生變化．設，則．，．平分，平分，，．．（2），．．平分，平分，．．由折疊的性質，得，．．．【考點04畫軸對稱圖形】1．（24-25八年級上·江西贛州·期中）如圖，在平面直角坐標系中，的三個頂點分別為、、．(1)請在圖中作出關于軸的軸對稱圖形（、、的對稱點分別是、、），并直接寫出、、的坐標；(2)求的面積．【答案】(1)作圖見解析，(2)【解析】（1）解：如圖所示：即為所求，則；（2）解：由（1）可知，，如圖所示：的面積為．2．（23-24八年級上·河北石家莊·期末）如圖，中，已知點，，．(1)作關于x軸對稱的；(2)分別寫出點、、關于y軸對稱的點的坐標．【答案】(1)見解析；(2)，，【解析】（1）解：，，，，，和，，關于x軸對稱，，，；如圖，即為所求作．（2）點、、關于y軸對稱的點的坐標分別為，，；3．（24-25八年級上·遼寧沈陽·期中）如圖，在直角坐標系中有，其中、、，(1)畫出關于軸的對稱圖形，點的坐標為______，點的坐標為______；(2)在軸上有一點，當最小時，畫出點的位置；(3)在軸上有一點，使，則點的坐標為______．【答案】(1)；；(2)見解析(3)或【解析】（1）解：如圖所示，即為所求；；故答案為：；．（2）如圖，取點關于軸的對稱點，連接交軸于點，連接，此時，為最小值，則點即為所求．（3）解：設點的坐標為()，當時，，解得，點的坐標為；當時，，解得(舍去)；當時，，解得(舍去)；當時，解得，點的坐標為．綜上所述，點的坐標為或．故答案為：或．4．（24-25八年級上·北京·期中）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為，，的頂點都在網(wǎng)格線的交點上，在圖中建立平面直角坐標系，使與關于軸對稱，且點的坐標為．(1)在圖中畫出平面直角坐標系；(2)①寫出點關于軸的對稱點的坐標；②畫出關于軸對稱的圖形，其中點的對稱點是，點的對稱點是．【答案】(1)見解析(2)①．②見解析【解析】（1）解：如圖．（2）解：①∵點B的坐標為∴；②如圖．【考點05坐標與軸對稱】1．（24-25八年級上·甘肅定西·期末）點P關于y軸對稱點的坐標是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：點P關于y軸對稱點的坐標是，故選：A．2．（24-25八年級上·云南曲靖·期末）已知直角坐標系中點和點關于y軸對稱，則．【答案】1【解析】解：由題意，得：，∴；故答案為：1．3．（24-25八年級上·浙江臺州·期中）已知點關于y軸的對稱點是，則．【答案】1【解析】解：∵點關于軸的對稱點為，，，故答案為：1．4．（24-25八年級上·安徽淮南·期中）已知點，規(guī)定一次變換是：先作點關于軸對稱，再將對稱點向右平移1個單位長度，則連續(xù)經(jīng)過2024次變換后，點的坐標變?yōu)椋敬鸢浮?2,3【解析】解：第一次變換的坐標為；第二次變換的坐標為；第三次變換的坐標為；∴第2024次變換的坐標為．故答案為：．【考點06線段垂直平分線】1．（23-24八年級上·河北石家莊·期末）如圖，在中，，直線m是中邊的垂直平分線，P是直線m上的一動點，則的周長的最小值為．【答案】4【解析】解∶因為直線m是中邊的垂直平分線，所以點B與點C關于直線m對稱，故當點P位于直線m與的交點處時，取得最小值，所以的周長的最小值為，因為，所以的周長的最小值為．故答案為：4．2．（23-24八年級上·江蘇·期中）如圖，四邊形的對角線、相交于點，，下列結論：①；②；③；④．其中不正確結論的序號是．【答案】④【解析】，，，，，，故①正確，不符合題意；四邊形的對角線、相交于點，，在和中，，，故③正確，不符合題意；，故②正確，不符合題意；，，故④不正確，符合題意；故答案為：④．3．（24-25八年級上·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，中，，的垂直平分線與相交于點D，若的周長是9，則的長為．【答案】4【解析】∵的垂直平分線與相交于點D，∴，∵的周長，∴的周長，∵，∴．故答案為：4．4．（22-23八年級下·甘肅張掖·期末）如圖，在中，點是邊上的一點，連接，垂直平分，垂足為，交于點．連接．(1)若的周長為，的周長為，求的長；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【解析】（1）解：是線段的垂直平分線，，，的周長為，的周長為，，，，；（2），，，在和中，，，，．【考點07等邊對等角】1．（24-25八年級上·四川宜賓·期中）如圖，在中，的平分線交于點D，過點D作交于點E，交于點F．若，則的周長是（）A．17 B．18 C．20 D．22【答案】C【解析】解：∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，同理：，∴的周長為．故選：C．2．（23-24八年級上·上海長寧·期末）如圖，在中，，，邊的垂直平分線交于，若，則．【答案】【解析】解：，，，是的垂直平分線，，，，，，故答案為：．3．（23-24八年級上·四川眉山·期末）如圖，在中，，，，分別是邊，，AB上的點，且，．若，則的度數(shù)為°．【答案】【解析】解：，，在與中，，．．，．，．故答案為：．4．（24-25八年級上·江蘇無錫·期中）如圖，在中，、分別垂直平分和，交于M、N兩點，與相交于點F．(1)若，求的周長；(2)若，則的度數(shù)為．【答案】(1)10(2)【解析】（1）解：是線段的垂直平分線，，是線段的垂直平分線，

，周長；（2）解：，，，，，，，，，，，，，．故答案為：．【考點08三線合一】1．（24-25八年級上·廣西柳州·期中）如圖．在中，平分，交于點，點分別為上的動點，若的面積為6，則的最小值為（

）A．2 B．5 C．3.5 D．3【答案】D【解析】解：如圖，連接，∵在中，，平分，∴，，∴垂直平分，∴，∴，如圖，當三點共線且時，，此時最小，即的值最小，∵，∴，解得，∴的最小值為，故選：D．2．（23-24八年級上·安徽安慶·期末）如圖，在中，、是上兩點，且，，、分別平分、，、交于點，求證：點到的三個頂點的距離相等．【解析】證明：如圖，連接，設AD與相交于點，與相交于點，∵，∴為等腰三角形，∵平分，∴，，∴是AD的垂直平分線，∴，同理可得，∴，即點到的三個頂點的距離相等．3．（23-24八年級上·云南紅河·期末）如圖，在中，，D為直線上一動點（不與點B，C重合），在的右側作，使得，連接．(1)當D在線段上時，求證：．(2)請判斷點D在何處時，，并說明理由．(3)當時，若中最小角為，直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)見詳解(2)當點D在中點時，，理由見詳解．(3)或或【解析】（1）證明：∵，∴，在和中，，∴；（2）解：若，又∵，∴平分，∴，∴平分，又∵，∴，∴當點D在中點時，；（3）解：由（1）可知，∴，當時，則，，∵，∴，∴，∴為等邊三角形，①如圖1：D在線段上時，若，則．②如圖2，點D在的延長線上，，③如圖3，點D在的延長線上，此時，．④如圖4，．綜上所述，滿足條件的的度數(shù)為或或．4．（22-23八年級上·湖北武漢·期末）如圖，中，，，點D在斜邊上，且，過點B作交直線于點E，過點A作于點F．(1)求的度數(shù)；(2)求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）解：∵中，，，∴，∵，∴，∴；（2）證明：∵，，∴，，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴．【考點09等角對等邊】1．（22-23八年級上·安徽合肥·期末）如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸交于點，與軸交于，點為延長線上一動點，以為直角邊在其上方作等腰三角形，連接．(1)求證；(2)求直線與軸交點的坐標．【答案】(1)見解析；(2)．【解析】（1）過點作軸，如圖所示可得，∵，∴在和中，∴∴，，則，∴∴，∴，又∴∴（2）延長交軸于點∵∴∴∴點的坐標為2．（23-24八年級上·安徽亳州·期末）如圖，在中，是斜邊上的高線，是的平分線．(1)若，求的度數(shù)；(2)求證：．【答案】(1)(2)見詳解【解析】（1）解：根據(jù)題意，是的平分線，（2）根據(jù)題意，是的平分線，設3．（23-24八年級上·安徽合肥·期末）如圖，點E，F(xiàn)在上，與交于點O，，求的長．【答案】【解析】解：∵，∴，即，在和中，∵，∴，∴，∴，∵，∴．4．（23-24八年級上·山東濟寧·期末）如圖，是的角平分線，交的延長線于點．是上一點，，作交的延長線于點，交于點．(1)求證：；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【解析】（1）是的角平分線，．，，；（2），．，．，．在和中，，，，．【考點10等腰三角形的性質和判定】1．（23-24八年級上·四川眉山·期末）如圖，在中，，過點作于點，過點作于點，連接，過點作，交于點．與相交于點，若點是的中點，則下列結論中，①；②；③；④．正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】解：∵，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，故①正確；如圖所示，過點作于點由①的證明可得，，則，∵，∴，∵點是CD中點，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴，故②正確；由上述證明，設，則，，，∴，∴，故③正確；∵，∴，由①可知，，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故④錯誤；綜上所述，正確的有①②③，共3個，故選：C．2．（24-25八年級上·全國·期末）如圖，在中，，點為線段上一動點（不與點，重合），連接，作，交線段于點，下列結論：①；②若，則；③當時，為中點；④當為等腰三角形時，．其中正確的有（填序號）．【答案】①②③【解析】解：①，，，，，，故①正確；②，，由①知，，，，故②正確；③，，，，，，，，為中點，故③正確；④，，，為等腰三角形，或，當時，，，，當時，，，故④不正確．正確的有①②③，故答案為：①②③．3．（24-25八年級上·全國·期末）已知：如圖，為的角平分線，且為延長線上的一點，，過E作，F(xiàn)為垂足，下列結論：①；②；③；④．其中正確的是．（只填序號）【答案】①②③④【解析】解：∵為的角平分線，∴，在和中，，∴，故①符合題意；∵，∴，∴，∵，∴，

∴，故②符合題意；∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵∴∴∵∴∴，故③符合題意；如圖，在上截取，連接，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故④符合題意．綜上，正確的結論是①②③④，故答案為：①②③④．4．（23-24八年級上·湖北宜昌·期末）在平面直角坐標系中，點為坐標原點，，，且滿足．(1)求點的坐標．(2)為軸上一動點，連接，過點在線段上方作，且．①如圖1，若點在軸正半軸上，點在第一象限，連接，過點作的平行線交軸于點，求點的坐標（用含的式子表示）．②如圖2，連接，探究當取最小值時，線段與的關系．【答案】(1)(2)①②且【解析】（1）∵滿足，∴；（2）①∵∴∴，∴，又∵，∴，∴，而，∴，∴在和中，，∴，∴；∵且點在軸正半軸上，∴②如圖3，過點作軸于，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，，又∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴點在過點且與軸正半軸成夾角的直線上運動，如圖4，設直線與軸交于點，當時，最小．∵，∴是等腰直角三角形，∴是等腰直角三角形，且，又∵，∴、均是等腰直角三角形，∴，∴且；【考點11含30°角的直角三角形】1．（23-24八年級上·安徽安慶·期末）如圖，中，，是斜邊上的高，，，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：∵，，∴，∵是斜邊上的高，∴，∴，∴，∴，故選：D．2．（24-25八年級上·山東日照·期中）如圖，是邊長為的等邊三角形，點，分別從頂點，同時出發(fā)，沿線段，運動，且它們的速度都為．當點到達點時，兩點停止運動．設點的運動時間為．當時，是直角三角形．【答案】或【解析】解：∵點的運動時間為，∴，，∵是邊長為的等邊三角形，∴，當時，∴，∴，得，解得：；當時，∴，∴，得，解得：；∴當?shù)诿牖虻诿霑r，為直角三角形，故答案為：或．3．（23-24八年級上·福建廈門·期末）如圖，等邊三角形中，，點D是上一點，且．若點E是y軸正半軸上一動點，F(xiàn)是線段上一動點．當?shù)闹底钚r，點F的橫坐標為．（用含a的式子表示）【答案】【解析】解：作點D關于軸的對稱點M，過點作，過點作，如圖，此時的值最小，等邊三角形中，，點D是上一點，且．，，點D關于軸的對稱點是M，，，，，，，，，，點F的橫坐標為，故答案為：4．（23-24八年級上·云南紅河·期末）如圖，是邊長為9的等邊三角形，P是邊上的動點，由點A向點C運動（與A，C不重合），Q是延長線上的動點，與點P以相同的速度同時由點B向延長線方向運動（點Q不與點B重合），過點P作于點E，連接交AB于D．(1)當時，求的長；(2)過P作交AB于M．①求證：是等邊三角形；②求線段的長．【答案】(1)的長為3；(2)①見詳解②【解析】（1）解：是等邊三角形，，，設，則，，，，，即解得：，即的長為3；（2）①如圖，∵，，，是等邊三角形，②是等邊三角形，，，，，，在和中，，，，．【考點12等邊三角形的性質和判定】1．（24-25八年級上·浙江杭州·期末）如圖，點P是內部一點，點關于，的對稱點分別是，，直線交，于點，，若的周長是15，且，則的長為（

）A． B． C． D．5【答案】D【解析】解：連接，由軸對稱的性質知：，，，，，即，，，是等邊三角形，的周長是15，的長為，故選：D．2．（24-25八年級上·全國·期末）如圖，在等腰直角三角形中，，，以為邊作等邊三角形，點，分別在線段，上，，，與相交于點，延長交于點．(1)求證：是等邊三角形；(2)試判斷線段和的數(shù)量關系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)，理由見解析【解析】（1）證明：是等邊三角形，，，在和中，，，，，，，，，，，是等邊三角形；（2）解：如圖，連接，由（1）知，，是等邊三角形，，在與中，，，，，，在中，，，．3．（22-23八年級上·廣東東莞·期末）是等邊三角形，點D是邊上動點，，把沿對折，得到．(1)如圖1，若，則______°．(2)如圖2，點P在延長線上，且．①連接，試探究之間是否存在一定數(shù)量關系，猜想并說明理由．②連接，若，C，P三點共線，，求的長．【答案】(1)(2)①，理由見解析；②8【解析】（1）解：∵是等邊三角形，∴，由折疊的性質可知，，∴，故答案為：；（2）①解：，理由如下：如圖1，連接，在上取一點，使，∵是等邊三角形，∴，又∵，∴，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，即；②解：∵，C，P三點共線，∴，由折疊可知，，，∴，即，又∵，∴，∴，由①知，，∴，解得，，∴，∴的長為8．4．（22-23八年級上·湖南衡陽·期末）已知：為等邊三角形．(1)如圖1，點D、E分別為邊上的點，且．①求證：；②求的度數(shù)．(2)如圖2，點D為外一點，，、的延長線交于點E，連接，猜想線段、、之間的數(shù)量關系并加以證明．(3)如圖3，D是等邊三角形外一點．若，連接，直接寫出的最大值與最小值的差．【答案】(1)①證明見解析；②(2)猜想，證明見解析(3)的最大值與最小值的差為【解析】（1）①證明：∵是等邊三角形，∴，，在和中，，∴；②解：∵，∴，∴；（2）解：猜想，證明如下：如圖2中，在上取一點，使得，連接，∵，，∴是等邊三角形，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∴；（3）解：如圖3中，以為邊向外作等邊，連接，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴的最小值為，最大值為，∵，∴的最大值與最小值的差為．【考點13角平分線的性質與判定】1．（23-24八年級上·貴州遵義·期末）已知：如圖，在中，，D是上一點，于E，且．(1)求證：平分；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)詳見解析(2)【解析】（1）證明：，，，點在的平分線上，平分；（2）解：，，，平分，．2．（24-25八年級上·吉林·期中）如圖，點E是的平分線上的一點，，，垂足分別為點C、D，連接交于點F，且．(1)求證：是等邊三角形．(2)若，時，直接寫出的周長．（用含m、n的式子表示）【答案】(1)見解析(2)【解析】（1）證明：∵平分，，，∴，，∵，∴，∴，∵，∴是等邊三角形；（2）解：∵是等邊三角形，平分，∴，，∴，，垂直平分，∴，∵，∴，∴，∴的周長．3．（24-25八年級上·云南曲靖·期末）如圖，是的角平分線，，，垂足分別為E，F(xiàn)，連接，與相交于點G，求證：是的垂直平分線．【解析】解：∵是的角平分線，，，∴，，∴，∴，∴，∴，∵，∴在線段的垂直平分線上，∴是的垂直平分線．4．（24-25八年級上·江蘇無錫·期中）如圖，中，點D在邊上，，的平分線交于點E，過點E作，垂足為，且，連接．(1)求證：平分(2)若，三角形的面積是16，求的面積．【答案】(1)見解析(2)8【解析】（1）證明：過點E作交于點G，交于點H，∵，，∴，∴，∴，平分，，，，平分，，，，，，，平分；（2）解：，，，，，，，，，，．過關檢測一、單選題1．（24-25八年級上·廣西南寧·期中）如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標為0,4，點的坐標為8,4，點是軸上任意一點，若要使的值最小，則點的坐標為（

）A． B．2,0 C． D．【答案】C【解析】解：作點A關于原點O的對稱點C，連接交x軸于點E，連接，作軸于點F，則，∵，，∴，，∴，，在和中，，∴，∴，∴，∵x軸垂直平分，且點E在x軸上，∴，∴當點P與點E重合時，則，此時的值最小，∴要使的值最小，則點P的坐標為，故選：C．2．（24-25八年級上·山西大同·期中）如圖，在2×2的正方形的網(wǎng)格中，格線的交點稱為格點，以格點為頂點的三角形稱為格點三角形．圖中的為格點三角形，在圖中最多能畫出（

）個不同的格點三角形與成軸對稱．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】解：與成軸對稱的格點三角形如圖所示，在圖中最多能畫出、、、和5個不同的格點三角形與成軸對稱．故選：D．3．（24-25八年級上·云南曲靖·期末）如圖，在中，，的面積為12，于點D，直線垂直平分，交于點E，交于點F，P是線段上的一個動點，則的最小值是（

）A．4 B．6 C．7 D．12【答案】A【解析】解：連接，∵直線垂直平分，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴的最小值為．故選：A．4．（24-25八年級上·內蒙古赤峰·期中）如圖，在中，分別以點A和點B為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N，作直線，交于點D，連接．若的周長為12，，則的周長為（

）A．7 B．14 C．17 D．20【答案】D【解析】解：由題意知，是線段的垂直平分線，∴，∵的周長為，的周長為，∴，∴的周長為20，故選：D．5．（24-25八年級上·浙江寧波·期中）如圖點C為線段上一動點（不與點B、D重合），，，，與交于點O，與交于點M，與交于點N，連接，以下四個結論：①，②，③，④．

正確的有多少個？（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解析】解：∵，∴，∴，，∴①正確；∵，∴，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，∴②正確；③若，則，,,，而點C不一定是線段的中點，此說法不一定正確；，∴④正確；綜上所述，正確的有3個，故選：C．6．（24-25八年級上·重慶·期中）如圖，在中，是邊上的高，，，，連接，交的延長線于點E，連接，．則下列結論：①；②；③；④，其中正確的有（

）A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②④【答案】D【解析】解：∵，，∴，在與中，∵，∴，∴，故①正確，∵，∴，，∵，∴，∴，故②正確，過點F作于點M，過點G作交的延長線于點N，，∵，∴，，∴，又∵，∴，∴，同理，∴，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，，∴，故③錯誤，④正確，故選：D．7．（24-25八年級上·山東德州·期中）如圖，在中，和的平分線相交于點，過點作交于點，交于點，過點作于，下列四個結論：①；②；③點到各邊的距離相等；④設，，則；⑤；⑥的周長．正確的結論有（

）A．6個 B．5個 C．4個 D．3個【答案】B【解析】解：在中，和的平分線相交于點，，，∵，，；故②正確；∵，，，，，，，，故①正確；∴的周長，故⑥正確；過點作于，作于，連接，

在中，和的平分線相交于點，，即到各邊的距離相等，故③正確．；故④正確；現(xiàn)有條件無法判斷，故⑤錯誤；綜上所述，正確的結論有①②③④⑥，共5個，故選：B．8．（24-25八年級上·湖北十堰·期中）如圖，中，于平分，且于，與相交于點于，交于，下列結論：①；②；③；④．其中正確的是（

）A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④【答案】D【解析】解：∵，，∴是等腰直角三角形．∴．故①正確；在和中，∵，，且，∴．又∵，，∴．∴；．∵，∴；故②正確；在和中∵平分，∴．又∵，，∴．∴．又由（2），知，∴；故③正確；連接，如圖，∵是等腰直角三角形，∴，又，∴垂直平分．∴，在中，∵是斜邊，CE是直角邊，∴．∵，∴．故④正確．則正確的選項有①②③④；故選：D．二、填空題9．（24-25八年級上·浙江寧波·期中）已知有序數(shù)對及常數(shù)，我們稱有序數(shù)對，為有序數(shù)對的“階結伴數(shù)對”．如的“1階結伴數(shù)對”為即．若有序數(shù)對與它的“階結伴數(shù)對”關于軸對稱，則此時的值為．【答案】【解析】解：由題意得，有序數(shù)對的“階結伴數(shù)對”為，有序數(shù)對（）與它的“階結伴數(shù)對”關于軸對稱，與關于軸對稱，，，，又，，解得：．故答案為：．10．（24-25八年級上·重慶·期中）如圖，中，的平分線交于點E，過點E作于點F．點D在邊上，連接、，平分，若，則的面積為．【答案】7【解析】解：過作于于，平分平分，，，，，，，，的面積，故答案為：7．11．（24-25八年級上·安徽淮南·期中）如圖，在中，的垂直平分線交于點D，垂足為點E．（1）若的周長為，則的周長為；（2）若平分，則的度數(shù)為．【答案】2430°/30度【解析】解：（1）是的垂直平分線，∴，．，∴，故答案為：24；（2）垂直平分，平分，故答案為：．12．（24-25八年級上·全國·期末）如圖，在中，，，，點M在線段上運動（不包含點B），連接，將沿直線翻折得到．（1）當時，則．（2）在點M運動過程中，點到直線距離的最大值是．【答案】【解析】解：（1）如圖，

∵，∴；由折疊性質可知：，∵，∴，∴，∵，∴，故答案為：；（2）如圖，，當垂足E在線段上時，點到直線距離的最大；

∴，由折疊性質可知：，∴，∴，∴，故答案為：．三、解答題13．（24-25八年級上·山東菏澤·期中）如圖，在中，分別垂直平分和，交于M，N兩點，與相交于點F．(1)若，求的周長．(2)連接，在（1）的條件下，若的周長為18，求的長．【答案】(1)8(2)5【解析】（1）解：∵，分別垂直平分和，∴，，∴的周長；（2）解：連接、、，∵的周長為18，∴，∵，∴．∵、分別垂直平分和，∴，，∴，∴.14．（24-25八年級上·云南昆明·期中）如圖，在中，是高，點是邊的中點，點在邊的延長線上，的延長線交于點，且，若．(1)求證：是等邊三角形；(2)若，求長．【答案】(1)見解析(2)【解析】（1）證明