2012屆第一輪復習一元二次不等式

一元二次不等式

2012屆?第一輪復習韶關市第五中學

數學科組劉海波考綱解讀一元二次不等式的解法(1)會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型.

(2)通過函數圖象了解一元二次不等式與相應的二次函數、一元二次方程的聯(lián)系.(3)會解一元二次不等式,對給定的一元二次不等式,會設計求解的程序框圖.考向預測

從近幾年的高考試題看，高考中常常以小題的形式考查簡單的一元二次不等式或可化為一元二次不等式的分式不等式的解法，或已知二次函數零點的分布以小題形式考查相應一元二次方程中未知參數的取值范圍，或以解答題形式出現單獨考查含參數的一元二次不等式的解法，也可能與函數相結合考查參數的取值范圍等.知識小結1.一元二次不等式的解法

(1)將不等式的右邊化為零,左邊化為二次項系數大于零的不等式ax2+bx+c＞0(a＞0)或ax2+bx+c＜0(a＞0).(2)求出相應的一元二次方程的根.(3)利用二次函數的圖象與

確定一元二次不等式的解集.x軸的交點知識小結2.一元二次不等式的解集判別式Δ=b2-4acΔ>0Δ=0Δ<0二次函數y=ax2+bx+c(a>0)的圖象一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根有兩相異實根x2x2(x1<x2)有兩相等實根x1=x2=沒有實根ax2+bx+c>0(a>0)的解集ax2+bx+c<0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}{x|x1<x<x2}R考點突破解下列不等式：（1）①

-x2+2x->0；

②8x-1≤16x2.（2）解關于x的不等式：ax2-(a+1)x+1<0.考點1一元二次不等式解法【分析】(1)題可直接按一元二次不等式的步驟進行求解.（2）題可先分解因式，求出對應方程的根，然后對根的大小進行討論，從而得不等式的解.【解析】（1）①兩邊都乘以-3，得3x2-6x+2<0,∵3>0,且方程3x2-6x+2=0的解是

x1=1-,x2=1+,∴不等式的解集是[x|1-<x<1+].②8x-1≤16x216x2-8x+1≥0(4x-1)2≥0,∴x∈R,∴不等式的解集為R.(2)原不等式變?yōu)?ax-1)(x-1)<0,當a=0時,不等式的解為x>1,當a≠0時，不等式變?yōu)閍(x-)(x-1)<0,若a<0,則(x-)(x-1)>0,∴x<

或x>1.若a>0,則(x-)(x-1)<0,∴當a>1時,解為<x<1;當a=1時,解集為;當0<a<1時,解為1<x<

.綜上,當a＜0時,不等式的解集為{x|x＜或x＞1};當a=0時,不等式的解集為{x|x＞1};當0＜a＜1時,不等式的解集為{x|1＜x＜};當a=1時，不等式的解集為;當a＞1時，不等式的解集為{x︱

＜x＜1}.

解含參數的一元二次不等式，要把握好分類討論的層次，一般按下面次序進行討論；首先根據二次項系數的符號進行討論；其次根據根是否存在，即Δ的符號進行討論；最后在根存在時，根據根的大小進行討論.對應訓練解下列不等式：（1）2x2+4x+3>0;（2）-3x2-2x+8≥0;（3）12x2-ax>a2(a∈R).【解析】

(1)∵Δ=42-4×2×3<0,∴方程2x2+4x+3=0沒有實根，二次函數y=2x2+4x+3的圖象開口向上，與x軸沒有交點，2x2+4x+3>0恒成立，∴不等式2x2+4x+3>0的解集為R.（2）原不等式可化為3x2+2x-8≤0,∵Δ=100>0,∴方程3x2+2x-8=0的兩根為-2,,結合二次函數y=3x2+2x-8的圖象可知原不等式的解集為｛x|-2≤x≤｝.(3)由12x2-ax-a2>0(4x+a)(3x-a)>0,①a>0時，-<,解集為｛x|x<-或x>｝;②a=0時，x2>0，解集為{x|x∈R且x≠0};③a<0時，->,解集為｛x|x<或x>-｝.考點突破已知f(x)=x2-2ax+2，當x∈[-1,+∞)時，f(x)≥a恒成立，求a的取值范圍.【分析】可以從函數的角度進行考慮，轉化為函數求最值問題，也可以從方程的角度考慮，可轉化為對方程根的討論.考點2含參數的一元二次不等式恒成立問題【解析】解法一：f(x)=(x-a)2+2-a2，此二次函數圖象的對稱軸為x=a.①當a∈(-∞,-1)時，結合圖象知，f(x)在[-1,+∞)上單調遞增，f(x)min=f(-1)=2a+3,

要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a,

即2a+3≥a,解得a≥-3,

又a<-1,∴-3≤a<-1;②當a∈[-1,+∞)時，f(x)min=f(a)=2-a2,由2-a2≥a,解得-2≤a≤1,又a≥-1,∴-1≤a≤1.綜上所述，所求a的取值范圍為-3≤a≤1.解法二：由已知得x2-2ax+2-a≥0在[-1,+∞)上恒成立，

Δ>0a<-1f(-1)≥0,解得-3≤a≤1.即Δ=4a2-4（2-a）≤0

或

解不等式恒成立問題，通常借助于函數思想或方程思想轉化為求函數的最值或利用函數的圖象或判別式的方法求解.對應訓練當a為何值時，不等式(a2-1)x2-(a-1)x-1<0的解集是全體實數.【解析】①當a2-1=0,即a=±1時,若a=1,則原不等式為-1<0,恒成立.若a=-1,則原不等式為2x-1<0,即x<,不符合題目要求,舍去.②當a2-1≠0,即a≠±1時,原不等式的解集為R的條件是

a2-1<0Δ=(a-1)2+4(a2-1)<0.解之得-<a<1.綜上所述,當-<a≤1時,原不等式的解集為全體實數.考點突破考點3一元二次不等式的實際應用

某種商品,現在定價p元,每月賣出n件,設定價上漲x成,每月賣出數量減少y成,每月售貨總金額變成現在的z倍.(1)用x和y表示z;(2)設x與y滿足y=kx(0<k<1),利用k表示當每月售貨總金額最大時x的值;(3)若y=

x，求使每月售貨總金額有所增加的x值的范圍.【分析】用所給出的已知量表示出定價、賣出數量、售貨總金額，列出關系式，正確地將不等關系轉化成不等式問題來求解.【解析】

(1)按現在的定價上漲x成時,上漲后的定價為p(1+)元,每月賣出數量為n(1-)件,每月售貨總金額是npz元,因而npz=p(1+)·n(1-),所以z=

.(2)在y=kx的條件下,z=

,整理可得由于0<k<1,所以

>0,所以使z值最大的x值是x=

.(3)當y=x時,z=,要使每月售貨總金額有所增加,即z>1,應有,即x(x-5)<0,所以0<x<5,所以所求x的范圍是(0,5).(1)實際應用問題是新課標下考查的重點,突出了應用能力的考查,在不等式應用題中常以函數模型出現,如一元二次不等式應用題常以二次函數為模型.解題時要理清題意,準確找出其中不等關系再利用不等式解法求解.(2)不等式應用題一般可按如下四步進行:①閱讀理解、認真審題，把握問題中的關鍵量，找準不等關系.②引進數學符號,用不等式表示不等關系.③解不等式.④回歸實際問題.對應訓練某種牌號的汽車在水泥路面上的剎車距離sm和汽車車速xkm/h有如下關系:s=，在一次交通事故中，測得這種車的剎車距離大于39.5m，那么這輛汽車剎車前的車速至少為多少？（精確到0.01km/h)

【解析】設這輛汽車剎車前的車速為xkm/h,根據題意，有

>39.5,移項整理，得x2+9x-7110>0,顯然Δ>0，方程x2+9x-7110=0有兩個實數根，即x1=-88.94,x2≈79.94.所以不等式的解集為{x|x<-88.94或x>79.94}.在這個實際問題中，x>0，所以這輛汽車剎車前的速度至少為79.94km/h.考點突破已知二次函數f(x)=ax2+bx+c的圖象過A(t1,y1),B(t2,y2)兩點，且滿足a2+(y1+y2)a+y1y2=0.（1）證明：y1=-a或y2=-a;（2）證明：函數f(x)的圖象必與x軸有兩個交點；（3）若關于x的不等式f(x)>0的解集為{x|x>m或x<n,n<m<0}，解關于x的不等式cx2-bx+a>0.考點4三個“二次”的關系問題【分析】三個“二次”（二次函數、二次方程、二次不等式）把初中數學與高中數學緊密地聯(lián)系在一起，因而也是高考命題的熱點，解決三個“二次”問題的關鍵在于數形結合思想的運算，也就是要利用圖象來分析、解決問題.(1)∵a2+(y1+y2)a+y1y2=0,

∴(a+y1)(a+y2)=0，

得y1=-a或y2=-a.(2)當a>0時,二次函數f(x)的圖象開口向上,圖象上的點A,B的縱坐標至少有一個為-a且小于零,∴圖象與x軸有兩個交點.

當a<0時,二次函數f(x)的圖象開口向下,圖象上的點A,B的縱坐標至少有一個為-a且大于零,∴圖象與x軸有兩個交點.故二次函數f(x)的圖象與x軸有兩個不同的交點.(3)∵ax2+bx+c>0的解集為{x|x>m或x<n,n<m<0},從而方程cx2+bx+a=0有兩個根為x1=,x2=,則方程cx2-bx+a=0的兩個根為x1=,x2=.∵n<m<0,∴<.故不等式cx2-bx+a>0的解集為｛x|x>或x<｝.

(1)解一元二次不等式應熟記它的解的結構,即當Δ>0,a>0時,ax2+bx+c>0→x>x2或x<x1(x2>x1)(即大于大根或小于小根);ax2+bx+c<0→x1<x<x2(即夾在兩根之間).

(2)解不等式的逆向問題是我們的薄弱點,是命題的亮點,是高考注重逆向思維考查的落腳點,因此我們應熟練掌握由一元二次不等式解的結構逆向推出不等式滿足的條件的方法.對應訓練已知二次函數f(x)的二次項系數為a，且不等式f(x)＞-2x的解集為(1,3).（1）若方程f(x)+6a=0有兩個相等的根，求f(x)的解析式；（2）若f(x)的最大值為正數，求a的取值范圍.(1)因為f(x)+2x＞0的解集為(1,3)，所以f(x)+2x=a(x-1)(x-3)，且a<0.因而f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a.①由方程f(x)+6a=0