函數(shù)的連續(xù)與間斷

函數(shù)的連續(xù)與間斷函數(shù)的連續(xù)與間斷前面學(xué)習(xí)了極限，通過極限理論進(jìn)一步考察函數(shù)的變化關(guān)系.可以發(fā)現(xiàn)，在自然界中有許多現(xiàn)象，如植物的生長、氣溫的變化、河水的流動(dòng)等都是連續(xù)變化的.就植物的生長來看，當(dāng)時(shí)間變化很微小時(shí)，植物的變化也是很微小的，這種現(xiàn)象在函數(shù)關(guān)系上的反映就是函數(shù)的連續(xù)性.本節(jié)主要討論連續(xù)函數(shù)的概念和間斷的概念及其分類.

一、函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的增量1.定義15設(shè)自變量x從它的初值x0變到終值x1，則終值與初值之差x1－x0稱為自變量的改變量(或增量)，記為Δx=x1－x0.若函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的某個(gè)鄰域有定義，當(dāng)自變量在此鄰域內(nèi)x從x0變到x0+Δx時(shí)，函數(shù)相應(yīng)的改變量記為Δy，則有Δy=f(x0+Δx)－f(x0)

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與自變量一樣，函數(shù)的改變量也稱為函數(shù)的增量Δy

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函數(shù)的增量是可正可負(fù)的.若f(x0+Δx)>f(x0)，則Δy>0；若f(x0+Δx)<f(x0)，則Δy<0

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一、函數(shù)的連續(xù)性這個(gè)關(guān)系式的幾何解釋如圖2-11所示.圖2-11一、函數(shù)的連續(xù)性【例45】一塊正方形的金屬薄板，受熱膨脹后，邊長和面積都在增大.當(dāng)邊長有一增量Δx時(shí)，求其面積A的增量.解設(shè)面積與邊長的函數(shù)關(guān)系為A=x2，當(dāng)自變量x有一個(gè)改變量Δx時(shí)，相應(yīng)函數(shù)的增量為ΔA.ΔA=f(x+Δx)－f(x)=(x+Δx)2－x2=2x?Δx+(Δx)2.一、函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性概念2.設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)Δx趨向于零時(shí)，函數(shù)相對(duì)應(yīng)的增量Δy也趨向于零，即limΔx→0Δy=0成立，則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0連續(xù).

在定義16中，若令x=x0+Δx,即Δx=x－x0，則當(dāng)Δx→0時(shí)，也就是當(dāng)x→x0時(shí).又因?yàn)棣=f(x0+Δx)－f(x0)=f(x)－f(x0)，因而limΔx→0Δy=0可以改寫為

limΔx→0［f(x)－f(x0)］=0，即limx→x0f(x)=f(x0).

因此，函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)的定義又可敘述如下.定義16一、函數(shù)的連續(xù)性定義17設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果有l(wèi)imx→x0f(x)=f(x0)成立，則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，且稱x0為函數(shù)y=f(x)的連續(xù)點(diǎn).

更直觀一些又可表述為：函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)應(yīng)滿足三個(gè)條件：(1)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0有定義.

(2)limx→x0f(x)存在.

(3)極限值等于該點(diǎn)的函數(shù)值f(x0)

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如果借用極限定義的“ε-δ”語言，連續(xù)性的定義又可表述如下.

設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)于任意給定的小正數(shù)ε，總存在正數(shù)δ，使得當(dāng)|x－x0|<δ時(shí)，恒有|f(x)－f(x0)|<ε成立，則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0連續(xù).一、函數(shù)的連續(xù)性定義18如果函數(shù)y=f(x)滿足limx→x-0f(x)=f(x0)［或limx→x+0f(x)=f(x0)］，則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處左(或右)連續(xù).

設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］內(nèi)有定義，如果有l(wèi)imx→b－f(x)=f(b)，那么我們就稱函數(shù)y=f(x)在右端點(diǎn)b左連續(xù)；如果limx→a+f(x)=f(a)，那么我們就稱函數(shù)y=f(x)在左端點(diǎn)a右連續(xù).一、函數(shù)的連續(xù)性定義19如果一個(gè)函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù),則稱函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù).如果一個(gè)函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)，又在左端點(diǎn)a右連續(xù)，右端點(diǎn)b左連續(xù)，則稱函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間［a,b］上連續(xù).如果函數(shù)y=f(x)在整個(gè)定義域內(nèi)連續(xù)，則稱該函數(shù)為連續(xù)函數(shù).一、函數(shù)的連續(xù)性定理24函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)的充要條件是函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0既左連續(xù)又右連續(xù).一、函數(shù)的連續(xù)性【例46】證明y=cosx在(－∞,+∞)內(nèi)是連續(xù)的.一、函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的圖像是一條連續(xù)而不間斷的曲線.通過上面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道函數(shù)的連續(xù)性了，同時(shí)我們可以聯(lián)想一下，若函數(shù)在某一點(diǎn)不連續(xù)，會(huì)出現(xiàn)什么情形呢？下面我們就來討論這個(gè)問題：函數(shù)的間斷點(diǎn).注二、函數(shù)的間斷點(diǎn)定義20若函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一空心鄰域內(nèi)有定義，且f(x)在點(diǎn)x0處不連續(xù)，則稱f(x)在點(diǎn)x0處間斷，稱點(diǎn)x0為f(x)的間斷點(diǎn).

由定義17知，函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)的條件是：(1)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義.

如果其中任何一條不滿足，即函數(shù)f(x)有下列三種情形之一，那么點(diǎn)x0為f(x)的間斷點(diǎn)：(1)f(x)在點(diǎn)x0處沒有定義.

二、函數(shù)的間斷點(diǎn)定義21設(shè)點(diǎn)x0為f(x)的間斷點(diǎn)，但左極限及右極限都存在，則稱x0為f(x)的第一類間斷點(diǎn)；若f(x)在點(diǎn)x0處的左、右極限至少有一個(gè)不存在，則稱點(diǎn)x0為函數(shù)f(x)的第二類間斷點(diǎn).

二、函數(shù)的間斷點(diǎn)二、函數(shù)的間斷點(diǎn)二、函數(shù)的間斷點(diǎn)圖2-12二、函數(shù)的間斷點(diǎn)【例47】二、函數(shù)的間斷點(diǎn)【例48】二、函數(shù)的間斷點(diǎn)