2025年滬科版八年級(jí)數(shù)學(xué)寒假復(fù)習(xí) 專題06 軸對(duì)稱圖形與等腰三角形

專題06軸對(duì)稱圖形與等腰三角形考點(diǎn)聚焦：核心考點(diǎn)+中考考點(diǎn)，有的放矢重點(diǎn)專攻：知識(shí)點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)梳理，查漏補(bǔ)缺提升專練：真題感知+精選專練，全面突破知識(shí)點(diǎn)1：軸對(duì)稱圖形1.軸對(duì)稱圖形如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線就是它的對(duì)稱軸.這時(shí)，我們也說這個(gè)圖形關(guān)于這條直線(成軸)對(duì)稱.注意：(1)軸對(duì)稱圖形是指一個(gè)圖形，圖形被軸分成的兩部分能夠互相重合.(2)一個(gè)軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸不一定只有1條，也可以有兩條或多條.如正方形、圓等.2.軸對(duì)稱把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線(成軸)對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸，折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn).兩個(gè)圖形關(guān)于直線對(duì)稱也叫做軸對(duì)稱.3.軸對(duì)稱的特征：①有兩個(gè)圖形.②沿某一條直線對(duì)折后能夠完全重合，③對(duì)稱軸是直線.4.軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形之間有區(qū)別也有聯(lián)系，（1）

區(qū)別是：軸對(duì)稱是兩個(gè)圖形的位置關(guān)系，軸對(duì)稱圖形是某一個(gè)圖形具有軸對(duì)稱這一特征．（2）聯(lián)系是：把成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)圖形時(shí)是軸對(duì)稱圖形；將軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成兩個(gè)圖形，這兩個(gè)圖形關(guān)于這條對(duì)稱軸成軸對(duì)稱．5.線段的垂直平分線線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定是互逆的，角平分線的性質(zhì)和判定也是互逆的，經(jīng)常配合三角形全等進(jìn)行運(yùn)用．6.圖形軸對(duì)稱的性質(zhì)(1)如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.(2)軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.注意：(1)軸對(duì)稱圖形(或關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形)的對(duì)應(yīng)線段(對(duì)折后亞合的線段)相等，對(duì)應(yīng)角(對(duì)折后重合的角)相等.(2)成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等；軸對(duì)稱圖形被對(duì)稱軸分成的兩部分也全等，但全等的兩個(gè)圖形不一定是軸對(duì)稱圖形.7.線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定(1)線段的垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.(2)與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.8.畫軸對(duì)稱圖形幾何圖形都可看作由點(diǎn)組成，我們只要分別畫出這些點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，再連接這些對(duì)稱點(diǎn)，就可得到原圖形的軸對(duì)稱圖形；對(duì)于一些由直線、線段或射線組成的圖形，只要畫出圖形中的一些特殊點(diǎn)(如線段端點(diǎn))關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接這些對(duì)稱點(diǎn)，就可得到原圖形的軸對(duì)稱圖形.畫軸對(duì)稱圖形的方法步驟：(1)找——在原圖形找到特殊點(diǎn).(2)畫——作出一些關(guān)鍵點(diǎn)或特殊點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn).(3)連——按原圖形的連接方式連接所得到的對(duì)稱點(diǎn)，即得到原圖形的軸對(duì)稱圖形.9.用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱（1）關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱①點(diǎn)(x,y)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(x,-y).②點(diǎn)(x,y)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(-x,y).③點(diǎn)P(x,y)關(guān)于第一、三象限角平分線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(y,x).④點(diǎn)P(x,y)關(guān)于第二、四象限角平分線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(-y,-x).（2）在坐標(biāo)系中畫軸對(duì)稱圖形的方法①計(jì)算——計(jì)算對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).②描點(diǎn)——根據(jù)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)描點(diǎn).③連接——依次連接所描各點(diǎn)得到軸對(duì)稱圖形.知識(shí)點(diǎn)2：等腰三角形1.等腰三角形的相關(guān)概念有兩條邊相等的三角形是等腰三角形.相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊.兩腰所央的角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角.2.等腰三角形的性質(zhì)(1)性質(zhì)1:等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”).注意：①性質(zhì)1是等腰三角形的重要性質(zhì)，是證明角相等常用的方法.②應(yīng)用這個(gè)性質(zhì)時(shí)，必須在一個(gè)三角形中.(2)性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合(簡(jiǎn)寫成“三線合一”).注意：①應(yīng)用“三線合一”性質(zhì)的前提條件是“在等腰三角形中“,且必須是底邊上的中線、底邊上的高和頂角的平分線互相重合，若是一腰上的高和中線就不一定重合.②等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，頂角的平分線(或底邊上的高，底邊上的中線)所在的直線是它的對(duì)稱軸.3.等腰三角形的判定：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等(簡(jiǎn)寫成“等角對(duì)等邊”).4.等邊三角形的定義三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，也叫做正三角形.5.等邊三角形的性質(zhì)(1)等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°.(2)等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸，三條對(duì)稱軸交于一點(diǎn)，該點(diǎn)稱為“中心”.(3)等邊三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性質(zhì).6.等邊三角形的判定方法(1)三條邊都相等的三角形是等邊三角形.(2)三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.(3)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.7.含30°角的直角三角形的性質(zhì)在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.題型歸納【考點(diǎn)01軸對(duì)稱圖形的識(shí)別】1．（24-25八年級(jí)上·河南信陽·期末）下列四個(gè)選項(xiàng)中，是軸對(duì)稱圖形的是（

）A． B． C． D．2．（23-24八年級(jí)上·安徽安慶·期末）下列四種網(wǎng)絡(luò)運(yùn)營(yíng)商的標(biāo)志中，為軸對(duì)稱圖形的是（

）A． B． C． D．3．（24-25八年級(jí)上·重慶·期中）下列圖案中，不是軸對(duì)稱圖形的是（

）A． B． C． D．4．（23-24八年級(jí)上·湖南長(zhǎng)沙·期末）下面的圖形是軸對(duì)稱圖形的是（

）A． B． C． D．【考點(diǎn)02軸對(duì)稱的特征與性質(zhì)】1．（23-24八年級(jí)上·河北唐山·期末）下列圖形中，與成軸對(duì)稱的是（

）A．

B．

C．

D．

2．（23-24八年級(jí)上·江西贛州·期末）如圖，彈性小球從點(diǎn)出發(fā)，沿所示方向運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)小球碰到矩形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角，當(dāng)小球第1次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為，第2次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為，……；第2024次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為圖中的（

）

A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)3．（24-25八年級(jí)上·江蘇淮安·期中）如圖，在銳角中，，的面積為，平分，若M、N分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．4．（24-25八年級(jí)上·安徽阜陽·期中）如圖，，點(diǎn)、分別在射線、，，的積為3，則三角形的邊上的高是；是直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三角形的面積最小值為．【考點(diǎn)03折疊問題】1．（23-24八年級(jí)上·廣西欽州·期末）在中，將，按如圖方式折疊，點(diǎn)B，C均落在邊上的點(diǎn)G處，線段，為折痕．若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．2．（23-24八年級(jí)上·湖北宜昌·期末）如圖，將沿直線折疊后，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合．已知，的周長(zhǎng)為，則的長(zhǎng)（

）A． B． C． D．3．（23-24八年級(jí)上·遼寧大連·期末）如圖的三角形紙片中，，，，沿過點(diǎn)B的直線折疊這個(gè)三角形，使點(diǎn)C落在邊上的點(diǎn)E處，折痕為，則的周長(zhǎng)為（

）．A．6 B．7 C．8 D．114．（24-25八年級(jí)上·山西陽泉·期中）綜合與探究問題情境：已知，點(diǎn)，分別在射線，上，連接，是的平分線．獨(dú)立思考：（1）如圖1，若所在的直線交的平分線于點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，______；當(dāng)時(shí)，______；②當(dāng)點(diǎn)，分別在射線，上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與點(diǎn)重合），試問：隨著點(diǎn)，的運(yùn)動(dòng)，的大小會(huì)發(fā)生變化嗎？如果不會(huì)，請(qǐng)求出的度數(shù)；如果會(huì)，請(qǐng)求出度數(shù)的變化范圍．拓展延伸：（2）如圖2，當(dāng)所在的直線交的平分線于點(diǎn)，點(diǎn)，分別在，上時(shí)，將沿折疊，使點(diǎn)落在內(nèi)的點(diǎn)處，求的度數(shù)．【考點(diǎn)04畫軸對(duì)稱圖形】1．（24-25八年級(jí)上·江西贛州·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)分別為、、．(1)請(qǐng)?jiān)趫D中作出關(guān)于軸的軸對(duì)稱圖形（、、的對(duì)稱點(diǎn)分別是、、），并直接寫出、、的坐標(biāo)；(2)求的面積．2．（23-24八年級(jí)上·河北石家莊·期末）如圖，中，已知點(diǎn)，，．(1)作關(guān)于x軸對(duì)稱的；(2)分別寫出點(diǎn)、、關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)．3．（24-25八年級(jí)上·遼寧沈陽·期中）如圖，在直角坐標(biāo)系中有，其中、、，(1)畫出關(guān)于軸的對(duì)稱圖形，點(diǎn)的坐標(biāo)為______，點(diǎn)的坐標(biāo)為______；(2)在軸上有一點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，畫出點(diǎn)的位置；(3)在軸上有一點(diǎn)，使，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______．4．（24-25八年級(jí)上·北京·期中）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為，，的頂點(diǎn)都在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上，在圖中建立平面直角坐標(biāo)系，使與關(guān)于軸對(duì)稱，且點(diǎn)的坐標(biāo)為．(1)在圖中畫出平面直角坐標(biāo)系；(2)①寫出點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)；②畫出關(guān)于軸對(duì)稱的圖形，其中點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是，點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是．【考點(diǎn)05坐標(biāo)與軸對(duì)稱】1．（24-25八年級(jí)上·甘肅定西·期末）點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．2．（24-25八年級(jí)上·云南曲靖·期末）已知直角坐標(biāo)系中點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，則．3．（24-25八年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期中）已知點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)是，則．4．（24-25八年級(jí)上·安徽淮南·期中）已知點(diǎn)，規(guī)定一次變換是：先作點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，再將對(duì)稱點(diǎn)向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，則連續(xù)經(jīng)過2024次變換后，點(diǎn)的坐標(biāo)變?yōu)椋究键c(diǎn)06線段垂直平分線】1．（23-24八年級(jí)上·河北石家莊·期末）如圖，在中，，直線m是中邊的垂直平分線，P是直線m上的一動(dòng)點(diǎn)，則的周長(zhǎng)的最小值為．2．（23-24八年級(jí)上·江蘇·期中）如圖，四邊形的對(duì)角線、相交于點(diǎn)，，下列結(jié)論：①；②；③；④．其中不正確結(jié)論的序號(hào)是．3．（24-25八年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，中，，的垂直平分線與相交于點(diǎn)D，若的周長(zhǎng)是9，則的長(zhǎng)為．4．（22-23八年級(jí)下·甘肅張掖·期末）如圖，在中，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，連接，垂直平分，垂足為，交于點(diǎn)．連接．(1)若的周長(zhǎng)為，的周長(zhǎng)為，求的長(zhǎng)；(2)若，，求的度數(shù)．【考點(diǎn)07等邊對(duì)等角】1．（24-25八年級(jí)上·四川宜賓·期中）如圖，在中，的平分線交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．若，則的周長(zhǎng)是（）A．17 B．18 C．20 D．222．（23-24八年級(jí)上·上海長(zhǎng)寧·期末）如圖，在中，，，邊的垂直平分線交于，若，則．3．（23-24八年級(jí)上·四川眉山·期末）如圖，在中，，，，分別是邊，，AB上的點(diǎn)，且，．若，則的度數(shù)為°．4．（24-25八年級(jí)上·江蘇無錫·期中）如圖，在中，、分別垂直平分和，交于M、N兩點(diǎn)，與相交于點(diǎn)F．(1)若，求的周長(zhǎng)；(2)若，則的度數(shù)為．【考點(diǎn)08三線合一】1．（24-25八年級(jí)上·廣西柳州·期中）如圖．在中，平分，交于點(diǎn)，點(diǎn)分別為上的動(dòng)點(diǎn)，若的面積為6，則的最小值為（

）A．2 B．5 C．3.5 D．32．（23-24八年級(jí)上·安徽安慶·期末）如圖，在中，、是上兩點(diǎn)，且，，、分別平分、，、交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)到的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．3．（23-24八年級(jí)上·云南紅河·期末）如圖，在中，，D為直線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），在的右側(cè)作，使得，連接．(1)當(dāng)D在線段上時(shí)，求證：．(2)請(qǐng)判斷點(diǎn)D在何處時(shí)，，并說明理由．(3)當(dāng)時(shí)，若中最小角為，直接寫出的度數(shù)．4．（22-23八年級(jí)上·湖北武漢·期末）如圖，中，，，點(diǎn)D在斜邊上，且，過點(diǎn)B作交直線于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作于點(diǎn)F．(1)求的度數(shù)；(2)求證：．【考點(diǎn)09等角對(duì)等邊】1．（22-23八年級(jí)上·安徽合肥·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于，點(diǎn)為延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，以為直角邊在其上方作等腰三角形，連接．(1)求證；(2)求直線與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)．2．（23-24八年級(jí)上·安徽亳州·期末）如圖，在中，是斜邊上的高線，是的平分線．(1)若，求的度數(shù)；(2)求證：．3．（23-24八年級(jí)上·安徽合肥·期末）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在上，與交于點(diǎn)O，，求的長(zhǎng)．4．（23-24八年級(jí)上·山東濟(jì)寧·期末）如圖，是的角平分線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．是上一點(diǎn)，，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．【考點(diǎn)10等腰三角形的性質(zhì)和判定】1．（23-24八年級(jí)上·四川眉山·期末）如圖，在中，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)．與相交于點(diǎn)，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中，①；②；③；④．正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖，在中，，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），連接，作，交線段于點(diǎn)，下列結(jié)論：①；②若，則；③當(dāng)時(shí)，為中點(diǎn)；④當(dāng)為等腰三角形時(shí)，．其中正確的有（填序號(hào)）．3．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）已知：如圖，為的角平分線，且為延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，，過E作，F(xiàn)為垂足，下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是．（只填序號(hào)）4．（23-24八年級(jí)上·湖北宜昌·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，且滿足．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)為軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)在線段上方作，且．①如圖1，若點(diǎn)在軸正半軸上，點(diǎn)在第一象限，連接，過點(diǎn)作的平行線交軸于點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)（用含的式子表示）．②如圖2，連接，探究當(dāng)取最小值時(shí)，線段與的關(guān)系．【考點(diǎn)11含30°角的直角三角形】1．（23-24八年級(jí)上·安徽安慶·期末）如圖，中，，是斜邊上的高，，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．2．（24-25八年級(jí)上·山東日照·期中）如圖，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，點(diǎn)，分別從頂點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)，沿線段，運(yùn)動(dòng)，且它們的速度都為．當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．當(dāng)時(shí)，是直角三角形．3．（23-24八年級(jí)上·福建廈門·期末）如圖，等邊三角形中，，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，且．若點(diǎn)E是y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為．（用含a的式子表示）4．（23-24八年級(jí)上·云南紅河·期末）如圖，是邊長(zhǎng)為9的等邊三角形，P是邊上的動(dòng)點(diǎn)，由點(diǎn)A向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)（與A，C不重合），Q是延長(zhǎng)線上的動(dòng)點(diǎn)，與點(diǎn)P以相同的速度同時(shí)由點(diǎn)B向延長(zhǎng)線方向運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)Q不與點(diǎn)B重合），過點(diǎn)P作于點(diǎn)E，連接交AB于D．(1)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；(2)過P作交AB于M．①求證：是等邊三角形；②求線段的長(zhǎng)．【考點(diǎn)12等邊三角形的性質(zhì)和判定】1．（24-25八年級(jí)上·浙江杭州·期末）如圖，點(diǎn)P是內(nèi)部一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于，的對(duì)稱點(diǎn)分別是，，直線交，于點(diǎn)，，若的周長(zhǎng)是15，且，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．52．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖，在等腰直角三角形中，，，以為邊作等邊三角形，點(diǎn)，分別在線段，上，，，與相交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．(1)求證：是等邊三角形；(2)試判斷線段和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．3．（22-23八年級(jí)上·廣東東莞·期末）是等邊三角形，點(diǎn)D是邊上動(dòng)點(diǎn)，，把沿對(duì)折，得到．(1)如圖1，若，則______°．(2)如圖2，點(diǎn)P在延長(zhǎng)線上，且．①連接，試探究之間是否存在一定數(shù)量關(guān)系，猜想并說明理由．②連接，若，C，P三點(diǎn)共線，，求的長(zhǎng)．4．（22-23八年級(jí)上·湖南衡陽·期末）已知：為等邊三角形．(1)如圖1，點(diǎn)D、E分別為邊上的點(diǎn)，且．①求證：；②求的度數(shù)．(2)如圖2，點(diǎn)D為外一點(diǎn)，，、的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，連接，猜想線段、、之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明．(3)如圖3，D是等邊三角形外一點(diǎn)．若，連接，直接寫出的最大值與最小值的差．【考點(diǎn)13角平分線的性質(zhì)與判定】1．（23-24八年級(jí)上·貴州遵義·期末）已知：如圖，在中，，D是上一點(diǎn)，于E，且．(1)求證：平分；(2)若，求的度數(shù)．2．（24-25八年級(jí)上·吉林·期中）如圖，點(diǎn)E是的平分線上的一點(diǎn)，，，垂足分別為點(diǎn)C、D，連接交于點(diǎn)F，且．(1)求證：是等邊三角形．(2)若，時(shí)，直接寫出的周長(zhǎng)．（用含m、n的式子表示）3．（24-25八年級(jí)上·云南曲靖·期末）如圖，是的角平分線，，，垂足分別為E，F(xiàn)，連接，與相交于點(diǎn)G，求證：是的垂直平分線．4．（24-25八年級(jí)上·江蘇無錫·期中）如圖，中，點(diǎn)D在邊上，，的平分線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作，垂足為，且，連接．(1)求證：平分(2)若，三角形的面積是16，求的面積．過關(guān)檢測(cè)一、單選題1．（24-25八年級(jí)上·廣西南寧·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為0,4，點(diǎn)的坐標(biāo)為8,4，點(diǎn)是軸上任意一點(diǎn)，若要使的值最小，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B．2,0 C． D．2．（24-25八年級(jí)上·山西大同·期中）如圖，在2×2的正方形的網(wǎng)格中，格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為格點(diǎn)三角形．圖中的為格點(diǎn)三角形，在圖中最多能畫出（

）個(gè)不同的格點(diǎn)三角形與成軸對(duì)稱．A．2 B．3 C．4 D．53．（24-25八年級(jí)上·云南曲靖·期末）如圖，在中，，的面積為12，于點(diǎn)D，直線垂直平分，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，P是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A．4 B．6 C．7 D．124．（24-25八年級(jí)上·內(nèi)蒙古赤峰·期中）如圖，在中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線，交于點(diǎn)D，連接．若的周長(zhǎng)為12，，則的周長(zhǎng)為（

）A．7 B．14 C．17 D．205．（24-25八年級(jí)上·浙江寧波·期中）如圖點(diǎn)C為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、D重合），，，，與交于點(diǎn)O，與交于點(diǎn)M，與交于點(diǎn)N，連接，以下四個(gè)結(jié)論：①，②，③，④．

正確的有多少個(gè)？（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)6．（24-25八年級(jí)上·重慶·期中）如圖，在中，是邊上的高，，，，連接，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接，．則下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的有（

）A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②④7．（24-25八年級(jí)上·山東德州·期中）如圖，在中，和的平分線相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于，下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③點(diǎn)到各邊的距離相等；④設(shè)，，則；⑤；⑥的周長(zhǎng)．正確的結(jié)論有（

）A．6個(gè) B．5個(gè) C．4個(gè) D．3個(gè)8．（24-25八年級(jí)上·湖北十堰·期中）如圖，中，于平分，且于，與相交于點(diǎn)于，交于，下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是（

）A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④二、填空題9．（24-25八年級(jí)上·浙江寧波·期中）已知有序數(shù)對(duì)及常數(shù)，我們稱有序數(shù)對(duì)，為有序數(shù)對(duì)的“階結(jié)伴數(shù)對(duì)”．如的“1階結(jié)伴數(shù)對(duì)”為即．若有序數(shù)對(duì)與它的“階結(jié)伴數(shù)對(duì)”關(guān)于軸對(duì)稱，則此時(shí)的值為．10．（24-25八年級(jí)上·重慶·期中）如圖，中，的平分線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作于點(diǎn)F．點(diǎn)D在邊上，連接、，平分，若，則的面積為．11．（24-25八年級(jí)上·安徽淮南·期中）如圖，在中，的垂直平分線交于點(diǎn)D，垂足為點(diǎn)E．（1）若的周長(zhǎng)為，則的周長(zhǎng)為；（2）若平分，則的度數(shù)為．12．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖，在中，，，，點(diǎn)M在線段上運(yùn)動(dòng)（不包含點(diǎn)B），連接，將沿直線翻折得到．（1）當(dāng)時(shí)，則．（2）在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)到直線距離的最大值是．三、解答題13．（24-25八年級(jí)上·山東菏澤·期中）如圖，在中，分別垂直平分和，交于M，N兩點(diǎn)，與相交于點(diǎn)F．(1)若，求的周長(zhǎng)．(2)連接，在（1）的條件下，若的周長(zhǎng)為18，求的長(zhǎng)．14．（24-25八年級(jí)上·云南昆明·期中）如圖，在中，是高，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，且，若．(1)求證：是等邊三角形；(2)若，求長(zhǎng)．15．（24-25八年級(jí)上·湖北恩施·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、．(1)作出關(guān)于x軸對(duì)稱的圖形，并寫出頂點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)求的面積．16．（24-25八年級(jí)上·福建寧德·期中）直線分別與x軸，y軸交于點(diǎn)A，(1)求直線的表達(dá)式和點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)的垂直平分線l交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，點(diǎn)P是直線l上一點(diǎn)，且點(diǎn)P在點(diǎn)E的上方，．①求點(diǎn)P的坐標(biāo)②在第一象限內(nèi)是否存在一點(diǎn)C，使得是等腰直角三角形，其中？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．17．（24-25八年級(jí)上·四川成都·期中）如圖，一次函數(shù)的圖象分別與軸、軸相交于點(diǎn)、，且與經(jīng)過軸負(fù)半軸上的點(diǎn)的一次函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)，直線與軸相交于點(diǎn)，與關(guān)于軸對(duì)稱，．(1)直線的函數(shù)表達(dá)式為______；點(diǎn)D的坐標(biāo)______；（直接寫出結(jié)果）(2)點(diǎn)為線段（含、兩點(diǎn)）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接．若直線將的面積分為兩部分．試求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在軸上找一點(diǎn)，使得，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．18．（24-25八年級(jí)上·福建廈門·期中）平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，C分別是x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，，．(1)如圖1，若，，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)如圖2，設(shè)交x軸于點(diǎn)D，若AD平分，，則B的縱坐標(biāo)為______；(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)O時(shí)，的平分線交y軸于點(diǎn)E，為線段上一點(diǎn)，將沿翻折，的對(duì)應(yīng)邊的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)G，H為線段上一點(diǎn)，且，求的值．（用含m的式子表示）19．（24-25八年級(jí)上·河北保定·期中）如圖1，圖2，在中，，D為的平分線上一點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段上時(shí)，平分，分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)，求的度數(shù)；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在的外部時(shí)，過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)M，，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，且．①連接，．求證：點(diǎn)D在的垂直平分線上；②若，，則______．20．（24-25八年級(jí)上·山西朔州·期中）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)茉黾訉W(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，也是提高動(dòng)手能力和發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)的手段之一．八年級(jí)1班同學(xué)在運(yùn)用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)研究角平分線時(shí)提出了如下問題，請(qǐng)你解答．(1)“行知”小組開展“用直尺和圓規(guī)作角平分線”的探究活動(dòng)，作圖痕跡如下圖：其中射線為的平分線的共有______A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)(2)如圖1，“善思”小組嘗試制作可以用來平分角的儀器，其中，將儀器上的點(diǎn)A與的頂點(diǎn)R重合，調(diào)整和，使它們落在角的兩邊上，沿畫一條射線，則就是的平分線．請(qǐng)說明理由．(3)如圖2，“智慧”小組嘗試制作可以用來三等分角的儀器，儀器是一個(gè)直角角尺，圖中的點(diǎn)A，B，C在一條直線上，且．小組同學(xué)給出儀器三等分的步驟：第一步，將儀器如圖3放置，使落到的邊所在的直線上，畫出此時(shí)所在直線；第二步，將儀器如圖4放置，使所在直線過的頂點(diǎn)O，且點(diǎn)A，C分別落在直線，射線上；第三步，在圖4中分別作射線，射線，得到圖5．下面是小組同學(xué)展示的部分推理過程：如圖5，過點(diǎn)A作，垂足為D，連接．由儀器特征和操作過程可知，且．∴（▲）．……①“▲”處的推理依據(jù)是；②補(bǔ)全推理過程．

專題06軸對(duì)稱圖形與等腰三角形考點(diǎn)聚焦：核心考點(diǎn)+中考考點(diǎn)，有的放矢重點(diǎn)專攻：知識(shí)點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn)梳理，查漏補(bǔ)缺提升專練：真題感知+精選專練，全面突破知識(shí)點(diǎn)1：軸對(duì)稱圖形1.軸對(duì)稱圖形如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形，這條直線就是它的對(duì)稱軸.這時(shí)，我們也說這個(gè)圖形關(guān)于這條直線(成軸)對(duì)稱.注意：(1)軸對(duì)稱圖形是指一個(gè)圖形，圖形被軸分成的兩部分能夠互相重合.(2)一個(gè)軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸不一定只有1條，也可以有兩條或多條.如正方形、圓等.2.軸對(duì)稱把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線(成軸)對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸，折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn).兩個(gè)圖形關(guān)于直線對(duì)稱也叫做軸對(duì)稱.3.軸對(duì)稱的特征：①有兩個(gè)圖形.②沿某一條直線對(duì)折后能夠完全重合，③對(duì)稱軸是直線.4.軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形之間有區(qū)別也有聯(lián)系，（1）

區(qū)別是：軸對(duì)稱是兩個(gè)圖形的位置關(guān)系，軸對(duì)稱圖形是某一個(gè)圖形具有軸對(duì)稱這一特征．（2）聯(lián)系是：把成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)圖形時(shí)是軸對(duì)稱圖形；將軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成兩個(gè)圖形，這兩個(gè)圖形關(guān)于這條對(duì)稱軸成軸對(duì)稱．5.線段的垂直平分線線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定是互逆的，角平分線的性質(zhì)和判定也是互逆的，經(jīng)常配合三角形全等進(jìn)行運(yùn)用．6.圖形軸對(duì)稱的性質(zhì)(1)如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.(2)軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.注意：(1)軸對(duì)稱圖形(或關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形)的對(duì)應(yīng)線段(對(duì)折后亞合的線段)相等，對(duì)應(yīng)角(對(duì)折后重合的角)相等.(2)成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等；軸對(duì)稱圖形被對(duì)稱軸分成的兩部分也全等，但全等的兩個(gè)圖形不一定是軸對(duì)稱圖形.7.線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定(1)線段的垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.(2)與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上.8.畫軸對(duì)稱圖形幾何圖形都可看作由點(diǎn)組成，我們只要分別畫出這些點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，再連接這些對(duì)稱點(diǎn)，就可得到原圖形的軸對(duì)稱圖形；對(duì)于一些由直線、線段或射線組成的圖形，只要畫出圖形中的一些特殊點(diǎn)(如線段端點(diǎn))關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接這些對(duì)稱點(diǎn)，就可得到原圖形的軸對(duì)稱圖形.畫軸對(duì)稱圖形的方法步驟：(1)找——在原圖形找到特殊點(diǎn).(2)畫——作出一些關(guān)鍵點(diǎn)或特殊點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn).(3)連——按原圖形的連接方式連接所得到的對(duì)稱點(diǎn)，即得到原圖形的軸對(duì)稱圖形.9.用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱（1）關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱①點(diǎn)(x,y)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(x,-y).②點(diǎn)(x,y)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(-x,y).③點(diǎn)P(x,y)關(guān)于第一、三象限角平分線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(y,x).④點(diǎn)P(x,y)關(guān)于第二、四象限角平分線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(-y,-x).（2）在坐標(biāo)系中畫軸對(duì)稱圖形的方法①計(jì)算——計(jì)算對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo).②描點(diǎn)——根據(jù)對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)描點(diǎn).③連接——依次連接所描各點(diǎn)得到軸對(duì)稱圖形.知識(shí)點(diǎn)2：等腰三角形1.等腰三角形的相關(guān)概念有兩條邊相等的三角形是等腰三角形.相等的兩條邊叫做腰，另一條邊叫做底邊.兩腰所央的角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角.2.等腰三角形的性質(zhì)(1)性質(zhì)1:等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”).注意：①性質(zhì)1是等腰三角形的重要性質(zhì)，是證明角相等常用的方法.②應(yīng)用這個(gè)性質(zhì)時(shí)，必須在一個(gè)三角形中.(2)性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合(簡(jiǎn)寫成“三線合一”).注意：①應(yīng)用“三線合一”性質(zhì)的前提條件是“在等腰三角形中“,且必須是底邊上的中線、底邊上的高和頂角的平分線互相重合，若是一腰上的高和中線就不一定重合.②等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，頂角的平分線(或底邊上的高，底邊上的中線)所在的直線是它的對(duì)稱軸.3.等腰三角形的判定：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等(簡(jiǎn)寫成“等角對(duì)等邊”).4.等邊三角形的定義三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，也叫做正三角形.5.等邊三角形的性質(zhì)(1)等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°.(2)等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸，三條對(duì)稱軸交于一點(diǎn)，該點(diǎn)稱為“中心”.(3)等邊三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性質(zhì).6.等邊三角形的判定方法(1)三條邊都相等的三角形是等邊三角形.(2)三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.(3)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.7.含30°角的直角三角形的性質(zhì)在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°,那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.題型歸納【考點(diǎn)01軸對(duì)稱圖形的識(shí)別】1．（24-25八年級(jí)上·河南信陽·期末）下列四個(gè)選項(xiàng)中，是軸對(duì)稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：A、B、C選項(xiàng)均無法找到這樣的一條直線，使得沿著這條直線折疊之后，直線兩旁的部分能完全重合，故它們都不是軸對(duì)稱圖形；D選項(xiàng)，能找到這樣的一條直線，使得沿著這條直線折疊之后，直線兩旁的部分能完全重合，故它是軸對(duì)稱圖形．故選：D2．（23-24八年級(jí)上·安徽安慶·期末）下列四種網(wǎng)絡(luò)運(yùn)營(yíng)商的標(biāo)志中，為軸對(duì)稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：A，B，C選項(xiàng)中的圖形不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對(duì)稱圖形，D選項(xiàng)中的圖形能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以是軸對(duì)稱圖形．故選：D．3．（24-25八年級(jí)上·重慶·期中）下列圖案中，不是軸對(duì)稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義，B、C、D都是軸對(duì)稱圖形，只有A不是軸對(duì)稱圖形．故選：A．4．（23-24八年級(jí)上·湖南長(zhǎng)沙·期末）下面的圖形是軸對(duì)稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：選項(xiàng)A、B、D均不能找到這樣的一條直線，使圖形沿該直線對(duì)折后直線兩旁的部分能夠完全重合，所以不是軸對(duì)稱圖形，選項(xiàng)C能找到這樣的一條直線，使圖形沿該直線對(duì)折后直線兩旁的部分能夠完全重合，所以是軸對(duì)稱圖形．故選C．【考點(diǎn)02軸對(duì)稱的特征與性質(zhì)】1．（23-24八年級(jí)上·河北唐山·期末）下列圖形中，與成軸對(duì)稱的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】B【解析】解：A、不成軸對(duì)稱，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、成軸對(duì)稱，故本選項(xiàng)正確；C、不成軸對(duì)稱，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、不成軸對(duì)稱，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：B．2．（23-24八年級(jí)上·江西贛州·期末）如圖，彈性小球從點(diǎn)出發(fā)，沿所示方向運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)小球碰到矩形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角，當(dāng)小球第1次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為，第2次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為，……；第2024次碰到矩形的邊時(shí)的點(diǎn)為圖中的（

）

A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)【答案】C【解析】解：如圖，

第1次碰到：，第次碰到：，第次碰到：，第次碰到：，第次碰到：，第次碰到：，第次碰到：，第次碰到：，，從到，每次循環(huán)次，，第次碰到是第組的第次碰到；故選：C．3．（24-25八年級(jí)上·江蘇淮安·期中）如圖，在銳角中，，的面積為，平分，若M、N分別是、上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是．【答案】【解析】解：如圖，在上截取，連接，平分，，在和中，，，，，垂線段最短，當(dāng)點(diǎn)、、在同一直線上，且時(shí)，的值最小，即的值最小，此時(shí)，即為邊上的高，，即：，，即：的最小值是，故答案為：．4．（24-25八年級(jí)上·安徽阜陽·期中）如圖，，點(diǎn)、分別在射線、，，的積為3，則三角形的邊上的高是；是直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為，當(dāng)點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三角形的面積最小值為．【答案】32【解析】解：如圖，連接，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于，，且，，點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為，，，，，，的面積為，由垂線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，取得最小值，最小值為，的面積的最小值為，故答案為：32，．【考點(diǎn)03折疊問題】1．（23-24八年級(jí)上·廣西欽州·期末）在中，將，按如圖方式折疊，點(diǎn)B，C均落在邊上的點(diǎn)G處，線段，為折痕．若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：將，折疊，點(diǎn)B，C均落在邊上的點(diǎn)G處，線段，為折痕．∴根據(jù)折疊的性質(zhì)得：，，∵，，∴，∵，∴；故選：C．2．（23-24八年級(jí)上·湖北宜昌·期末）如圖，將沿直線折疊后，使點(diǎn)B與點(diǎn)A重合．已知，的周長(zhǎng)為，則的長(zhǎng)（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：由折疊知，∵的周長(zhǎng)為，，，∴；故選：A．3．（23-24八年級(jí)上·遼寧大連·期末）如圖的三角形紙片中，，，，沿過點(diǎn)B的直線折疊這個(gè)三角形，使點(diǎn)C落在邊上的點(diǎn)E處，折痕為，則的周長(zhǎng)為（

）．A．6 B．7 C．8 D．11【答案】B【解析】解：由折疊可知，，，則，∴的周長(zhǎng)為：，故選：B．4．（24-25八年級(jí)上·山西陽泉·期中）綜合與探究問題情境：已知，點(diǎn)，分別在射線，上，連接，是的平分線．獨(dú)立思考：（1）如圖1，若所在的直線交的平分線于點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，______；當(dāng)時(shí)，______；②當(dāng)點(diǎn)，分別在射線，上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與點(diǎn)重合），試問：隨著點(diǎn)，的運(yùn)動(dòng)，的大小會(huì)發(fā)生變化嗎？如果不會(huì)，請(qǐng)求出的度數(shù)；如果會(huì)，請(qǐng)求出度數(shù)的變化范圍．拓展延伸：（2）如圖2，當(dāng)所在的直線交的平分線于點(diǎn)，點(diǎn)，分別在，上時(shí)，將沿折疊，使點(diǎn)落在內(nèi)的點(diǎn)處，求的度數(shù)．【答案】(1)①45，45，②不會(huì)發(fā)生變化，(2)【解析】解：（1）①∵，∴，．∵平分，∴．∵平分，∴，∴，∴；∵，∴，．∵平分，∴．∵平分，∴，∴，∴；故答案為：45，45；②隨著點(diǎn)A，B的運(yùn)動(dòng)，的大小不會(huì)發(fā)生變化．設(shè)，則．，．平分，平分，，．．（2），．．平分，平分，．．由折疊的性質(zhì)，得，．．．【考點(diǎn)04畫軸對(duì)稱圖形】1．（24-25八年級(jí)上·江西贛州·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的三個(gè)頂點(diǎn)分別為、、．(1)請(qǐng)?jiān)趫D中作出關(guān)于軸的軸對(duì)稱圖形（、、的對(duì)稱點(diǎn)分別是、、），并直接寫出、、的坐標(biāo)；(2)求的面積．【答案】(1)作圖見解析，(2)【解析】（1）解：如圖所示：即為所求，則；（2）解：由（1）可知，，如圖所示：的面積為．2．（23-24八年級(jí)上·河北石家莊·期末）如圖，中，已知點(diǎn)，，．(1)作關(guān)于x軸對(duì)稱的；(2)分別寫出點(diǎn)、、關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)見解析；(2)，，【解析】（1）解：，，，，，和，，關(guān)于x軸對(duì)稱，，，；如圖，即為所求作．（2）點(diǎn)、、關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，；3．（24-25八年級(jí)上·遼寧沈陽·期中）如圖，在直角坐標(biāo)系中有，其中、、，(1)畫出關(guān)于軸的對(duì)稱圖形，點(diǎn)的坐標(biāo)為______，點(diǎn)的坐標(biāo)為______；(2)在軸上有一點(diǎn)，當(dāng)最小時(shí)，畫出點(diǎn)的位置；(3)在軸上有一點(diǎn)，使，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______．【答案】(1)；；(2)見解析(3)或【解析】（1）解：如圖所示，即為所求；；故答案為：；．（2）如圖，取點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，連接，此時(shí)，為最小值，則點(diǎn)即為所求．（3）解：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為()，當(dāng)時(shí)，，解得，點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，，解得(舍去)；當(dāng)時(shí)，，解得(舍去)；當(dāng)時(shí)，解得，點(diǎn)的坐標(biāo)為．綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或．故答案為：或．4．（24-25八年級(jí)上·北京·期中）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為，，的頂點(diǎn)都在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上，在圖中建立平面直角坐標(biāo)系，使與關(guān)于軸對(duì)稱，且點(diǎn)的坐標(biāo)為．(1)在圖中畫出平面直角坐標(biāo)系；(2)①寫出點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)；②畫出關(guān)于軸對(duì)稱的圖形，其中點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是，點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是．【答案】(1)見解析(2)①．②見解析【解析】（1）解：如圖．（2）解：①∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為∴；②如圖．【考點(diǎn)05坐標(biāo)與軸對(duì)稱】1．（24-25八年級(jí)上·甘肅定西·期末）點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是，故選：A．2．（24-25八年級(jí)上·云南曲靖·期末）已知直角坐標(biāo)系中點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，則．【答案】1【解析】解：由題意，得：，∴；故答案為：1．3．（24-25八年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期中）已知點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)是，則．【答案】1【解析】解：∵點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，，，故答案為：1．4．（24-25八年級(jí)上·安徽淮南·期中）已知點(diǎn)，規(guī)定一次變換是：先作點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，再將對(duì)稱點(diǎn)向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，則連續(xù)經(jīng)過2024次變換后，點(diǎn)的坐標(biāo)變?yōu)椋敬鸢浮?2,3【解析】解：第一次變換的坐標(biāo)為；第二次變換的坐標(biāo)為；第三次變換的坐標(biāo)為；∴第2024次變換的坐標(biāo)為．故答案為：．【考點(diǎn)06線段垂直平分線】1．（23-24八年級(jí)上·河北石家莊·期末）如圖，在中，，直線m是中邊的垂直平分線，P是直線m上的一動(dòng)點(diǎn)，則的周長(zhǎng)的最小值為．【答案】4【解析】解∶因?yàn)橹本€m是中邊的垂直平分線，所以點(diǎn)B與點(diǎn)C關(guān)于直線m對(duì)稱，故當(dāng)點(diǎn)P位于直線m與的交點(diǎn)處時(shí)，取得最小值，所以的周長(zhǎng)的最小值為，因?yàn)椋缘闹荛L(zhǎng)的最小值為．故答案為：4．2．（23-24八年級(jí)上·江蘇·期中）如圖，四邊形的對(duì)角線、相交于點(diǎn)，，下列結(jié)論：①；②；③；④．其中不正確結(jié)論的序號(hào)是．【答案】④【解析】，，，，，，故①正確，不符合題意；四邊形的對(duì)角線、相交于點(diǎn)，，在和中，，，故③正確，不符合題意；，故②正確，不符合題意；，，故④不正確，符合題意；故答案為：④．3．（24-25八年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，中，，的垂直平分線與相交于點(diǎn)D，若的周長(zhǎng)是9，則的長(zhǎng)為．【答案】4【解析】∵的垂直平分線與相交于點(diǎn)D，∴，∵的周長(zhǎng)，∴的周長(zhǎng)，∵，∴．故答案為：4．4．（22-23八年級(jí)下·甘肅張掖·期末）如圖，在中，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，連接，垂直平分，垂足為，交于點(diǎn)．連接．(1)若的周長(zhǎng)為，的周長(zhǎng)為，求的長(zhǎng)；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【解析】（1）解：是線段的垂直平分線，，，的周長(zhǎng)為，的周長(zhǎng)為，，，，；（2），，，在和中，，，，．【考點(diǎn)07等邊對(duì)等角】1．（24-25八年級(jí)上·四川宜賓·期中）如圖，在中，的平分線交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．若，則的周長(zhǎng)是（）A．17 B．18 C．20 D．22【答案】C【解析】解：∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，同理：，∴的周長(zhǎng)為．故選：C．2．（23-24八年級(jí)上·上海長(zhǎng)寧·期末）如圖，在中，，，邊的垂直平分線交于，若，則．【答案】【解析】解：，，，是的垂直平分線，，，，，，故答案為：．3．（23-24八年級(jí)上·四川眉山·期末）如圖，在中，，，，分別是邊，，AB上的點(diǎn)，且，．若，則的度數(shù)為°．【答案】【解析】解：，，在與中，，．．，．，．故答案為：．4．（24-25八年級(jí)上·江蘇無錫·期中）如圖，在中，、分別垂直平分和，交于M、N兩點(diǎn)，與相交于點(diǎn)F．(1)若，求的周長(zhǎng)；(2)若，則的度數(shù)為．【答案】(1)10(2)【解析】（1）解：是線段的垂直平分線，，是線段的垂直平分線，

，周長(zhǎng)；（2）解：，，，，，，，，，，，，，．故答案為：．【考點(diǎn)08三線合一】1．（24-25八年級(jí)上·廣西柳州·期中）如圖．在中，平分，交于點(diǎn)，點(diǎn)分別為上的動(dòng)點(diǎn)，若的面積為6，則的最小值為（

）A．2 B．5 C．3.5 D．3【答案】D【解析】解：如圖，連接，∵在中，，平分，∴，，∴垂直平分，∴，∴，如圖，當(dāng)三點(diǎn)共線且時(shí)，，此時(shí)最小，即的值最小，∵，∴，解得，∴的最小值為，故選：D．2．（23-24八年級(jí)上·安徽安慶·期末）如圖，在中，、是上兩點(diǎn)，且，，、分別平分、，、交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)到的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．【解析】證明：如圖，連接，設(shè)AD與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，∵，∴為等腰三角形，∵平分，∴，，∴是AD的垂直平分線，∴，同理可得，∴，即點(diǎn)到的三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等．3．（23-24八年級(jí)上·云南紅河·期末）如圖，在中，，D為直線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），在的右側(cè)作，使得，連接．(1)當(dāng)D在線段上時(shí)，求證：．(2)請(qǐng)判斷點(diǎn)D在何處時(shí)，，并說明理由．(3)當(dāng)時(shí)，若中最小角為，直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)見詳解(2)當(dāng)點(diǎn)D在中點(diǎn)時(shí)，，理由見詳解．(3)或或【解析】（1）證明：∵，∴，在和中，，∴；（2）解：若，又∵，∴平分，∴，∴平分，又∵，∴，∴當(dāng)點(diǎn)D在中點(diǎn)時(shí)，；（3）解：由（1）可知，∴，當(dāng)時(shí)，則，，∵，∴，∴，∴為等邊三角形，①如圖1：D在線段上時(shí)，若，則．②如圖2，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，，③如圖3，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，此時(shí)，．④如圖4，．綜上所述，滿足條件的的度數(shù)為或或．4．（22-23八年級(jí)上·湖北武漢·期末）如圖，中，，，點(diǎn)D在斜邊上，且，過點(diǎn)B作交直線于點(diǎn)E，過點(diǎn)A作于點(diǎn)F．(1)求的度數(shù)；(2)求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【解析】（1）解：∵中，，，∴，∵，∴，∴；（2）證明：∵，，∴，，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴．【考點(diǎn)09等角對(duì)等邊】1．（22-23八年級(jí)上·安徽合肥·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于，點(diǎn)為延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，以為直角邊在其上方作等腰三角形，連接．(1)求證；(2)求直線與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)見解析；(2)．【解析】（1）過點(diǎn)作軸，如圖所示可得，∵，∴在和中，∴∴，，則，∴∴，∴，又∴∴（2）延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)∵∴∴∴點(diǎn)的坐標(biāo)為2．（23-24八年級(jí)上·安徽亳州·期末）如圖，在中，是斜邊上的高線，是的平分線．(1)若，求的度數(shù)；(2)求證：．【答案】(1)(2)見詳解【解析】（1）解：根據(jù)題意，是的平分線，（2）根據(jù)題意，是的平分線，設(shè)3．（23-24八年級(jí)上·安徽合肥·期末）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在上，與交于點(diǎn)O，，求的長(zhǎng)．【答案】【解析】解：∵，∴，即，在和中，∵，∴，∴，∴，∵，∴．4．（23-24八年級(jí)上·山東濟(jì)寧·期末）如圖，是的角平分線，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．是上一點(diǎn)，，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【解析】（1）是的角平分線，．，，；（2），．，．，．在和中，，，，．【考點(diǎn)10等腰三角形的性質(zhì)和判定】1．（23-24八年級(jí)上·四川眉山·期末）如圖，在中，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)．與相交于點(diǎn)，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中，①；②；③；④．正確的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】解：∵，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，故①正確；如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)由①的證明可得，，則，∵，∴，∵點(diǎn)是CD中點(diǎn)，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴，故②正確；由上述證明，設(shè)，則，，，∴，∴，故③正確；∵，∴，由①可知，，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故④錯(cuò)誤；綜上所述，正確的有①②③，共3個(gè)，故選：C．2．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖，在中，，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），連接，作，交線段于點(diǎn)，下列結(jié)論：①；②若，則；③當(dāng)時(shí)，為中點(diǎn)；④當(dāng)為等腰三角形時(shí)，．其中正確的有（填序號(hào)）．【答案】①②③【解析】解：①，，，，，，故①正確；②，，由①知，，，，故②正確；③，，，，，，，，為中點(diǎn)，故③正確；④，，，為等腰三角形，或，當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，，故④不正確．正確的有①②③，故答案為：①②③．3．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）已知：如圖，為的角平分線，且為延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，，過E作，F(xiàn)為垂足，下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是．（只填序號(hào)）【答案】①②③④【解析】解：∵為的角平分線，∴，在和中，，∴，故①符合題意；∵，∴，∴，∵，∴，

∴，故②符合題意；∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵∴∴∵∴∴，故③符合題意；如圖，在上截取，連接，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故④符合題意．綜上，正確的結(jié)論是①②③④，故答案為：①②③④．4．（23-24八年級(jí)上·湖北宜昌·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，且滿足．(1)求點(diǎn)的坐標(biāo)．(2)為軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)在線段上方作，且．①如圖1，若點(diǎn)在軸正半軸上，點(diǎn)在第一象限，連接，過點(diǎn)作的平行線交軸于點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)（用含的式子表示）．②如圖2，連接，探究當(dāng)取最小值時(shí)，線段與的關(guān)系．【答案】(1)(2)①②且【解析】（1）∵滿足，∴；（2）①∵∴∴，∴，又∵，∴，∴，而，∴，∴在和中，，∴，∴；∵且點(diǎn)在軸正半軸上，∴②如圖3，過點(diǎn)作軸于，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，，又∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴點(diǎn)在過點(diǎn)且與軸正半軸成夾角的直線上運(yùn)動(dòng)，如圖4，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，最小．∵，∴是等腰直角三角形，∴是等腰直角三角形，且，又∵，∴、均是等腰直角三角形，∴，∴且；【考點(diǎn)11含30°角的直角三角形】1．（23-24八年級(jí)上·安徽安慶·期末）如圖，中，，是斜邊上的高，，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：∵，，∴，∵是斜邊上的高，∴，∴，∴，∴，故選：D．2．（24-25八年級(jí)上·山東日照·期中）如圖，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，點(diǎn)，分別從頂點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)，沿線段，運(yùn)動(dòng)，且它們的速度都為．當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．當(dāng)時(shí)，是直角三角形．【答案】或【解析】解：∵點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，∴，，∵是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，∴，當(dāng)時(shí)，∴，∴，得，解得：；當(dāng)時(shí)，∴，∴，得，解得：；∴當(dāng)?shù)诿牖虻诿霑r(shí)，為直角三角形，故答案為：或．3．（23-24八年級(jí)上·福建廈門·期末）如圖，等邊三角形中，，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，且．若點(diǎn)E是y軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為．（用含a的式子表示）【答案】【解析】解：作點(diǎn)D關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)M，過點(diǎn)作，過點(diǎn)作，如圖，此時(shí)的值最小，等邊三角形中，，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，且．，，點(diǎn)D關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)是M，，，，，，，，，，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為，故答案為：4．（23-24八年級(jí)上·云南紅河·期末）如圖，是邊長(zhǎng)為9的等邊三角形，P是邊上的動(dòng)點(diǎn)，由點(diǎn)A向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)（與A，C不重合），Q是延長(zhǎng)線上的動(dòng)點(diǎn)，與點(diǎn)P以相同的速度同時(shí)由點(diǎn)B向延長(zhǎng)線方向運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)Q不與點(diǎn)B重合），過點(diǎn)P作于點(diǎn)E，連接交AB于D．(1)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；(2)過P作交AB于M．①求證：是等邊三角形；②求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)的長(zhǎng)為3；(2)①見詳解②【解析】（1）解：是等邊三角形，，，設(shè)，則，，，，，即解得：，即的長(zhǎng)為3；（2）①如圖，∵，，，是等邊三角形，②是等邊三角形，，，，，，在和中，，，，．【考點(diǎn)12等邊三角形的性質(zhì)和判定】1．（24-25八年級(jí)上·浙江杭州·期末）如圖，點(diǎn)P是內(nèi)部一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于，的對(duì)稱點(diǎn)分別是，，直線交，于點(diǎn)，，若的周長(zhǎng)是15，且，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．5【答案】D【解析】解：連接，由軸對(duì)稱的性質(zhì)知：，，，，，即，，，是等邊三角形，的周長(zhǎng)是15，的長(zhǎng)為，故選：D．2．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖，在等腰直角三角形中，，，以為邊作等邊三角形，點(diǎn)，分別在線段，上，，，與相交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．(1)求證：是等邊三角形；(2)試判斷線段和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)，理由見解析【解析】（1）證明：是等邊三角形，，，在和中，，，，，，，，，，，是等邊三角形；（2）解：如圖，連接，由（1）知，，是等邊三角形，，在與中，，，，，，在中，，，．3．（22-23八年級(jí)上·廣東東莞·期末）是等邊三角形，點(diǎn)D是邊上動(dòng)點(diǎn)，，把沿對(duì)折，得到．(1)如圖1，若，則______°．(2)如圖2，點(diǎn)P在延長(zhǎng)線上，且．①連接，試探究之間是否存在一定數(shù)量關(guān)系，猜想并說明理由．②連接，若，C，P三點(diǎn)共線，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)①，理由見解析；②8【解析】（1）解：∵是等邊三角形，∴，由折疊的性質(zhì)可知，，∴，故答案為：；（2）①解：，理由如下：如圖1，連接，在上取一點(diǎn)，使，∵是等邊三角形，∴，又∵，∴，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，即；②解：∵，C，P三點(diǎn)共線，∴，由折疊可知，，，∴，即，又∵，∴，∴，由①知，，∴，解得，，∴，∴的長(zhǎng)為8．4．（22-23八年級(jí)上·湖南衡陽·期末）已知：為等邊三角形．(1)如圖1，點(diǎn)D、E分別為邊上的點(diǎn)，且．①求證：；②求的度數(shù)．(2)如圖2，點(diǎn)D為外一點(diǎn)，，、的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，連接，猜想線段、、之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明．(3)如圖3，D是等邊三角形外一點(diǎn)．若，連接，直接寫出的最大值與最小值的差．【答案】(1)①證明見解析；②(2)猜想，證明見解析(3)的最大值與最小值的差為【解析】（1）①證明：∵是等邊三角形，∴，，在和中，，∴；②解：∵，∴，∴；（2）解：猜想，證明如下：如圖2中，在上取一點(diǎn)，使得，連接，∵，，∴是等邊三角形，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∴；（3）解：如圖3中，以為邊向外作等邊，連接，∴，，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴的最小值為，最大值為，∵，∴的最大值與最小值的差為．【考點(diǎn)13角平分線的性質(zhì)與判定】1．（23-24八年級(jí)上·貴州遵義·期末）已知：如圖，在中，，D是上一點(diǎn)，于E，且．(1)求證：平分；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)詳見解析(2)【解析】（1）證明：，，，點(diǎn)在的平分線上，平分；（2）解：，，，平分，．2．（24-25八年級(jí)上·吉林·期中）如圖，點(diǎn)E是的平分線上的一點(diǎn)，，，垂足分別為點(diǎn)C、D，連接交于點(diǎn)F，且．(1)求證：是等邊三角形．(2)若，時(shí)，直接寫出的周長(zhǎng)．（用含m、n的式子表示）【答案】(1)見解析(2)【解析】（1）證明：∵平分，，，∴，，∵，∴，∴，∵，∴是等邊三角形；（2）解：∵是等邊三角形，平分，∴，，∴，，垂直平分，∴，∵，∴，∴，∴的周長(zhǎng)．3．（24-25八年級(jí)上·云南曲靖·期末）如圖，是的角平分線，，，垂足分別為E，F(xiàn)，連接，與相交于點(diǎn)G，求證：是的垂直平分線．【解析】解：∵是的角平分線，，，∴，，∴，∴，∴，∴，∵，∴在線段的垂直平分線上，∴是的垂直平分線．4．（24-25八年級(jí)上·江蘇無錫·期中）如圖，中，點(diǎn)D在邊上，，的平分線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作，垂足為，且，連接．(1)求證：平分(2)若，三角形的面積是16，求的面積．【答案】(1)見解析(2)8【解析】（1）證明：過點(diǎn)E作交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)H，∵，，∴，∴，∴，平分，，，，平分，，，，，，，平分；（2）解：，，，，，，，，，，．過關(guān)檢測(cè)一、單選題1．（24-25八年級(jí)上·廣西南寧·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為0,4，點(diǎn)的坐標(biāo)為8,4，點(diǎn)是軸上任意一點(diǎn)，若要使的值最小，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B．2,0 C． D．【答案】C【解析】解：作點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)C，連接交x軸于點(diǎn)E，連接，作軸于點(diǎn)F，則，∵，，∴，，∴，，在和中，，∴，∴，∴，∵x軸垂直平分，且點(diǎn)E在x軸上，∴，∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，則，此時(shí)的值最小，∴要使的值最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為，故選：C．2．（24-25八年級(jí)上·山西大同·期中）如圖，在2×2的正方形的網(wǎng)格中，格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形稱為格點(diǎn)三角形．圖中的為格點(diǎn)三角形，在圖中最多能畫出（

）個(gè)不同的格點(diǎn)三角形與成軸對(duì)稱．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】解：與成軸對(duì)稱的格點(diǎn)三角形如圖所示，在圖中最多能畫出、、、和5個(gè)不同的格點(diǎn)三角形與成軸對(duì)稱．故選：D．3．（24-25八年級(jí)上·云南曲靖·期末）如圖，在中，，的面積為12，于點(diǎn)D，直線垂直平分，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，P是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是（

）A．4 B．6 C．7 D．12【答案】A【解析】解：連接，∵直線垂直平分，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴的最小值為．故選：A．4．（24-25八年級(jí)上·內(nèi)蒙古赤峰·期中）如圖，在中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線，交于點(diǎn)D，連接．若的周長(zhǎng)為12，，則的周長(zhǎng)為（

）A．7 B．14 C．17 D．20【答案】D【解析】解：由題意知，是線段的垂直平分線，∴，∵的周長(zhǎng)為，的周長(zhǎng)為，∴，∴的周長(zhǎng)為20，故選：D．5．（24-25八年級(jí)上·浙江寧波·期中）如圖點(diǎn)C為線段上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B、D重合），，，，與交于點(diǎn)O，與交于點(diǎn)M，與交于點(diǎn)N，連接，以下四個(gè)結(jié)論：①，②，③，④．

正確的有多少個(gè)？（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解析】解：∵，∴，∴，，∴①正確；∵，∴，∴，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，∴②正確；③若，則，,,，而點(diǎn)C不一定是線段的中點(diǎn)，此說法不一定正確；，∴④正確；綜上所述，正確的有3個(gè)，故選：C．6．（24-25八年級(jí)上·重慶·期中）如圖，在中，是邊上的高，，，，連接，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接，．則下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的有（

）A．①② B．①②③ C．①②③④ D．①②④【答案】D【解析】解：∵，，∴，在與中，∵，∴，∴，故①正確，∵，∴，，∵，∴，∴，故②正確，過點(diǎn)F作于點(diǎn)M，過點(diǎn)G作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，，∵，∴，，∴，又∵，∴，∴，同理，∴，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，，∴，故③錯(cuò)誤，④正確，故選：D．7．（24-25八年級(jí)上·山東德州·期中）如圖，在中，和的平分線相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于，下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③點(diǎn)到各邊的距離相等；④設(shè)，，則；⑤；⑥的周長(zhǎng)．正確的結(jié)論有（

）A．6個(gè) B．5個(gè) C．4個(gè) D．3個(gè)【答案】B【解析】解：在中，和的平分線相交于點(diǎn)，，，∵，，；故②正確；∵，，，，，，，，故①正確；∴的周長(zhǎng)，故⑥正確；過點(diǎn)作于，作于，連接，

在中，和的平分線相交于點(diǎn)，，即到各邊的距離相等，故③正確．；故④正確；現(xiàn)有條件無法判斷，故⑤錯(cuò)誤；綜上所述，正確的結(jié)論有①②③④⑥，共5個(gè)，故選：B．8．（24-25八年級(jí)上·湖北十堰·期中）如圖，中，于平分，且于，與相交于點(diǎn)于，交于，下列結(jié)論：①；②；③；④．其中正確的是（

）A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④【答案】D【解析】解：∵，，∴是等腰直角三角形．∴．故①正確；在和中，∵，，且，∴．又∵，，∴．∴；．∵，∴；故②正確；在和中∵平分，∴．又∵，，∴．∴．又由（2），知，∴；故③正確；連接，如圖，∵是等腰直角三角形，∴，又，∴垂直平分．∴，在中，∵是斜邊，CE是直角邊，∴．∵，∴．故④正確．則正確的選項(xiàng)有①②③④；故選：D．二、填空題9．（24-25八年級(jí)上·浙江寧波·期中）已知有序數(shù)對(duì)及常數(shù)，我們稱有序數(shù)對(duì)，為有序數(shù)對(duì)的“階結(jié)伴數(shù)對(duì)”．如的“1階結(jié)伴數(shù)對(duì)”為即．若有序數(shù)對(duì)與它的“階結(jié)伴數(shù)對(duì)”關(guān)于軸對(duì)稱，則此時(shí)的值為．【答案】【解析】解：由題意得，有序數(shù)對(duì)的“階結(jié)伴數(shù)對(duì)”為，有序數(shù)對(duì)（）與它的“階結(jié)伴數(shù)對(duì)”關(guān)于軸對(duì)稱，與關(guān)于軸對(duì)稱，，，，又，，解得：．故答案為：．10．（24-25八年級(jí)上·重慶·期中）如圖，中，的平分線交于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作于點(diǎn)F．點(diǎn)D在邊上，連接、，平分，若，則的面積為．【答案】7【解析】解：過作于于，平分平分，，，，，，，，的面積，故答案為：7．11．（24-25八年級(jí)上·安徽淮南·期中）如圖，在中，的垂直平分線交于點(diǎn)D，垂足為點(diǎn)E．（1）若的周長(zhǎng)為，則的周長(zhǎng)為；（2）若平分，則的度數(shù)為．【答案】2430°/30度【解析】解：（1）是的垂直平分線，∴，．，∴，故答案為：24；（2）垂直平分，平分，故答案為：．12．（24-25八年級(jí)上·全國(guó)·期末）如圖，在中，，，，點(diǎn)M在線段上運(yùn)動(dòng)（不包含點(diǎn)B），連接，將沿直線翻折得到．（1）當(dāng)時(shí)，則．（2）在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)到直線距離的最大值是．【答案】【解析】解：（1）如圖，

∵，∴；由折疊性質(zhì)可知：，∵，∴，∴，∵，∴，故答案為：；（2）如圖，，當(dāng)垂足E在線段上時(shí)，點(diǎn)到直線距離的最大；

∴，由折疊性質(zhì)可知：，∴，∴，∴，故答案為：．三、解答題13．（24-25八年級(jí)上·山東菏澤·期中）如圖，在中，分別垂直平分和，交于M，N兩點(diǎn)，與相交于點(diǎn)F．(1)若，求的周長(zhǎng)．(2)連接，在（1）的條件下，若的周長(zhǎng)為18，求的長(zhǎng)．【答案】(1)8(2)5【解析】（1）解：∵，分別垂直平分和，∴，，∴的周長(zhǎng)；（2）解：連接、、，∵的周長(zhǎng)為18，∴，∵，∴．∵、分別垂直平分和，∴，，∴，∴.14．（24-25八年級(jí)上·云南昆明·期中）如圖，在中，是高，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊的延長(zhǎng)線上，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，且，若．(1)求證：是等邊三角形；(2)若，求長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【解析】（1）證明