高二【數(shù)學(xué)(人教A版)】空間直角坐標(biāo)系-教學(xué)設(shè)計(jì)

課程基本信息課例編號2020QJ11SXRA005學(xué)科數(shù)學(xué)年級高二學(xué)期第一學(xué)期課題空間直角坐標(biāo)系教科書書名：高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修第一冊出版社：人民教育出版社出版日期：2020年5月教學(xué)人員姓名單位授課教師劉薇北京市第二十五中學(xué)指導(dǎo)教師雷曉莉北京市東城區(qū)教師研修中心教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：了解空間直角坐標(biāo)系，會用空間直角坐標(biāo)系刻畫點(diǎn)的位置，掌握空間向量的坐標(biāo)表示.教學(xué)重點(diǎn)：空間直角坐標(biāo)系的建立.教學(xué)難點(diǎn)：空間向量的坐標(biāo)表示．教學(xué)過程時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動2分鐘引入學(xué)習(xí)了空間向量基本定理，建立了“空間基底”的概念，就可以利用基底表示任意一個(gè)空間向量，進(jìn)而把空間向量的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為基向量的運(yùn)算.所以，基底概念的引入為幾何問題代數(shù)化奠定了基礎(chǔ).在平面向量中，我們以平面直角坐標(biāo)系中的與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量，為基底，建立了向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)的一一對應(yīng)關(guān)系，從而把平面向量的運(yùn)算化歸為數(shù)的運(yùn)算.類似地，為了把空間向量的運(yùn)算化歸為數(shù)的運(yùn)算，能否利用空間向量基本定理和空間的單位正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而建立空間向量的坐標(biāo)與空間點(diǎn)的坐標(biāo)的一一對應(yīng)呢？下面我們就來研究這個(gè)問題.10分鐘新課問題1：類比平面直角坐標(biāo)系，你能猜想如何構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系嗎？追問1：平面直角坐標(biāo)系包含哪些要素？類比到空間直角坐標(biāo)系應(yīng)該有哪些要素？它們需要滿足什么條件？追問2：利用單位正交基底概念，我們可以如下這樣理解平面直角坐標(biāo)系.類比到空間，你能否給出空間直角坐標(biāo)系的定義呢？空間直角坐標(biāo)系定義：在空間選定一點(diǎn)和一個(gè)單位正交基底,,.以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)檎较颉⒁运鼈兊拈L為單位長度建立三條數(shù)軸：軸、軸、軸，它們都叫做坐標(biāo)軸.這時(shí)我們就建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，叫做原點(diǎn)，，，都叫做坐標(biāo)向量，通過每兩個(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為平面，平面，平面，它們把空間分成八個(gè)部分.追問3：空間直角坐標(biāo)系如何畫呢？先回想平面直角坐標(biāo)系的畫法：在平面內(nèi)畫兩條與單位正交基底向量，方向相同的數(shù)軸軸和軸，它們互相垂直、原點(diǎn)重合.與畫平面直角坐標(biāo)系相比，畫空間直角坐標(biāo)系只是多畫一個(gè)與軸、軸都垂直的軸而已，所以我們不妨借鑒在立體幾何中學(xué)習(xí)的斜二測畫法，在畫空間直角坐標(biāo)系時(shí)，讓軸與軸所成的角為（或），即（或），畫軸與軸垂直，即.在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向軸的正方向，食指指向軸的正方向，如果中指指向軸的正方向，則稱這個(gè)坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系.問題2：在平面直角坐標(biāo)系中，每一個(gè)點(diǎn)和向量都可以用一對有序?qū)崝?shù)（即它的坐標(biāo)）表示，對空間直角坐標(biāo)系中的每一個(gè)點(diǎn)和向量，是否也有類似的表示呢？追問1：空間中任意一點(diǎn)與哪個(gè)向量的坐標(biāo)相同？在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的位置由向量唯一確定，類比到空間直角坐標(biāo)系中，我們可知點(diǎn)的坐標(biāo)與從原點(diǎn)出發(fā)的坐標(biāo)相同.由此，確定空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)，可以從確定與之對應(yīng)的，以原點(diǎn)為起點(diǎn)，該點(diǎn)為終點(diǎn)的向量的坐標(biāo)入手.追問2：在空間直角坐標(biāo)系中如何定義的坐標(biāo)呢？所以，在單位正交基底，，下與向量對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組，，，叫做點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記做，，，其中叫做點(diǎn)的橫坐標(biāo)，叫做點(diǎn)的縱坐標(biāo)，叫做點(diǎn)的豎坐標(biāo).追問3：那么對于給定的向量又該如何定義它的坐標(biāo)呢？因?yàn)榭臻g向量是自由的，我們在空間直角坐標(biāo)系中可以作.由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，，，使,有序?qū)崝?shù)組，，叫做在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，上式可簡記為，，這樣，在空間直角坐標(biāo)系中，空間中的點(diǎn)和向量都可以用三個(gè)有序?qū)崝?shù)表示.問題3:在空間直角坐標(biāo)系中，對空間任意一點(diǎn)，或任意一個(gè)向量，你能借助幾何直觀確定它們的坐標(biāo)，，嗎？過點(diǎn)分別作垂直于軸、軸和軸的平面，依次交軸、軸和軸于點(diǎn)，和.可以證明在軸、軸、軸上的投影向量分別為，，，由向量加法的意義可知，,,即.設(shè)點(diǎn)在軸、軸和軸上的坐標(biāo)分別是，和，那么，即點(diǎn)或者向量的坐標(biāo)就是，，.思路小結(jié)：目前，我們有哪些方法可以用于確定空間中一個(gè)點(diǎn)或任意一個(gè)向量的坐標(biāo)呢？10分鐘知識應(yīng)用問題4如圖，在長方體中，，，，以，，為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.（1）寫出，，，四點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）寫出向量,,,的坐標(biāo).追問1：題目條件中的，，為什么是單位正交基底？由圖可知，在軸上，且，所以，同理，在軸上，在軸上，由，知，，，所以，，是單位正交基底，等同于我們前面用到的，，.（1）寫出，，，四點(diǎn)的坐標(biāo)追問2：求空間點(diǎn)的坐標(biāo)我們有哪些基本解題思路？有兩種選擇，一種是轉(zhuǎn)化為求與該點(diǎn)對應(yīng)的，從原點(diǎn)出發(fā)，指向該點(diǎn)的空間向量的坐標(biāo).而后依據(jù)空間向量基本定理，把空間向量用單位正交基底分解，從而求出坐標(biāo)；另一種是應(yīng)用幾何直觀，找出空間點(diǎn)在軸、軸、軸上的射影，進(jìn)而得到坐標(biāo).追問3：觀察圖形，所求的，，，四點(diǎn)的位置有什么不同？點(diǎn)和點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，用單位正交基底分解更簡單，點(diǎn)，在空間內(nèi)，考慮用幾何直觀的方法更簡便.空間點(diǎn)的坐標(biāo)就是的坐標(biāo)，因?yàn)辄c(diǎn)在軸上，且，根據(jù)空間向量基本定理易得.所以點(diǎn)的坐標(biāo)是,,.同理，點(diǎn)的坐標(biāo)就是的坐標(biāo)，由空間向量基本定理易得.所以點(diǎn)的坐標(biāo)是,,.方法提煉：我們先來觀察這兩個(gè)結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系的某一坐標(biāo)軸上時(shí)，它在其他兩個(gè)坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)就是0，比較容易確定點(diǎn)的坐標(biāo).追問4：點(diǎn)在軸、軸、軸的射影點(diǎn)是誰？過點(diǎn)分別垂直于軸、軸和軸的平面為：平面，平面，平面，所以點(diǎn)在軸、軸和軸上的射影分別是，它們在坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)分別是，，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)是，，.同理，過點(diǎn)分別垂直于軸、軸和軸垂直的平面為：平面，平面，平面，所以點(diǎn)在軸、軸和軸上的射影分別是，它們在坐標(biāo)軸上的坐標(biāo)分別是，，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)是，，.思路小結(jié)：由幾何直觀可知，確定空間中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，我們需要先找出該點(diǎn)在各個(gè)坐標(biāo)軸上的射影，再根據(jù)空間向量基本定理，得到點(diǎn)的坐標(biāo).所以可以總結(jié)步驟如下：1）過空間點(diǎn)分別作軸、軸和軸的垂面；2）確定空間點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的射影的坐標(biāo)；3）得到空間點(diǎn)的坐標(biāo).（2）寫出向量,,,的坐標(biāo).追問5：怎么求解空間給定向量的坐標(biāo)？同樣是轉(zhuǎn)化為與之相等的、從原點(diǎn)出發(fā)的向量，而后再用空間向量基本定理，或者幾何直觀的方法求解向量的坐標(biāo).追問6：觀察幾何體，有沒有過原點(diǎn)的向量與所求向量相等？由相等向量的概念，在長方體中易知，，根據(jù)相等向量坐標(biāo)相等，轉(zhuǎn)化為求以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量坐標(biāo)，再根據(jù)我們在第（1）問中總結(jié)的方法，可得=，，-，，追問7：對于和，沒有棱所在的向量與它們相等，那又該怎么辦呢？由向量加法運(yùn)算，和可以寫成以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量的和，從而得到向量的坐標(biāo).思路小結(jié)：通過分析幾何體的結(jié)構(gòu)特征，根據(jù)向量相等和向量加法，將所求向量轉(zhuǎn)化為空間直角坐標(biāo)系坐標(biāo)軸上的向量的和，最終寫成基向量的和，從而得到空間向量的坐標(biāo).歸納小結(jié)課堂小結(jié)：1.回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程，我們是如何得到空間點(diǎn)和空間向量的坐標(biāo)的？（1）類比平面直角坐標(biāo)系，構(gòu)建了空間直角坐標(biāo)系.（2）根據(jù)空間向量基本定理，在單位正交基底下，得到空間直角坐標(biāo)系中的每一個(gè)點(diǎn)和向量都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組，，與之對應(yīng)，從而引出空間點(diǎn)和空間向量的坐標(biāo)表示.2.如何求空間點(diǎn)或向量的坐標(biāo)呢？（1）根據(jù)空間向量基本定理，將點(diǎn)或向量用單位正交基底，，來表示，它們的系數(shù)就是點(diǎn)或向量的坐標(biāo).（2）由幾何直觀，過點(diǎn)作垂直于軸、軸和軸的平面，依次確定點(diǎn)對應(yīng)的向量在各個(gè)軸上的投影向量，根據(jù)投影向量的坐標(biāo)得到點(diǎn)或向量的坐標(biāo).通過本節(jié)課的探究學(xué)習(xí)，我們體會到類比思想在數(shù)學(xué)研究中的重要作用，它引領(lǐng)我們從二維的平面直角坐標(biāo)系拓展到三維的空間直角坐標(biāo)系，將空間點(diǎn)和空間向量與有序數(shù)組建立一一對應(yīng)的關(guān)系