高二【數(shù)學(xué)(人教A版)】用空間向量研究距離、夾角問題(2)-教學(xué)設(shè)計

課程基本信息課例編號2020QJ11SXRA011學(xué)科數(shù)學(xué)年級高二學(xué)期上學(xué)期課題用空間向量研究距離、夾角問題（2）教科書書名：《數(shù)學(xué)》選擇性必修第一冊出版社：人教社出版日期：年月教學(xué)人員姓名單位授課教師劉興華北京景山學(xué)校指導(dǎo)教師雷曉莉北京市東城區(qū)教師研修中心教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：能用向量方法求兩條直線所成的角、直線和平面所成的角，使用線線角、線面角的向量表達式，解決立體幾何中有關(guān)角度的度量問題，提升直觀想象、數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng)．教學(xué)重點：用向量的數(shù)量積運算表示兩條直線所成的角、直線和平面所成的角計算公式．教學(xué)難點：根據(jù)問題的條件選擇適當(dāng)?shù)幕祝虒W(xué)過程時間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動在前面課程中，我們學(xué)習(xí)了用空間向量求距離．夾角問題是立體幾何中另一個基本度量．本節(jié)課我們繼續(xù)用空間向量方法研究空間中的角．角度是對兩個方向差的度量，向量是有方向的量，利用向量研究角度問題有其獨特的優(yōu)勢．請看下面的問題：例如圖，在棱長為１的正四面體ABCD（四個面都是正三角形）中，M，N分別為BC，求直線AM與CN求直線CN與平面BCD所成角的正弦值.在這道例題中，我們要求兩條直線，這里是異面直線的夾角，以及直線與平面所成的角．兩條直線的夾角、直線與平面所成的角是立體幾何中要解決的，兩類重要的角度度量問題．接下來，我們一起研究這兩類角．問題1如何用空間向量求兩條直線的夾角？我們沿著這樣的研究路徑進行：回顧兩條直線夾角的定義，明確兩條直線夾角的取值范圍，最后討論兩條直線夾角的向量求法．師：兩條直線夾角的定義是什么？生：空間中兩條直線的位置關(guān)系包括：平行直線、相交直線和異面直線．規(guī)定：兩條平行直線的夾角為0°．兩條相交直線夾角的定義：平面內(nèi)，兩條直線相交形成4個角，其中不大于90度的角稱為這兩條直線所成的角（或夾角）．兩條異面直線夾角的定義：空間中，空間中，兩條異面直線l1，l2，經(jīng)過空間任一點O分別作直線l1'師：這個定義中，空間中兩條異面直線所成的角是通過平移轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)兩條相交直線所成的角，體現(xiàn)了從高維向低維轉(zhuǎn)化的思想．師：根據(jù)前面的定義兩條直線夾角的取值范圍是怎樣的？生：空間中兩條直線夾角的取值范圍是．特別的，兩條異面直線的夾角的取值范圍是．師：兩條直線方向向量的夾角u

，v與兩直線的夾角生：θ=師：進一步，可得cos師：請同學(xué)們思考用空間向量方法求直線AM和CN夾角的余弦值．生：可以將直線AM和CN的夾角轉(zhuǎn)化為求CN與MA的夾角．師：如何表示CN與MA，才能方便計算它們的夾角呢？生：我們嘗試使用以下兩種方法：方法1建立一個基底；方法2建立空間直角坐標(biāo)系師生分析：按照方法1，如何確定基底？不妨選取{CA，

CB，CD按照方法2，如何建立空間直角坐標(biāo)系？取BD中點O，過O作OE⊥平面BCD，以O(shè)為原點，OC，OD，OE所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.建系方式不唯一．師生共同整理具體解答過程：解法1：（向量法）第一步，將幾何問題化為向量問題，以{CA，

CB，CD}

作為基底，則設(shè)向量CN與

MA的夾角為θ，則直線AM和CN夾角的余弦值等于cos第二步，進行向量運算，CN=1又因為△ABC和△ACD均為等邊三角形，所以CN所以cos第三步，回到圖形問題，所以直線AM和CN夾角的余弦值等于23解法2：（坐標(biāo)法）請同學(xué)們課后自行完成．小結(jié)：空間向量求兩條直線l1,l2的夾角無論是采用基底向量線性組合表示直線的方向向量，還是坐標(biāo)表示直線的方向向量，都可以通過求方向向量夾角的余弦值得到兩直線所成角的余弦值．有了向量工具，兩條直線的方向能用它們的方向向量表示，利用向量方法就能得到這兩條異面直線的夾角，而不需要平移，既體現(xiàn)“角”表示方向的本質(zhì)，也簡化了求解過程．問題2：如何求直線與平面所成的角？類比兩條直線夾角的研究過程，我們嘗試用相同的研究路徑．直線與平面所成角的定義——直線與平面所成角的取值范圍——直線與平面所成角的向量求法首先回顧直線與平面所成角的定義，包含了這樣幾種情況：一條直線垂直于平面，我們說它們所成的角為90度；一條直線與平面平行，或在平面內(nèi)，我們說它們所成的角為；一條直線l與平面α相交，但不與這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線.師：斜線與平面所成的角的定義是什么？生：過斜線l上斜足B外一點A向平面α引垂線AC，過垂足C和斜足B的直線BC叫做斜線l在平面α上的射影.平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角，叫做這條直線和這個平面所成的角．師：直線與平面所成的角的取值范圍是什么？生：直線與平面所成角θ的取值范圍是0°≤θ≤90°師：用空間向量求直線與平面所成的角，需要求些向量？生：直線的方向向量u，平面的法向量n．師：向量的夾角u,n與生：θ=π2從而sinθ=師生共同解決例題第二問，生：求直線與平面所成的角，也就是轉(zhuǎn)化為求直線的方向向量與平面的法向量的夾角．師:如何求平面BCD的法向量？理論上講，方法1建立一個基底，方法2建立空間直角坐標(biāo)系都可以，實際操作中更多選擇方法2，原因是多數(shù)情況下，基于法向量垂直的特點，坐標(biāo)法求法向量操作簡單易行．師：可否給出相應(yīng)點、向量的坐標(biāo)？A36,0,具體解答過程如下解：（2）CN=n=(0，0，1)設(shè)向量CN與

n的夾角為CN則直線CN與平面BCD所成的角θ的正弦值sin因為cos所以直線CN與平面BCD所成的角的正弦值等于小結(jié)：用空間向量求直線l

與平面α所成角θ的步驟和方法問題3回顧本節(jié)課的探究過程，你學(xué)習(xí)到了什么？學(xué)會兩類夾角問題的向量求法角的類型角的范圍方向向量與法向量與向量夾角的關(guān)系兩條直線的夾角兩條直線的方向向量，直線與平面所成的角直線的方向向量，平面的法向量2.體驗研究夾角問題的過程和方法在研究過程中對于直線與平面所成的角我們采用類比直線與直線夾角的方法展開．我們都是從回顧角的定義出發(fā)，明確所研究的角的取值范圍，分析其求法，應(yīng)用所得公式解決問題．3.體會應(yīng)用空間向量求夾角問題的“三步曲”本節(jié)課的例題的解決，我們進一步體會到，向量是解決度量問題的一把利刃，它將異面直線的夾角、直線與平面所成的角轉(zhuǎn)化為直線的方向向量、平面的法向量之間的夾角，通過向量的數(shù)量積運算，將向量運算的結(jié)果