2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第7章-第6節(jié) 空間向量與線面位置關(guān)系【課件】

第七章立體幾何與空間向量第6節(jié)空間向量與線面位置關(guān)系1.了解空間向量的概念、空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.2.掌握空間向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示.3.掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線和垂直.4.理解直線的方向向量及平面的法向量.5.能用向量語言表述線線、線面、面面的平行和垂直關(guān)系.6.能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡(jiǎn)單定理.目

錄CONTENTS知識(shí)診斷自測(cè)01考點(diǎn)聚焦突破02課時(shí)分層精練03知識(shí)診斷自測(cè)1ZHISHIZHENDUANZICE1.空間向量的有關(guān)概念名稱定義空間向量在空間中，具有______和______的量相等向量方向______且模______的向量相反向量方向______且模______的向量共線向量(或平行向量)表示空間向量的有向線段所在的直線互相______或______的向量共面向量平行于同一個(gè)平面的向量大小方向相同相等相反相等平行重合2.空間向量的有關(guān)定理(1)共線向量定理：對(duì)任意兩個(gè)空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使得______.(2)共面向量定理：如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在______的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使p＝________.(3)空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p＝____________，其中，{a，b，c}叫做空間的一個(gè)基底.a＝λb唯一xa＋ybxa＋yb＋zc(2)兩向量的數(shù)量積：已知兩個(gè)非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝_______________.(3)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律①結(jié)合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交換律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.[0，π]互相垂直|a||b|cos〈a，b〉4.空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).

向量表示坐標(biāo)表示數(shù)量積a·b___________________共線a＝λb(b≠0，λ∈R)__________________________垂直a·b＝0(a≠0，b≠0)____________________模|a|_____________夾角〈a，b〉(a≠0，b≠0)a1b1＋a2b2＋a3b3a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3a1b1＋a2b2＋a3b3＝05.直線的方向向量和平面的法向量(1)直線的方向向量：如果表示非零向量a的有向線段所在直線與直線l____________，則稱此向量a為直線l的方向向量.(2)平面的法向量：直線l⊥α，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面α的法向量.平行或重合6.空間位置關(guān)系的向量表示位置關(guān)系向量表示直線l1，l2的方向向量分別為u1，u2l1∥l2u1∥u2?u1＝λu2l1⊥l2u1⊥u2?_________直線l的方向向量為u，平面α的法向量為nl∥αu⊥n?________l⊥αu∥n?u＝λn平面α，β的法向量分別為n1，n2α∥βn1∥n2?n1＝λn2α⊥βn1⊥n2?__________u1·u2＝0u·n＝0n1·n2＝0常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”)(1)直線的方向向量是唯一確定的.(

)(2)若直線a的方向向量和平面α的法向量平行，則a∥α.(

)(3)若{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，則a，b，c中至多有一個(gè)零向量.(

)(4)若a·b<0，則〈a，b〉是鈍角.(

)(5)若兩平面的法向量平行，則不重合的兩平面平行.(

)×××√解析(1)直線的方向向量不是唯一的，有無數(shù)多個(gè).(2)a⊥α.(3)若a，b，c中有一個(gè)是0，則a，b，c共面，不能構(gòu)成空間一個(gè)基底.(4)若〈a，b〉＝π，則a·b<0，故(4)不正確.×

3.(選修一P22T2改編)已知a＝(2，－1，3)，b＝(－4，2，x)，且a⊥b，則x＝________.解析因?yàn)閍⊥b，所以a·b＝－8－2＋3x＝0，4.正四面體ABCD的棱長為2，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，則EF的長為________.考點(diǎn)聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考點(diǎn)一空間向量的運(yùn)算及共線、共面定理DCD解析由|a|－|b|＝|a＋b|，可得向量a，b的方向相反，此時(shí)向量a，b共線，反之，當(dāng)向量a，b同向時(shí)，不能得到|a|－|b|＝|a＋b|，所以A不正確；感悟提升(2)判斷點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi).所以四點(diǎn)M，A，B，C共面，從而點(diǎn)M在平面ABC內(nèi).所以M，A，B，C四點(diǎn)共面，從而M在平面ABC內(nèi).考點(diǎn)二空間向量的數(shù)量積及其應(yīng)用解因?yàn)檎拿骟wABCD的棱長為1，E，F(xiàn)，G，H分別是正四面體ABCD中各棱的中點(diǎn)，感悟提升由向量數(shù)量積的定義知，要求a與b的數(shù)量積，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a與b的夾角與方向有關(guān)，一定要根據(jù)方向正確判定夾角的大小，才能使a·b計(jì)算準(zhǔn)確.訓(xùn)練2

如圖所示，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面為平行四邊形，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都為1，且兩兩夾角為60°.求：(1)AC1的長；則|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，(2)BD1與AC夾角的余弦值.考點(diǎn)三利用空間向量證明平行與垂直例3

如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，點(diǎn)E在線段BB1上，且EB1＝1，D，F(xiàn)，G分別為CC1，C1B1，C1A1的中點(diǎn).

求證：(1)平面A1B1D⊥平面ABD；證明以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA，BC，BB1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則B(0，0，0)，D(0，2，2)，B1(0，0，4)，E(0，0，3)，F(xiàn)(0，1，4).即B1D⊥BA，B1D⊥BD.又BA∩BD＝B，BA，BD?平面ABD，所以B1D⊥平面ABD.因?yàn)锽1D?平面A1B1D，所以平面A1B1D⊥平面ABD. (2)平面EGF∥平面ABD.所以B1D⊥EG，B1D⊥EF.因?yàn)镋G∩EF＝E，EG，EF?平面EGF，所以B1D⊥平面EGF.又由(1)知B1D⊥平面ABD，所以平面EGF∥平面ABD.又GF

平面ABD，AB?平面ABD，所以GF∥平面ABD，同理EF∥平面ABD，又GF∩EF＝F，GF，EF?平面EGF，所以平面EGF∥平面ABD.感悟提升1.利用向量法證明平行、垂直關(guān)系，關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系(盡可能利用垂直條件，準(zhǔn)確寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而用向量表示涉及直線、平面的要素).2.向量證明的核心是利用向量的數(shù)量積或數(shù)乘向量，但向量證明仍然離不開立體幾何的有關(guān)定理.證明由AB＝AC，E為BC的中點(diǎn)，則AE⊥BC，而AA1⊥平面ABC，AA1∥BB1，過E作平行于BB1的垂線為z軸，EC，EA所在直線分別為x軸，y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)平面A1B1BA的一個(gè)法向量為n＝(x，y，z)，又EF

平面A1B1BA，所以EF∥平面A1B1BA.(2)平面AEA1⊥平面BCB1.課時(shí)分層精練3KESHIFENCENGJINGLIANB解析因?yàn)閎＋c＝(－2，－2，4)，所以a·(b＋c)＝－4－2－12＝－18.A解析由題意，a·b＝1＋0＋n＝3，解得n＝2，C4.(2024·亳州質(zhì)檢)已知平面α內(nèi)的三點(diǎn)A(0，0，1)，B(0，－1，0)，C(－1，0，1)，直線l的方向向量是a＝(－1，－1，－1)，則直線l與平面α的位置關(guān)系是(

) A.相交 B.平行

C.在平面內(nèi) D.平行或在平面內(nèi)D解析因?yàn)锳(0，0，1)，B(0，－1，0)，C(－1，0，1)，令z＝1，則n＝(0，－1，1).因?yàn)閍·n＝1－1＝0，所以直線l可能在平面α內(nèi)，或者與平面α平行.故選D.5.已知a＝(2，1，－3)，b＝(－1，2，3)，c＝(7，6，λ)，若a，b，c三向量共面，則λ＝(

) A.9

B.－9 C.－3 D.3B解析由題意知c＝xa＋yb，即(7，6，λ)＝x(2，1，－3)＋y(－1，2，3)，B7.(多選)(2024·菏澤模擬)如圖，八面體的每一個(gè)面都是正三角形，且A，B，C，D四個(gè)頂點(diǎn)在同一平面內(nèi)，則下列結(jié)論正確的是(

) A.AE∥平面CDF B.平面ABE∥平面CDF C.AB⊥DE D.平面ACE⊥平面BDFABD解析由題意知，此八面體為正八面體，如圖，O為正八面體的中心，連接OB，OC，OE，以O(shè)為原點(diǎn)，直線OB，OC，OE分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz，設(shè)正八面體的棱長為2，因?yàn)锳E

平面CDF，所以AE∥平面CDF，A正確；因?yàn)锳B∥CD，AB

平面CDF，CD?平面CDF，所以AB∥平面CDF，又AB∩AE＝A，AE，AB?平面ABE，所以平面ABE∥平面CDF，B正確；所以AB與DE不垂直，C錯(cuò)誤；易知平面ACE的一個(gè)法向量為m1＝(1，0，0)，平面BDF的一個(gè)法向量為m2＝(0，1，0)，因?yàn)閙1·m2＝0，所以平面ACE⊥平面BDF，D正確.故選ABD.8.若空間中三點(diǎn)A(1，5，－2)，B(2，4，1)，C(p，3，q)共線，則p＋q＝________.70VA∥平面PMN又∵VA

平面PMN，∴VA∥平面PMN.11.已知a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2).(1)求|2a＋b|；解2a＋b＝(2，－6，4)＋(－2，1，1)＝(0，－5，5).12.如圖，四棱錐P－ABCD的底面為正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)，H分別是線段PA，PD，AB的中點(diǎn).求證： (1)PB∥平面EFH；證明∵E，H分別是線段AP，AB的中點(diǎn)，∴PB∥EH.∵PB

平面EFH，且EH?平面EFH，∴PB∥平面EFH.(2)PD⊥平面AHF.證明建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則A(0，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，F(xiàn)(0，1，1)，H(1，0，0).∴PD⊥AF，PD⊥AH.∵AH∩AF＝A，且AH，AF?平面AHF，∴PD⊥平面AHF.AB解析由題知，設(shè)正方體棱長為3，所以D(0，0，0)，A(3，0，0)，B(3，3，0)，C(0，3，0)，E(3，0，1)，D1(0，0，3)，B1(3，3，3)，C1(0，3，3)，F(xiàn)(0，3