2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)核心考點精準(zhǔn)研析7.4直接證明與間接證明文含解析北師大版

PAGE10-干脆證明與間接證明核心考點·精準(zhǔn)研析考點一反證法的應(yīng)用

1.用反證法證明命題:“a,b,c,d∈R,a+b=1,c+d=1,且ac+bd>1,則a,b,c,d中至少有一個負(fù)數(shù)”時的假設(shè)為 ()A.a,b,c,d至少有一個正數(shù)B.a,b,c,d全為正數(shù)C.a,b,c,d全都大于等于0D.a,b,c,d中至多有一個負(fù)數(shù)2.對于命題:“若ab=0(a,b∈R),則a=0或b=0”,若用反證法證明該命題,下列假設(shè)正確的是A.假設(shè)a,b都不為0B.假設(shè)a,b至少有一個不為0C.假設(shè)a,b都為0D.假設(shè)a,b中至多有一個為03.若數(shù)列{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,公比q≠1,求證:1-an,1-an+1,1-an+2不行能成等比數(shù)列.【解析】1.選C.用反證法證明命題:“a,b,c,d∈R,a+b=1,c+d=1,且ac+bd>1,則a,b,c,d中至少有一個負(fù)數(shù)”時的假設(shè)為a,b,c,d全都大于等于0.2.選A.用反證法證明命題“若ab=0(a,b∈R),則a=0或b=0”時假設(shè)正確的是:假設(shè)a,b都不為0.3.假設(shè)1-an,1-an+1,1-an+2成等比數(shù)列,則(1-an+1)2=(1-an)(1-an+2),即1-2an+1+an+12=1+anan+2-(an因為數(shù)列{an}是等比數(shù)列,所以an+12=an所以2an+1=an+an+2,所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列,所以數(shù)列{an}是常數(shù)列,這與已知相沖突,故假設(shè)不成立,所以1-an,1-an+1,1-an+2不行能成等比數(shù)列.用反證法證明數(shù)學(xué)命題需把握的三點(1)必需先否定結(jié)論,即確定結(jié)論的反面.(2)必需從否定結(jié)論進(jìn)行推理,即應(yīng)把結(jié)論的反面作為條件,且必需依據(jù)這一條件進(jìn)行推證.(3)推導(dǎo)出的沖突可能多種多樣,有的與已知沖突,有的與假設(shè)沖突,有的與已知事實沖突等,但是推導(dǎo)出的沖突必需是明顯的.考點二分析法的應(yīng)用

【典例】1.分析法又稱執(zhí)果索因法,若用分析法證明“設(shè)a>b>c,且a+b+c=0,求證:b2-ac<3a”①a-b>0;②a-c>0;③(a-b)(a-c)>0;④(a-b)(a-c)<0.2.已知數(shù)列{an}是各項都是互不相等的正數(shù)的等差數(shù)列,求證:a1+a3<2a【解題導(dǎo)思】序號聯(lián)想解題1由a+b+c=0,想到b=-a-c由b2-ac想到不等式兩邊平方2數(shù)列{an}是等差數(shù)列a1+a3=2a2【解析】1.由a>b>c,且a+b+c=0可得b=-a-c,要證“b2-ac<3a”,只要證b2<只要證3a2+ac-(-a-c)2>0,即證2a2-c2-ac>0,(a-c)(a+a+c)>0,即證(a-c)(a-b)>0,故“b2-ac<3a答案:③2.要證a1+a3<2只要證a1+a3+2a1a3<因為數(shù)列{an}是等差數(shù)列,所以a1+a3=2a2,只要證a1a3<a2,只要證a因為數(shù)列{an}各項均為互不相等的正數(shù),所以a1a3<a1+a32成立關(guān)于分析法的應(yīng)用1.分析法證明問題的適用范圍當(dāng)已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯、干脆,或證明過程中所需用的學(xué)問不太明確、詳細(xì)時,往往采納分析法,特殊是含有根號、確定值的等式或不等式,?？紤]用分析法.2.分析法的格式通常采納“欲證—只需證—已知”的格式,在表達(dá)中要留意敘述形式的規(guī)范性.已知△ABC的三個內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,A,B,C的對邊分別為a,b,c.求證:1a+b+1【證明】要證1a+b+1即證a+b+ca+b+只需證c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),需證c2+a2=ac+b2,又△ABC三內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列,故B=60°,由余弦定理,得b2=c2+a2-2accos60°,即b2=c2+a2-ac,故c2+a2=ac+b2成立.于是原等式成立.考點三綜合法的應(yīng)用

命題精解讀1.考什么:(1)考查證明不等式、等式、平行、垂直、函數(shù)、數(shù)列結(jié)論等問題.(2)考查數(shù)學(xué)運算、直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng).2.怎么考:與不等式、數(shù)列、解析幾何、立體幾何、函數(shù)結(jié)合考查相關(guān)的證明問題.3.新趨勢:以統(tǒng)計、概率、分布為載體,與其他學(xué)問交匯考查.學(xué)霸好方法1.綜合法的應(yīng)用(1)證明不等式:結(jié)合基本不等式、數(shù)列求和、導(dǎo)數(shù)等學(xué)問利用綜合法證明.(2)證明相關(guān)的概念:結(jié)合數(shù)列的概念、導(dǎo)數(shù)極值、零點等學(xué)問利用綜合法證明.(3)幾何問題:結(jié)合解析幾何、立體幾何的相關(guān)學(xué)問,利用綜合法證明相關(guān)的概念、線面的位置關(guān)系.2.交匯問題:與函數(shù)、不等式、幾何、概率等各章節(jié)學(xué)問交匯,綜合運用與數(shù)列有關(guān)的證明【典例】已知正項數(shù)列{an}中,an+12=an+2(n∈(1)是否存在t,使得{an}為常數(shù)列且an=t.(2)求證:an≠2時,數(shù)列{|an-2|}為單調(diào)遞減數(shù)列.【解析】(1)存在.由t2-t-2=0,得t=2或t=-1(舍去),故當(dāng)t=2時,an=2,{an}為常數(shù)列.(2)由題意知an>0,且an≠2,故an+1=an所以an+1=a=1a明顯an>0,an+2+2>3,所以an數(shù)列{|an-2|}為單調(diào)遞減數(shù)列.本例中的分式是怎樣進(jìn)行變形的?提示:利用分子有理化進(jìn)行變形的.與函數(shù)有關(guān)的證明【典例】已知函數(shù)f(x)=1x+alnx-2a∈R,g(x)=1x(1)探討函數(shù)f(x)在定義域上的單調(diào)性.(2)當(dāng)a=3時,求證:f(x)≤g(x)恒成立.【解析】(1)f′(x)=-1+當(dāng)a≤0時,f′(x)<0,在0,+當(dāng)a>0時,x∈0,1x∈1a,故f(x)在0,1a遞減,在(2)當(dāng)a=3時,f(x)=1x+3ln令h(x)=g(x)-f(x)=x2+x-3lnx+2,則h′(x)=2x令h′(x)>0,解得:x>1,令h′(x)<0,解得:0<x<1,故h(x)在0,1遞減,在1故h(x)微小值=h(x)min=h1=4≥0,明顯成立,故g(x)≥f(x)恒成立.構(gòu)造差函數(shù)用什么方法證明恒成立?提示:構(gòu)造差函數(shù),通過求出差函數(shù)的最小值證明.與立體幾何有關(guān)的證明【典例】如圖,三棱柱ABC-A1B1C1,點A1在平面ABC內(nèi)的射影D在AC上,E是B1C1的中點,∠BAC=∠CAA1=60°,且AB=AC=AA1(1)求證:DE∥平面AA1B1B.(2)求證:B1C⊥A1【證明】(1)因為點A1在平面ABC內(nèi)的射影D在AC上,所以A1D⊥AC,又∠CAA1=60°,AC=AA1,所以D是AC的中點,取A1B1的中點F.連接EF,AF.因為E是B1C1的中點所以EF∥A1C1,EF=12A1所以EF∥AD,EF=AD.所以四邊形ADEF是平行四邊形,故AF∥DE.因為AF?平面AA1B1B,DE?平面AA1B1B.所以DE∥平面AA1B1B.(2)連接BD,AB1,由(1)知D是AC的中點.又AB=AC,∠BAC=60°,所以BD⊥AC.所以AC⊥平面A1BD.所以AC⊥A1B.又四邊形AA1B1B是平行四邊形,AB=AA1,所以AB1⊥A1B.所以A1B⊥平面AB1C所以B1C⊥A11.設(shè)函數(shù)f(x)=x3+11+x,x∈[0,1],(1)f(x)≥1-x+x2;(2)34<f(x)≤3【證明】(1)因為1-x+x2-x3=1-(-x)41-(-x)=1-x41+x,由于x∈[0,1],有1-x41+(2)由0≤x≤1得x3≤x,故f(x)=x3+1x+1≤x+1x+1=x+1x+1-32+32=(x-由(1)得f(x)≥1-x+x2=x-122+34≥34,又因為f12=19綜上,34<f(x)≤32.(2024·平谷模擬)如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD為直角梯形,AB∥CD,AB=2CD,BC⊥CD,側(cè)面CDD1C1⊥(1)求證:CD1∥平面ABB1A1(2)求證:BC⊥CD1.【證明】(1)四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,CC1∥BB1,BB1平面ABB1A1,CC1?平面ABB1A所以CC1∥平面ABB1A1又底面ABCD為直角梯形,所以CD∥AB,AB平面ABB1A1,CD?平面ABB1A1所以CD∥平面ABB1A1因為CD和CC1是平面CDD1C1的兩條相交直線所以平面CDD1C1∥平面ABB1A又CD1平面CDD1C1,所以CD1∥平面ABB1A1(2)因為平面CDD1C1⊥平面ABCD,BC平面ABCD,平面ABCD∩平面CDD1C1=CD,BC⊥所以BC⊥平面CDD1C1又CD1平面CDD1C1,所以BC⊥CD1.3.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,已知3an-2Sn=2.(1)證明{an}是等比數(shù)列,并求出通項公式an.(2)求證:Sn+12-SnSn+2【解析】(1)因為3an-2Sn=2,所以3an+1-2Sn+1=2,所以3an+1-3an-2(Sn+1-Sn)=0.因為Sn+1-Sn=an+1,所以an+1an=3,所以{an}是等比數(shù)列.當(dāng)n=1時,3a1-2S1=2,又S1=a1,所以a1=2.所以{an}是以2為首項,以3為公比的等比數(shù)列,其通項公式為a(2)由(1)可得Sn=3n-1,Sn+1=3n+1-1,Sn+2=3n+2-1,故Sn+12-SnSn+2=(3n+1-1)2-(3n-1)(3n+2-1)=4×3n,即Sn+12-S(2024·三明模