函數(shù)的求導(dǎo)法則

函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則導(dǎo)數(shù)的定義給出了一種求導(dǎo)數(shù)的一般方法，但是按定義求導(dǎo)數(shù)有時(shí)會(huì)相當(dāng)麻煩.從本節(jié)開(kāi)始我們將介紹求導(dǎo)的幾個(gè)基本法則和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，借助于這些法則和公式，就能較方便地求出常見(jiàn)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù).一、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則定理2如果u(x)和v(x)在x處可導(dǎo)，函數(shù)的和、差u(x)±v(x)在x處也是可導(dǎo)的，并且有

［u(x)±v(x)］′=u′(x)±v′(x).

證令y=u(x)±v(x)，當(dāng)x有增量Δx時(shí)，u有增量Δu，v有增量Δv，從而y有增量Δy，且有

一、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則即［u(x)±v(x)］′=u′(x)±v′(x)

.

上述法則可推廣到有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的情況，有限個(gè)函數(shù)的和、差的導(dǎo)數(shù)等于它們導(dǎo)數(shù)的和、差，即［u(x)±v(x)±…±w(x)］′=u′(x)±v′(x)±…±w′(x).

一、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則定理3如果u(x)和v(x)在x處可導(dǎo)，函數(shù)的積u(x)·v(x)在x處也是可導(dǎo)的，并且有一、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則即［u(x)·v(x)］′=u′(x)v(x)+u(x)v′(x)，特別地，［Cu(x)］′=Cu′(x)

(C為任意常數(shù)).

上述法則可推廣到有限個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)的情形，即［u(x)·v(x)·…·w(x)］′=u′(x)v(x)…w(x)+u(x)v′(x)…w(x)+…+u(x)v(x)…w′(x).

一、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則定理4一、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則設(shè)y=3x2+2x+7，求y′.

解y′=(3x2+2x+7)′=(3x2)′+(2x)′+(7)′=6x+2.【例14】【例15】一、函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)y=xsinx；(2)y=ax(2sinx－3cosx)；(3)y=x4?ex?lnx.

解(1)y′=(xsin

x)′=(x)′sinx+x(sinx)′=sinx+xcosx；

(2)y′=axlna(2sinx－3cosx)+ax(2cos

x+3sinx)；

(3)y′=4x3exlnx+x4exlnx+x3ex=x3ex(4lnx+xln

x+1).【例16】二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則定理5如果x=φ(y)在某區(qū)間上單調(diào)可導(dǎo)，且φ′(y)≠0，那么它的反函數(shù)y=f(x)在對(duì)應(yīng)區(qū)間上也可導(dǎo)，且有

證因x=φ(y)單調(diào)可導(dǎo)，故它的反函數(shù)單調(diào)連續(xù)，下面證明它的可導(dǎo)性.

當(dāng)x有增量Δx≠0時(shí)，由單調(diào)性可知Δy=f(x+Δx)－f(x)≠0，因而有二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則【例18】求指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a≠1)的導(dǎo)數(shù).二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則【例19】求y=arcsinx的導(dǎo)數(shù).二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則【例20】求y=arctanx的導(dǎo)數(shù).三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則定理6如果u=φ(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，而y=f(u)在點(diǎn)u=φ(x)處可導(dǎo)，那么復(fù)合函數(shù)y=f［φ(x)］在點(diǎn)x處可導(dǎo)，并且其導(dǎo)數(shù)為

或?qū)懗蓎′x=y′u·u′x.

證當(dāng)x有增量Δx時(shí)，u有增量Δu，從而y有增量Δy.當(dāng)Δu≠0時(shí)，有三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則由已知條件可得所以

即y′x=y′u·u′x

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上述證明假定了當(dāng)|Δx|足夠小時(shí)，Δu≠0，如果該事實(shí)不成立，我們?nèi)阅茏C明該法則成立，證明過(guò)程請(qǐng)讀者思考.三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則注這個(gè)公式說(shuō)明復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于復(fù)合函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù).該法則也稱(chēng)為鏈?zhǔn)椒▌t，它可以推廣到多個(gè)中間變量的情形.假設(shè)有函數(shù)y=f{φ［ψ(x)］}，它是由y=f(u),u=φ(v),v=ψ(x)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，那么復(fù)合函數(shù)y=f{φ［ψ(x)］}的導(dǎo)數(shù)為三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則【例22】求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù).(1)y=sin2x；(2)y=(1+2x)5

；(3)y=tan(sinx)；(4)y=ln(x+1+x2).解(1)由y=sinu,u=2x,得y′=y′u?u′x=cosu?(2x)′=2cos2x.(2)由y=u5,u=1+2x，得

y′=y′u?u′x=(u5)′(1+2x)′=5u4×2=10u4=10(1+2x)4.(3)在熟練掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則后，中間變量可以不必寫(xiě)出(默記在心里按法則逐步進(jìn)行)，于是有

y′=［tan(sinx)］′=sec2(sinx)?(sinx)′=sec2(sinx)?cosx=cosx?sec2(sinx).三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則注對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)，求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是一個(gè)難點(diǎn).但若能夠熟悉復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過(guò)程，并牢記“由外向里，逐層求導(dǎo)”的八字原則，則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)就會(huì)變得簡(jiǎn)便易行.所謂“由外向里”，就是按照復(fù)合的層次，從最外面開(kāi)始，依次向里；“逐層求導(dǎo)”就是一層一層地求下去，直到自變量為止.最后，把各層求的導(dǎo)數(shù)的結(jié)果乘起來(lái)即可.三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則【例23】y=cosln(1+2x)，求y′.解該復(fù)合函數(shù)從最外層看是余弦函數(shù)，向里依次是對(duì)數(shù)函數(shù)、簡(jiǎn)單函數(shù)1+2x.按照上面的八字原則，需要分別對(duì)余弦函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及函數(shù)1+2x求導(dǎo)，然后乘積即得三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則【例24】求函數(shù)y=sin22x的導(dǎo)數(shù).解該函數(shù)是由冪函數(shù)、正弦函數(shù)、簡(jiǎn)單函數(shù)2x復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù).由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則得

y′=2sin2x?cos2x?2=2sin4x.三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則【例25】【例26】已知y=f(x2)sinf(x),f為可導(dǎo)函數(shù)，求y′.解y′=［f(x2)］′sinf(x)+f(x2)［sinf(x)］′=2xf′(x2)sinf(x)+f(x2)f′(x)cosf(x).三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則關(guān)于求導(dǎo)記號(hào)的幾點(diǎn)說(shuō)明：(1)對(duì)于復(fù)合函數(shù)y=f［φ(x)］，如果不設(shè)中間變量，y′表明y對(duì)自變量x求導(dǎo)；如果設(shè)有中