2025版高考數(shù)學一輪復習高頻考點集中練三角與向量含解析新人教B版

PAGE高頻考點集中練三角與向量1.(2024·全國卷Ⅱ)下列函數(shù)中,以QUOTE為周期且在區(qū)間QUOTE單調(diào)遞增的是 ()A.f(x)=|cos2x| B.f(x)=|sin2x|C.f(x)=cos|x| D.f(x)=sin|x|【命題思維分析】本題以三角函數(shù)圖象與性質(zhì)為背景,主要對函數(shù)圖象的翻折、對稱以及函數(shù)的奇偶性、周期性的考查,其中滲透直觀想象、邏輯推理等數(shù)學素養(yǎng).我們只要畫出各函數(shù)圖象,數(shù)形結(jié)合即可做出選擇.【解析】選A.分別畫出上述函數(shù)的圖象可得選項A的周期為QUOTE,選項B的周期為QUOTE,而選項C的周期為2π,選項D不是周期函數(shù).結(jié)合圖象的升降狀況可得A正確.【真題拾貝】利用二個結(jié)論:①函數(shù)y=QUOTE的周期是函數(shù)y=f(x)周期的一半;②y=sinQUOTE不是周期函數(shù).2.(2024·全國卷Ⅰ)已知曲線C1:y=cosx,C2:y=sinQUOTE,則下面結(jié)論正確的是 ()A.把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍,縱坐標不變,再把得到的曲線向右平移QUOTE個單位長度,得到曲線C2B.把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍,縱坐標不變,再把得到的曲線向左平移QUOTE個單位長度,得到曲線C2C.把C1上各點的橫坐標縮短到原來的QUOTE倍,縱坐標不變,再把得到的曲線向右平移QUOTE個單位長度,得到曲線C2D.把C1上各點的橫坐標縮短到原來的QUOTE倍,縱坐標不變,再把得到的曲線向左平移QUOTE個單位長度,得到曲線C2【解析】選D.C1:y=cosx,C2:y=sinQUOTE,首先把曲線C1,C2統(tǒng)一為同一三角函數(shù)名,可將C1:y=cosx用誘導公式處理.y=cosx=cosQUOTE=sinQUOTE.橫坐標變換需將ω=1變成ω=2,即y=sinQUOTEy=sinQUOTE=sin2QUOTEy=sin2x+QUOTE=sin2QUOTE.留意ω的系數(shù),在左右平移時需將ω=2提到括號外面,這時x+QUOTE平移至x+QUOTE,依據(jù)“左加右減”原則,“x+QUOTE”到“x+QUOTE”需加上QUOTE,即再向左平移QUOTE.【真題拾貝】對于三角函數(shù)圖象變換問題,①首先要將不同名函數(shù)轉(zhuǎn)換成同名函數(shù),利用誘導公式,須要重點記住sinα=cosQUOTE,cosα=sinQUOTE;②在進行圖象變換時,提倡先平移后伸縮,而先伸縮后平移在考試中常常出現(xiàn),無論哪種變換,記住每一個變換總是對變量x而言.3.(2024·全國卷Ⅱ)已知△ABC是邊長為2的等邊三角形,P為平面ABC內(nèi)一點,則·(+)的最小值是 ()A.-2 B.-QUOTE C.-QUOTE D.-1【解析】選B.取BC的中點D,以BC為x軸,BC的垂直平分線AD為y軸,D為坐標原點建立坐標系,則A(0,QUOTE),B(-1,0),C(1,0),設(shè)P(x,y),所以=(-x,QUOTE-y),=(-1-x,-y),=(1-x,-y),所以+=(-2x,-2y),·(+)=2x2-2y(QUOTE-y)=2x2+2QUOTE-QUOTE≥-QUOTE,當PQUOTE時,·(+)取得最小值,最小值為-QUOTE.【真題拾貝】平面對量中有關(guān)最值問題的求解通常有兩種思路:一是“形化”,即利用平面對量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題,然后依據(jù)平面圖形的特征干脆進行推斷;二是“數(shù)化”,即利用平面對量的坐標運算,把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程有解等問題,然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)學問來解決.4.(2024·全國卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知△ABC的面積為QUOTE. 世紀金榜導學號(1)求sinBsinC;(2)若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周長.【解析】(1)因為△ABC面積S=QUOTE且S=QUOTEbcsinA,所以QUOTE=QUOTEbcsinA,所以a2=QUOTEbcsin2A,由正弦定理得sin2A=QUOTEsinBsinCsin2A,由sinA≠0得sinBsinC=QUOTE.(2)由(1)得sinBsinC=QUOTE,又cosBcosC=QUOTE,因為A+B+C=π,所以cosA=cosQUOTE=-cosQUOTE=sinBsinC-cosBcosC=QUOTE,又因為A∈QUOTE,所以A=QUOTE,sinA=QUOTE,cosA=QUOTE,由余弦定理得a2=b2+c2-bc=9①,由正弦定理得b=QUOTE·sinB,c=QUOTE·sinC,所以bc=QUOTE·sinBsinC=8②,由①②得b+c=QUOTE,所以a+b+c=3+QUOTE,即△ABC的周長為3+QUOTE.【真題拾貝】依據(jù)已知條件配湊余弦定理是求解正余弦定理解三角形的必備技巧,一般依據(jù)題意配湊成平方和、平方差公式,及兩角和、差的正余弦公式、二倍角公式綜合運用.5.(2024·山東高考)在△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知b=3,·=-6,S△ABC=3,求A和a. 世紀金榜導學號【命題思維分析】高考命題趨勢常常把三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、正余弦定理以及向量有機結(jié)合起來,從而使三角與幾何產(chǎn)生聯(lián)系,為求與三角形有關(guān)的量(如面積、外接圓、內(nèi)切圓半徑和圓面積等)供應(yīng)了理論依據(jù),也是推斷三角形形態(tài)、證明三角形中有關(guān)等式的重要依據(jù).【解析】因為·=-6,所以bccosA=-6,又S△ABC=3,所以bcsinA=6,因此tanA=-1,又0<A<π,所以A=QUOTE,又b=3,所以c=2QUOTE,由余