《數(shù)字通信原理》課件第2章

第2章信道和噪聲2.1信道的基本概念2.2調(diào)制信道及其對信號傳輸?shù)挠绊?.3信道中的噪聲

2.4隨機(jī)信號和噪聲分析2.5信道容量

2.1信道的基本概念

2.1.1信道的定義及分類

信道分為兩類：狹義信道和廣義信道。調(diào)制信道和編碼信道的示意圖如圖2-1所示。圖2-1調(diào)制信道與編碼信道示意圖2.1.2信道的數(shù)學(xué)模型

1.調(diào)制信道模型

在頻帶傳輸系統(tǒng)中，已調(diào)信號離開調(diào)制器便進(jìn)入調(diào)制

信道。

(1)若有一對(或多對)輸入端，則必然有一對(或多對)輸

出端；

(2)絕大部分信道是線性的，即滿足線性疊加原理；

(3)信號通過信道有一定的時延；

(4)信道對信號有損耗(固定損耗或時變損耗)；

(5)即使沒有信號輸入，在信道的輸出端仍可能有一定的輸出(噪聲)。根據(jù)上述五個特性，可用一個二對端(或多對端)的時變線性網(wǎng)絡(luò)來代替調(diào)制信道，這個網(wǎng)絡(luò)就稱做調(diào)制信道模型，如圖2-2所示。圖2-2調(diào)制信道模型對于二對端的信道模型來說，它的輸入和輸出之間的關(guān)系式可表示成

eo(t)=f［ei(t)］+n(t)

(2-1)

式中，ei(t)為輸入的已調(diào)信號；eo(t)為信道的輸出信號；

n(t)為信道噪聲(或稱信道干擾)；f［ei(t)］為用某種函數(shù)關(guān)系(變換)表示信道對信號的影響。由于f［ei(t)］形式是個高度概括的結(jié)果，因此為了進(jìn)一

步理解信道對信號的影響，假定能把f［ei(t)］簡化成k(t)·ei(t)的形式，則式(2-1)可寫成

eo(t)=k(t)·ei(t)+n(t)(2-2)

式(2-2)即為二對端信道的數(shù)學(xué)模型。其中，k(t)依賴于網(wǎng)絡(luò)特性，反映了網(wǎng)絡(luò)特性對ei(t)的作用。k(t)的存在對ei(t)來說是一種干擾，通常稱其為乘性干擾，

它對信號ei(t)的影響較大。n(t)與ei(t)之間無依賴關(guān)系，或

者說n(t)獨(dú)立于ei(t)，稱其為加性干擾。這樣，信道對信號的影響可歸納為兩方面：一是乘性干擾k(t)的影響；二是加性干擾n(t)的影響。如果了解了k(t)和

n(t)的特性，則信道對信號的具體影響就清楚了。不同特性的信道，僅僅是信道模型有不同的k(t)和n(t)而已。理想信道，即能無失真地傳輸信號，應(yīng)是k(t)=常數(shù)，n(t)=0，即

eo(t)=k·ei(t)

(2-3)

實(shí)際中，乘性干擾k(t)一般是一個復(fù)雜函數(shù)，它可能包括各種線性失真、非線性失真、交調(diào)失真、衰落失真等，而且往往只能用隨機(jī)過程加以表述，這是由于網(wǎng)絡(luò)的延遲特性和損耗特性隨時間隨機(jī)變化的結(jié)果。但是，經(jīng)大量觀察表明，有些信道的k(t)基本不隨時間變

化，或變化極為緩慢，稱這一類信道為恒參信道；有些信道卻不然，它們的k(t)是隨機(jī)快變化的，稱這一類信道為隨參信道(或稱變參信道)。因此，在分析研究乘性干擾k(t)時，在相對的意義上可把調(diào)制信道分為兩大類：恒參信道和隨參信道。

2.編碼信道模型

編碼信道是包括調(diào)制信道及調(diào)制器、解調(diào)器在內(nèi)的信道。它與調(diào)制信道模型相比有明顯的不同：調(diào)制信道對信號的影

響是通過k(t)和n(t)使調(diào)制信號發(fā)生“模擬”變化；而編碼信道

對信號的影響則是一種數(shù)字序列的變換，即把一種數(shù)字序列變換成另一種數(shù)字序列，故有時可把編碼信道看成是一種數(shù)字信道。例如，在最常見的二進(jìn)制數(shù)字傳輸系統(tǒng)中，一個簡單的二進(jìn)制無記憶編碼信道模型如圖2-3所示。之所以說這個模型是“簡單的”，是因為在這個假設(shè)模型中每個數(shù)字碼元發(fā)生差錯是相互獨(dú)立的，用編碼的術(shù)語來說，這種信道是無記憶的(即某一碼元的差錯與其前、后碼元是否發(fā)生差錯無關(guān))。圖2-3二進(jìn)制無記憶編碼信道模型在圖2-3中，把P(0/0)、P(1/0)、P(0/1)、P(1/1)稱為信道轉(zhuǎn)移概率，具體地，把P(0/0)和P(1/1)稱為正確轉(zhuǎn)移概率，

而把P(1/0)和P(0/1)稱為錯誤轉(zhuǎn)移概率。根據(jù)概率性質(zhì)可知

P(0/0)+P(1/0)=1

P(1/1)+P(0/1)=1信道分類歸納如下：

2.2調(diào)制信道及其對信號傳輸?shù)挠绊?/p>

2.2.1恒參信道

1.恒參信道舉例

(1)對稱電纜。對稱電纜是在同一保護(hù)套內(nèi)有許多對相互絕緣的雙導(dǎo)線的傳輸媒質(zhì)。

(2)同軸電纜。同軸電纜由同軸的兩個導(dǎo)體構(gòu)成，外導(dǎo)體是一個圓柱形的空管(在可彎曲的同軸電纜中，它可以由金屬絲編織而成)，內(nèi)導(dǎo)體是金屬線(芯線)。

(3)光纖信道。以光導(dǎo)纖維(簡稱光纖)為傳輸媒質(zhì)、光波為載波的光纖信道，可提供極大的傳輸容量。

(1)無線電視距中繼。無線電視距中繼是指工作頻率在超短波和微波波段時，電磁波基本上沿視線傳播，通信距離

依靠中繼方式延伸的無線電線路。相鄰中繼站間的距離一般在40km～50km。它主要用于長途干線、移動通信網(wǎng)及某些數(shù)據(jù)收集(如水文、氣象數(shù)據(jù)的測報)系統(tǒng)中。無線電中繼信道的構(gòu)成如圖2-4所示,它由終端站、中繼站及各站間的電波傳播路徑所構(gòu)成。圖2-4無線電中繼信道的構(gòu)成

(2)人造衛(wèi)星中繼信道。人造衛(wèi)星中繼信道可視為無線電中繼信道的一種特殊形式。軌道在赤道平面上的人造衛(wèi)星，

當(dāng)它離地面的高度為35860km時，繞地球運(yùn)行一周的時間恰為24h，這種衛(wèi)星稱為同步通信衛(wèi)星。使用它作為中繼站，可以實(shí)現(xiàn)地球上18000km范圍內(nèi)的多點(diǎn)之間的聯(lián)接。采用三個適當(dāng)配置的同步衛(wèi)星中繼站就可以覆蓋全球(除兩極盲區(qū)外)。

2.恒參信道特性及不失真條件

恒參信道對信號傳輸?shù)挠绊懖浑S時間而變化，或者隨時間變化得很緩慢，因此其信道模型可以等效為一個線性時不變網(wǎng)絡(luò)，該線性網(wǎng)絡(luò)的傳輸特性H(ω)可用幅度-頻率特性

|H(ω)|和相位-頻率特性j(ω)來表征,即

H(ω)=|H(ω)|ejj

(ω)

(2-4)

(1)幅度-頻率特性是一個不隨頻率變化的常數(shù)，即通帶內(nèi)應(yīng)是水平直線，如圖2-5(a)所示，其中A是常數(shù)。這樣，信號的各個頻率分量不會因通過信道傳輸而發(fā)生失真。

(2)相位-頻率特性與頻率呈直線關(guān)系，如圖2-5(b)所示，其中K是常數(shù)。

網(wǎng)絡(luò)的相位-頻率特性還經(jīng)常用群遲延-頻率特性τ(ω)來衡量。所謂群遲延-頻率特性是指相位-頻率特性的導(dǎo)數(shù)，即圖2-5信道不失真?zhèn)鬏斕匦?a)幅度-頻率特性;(b)相位-頻率特性;(c)群遲延-頻率特性

3.失真及其對信號傳輸?shù)挠绊?/p>

1)幅度-頻率失真

圖2-6示出了典型音頻電話信道的總衰耗-頻率特性曲線。圖中低頻截止約從300Hz開始。在300Hz以下，每倍頻程衰耗升高15dB～25dB；在300Hz～1100Hz范圍內(nèi),衰耗比較

平坦；在1100Hz～2900Hz范圍內(nèi)，衰耗通常是線性上升的(2600Hz的衰耗比1100Hz時的高8dB)；在2900Hz以上，衰

耗增加很快，每倍頻程增加80dB～90dB。圖2-6典型電話信道的總衰耗-頻率特性

2)相位-頻率失真(群遲延失真)

信道的相頻特性在信號頻帶內(nèi)不是頻率的線性函數(shù)，信號的各頻率分量通過信道后將產(chǎn)生不同的遲延，從而引起波形的群遲延失真。一個典型的電話信道的群遲延-頻率特性如圖2-7所示。圖2-7典型電話信道的群遲延-頻率特性

【例2-1】設(shè)某恒參信道的傳輸特性為

其中，T0和td為常數(shù)。試確定信號s(t)通過該信道后的輸出信號表示式，并討論該信道對信號傳輸?shù)挠绊憽＝夂銋⑿诺赖膫鬏斕匦詾闆_激響應(yīng)為輸出信號為幅頻特性為

|H(ω)|=1+cosωT0相頻特性為

j(ω)=－ωtd2.2.2隨參信道

1.隨參信道的特點(diǎn)

1)短波電離層反射信道

短波是指波長為100m～10m(相應(yīng)的頻率為3MHz～

30MHz)的無線電波。電離層是指60km～2000km的高空大氣層，它主要是由太陽光中的紫外線照射高空大氣使之電離而形成的。電離層一般分為四層:60km～80km為D層，100km～120km為E層，200km左右為F1層，350km～400km為F2層。電離層的厚度、電子濃度和高度受日照的影響極大。D層只有

在白天日照時才存在，它主要對長波起反射作用，而對短波和中波則起吸收作用。

E層主要由氧原子電離形成，可反射中波和短波，白天和晚上都存在。在E層之上是F層，夏季白天此層又可分為

F1層(高約180km～240km)和F2層(高約300km～500km),其

中F1層只有白天存在，F(xiàn)2層白天、晚上都存在。利用F層

的反射作用，可進(jìn)行短波遠(yuǎn)距離通信，通信距離為1000km～2000km,該層是遠(yuǎn)距離傳輸?shù)闹匾诺乐弧?/p>

(1)電波經(jīng)電離層的一次反射和多次反射；

(2)幾個反射層高度不同；

(3)地球磁場引起的電磁波束分裂成尋常波與非尋常波；

(4)電離層不均勻性引起的漫射現(xiàn)象。

以上四種情況下的多徑傳播示意圖如圖2-8所示。圖2-8多徑傳播的幾種主要形式示意圖(a)一次反射和兩次反射;(b)反射層高度不同;(c)尋常波與非尋常波;(d)漫射現(xiàn)象

2)對流層散射信道

對流層散射信道是一種超視距的傳播信道，其中一跳的傳播距離約為100km～500km，可工作在超短波和微波波段。

設(shè)計良好的對流層散射線路可提供12～240個頻分復(fù)用(FDM)的話路，而傳播的可靠性可達(dá)99.9%。離地面10km～12km以下的大氣層稱為對流層。在對流層中，由于大氣湍流運(yùn)動等原因產(chǎn)生了不均勻性，因此引起電波的散射。圖2-9示出了對流層散射傳播路徑的示意圖。圖2-9對流層散射傳播路徑示意圖

(1)衰落。

①慢衰落。在一年之內(nèi)，夏季的信號比冬季強(qiáng)(約為

10dB)；在一天之內(nèi)，中午的信號比早、晚的弱(約為5dB)。慢衰落用小時中值(有的取5min中值，但分鐘中值與小時中值接近)相對于月中值的起伏來表示。②快衰落。散射體積內(nèi)各不均勻氣團(tuán)散射的電波是經(jīng)過不同路徑到達(dá)接收點(diǎn)的，即有多條路徑。這種多徑傳播的影響之一是形成了接收信號的快衰落，即信號振幅和相位的快速隨機(jī)變化。理論與實(shí)測均表明，散射接收信號的振幅服從瑞利分布，相位服從均勻分布。

(2)傳播損耗。

(3)信道的允許頻帶。散射信道是典型的多徑信道。多徑傳播不僅引起信號電平的快衰落，而且還會導(dǎo)致波形失真。

如圖2-10所示，某時刻發(fā)出的窄脈沖經(jīng)過不同長度的路程到達(dá)接收點(diǎn)。圖2-10多徑時散示意圖脈沖信號通過帶限系統(tǒng)后，波形也被展寬，而且系統(tǒng)頻帶越窄，波形展寬就越多。從這一角度來看，散射信道好像是一個帶限濾波器，其允許頻帶(又稱相關(guān)帶寬)定義為

式中,τm為最大多徑時延差。(2-6)

2.隨參信道對信號傳輸?shù)挠绊?/p>

1)一般衰落(頻率彌散現(xiàn)象)

假設(shè)發(fā)射信號為單一頻率正弦波Acosωct，那么經(jīng)過n

條路徑傳播后的接收信號R(t)可用下式表述:

(2-7)式中，ai(t)為第i條路徑到達(dá)接收端的信號的隨機(jī)幅度；

tdi(t)為第i條路徑的傳輸時延；ji(t)為第i條路徑到達(dá)接收端的

信號的隨機(jī)相位，即

ji(t)=－ωctdi(t)(2-8)

由于ai(t)和ji(t)隨時間的變化要比信號載頻的周期變化慢得多，因此式(2-7)可寫成(2-9)令并代入式(2-9)后得(2-10)(2-11)(2-12)其中a(t)是多徑信號合成后的包絡(luò)，即(2-13)而j(t)是多徑信號合成后的相位，即(2-14)由于ai(t)和ji(t)都是隨機(jī)過程，因此aI(t)、aQ(t)、a(t)和j(t)也都是隨機(jī)過程。由式(2-12)可以看出，R(t)可視為一個窄帶隨機(jī)過程。圖2-11給出了R(t)的波形和頻譜示意圖，從圖中可得到如下結(jié)論：

(1)從波形圖上看，多徑傳播使單一頻率的正弦信號變成了包絡(luò)和相位隨機(jī)緩慢變化的窄帶信號，這種信號稱為衰落信號，即多徑傳播使信號產(chǎn)生瑞利型衰落；

(2)從頻譜圖上看，多徑傳播使單個頻率變成了窄帶頻譜，即多徑傳播引起了頻率彌散。圖2-11R(t)的波形及頻譜示意圖(a)R(t)波形;(b)R(t)頻譜

2)頻率選擇性衰落

為了分析方便，我們假設(shè)多徑傳播的路徑只有兩條，

且到達(dá)接收點(diǎn)的兩路信號具有相同的強(qiáng)度和一個相對時延差，如圖2-12所示。其中，t0是固定的時延,τ是兩條路徑

信號的相對時延差，V0為某一確定值。圖2-12兩徑傳播模型當(dāng)發(fā)射信號為f(t)時，經(jīng)兩條路徑傳播后的接收信號為

R(t)=V0f(t－t0)+V0f(t－t0－τ)

(2-15)

設(shè)發(fā)射信號的傅里葉變換對為

(2-16)

則接收信號的頻譜為

(2-17)

兩徑信道的傳輸特性為(2-18)由此可見，所求的傳輸特性除常數(shù)因子V0外，是由一個模值為1、固定時延為t0的網(wǎng)絡(luò)與另一個特性為1+e－jωt的網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)所組成。而后一個網(wǎng)絡(luò)的幅度-頻率特性為(2-19)圖2-13表示了上述關(guān)系。圖2-13頻率選擇性衰落示意圖多徑傳播時相對時延差(簡稱多徑時延差)通常用最大多徑時延差表示，并用它來估算傳輸零、極點(diǎn)在頻率軸上的位置。設(shè)最大多徑時延差為τm，則定義(2-20)即為相鄰傳輸零點(diǎn)的頻率間隔。

3.改善隨參信道特性的措施

(1)空間分集。

(2)頻率分集。

(3)角度分集。

(4)極化分集。

各分散的合成信號進(jìn)行合并的方法如下。

(1)最佳選擇式。從幾個分散信號中設(shè)法選擇其中信噪比最好的一個作為接收信號。

(2)等增益相加式。將幾個分散信號以相同的支路增益進(jìn)行直接相加，相加后的結(jié)果作為接收信號。

(3)最大比值相加式?？刂聘髦吩鲆妫顾謩e與本支路的信噪比成正比，然后相加獲得接收信號。以上合并方式在改善總接收信噪比上均有差別，如圖

2-14所示。圖中k為分集的重數(shù)，r為合并后輸出信噪比的

平均值。由圖2-14可見，最大比值相加方式的性能最好，

等增益相加方式的次之，最佳選擇方式的最差。圖2-14三種合并方式的比較2.3信道中的噪聲

(1)無線電噪聲。

(2)工業(yè)噪聲。

(3)天電噪聲。

(4)內(nèi)部噪聲。

按噪聲性質(zhì)區(qū)分如下:

(1)單頻噪聲。它主要指無線電干擾。因為電臺發(fā)射的頻譜集中在比較窄的頻率范圍內(nèi)，所以可以近似地看做是單頻性質(zhì)的。

(2)脈沖干擾。它包括工業(yè)干擾中的電火花、斷續(xù)電流以及天電干擾中的雷電等。它的特點(diǎn)是波形不連續(xù)，呈脈沖性質(zhì)。這類干擾發(fā)生的時間很短，強(qiáng)度很大，而周期是隨機(jī)的，因此它可以用隨機(jī)的窄脈沖序列來表示。

(3)起伏噪聲。它主要指信道內(nèi)部的熱噪聲和器件噪聲以及來自空間的宇宙噪聲。它們都是不規(guī)則的隨機(jī)過程，只能采用大量統(tǒng)計的方法來尋求其統(tǒng)計特性。

2.4隨機(jī)信號和噪聲分析

2.4.1隨機(jī)過程的一般表述

1.定義及其特征

設(shè)有n臺性能完全相同的通信機(jī)，它們的工作條件也都相同,現(xiàn)用n部記錄儀同時記錄各部通信機(jī)的輸出噪聲波形。測試結(jié)果將會表明，得到的n張記錄圖形并不因為有相同的條件而輸出相同的波形。恰恰相反，即使n足夠的大，也找不到兩個完全相同的波形，如圖2-15所示。圖2-15n部通信機(jī)的輸出記錄從數(shù)學(xué)角度說，隨機(jī)過程ξ(t)的定義如下：設(shè)隨機(jī)試

驗E的可能結(jié)果為ξ(t)，試驗的樣本空間S為{x1(t),x2(t),…,xi(t),…}，i為正整數(shù)，xi(t)為第i個樣本函數(shù)(又稱之為實(shí)現(xiàn))，每次試驗之后，ξ(t)取空間S中的某一樣本函數(shù)，于

是稱此ξ(t)為隨機(jī)函數(shù)。當(dāng)t代表時間量時，稱此ξ(t)為隨機(jī)過程。

2.隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性

1)概率分布

設(shè)ξ(t)表示一個隨機(jī)過程，則在任意一個時刻t1上ξ(t1)是一個隨機(jī)變量。顯然，這個隨機(jī)變量的統(tǒng)計特性可以用分布函數(shù)或概率密度函數(shù)描述，稱

F1(x1,t1)=P{ξ(t1)≤x1}

(2-21)

為隨機(jī)過程ξ(t)的一維分布函數(shù)。如果存在(2-22)則稱f1(x1,t1)為ξ(t)的一維概率密度函數(shù)。無疑，在一般情況下用一維分布函數(shù)去描述隨機(jī)過程的完整統(tǒng)計特性是極不充分的，通常需要在足夠多的時刻上考慮隨機(jī)過程的多維分布函數(shù)。

ξ(t)的n維分布函數(shù)被定義為如果存在(2-24)則稱其為ξ(t)的n維概率密度函數(shù)。

2)數(shù)字特征

(1)數(shù)學(xué)期望。隨機(jī)過程ξ(t)的數(shù)學(xué)期望又稱統(tǒng)計平均值或均值，定義為

(2-25)

并記為E［ξ(t)］=a(t)。它是時間t的函數(shù)，表示隨機(jī)過程在不同時刻所得的隨機(jī)變量分布的中心值。

(2)方差。隨機(jī)過程ξ(t)的方差定義為

D［ξ(t)］=E{ξ(t)－E［ξ(t)］}2(2-26)

由此還可得

(2-27)常記為D［ξ(t)］=σ2(t)。

(3)自相關(guān)函數(shù)。數(shù)學(xué)期望和方差只與隨機(jī)過程的一維概率密度函數(shù)有關(guān)，因而它們只是描述了隨機(jī)過程在各個孤立時刻的特征，而不能反映隨機(jī)過程內(nèi)在的聯(lián)系。為了衡量

隨機(jī)過程在任意兩個時刻上獲得的隨機(jī)變量的統(tǒng)計相關(guān)特性，常用自相關(guān)函數(shù)R(t1,t2)來表示。自相關(guān)函數(shù)R(t1,t2)定義為從以上對隨機(jī)過程的一般表述看到，隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性原則上都與時刻t1、t2有關(guān)。就自相關(guān)函數(shù)而言，它的相

關(guān)程度與選擇時刻t1及t2有關(guān)。如果t2>t1，并令t2=t1+τ，即τ是t2與t1之間的時間間隔，則自相關(guān)函數(shù)R(t1,t2)可表示為R(t1,t1+τ)。

【例2-2】設(shè)隨機(jī)過程ξ(t)可表示成ξ(t)=2cos(2πt+θ)。

式中θ是一個離散隨機(jī)變量，且求Eξ(1)及Rξ(0,1)。解因為θ是一個離散隨機(jī)變量，所以例2-2的關(guān)鍵是要清楚Eξ(1)和Rξ(0,1)的含義，Eξ(1)是指當(dāng)t=1時，所得隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望；Rξ(0,1)是指當(dāng)t1=0，t2=1時，所得的兩個隨機(jī)變量的相關(guān)函數(shù)。2.4.2平穩(wěn)隨機(jī)過程

1.定義

平穩(wěn)隨機(jī)過程是通信系統(tǒng)中應(yīng)用最廣泛的一類重要的隨機(jī)過程。平穩(wěn)隨機(jī)過程，是指它的任何n維分布函數(shù)或概率密度函數(shù)與時間起點(diǎn)無關(guān)。也就是說，如果對于任意的正整數(shù)n和任意實(shí)數(shù)t1，t2，…，tn，τ，隨機(jī)過程ξ(t)的n維概率密度函數(shù)滿足(2-29)則稱ξ(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程。顯然，如果考慮的是平穩(wěn)隨機(jī)過程，則它的一些數(shù)字特征也變得簡明了：平穩(wěn)隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望與t無關(guān)，為常數(shù)a；方差與t無關(guān)，也為常數(shù)；它的自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔τ有關(guān)，即

R(t1,t1+τ)=R(τ)(2-30)

2.各態(tài)歷經(jīng)性

“各態(tài)歷經(jīng)”的意思是說，從隨機(jī)過程中得到的任一實(shí)現(xiàn)，似乎經(jīng)歷了隨機(jī)過程的所有可能狀態(tài)。如果一個平穩(wěn)隨機(jī)過程具有各態(tài)歷經(jīng)性，那么它的統(tǒng)計平均值就等于其時間平均值。也就是說，假設(shè)x(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程ξ(t)的任一實(shí)現(xiàn)，若滿足(2-31)則稱此隨機(jī)過程為具有各態(tài)歷經(jīng)性的平穩(wěn)隨機(jī)過程。

3.自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度

1)自相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)

設(shè)ξ(t)為實(shí)平穩(wěn)隨機(jī)過程，那么它的自相關(guān)函數(shù)有如下主要性質(zhì)。

(1)R(0)=E［ξ2(t)］=S(ξ(t)的平均功率)。

平穩(wěn)隨機(jī)過程的總能量往往是無限的，而其平均功率卻是有限的。

(2)R(τ)=R(－τ)(R(τ)是偶函數(shù))。

這一點(diǎn)可直接由定義式得到證明。

(3)|R(τ)|≤R(0)(R(τ)的上界)。

可由非負(fù)式E［ξ(t)±ξ(t+τ)］2≥0推演而得，表示同一點(diǎn)的相關(guān)性最強(qiáng)。

(4)R(∞)=E2［ξ(T)］(ξ(t)的直流功率)。

因為

這里利用了當(dāng)τ→∞時ξ(t)與ξ(t+τ)沒有依賴關(guān)系，即統(tǒng)計獨(dú)立，而且也認(rèn)為ξ(t)不含有周期分量。

(5)R(0)－R(∞)=σ2(方差，ξ(t)的交流功率)。圖2-16給出了一條典型的R(τ)曲線，并且從圖形上可以反映出它的全部特點(diǎn)。圖2-16平穩(wěn)隨機(jī)過程R(τ)的典型曲線

2)功率譜密度

對于任意的確定功率信號f(t)，它的功率譜密度PS(ω)可表示成

式中，F(xiàn)T(ω)是f(t)的截短函數(shù)fT(t)的頻譜函數(shù)。f(t)和fT(t)的波形如圖2-17所示。它的平均功率可表示為(2-32)(2-33)圖2-17功率信號f(t)及其截短函數(shù)fT(t)的波形(a)f(t)的波形;(b)fT(t)的波形設(shè)ξ(t)的功率譜密度為Pξ(ω)，ξ(t)的某一實(shí)現(xiàn)之截短函數(shù)為ξT(t)，且，于是有

ξ(t)的平均功率S可表示成(2-34)(2-35)

3)自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度的關(guān)系(維納-辛欽定理)

平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度是一對傅里葉變換，即式(2-36)可簡寫為

(2-37)這個公式也稱之為維納-辛欽定理。證明因為

其中(2-38)利用二重積分換元法，令τ=t－t′，則式(2-38)可化簡為(2-39)于是(2-40)即。

【例2-3】已知隨機(jī)相位正弦波ξ(t)=sin(ω0t+θ)，其中ω0是常數(shù)，θ是在區(qū)間(0,2π)上均勻分布的隨機(jī)變量，試求：

(1)ξ(t)的數(shù)學(xué)期望、方差和自相關(guān)函數(shù)，并判斷ξ(t)是否廣義平穩(wěn)。

(2)ξ(t)的功率譜密度和平均功率。解(1)由題意可知，θ的概率密度函數(shù)為因此，數(shù)學(xué)期望為方差為自相關(guān)函數(shù)為其中，在上式推導(dǎo)中令t1=t，t2=t+τ。

(2)由維納-辛欽定理可知功率譜密度

平均功率或2.4.3通信系統(tǒng)中常見的幾種噪聲分析

1.高斯噪聲

1)定義及特性

在實(shí)際通信信道中，高斯型噪聲(即高斯噪聲)是一種常見的噪聲。高斯噪聲的概率密度函數(shù)服從高斯分布(即正態(tài)分布)，其一維概率密度函數(shù)表示式為(2-41)式中，a為噪聲的數(shù)學(xué)期望;σ2為噪聲的方差。f(x)的曲線如圖2-18所示。圖2-18高斯分布的概率密度函數(shù)曲線由式(2-41)和圖2-18容易看到f(x)具有如下特性。

(1)f(x)對稱于x=a直線，即有f(a+x)=f(a－x)。

(2)f(x)在區(qū)間(－∞，a)內(nèi)單調(diào)上升，在區(qū)間(a，+∞)內(nèi)單調(diào)下降，且在點(diǎn)(a,0)處達(dá)到極大值，當(dāng)x→±∞時,f(x)→0。

(3)且有

(4)對不同的a，表現(xiàn)為f(x)的圖形左、右平移；對不同的σ，f(x)的圖形將隨σ的減小而變高和變窄。

(5)當(dāng)a=0，σ=1時，則稱式(2-41)為標(biāo)準(zhǔn)化的正態(tài)分布，這時有(2-44)通常通信信道中噪聲的均值a=0，由此可得到一個重要的結(jié)論，即在噪聲均值為0時，噪聲的平均功率等于噪聲的方

差,即

Sn=R(0)=E［ξ2(t)］=σ2

(2-45)

式(2-45)是個非常有用的結(jié)果，在通信理論分析中，常常通過求其自相關(guān)函數(shù)或方差來計算噪聲的功率。

2)正態(tài)分布函數(shù)和誤差函數(shù)

正態(tài)分布函數(shù)是概率密度函數(shù)的積分，即

(2-46)式中，Φ(x)稱為概率積分函數(shù)，簡稱概率積分。其定義為(2-47)由于式(2-46)的積分不易計算，因此常引入誤差函數(shù)和互補(bǔ)誤差函數(shù)表示正態(tài)分布。誤差函數(shù)的定義式為互補(bǔ)誤差函數(shù)的定義式為(2-48)(2-49)式(2-48)和式(2-49)是在討論通信系統(tǒng)抗噪聲性能時常用到的基本公式。其好處是：借助于一般數(shù)學(xué)手冊所提供的誤差函數(shù)表，可方便地查出不同x值時誤差函數(shù)的近似值，避免了式(2-46)的復(fù)雜積分運(yùn)算。此外，誤差函數(shù)的簡明特性有助于通信系統(tǒng)的抗噪性能分析。

2.白噪聲

1)理想白噪聲

理想白噪聲的功率譜密度通常被定義為

(2-50)稱為雙邊功率譜密度。式中，n0是一個常數(shù)，單位是W/Hz。若采用單邊頻譜，即頻率在0到無窮大范圍內(nèi)時，稱為單邊功率譜密度，記為

Pn(ω)=n0(0<ω<+∞)

(2-51)

由維納-辛欽定理可以求得白噪聲的自相關(guān)函數(shù)為

(2-52)式(2-52)表明，白噪聲的自相關(guān)函數(shù)是一個位于τ=0處的沖激函數(shù)，它的強(qiáng)度為n0／2。理想白噪聲的功率譜和自相關(guān)函數(shù)圖形如圖2-19所示。圖2-19理想白噪聲的功率譜和自相關(guān)函數(shù)圖形(a)功率譜;(b)自相關(guān)函數(shù)

2)帶限白噪聲

當(dāng)白噪聲通過信道時，頻帶將受到限制，稱為帶限白噪聲，其功率譜密度定義為(2-53)帶限白噪聲的自相關(guān)函數(shù)為(2-54)式(2-54)表明，帶限白噪聲的自相關(guān)函數(shù)是Sa(x)函數(shù)的形式，中心位于t=0，第一零點(diǎn)在τ=π／ω0處，如圖2-20所示。圖2-20帶限白噪聲的功率譜和自相關(guān)函數(shù)圖形(a)功率譜;(b)自相關(guān)函數(shù)

3.高斯白噪聲

白噪聲是根據(jù)噪聲的功率譜密度是否均勻來定義的，而高斯噪聲則是根據(jù)它的概率密度函數(shù)是否服從正態(tài)分布來定義的。高斯白噪聲是指噪聲的概率密度函數(shù)滿足正態(tài)分布統(tǒng)計特性，同時它的功率譜密度函數(shù)是常數(shù)的一類噪聲。

4.窄帶高斯噪聲

當(dāng)高斯噪聲通過以ωc為中心角頻率的窄帶系統(tǒng)時，就可形成窄帶高斯噪聲。窄帶系統(tǒng)是指系統(tǒng)的頻帶寬度B比起中心頻率小很多的通信系統(tǒng)，即B<<fc=ωc/2π的系統(tǒng)。窄帶高斯噪聲可表示為

n(t)=ρ(t)cos［ωct+j(t)］(2-55)

式中，j(t)為噪聲的隨機(jī)相位；ρ(t)為噪聲的隨機(jī)包絡(luò)。

窄帶高斯噪聲的頻譜和波形示意圖如圖2-21所示。圖2-21窄帶高斯噪聲的頻譜和波形示意圖(a)頻譜;(b)波形窄帶高斯噪聲的表達(dá)式(2-55)可寫成另一種形式，即

n(t)=ρ(t)cosj(t)cosωct－ρ(t)sinj

(t)sinωct

=nI(t)cosωct－nQ(t)sinωct(2-56)

式中，nI(t)稱為噪聲的同相分量，即

nI(t)=ρ(t)cosj(t)(2-57)

nQ(t)稱為噪聲的正交分量，即

nQ(t)=ρ(t)sinj(t)(2-58)

通過分析，可得到如下結(jié)論。

(1)一個均值為0、方差為σ2n的窄帶平穩(wěn)高斯噪聲n(t)，它的同相分量nI(t)和正交分量nQ(t)也是平穩(wěn)高斯過程，而且

均值也都為0，方差也相同。另外，同一時刻上得到的nI(t)

和nQ(t)是不相關(guān)的或統(tǒng)計獨(dú)立的，即式中，σ2I和σ2Q分別表示同相分量和正交分量的方差(即功率)。(2-59)(2-60)(2-61)

(2)一個均值為0、方差為σ2n的窄帶平穩(wěn)高斯噪聲n(t)，其包絡(luò)ρ(t)的一維分布服從瑞利分布，其相位j(t)的一維分

布服從均勻分布。就一維分布而言，ρ(t)和j(t)是統(tǒng)計獨(dú)立的,即(2-62)(2-63)(2-64)

5.余弦信號加窄帶高斯噪聲

在對通信系統(tǒng)性能的分析中，常有余弦信號加窄帶高斯噪聲的形式，即Acosωct+n(t)的形式。如分析2ASK、2FSK、2PSK等信號抗噪聲性能時，其信號均為Acosωct的形式，那么信號加上信道噪聲后多為以下形式：

式中

(1)余弦信號和窄帶高斯噪聲的隨機(jī)包絡(luò)服從廣義瑞利分布(也稱萊斯分布)。若信號幅度A→0時，其隨機(jī)包絡(luò)服從瑞利分布。廣義瑞利分布表達(dá)式為(ρ>0)式中，I0(x)為零階修正貝賽爾函數(shù)。I0(x)在x>0時是單調(diào)上升函數(shù)，且I0(0)=1。2.4.4隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)

線性系統(tǒng)的輸出響應(yīng)信號vo(t)等于輸入激勵信號vi(t)與

沖激響應(yīng)h(t)的卷積，即

若線性系統(tǒng)是物理可實(shí)現(xiàn)的，則

(2-71)(2-70)(2-69)假設(shè)線性系統(tǒng)的激勵信號vi(t)可以看成是輸入隨機(jī)過程的一個實(shí)現(xiàn)，那么響應(yīng)信號vo(t)可以看成是輸出隨機(jī)過程的一個實(shí)現(xiàn)。因此，只要輸入有界且系統(tǒng)物理可實(shí)現(xiàn)，當(dāng)輸入是隨機(jī)過程ξi(t)時，其輸出為隨機(jī)過程ξo(t)，且有(2-72)

1)ξo(t)的數(shù)學(xué)期望E［ξo(t)］

輸出隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望等于輸入隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望與H(0)的乘積，且E［ξo(t)］與時間t無關(guān)，表示式如下:

E［ξo(t)］=E［ξi(t)］H(0)=aH(0)

(2-73)

證明(2-74)因為求得將式(2-76)代入式(2-74)得

E［ξo(t)］=aH(0)

2)ξo(t)的自相關(guān)函數(shù)Ro(t1,t1+τ)

輸出隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)只與時間間隔τ有關(guān)而與時間起點(diǎn)t1無關(guān)，即

Ro(t1,t1+τ)=Ro(τ)

(2-77)

證明(2-78)由平穩(wěn)性得

E［ξi(t1－α)ξi(t1+τ－β)］=Ri(τ+α－β)(2-79)

將式(2-79)代入式(2-78)得

由式(2-73)和式(2-77)可以看出，當(dāng)線性系統(tǒng)的輸入是平穩(wěn)隨機(jī)過程時，它的輸出也是廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程。

3)ξo(t)的功率譜密度Pξo(ω)

輸出隨機(jī)過程的功率譜密度是輸入隨機(jī)過程功率譜密度與系統(tǒng)傳輸函數(shù)模的平方的乘積，即

Pξo(ω)=|H(ω)|2Pξi(ω)

(2-80)

證明由維納-辛欽定理可知:令τ′=τ+α－β，代入式(2-81)得(2-82)

4)輸出過程ξo(t)的概率分布

證明因為式(2-72)可以表示成一個和式的極限，即由于輸入過程已假設(shè)為高斯型的，因此，在任一時刻上的每一項ξi(t－τk)h(τk)Δτk都是一個正態(tài)隨機(jī)變量。

【例2-4】某系統(tǒng)由一個延遲器和一個加法器所組成，如圖2-22所示。若輸入ξ(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過程，其自相關(guān)函數(shù)為Rξ(τ)，功率