函數(shù)的冪級數(shù)展開

函數(shù)的冪級數(shù)展開第五節(jié)函數(shù)的冪級數(shù)展開前面討論了冪級數(shù)的收斂域，冪級數(shù)在收斂域內(nèi)和、差、積、商的運算，以及冪級數(shù)的和函數(shù)的連續(xù)性、可積性、可導(dǎo)性，從這些內(nèi)容中可看出，冪級數(shù)具有形式簡單，運算和分析性質(zhì)良好的特點.因此，能否將一個函數(shù)表示成冪級數(shù)在理論上和實際上都具有重要的意義.第五節(jié)函數(shù)的冪級數(shù)展開

給定函數(shù)f(x)，要考慮它是否能在某個區(qū)間內(nèi)“展開成冪級數(shù)”，就是說，是否能找到這樣一個冪級數(shù)，它在某區(qū)間內(nèi)收斂，且其和恰好就是給定的函數(shù)f(x).如果能找到這樣的冪級數(shù)，就說函數(shù)f(x)在該區(qū)間能展開成冪級數(shù)，而這個冪級數(shù)在該區(qū)間內(nèi)就表達了函數(shù)f(x).第五節(jié)函數(shù)的冪級數(shù)展開本節(jié)要討論的問題是：(1)函數(shù)f(x)在什么條件下才能展開成冪級數(shù)？(2)如果可以展開，怎樣確定它的展開式，展開式是否唯一？(3)它的展開式在什么區(qū)間內(nèi)收斂于f(x)?一、泰勒級數(shù)的概念首先看第一個問題.第三章已講過泰勒公式，若函數(shù)f(x)在x0的某鄰域U(x0)內(nèi)有直到(n+1)階的導(dǎo)數(shù)，則對于任意的x∈U(x0)，有f(x)的n階泰勒公式

（11-7）成立，其中

介于x與x0之間).此時，f(x)可表示為

（11-8）一、泰勒級數(shù)的概念其中是n次多項式.如果函數(shù)f(x)在x0的某鄰域U(x0)內(nèi)有任意階的導(dǎo)數(shù)，可以設(shè)想多項式sn+1(x)的項數(shù)趨近于無窮，得

（11-9）稱冪級數(shù)(119)為函數(shù)f(x)在x=x0處的泰勒級數(shù).若取x0=0,稱冪級數(shù)

為f(x)的麥克勞林級數(shù).一、泰勒級數(shù)的概念一個函數(shù)只要在點x0處無窮次可導(dǎo)，就能寫出它的泰勒級數(shù)，但是這個級數(shù)除了x0外，它是否一定收斂？如果收斂，它是否一定收斂于f(x)?看一個具體的例子.函數(shù)

在點x=0任意階可導(dǎo)，且f(n)(0)=0(n=0,1,2,…)，所以f(x)的麥克勞林級數(shù)為

該級數(shù)在(－∞,+∞)內(nèi)的和函數(shù)s(x)≡0,可見除x=0外,f(x)的麥克勞林級數(shù)處處不收斂于f(x).那么f(x)的泰勒級數(shù)收斂于f(x)的條件是什么呢？下面的定理給出了第一個問題的答案.一、泰勒級數(shù)的概念若函數(shù)f(x)在點x0的某一鄰域U(x0)內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)，則f(x)在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的充分必要條件是f(x)的泰勒公式中的余項Rn(x)當(dāng)n→∞時的極限為零，即定理一、泰勒級數(shù)的概念必要性.設(shè)f(x)在U(x0)內(nèi)能展成泰勒級數(shù)，即

（11-10）對一切x∈U(x0)都成立.把f(x)的n階泰勒公式(11-7)寫成式(11-8),由式(11-10)有證明一、泰勒級數(shù)的概念所以定理的必要性得證.充分性.設(shè)對一切x∈U(x0),都有.由f(x)的n階泰勒公式(11-8)有令n→∞取上式極限，得一、泰勒級數(shù)的概念即f(x)的泰勒級數(shù)(11-9)在U(x0)內(nèi)收斂，并且收斂于f(x).因此定理的充分性得證.下面要討論第二個問題，如果函數(shù)f(x)在含有x0的某個鄰域U(x0)內(nèi)可以表示為冪級數(shù)

，那么，系數(shù)an(n=0,1,2,…)如何確定呢？任取x0的一個鄰域(x0－δ,x0+δ)U(x0)，在此鄰域內(nèi)

，由冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項求導(dǎo)，得一、泰勒級數(shù)的概念在以上各式中，令x=x0，得一、泰勒級數(shù)的概念于是上式說明，若函數(shù)f(x)能展成x－x0的冪級數(shù)，則這個冪級數(shù)就是f(x)的泰勒級數(shù)，它的展開式是唯一的.特別地，若x0=0，則這個冪級數(shù)就是f(x)的麥克勞林級數(shù).下面討論第三個問題，函數(shù)f(x)的展開式在什么區(qū)間內(nèi)收斂于f(x)？即如何在一定的區(qū)間內(nèi)將函數(shù)f(x)展成x的冪級數(shù).二、函數(shù)展開成冪級數(shù)的方法直接法1.將已給函數(shù)f(x)展開成x的冪級數(shù)，可直接按下列步驟進行：（1）求出f(x)的各階導(dǎo)數(shù)f(n)(x)，并將x=0的值代入，求出

（2）寫出冪級數(shù)

，并求出收斂半徑R.（3）驗證當(dāng)x∈(－R,R)時，

，寫出所求函數(shù)f(x)的麥克勞林級數(shù)及其收斂區(qū)間二、函數(shù)展開成冪級數(shù)的方法將函數(shù)f(x)=ex展開成x冪級數(shù).

解求出f(x)的各階導(dǎo)數(shù)f(n)(x)=ex,并將x=0的值代入，得f(n)(0)=1(n=0,1,2,…),于是f(x)的麥克勞林級數(shù)為該級數(shù)的收斂半徑R=+∞.對于任何有限的數(shù)x，ξ(ξ介于0與x之間)，有【例1】二、函數(shù)展開成冪級數(shù)的方法因

有限,而

是收斂級數(shù)

的一般項，所以,即,于是二、函數(shù)展開成冪級數(shù)的方法將函數(shù)f(x)=sinx展成x的冪級數(shù).

解求出f(x)的各階導(dǎo)數(shù)并將x=0的值代入，知f(n)(0)順序循環(huán)地取0,1,0,－1,…(n=0,1,2,…),于是f(x)的麥克勞林級數(shù)為【例2】二、函數(shù)展開成冪級數(shù)的方法該級數(shù)的收斂半徑R=+∞.對于任何有限的數(shù)x，ξ(ξ介于0與x之間)，有于是二、函數(shù)展開成冪級數(shù)的方法間接法2.利用一些已知的函數(shù)展開式、冪級數(shù)的運算（如四則運算、逐項求導(dǎo)、逐項積分）以及變量代換等將所給函數(shù)展開為冪級數(shù)，這樣可以避免研究余項.二、函數(shù)展開成冪級數(shù)的方法將函數(shù)f(x)=cosx展成x的冪級數(shù).解由于sinx的導(dǎo)數(shù)是cosx，已知故在sinx的收斂區(qū)間(－∞,+∞)內(nèi)對上式逐項求導(dǎo)，得【例3】二、函數(shù)展開成冪級數(shù)的方法將函數(shù)f(x)=(1+x)α(α∈R)展開成x的冪級數(shù).解求出f(x)的各階導(dǎo)數(shù).【例4】二、函數(shù)展開成冪級數(shù)的方法所以于是f(x)的麥克勞林級數(shù)為該級數(shù)相鄰兩項的系數(shù)之比的絕對值二、函數(shù)展開成冪級數(shù)的方法因此，對任何常數(shù)α這級數(shù)在(－1,1)內(nèi)收斂.為了避免直接研究余項,設(shè)所得級數(shù)在區(qū)間(－1,1)內(nèi)收斂到s(x)，即

（11-11）下面證明s(x)=(1+x)α，x∈(－1,1).對式(11-11)逐項求導(dǎo)，得二、函數(shù)展開成冪級數(shù)的方法上式兩端同乘以1+x，合并同類項，則由恒等式得二、函數(shù)展開成冪級數(shù)的方法即注意到s(0)=1，將上式兩端從0到x積分，有于是即二、函數(shù)展開成冪級數(shù)的方法所以

于是

（11-12）在區(qū)間的端點x=±1處，展開式是否成立要看α的取值而定.公式(11-12)稱為二項展開式.特別地,當(dāng)α為正整數(shù)時，級數(shù)成為x的α次多項式，它就是初等代數(shù)中的二項式定理.例如，當(dāng)α=－1時，有二、函數(shù)展開成冪級數(shù)的方法將x換成－x，得當(dāng)

時，有當(dāng)

時，有二、函數(shù)展開成冪級數(shù)的方法將函數(shù)

展成x的冪級數(shù).

解由于

且在上式兩端從0到x逐項積分,得

（11-13）【例5】二、函數(shù)展開成冪級數(shù)的方法式(11-13)對x=1也成立.因為式(11-13)右端的冪級數(shù)當(dāng)x=1時收斂，而式(11-13)左端的函數(shù)ln(1+x)在x=1處有定義且連續(xù).注意二、函數(shù)展開成冪級數(shù)的方法從前面的幾個例子可得七個