高二【數(shù)學(xué)(人教A版)】用空間向量研究距離、夾角問題(3)-教學(xué)設(shè)計

課程基本信息課例編號2020QJ11SXRA012學(xué)科數(shù)學(xué)年級高二學(xué)期上學(xué)期課題用空間向量研究距離、夾角問題（3）教科書書名：《數(shù)學(xué)》選擇性必修第一冊出版社：人教社出版日期：年月教學(xué)人員姓名單位授課教師劉興華北京景山學(xué)校指導(dǎo)教師雷曉莉北京市東城區(qū)教師研修中心教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)：了解兩個平面夾角的定義，能用向量方法求兩個平面的夾角，使用向量表示的面面角公式解決有關(guān)角度的度量問題，提升直觀想象、數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng)．教學(xué)重點：用向量的數(shù)量積運算表示兩個平面的夾角計算公式．教學(xué)難點：根據(jù)問題的條件選擇適當(dāng)?shù)幕祝虒W(xué)過程時間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動上一節(jié)課我們學(xué)習(xí)了用空間向量求兩條直線的夾角、直線與平面所成的角，明確了兩條直線的夾角與它們方向向量夾角的關(guān)系，可以通過計算向量的夾角，求出兩條直線的夾角．明確了直線與平面所成的角與直線的方向向量、平面的法向量夾角的關(guān)系，可以通過計算向量的夾角，求出直線與平面所成的角．通過例題的解決體會了應(yīng)用向量法和坐標(biāo)法求空間中的角的“三步曲”：第一步，將線線角、線面角轉(zhuǎn)化為求向量的夾角；第二步通過向量的數(shù)量積運算求向量的夾角；第三步，回到幾何圖形，給出所求的線線角、線面的結(jié)論．上節(jié)課我們已經(jīng)解決了直線與直線、直線與平面產(chǎn)生的夾角問題，同學(xué)們一定會想：兩個平面是不是也應(yīng)該有夾角？如何定義？取值范圍是怎樣的？該如何求？請看下面的問題．問題1類比兩直線夾角的定義，如何定義兩個平面的夾角？生：對于兩條直線的夾角，從空間中直線的三種位置關(guān)系入手．兩條直線夾角的定義分別對平面內(nèi)的兩條相交直線和空間中的兩條異面直線的夾角給出定義，異面直線的夾角通過平移轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的相交直線所成的角，體現(xiàn)了從立體圖形向平面圖形轉(zhuǎn)化的思路．對于平行直線規(guī)定其夾角為0°．生：對于兩個平面我們從考慮它們的位置關(guān)系入手．空間兩個平面的位置關(guān)系分為相交和平行．對于//，我們可以規(guī)定它們的夾角為0°．如圖，平面與平面相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于的二面角稱為平面與平面的夾角．師：兩個平面夾角的取值范圍是什么？生：兩個平面夾角θ的取值范圍是0師：這里，我們用二面角來定義兩個平面的夾角，請問二面角的大小是如何度量的？生：二面角的大小可以用它的平面角來度量.師：二面角的平面角是如何定義的？生：在二面角α-l-β的棱l上任取一點O，以點O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角．師：這里，求二面角的大小體現(xiàn)了立體幾何問題的解決往往要轉(zhuǎn)化為平面問題，過二面角棱上一點分別在兩個半平面內(nèi)作棱垂線．師：兩個平面的夾角的大小與這兩個平面形成的二面角的大小之間有何關(guān)系？生：兩個平面的夾角等于相應(yīng)二面角或其補角．問題2類比兩條直線夾角的求法，如何用向量方法求兩個平面的夾角？師：可否采用向量方法來求？如何轉(zhuǎn)化為向量問題？師生討論：根據(jù)兩個平面夾角的定義，可以按這樣的思路轉(zhuǎn)化解決問題：求平面α，

β的夾角→求直線a，b的夾角→求方向向量u,v的夾角→求得向量u,v的夾角→求得平面α，

β這條思路的關(guān)鍵是求直線a，b的方向向量，如果不借助坐標(biāo)系，很難師：法向量可以刻畫平面的方向，兩個平面的夾角θ與這兩個平面的法向量的夾角有什么關(guān)系？生：θ=所以師生總結(jié)：轉(zhuǎn)化思路2：求平面α，

β的夾角→求法向量n1和n2的夾角→求出向量n1,

n2的夾角這條思路在建立空間直角坐標(biāo)系的情況下一定可行．例如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2，AA1=3，∠ACB=90°，P為BC的中點，點Q，R分別在棱A，BB1上，師：轉(zhuǎn)化為哪種向量的夾角？思路一：轉(zhuǎn)化為兩平面內(nèi)與交線垂直的直線的方向向量的夾角；思路二：轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量的夾角．生：采用思路二更合理．具體解答過程如下：解：以為原點，，，所在直線為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．平面A1B1C1的法向量為，平面PQR的法向量為，則平面PQR與平面A1B因為C1C⊥平面所以平面A1B1設(shè)平面PQR的法向量為n因為P(0，1，3)，所以PQ＝(2，-又n2?PQ＝0，n2?PR＝0，

所以cosn1設(shè)平面PQR與平面A1B1Ccosθ=cos即

平面PQR與平面A1B1C1師：請思考，如果在相同條件下求“平面A1B1C生：思路一，思路二均可以.師：請同學(xué)們課下完成求解過程.例題小結(jié)：求兩個平面的夾角的一般方法是用坐標(biāo)法，通過求平面的法向量的夾角的余弦值得到兩個平面夾角的余弦值．用空間向量求兩個平角夾角的一般步驟：課堂小結(jié)：問題3本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？通過二面角定義了兩個平面的夾角，明確其取值范圍，將兩個平面的夾角轉(zhuǎn)化為相應(yīng)法向量的夾角，再應(yīng)用空間向量的數(shù)量積可以解決問題．通過例題的解決，體會到求兩個平面夾角的一般方法是坐標(biāo)法，求兩個平面法向量的夾角．問題4研究這些內(nèi)容主要用了什么方法？本節(jié)課通過類比兩條直線的夾角的定義、求法，定義了兩個平面的夾角，給出了求兩個平面夾角的一般方法．角度是“方向”的差異，但是研究方法、研究內(nèi)容、解決方法卻是是一致的．問題5用向量方法解決立體幾何中夾角問題的一般步驟是什么？課后作業(yè)：１.如圖，正三棱柱ABC-A1B1C1