數(shù) 量積 向量積 混合積

數(shù)量積向量積混合積第二節(jié)數(shù)量積向量積混合積

關(guān)于向量與向量的乘法，根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的需要，我們定義了向量的兩種乘積，即向量的數(shù)量積和向量積．一、向量的數(shù)量積設(shè)有一物體在常力F的作用下，沿直線由點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)B，求力F對(duì)物體所作的功W（見(jiàn)圖7-18）．圖7-18一、向量的數(shù)量積

由物理學(xué)知識(shí)得其中θ為F與的夾角.由上例可見(jiàn)，這是一個(gè)由兩個(gè)向量確定一個(gè)數(shù)量的運(yùn)算，關(guān)于這一類運(yùn)算，在實(shí)際問(wèn)題中很多，為此，給出向量數(shù)量積的定義．一、向量的數(shù)量積定義1

設(shè)有兩個(gè)非零向量a與b，它們正向間的夾角為θ(0≤θ≤π)，則稱|a|·|b|·cosθ為兩向量a與b的數(shù)量積（又稱點(diǎn)積），記為a·b，即a·b=|a|·|b|·cosθ.(7-1)由于|b|cosθ=Prjab，|a|cosθ=Prjba，所以兩向量a與b的數(shù)量積式(7-1)又可表示為a·b=|a|·Prjab=|b|Prjba.(7-2)一、向量的數(shù)量積容易驗(yàn)證兩向量a與b的數(shù)量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）交換律：a·b=b·a.

（2）分配律：(a＋b)·c=a·c＋b·c.

（3）結(jié)合律：λ(a·b)=(λa)·b=a·(λb)．此外，向量a與b的數(shù)量積還具有如下性質(zhì)：（1）a·a=|a|2.

（2）任意兩個(gè)非零向量a，b互相垂直的充要條件是a·b=0.一、向量的數(shù)量積

（3）兩個(gè)非零向量的夾角余弦可用點(diǎn)積表示，即

（7-3）設(shè)a={x1，y1，z1}，b={x2，y2，z2}，則a·b=x1x2+y1y2+z1z2．事實(shí)上，對(duì)于坐標(biāo)向量i，j，k，有i·i=j·j=k·k=1，i·j=j·k=k·i=0．于是a·b=(x1i＋y1j＋z1k)·(x2i＋y2j＋z2k)=(x1i＋y1j＋z1k)·x2i＋(x1i＋y1j＋z1k)·y2j＋(x1i＋y1j＋z1k)·z2k=x1x2(i·i)＋y1y2(j·j)＋z1z2(k·k)．一、向量的數(shù)量積即a·b=x1x2＋y1y2＋z1z2．(7-4)

從而a與b的夾角余弦還可表示為

（7-5）一、向量的數(shù)量積

已知M1(0,2,－1),M2(1,0,1),M3(1,3,2),求

解

因?yàn)樗浴纠?】一、向量的數(shù)量積

設(shè)力F={1,3,5}作用在一物體上，物體的位移是s={2,－1,3}，求力F對(duì)物體做的功W．

解W=F·s=1×2+3×(－1)+5×3=14．【例2】一、向量的數(shù)量積

已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為A(1,2,2),B(1,1,1),C(1,2,0),求證：△ABC為直角三角形，并求∠A．

解又因?yàn)椤纠?】一、向量的數(shù)量積

所以，即△ABC為直角三角形．又因?yàn)樗砸?、向量的?shù)量積

在xOy坐標(biāo)面上求向量b，使之與向量a={1,－2,2}垂直，且與a的模相等．

解

設(shè)b={x，y，z}，因b在xOy面上，故z=0，即b={x，y，0}．又因?yàn)閨b|=|a|，而所以|b|=3，即有x2+y2=32=9．又由b⊥a，故a·b=1·x+(-2)y+2×0=x－2y=0．【例4】一、向量的數(shù)量積

于是，所求向量二、向量的向量積

在研究物體的轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)，不但要考慮物體所受的力，而且還要考慮這些力所產(chǎn)生的力矩．請(qǐng)看下面表達(dá)力矩的方法．設(shè)有一杠桿，其支點(diǎn)為O，有一力F作用于杠桿點(diǎn)A處，力F與的夾角為θ（見(jiàn)圖7-19）．由力學(xué)知識(shí)，我們知道力F對(duì)支點(diǎn)O的力矩是一個(gè)向量M，它的模為而M的方向（按右手系法則確定）垂直于OA和F所確定的平面．根據(jù)此類實(shí)際問(wèn)題研究的需要，我們引入向量積的定義．二、向量的向量積圖7-19二、向量的向量積定義2

設(shè)a，b為兩個(gè)非零向量，我們定義向量a與b的向量積（又稱叉積）．向量積是滿足下面條件的一個(gè)向量，記為a×b，它的模和方向分別為（1）|a×b|=|a|·|b|·sinθ(θ為a與b夾角).（2）a×b垂直于a與b所確定的平面，且a，b，a×b符合右手規(guī)則（見(jiàn)圖7-20），從幾何上看|a×b|等于以a，b為鄰邊的平行四邊形的面積．圖7-20二、向量的向量積由向量積的定義可知向量積滿足以下規(guī)律和性質(zhì)：（1）b×a=-a×b.

（2）結(jié)合律：(λa)×b=a×(λb)=λ(a×b).

（3）分配律：(a+b)×c=a×c+b×c，a×(b+c)=a×b+a×c.

（4）兩個(gè)非零向量a與b平行的充要條件是a×b=0.

（5）a×a=0．二、向量的向量積

特別地，對(duì)坐標(biāo)向量i，j，k，有i×i=j×j=k×k=0，i×j=k，j×k=i，k×i=j，i×k=-j，k×j=-i，j×i=-k．下面利用上述性質(zhì)，給出向量積的坐標(biāo)表達(dá)式．設(shè)a={x1，y1，z1}，b={x2，y2，z2},則二、向量的向量積

為便于記憶a×b的坐標(biāo)表示，可借用三階行列式的記號(hào)來(lái)表示：二、向量的向量積

設(shè)

解【例5】二、向量的向量積

求以A(1,1,1),B(2,3,2),C(3,3,2)為頂點(diǎn)的三角形的面積S．

解

△ABC的面積等于為鄰邊的平行四邊形面積的一半，而所以【例6】二、向量的向量積

求與向量都垂直的單位向量n0．

解

不妨設(shè)計(jì)算得所以【例7】三、向量的混合積定義3

設(shè)有三個(gè)向量a，b，c，先對(duì)其中兩個(gè)向量作向量積，然后再用其結(jié)果和第三個(gè)向量作數(shù)量積，最后結(jié)果是一個(gè)數(shù)，我們稱a·(b×c)為混合積，記作［abc］，即［abc］=a·(b×c)．混合積的幾何意義：［abc］是一個(gè)數(shù)，它的絕對(duì)值等于以向量a，b，c為棱的平行六面體的體積的值．如果a,b,c符合右手系法則，則混合積為正，否則為負(fù)．三、向量的混合積

事實(shí)上，由圖7-21可知［abc］=a·(b×c)=|a|·|b×c|cosθ=±|b×c|h，其中θ為a與b×c的夾角，h為兩平行底面間的距離．顯然a在b×c方向的投影為±h，θ為銳角時(shí)取正，θ為鈍角時(shí)取負(fù)．注意到|b×c|等于以b，c為鄰邊的平行四邊形的面積，所以|b×c|h為以a，b，c為棱的平行六面體的體積的值．如果a，b，c符合右手系法則，θ為銳角，［abc］>0；否則，θ為鈍角，［abc］<0．圖7-21三、向量的混合積混合積的坐標(biāo)表示：設(shè)a={ax,ay,az},b={bx,by,bz},c={cx,cy,cz}，則（7-6）

混合積的性質(zhì)：（1）［abc］=［cab］=［bca］=－［cba］=－［bac］=－［acb］.（2）三個(gè)向量a，b，c共面的充要條件是［abc］=0．三、向量的混合積

已知四面體O－ABC四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,1,1),B(2,3,4,),C(1,3,5),O(2,2,6)，求