2025年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納訓(xùn)練專題07三角形中的重要模型之平分平行（平分射影）構(gòu)等腰、角平分線第二定理模型解讀與提分精練（全國(guó)版）

專題07三角形中的重要模型之平分平行（平分射影）構(gòu)等腰、角平分線第二定理模型角平分線在中考數(shù)學(xué)中都占據(jù)著重要的地位，角平分線常作為壓軸題中的常考知識(shí)點(diǎn)，需要掌握其各大模型及相應(yīng)的輔助線作法，且輔助線是大部分學(xué)生學(xué)習(xí)幾何內(nèi)容中的弱點(diǎn)，，本專題就角平分線的非全等類模型作相應(yīng)的總結(jié)，需學(xué)生反復(fù)掌握。大家在掌握幾何模型時(shí)，多數(shù)同學(xué)會(huì)注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣才能做到對(duì)于所學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用，并且更多時(shí)候能夠啟發(fā)我們解決問題的關(guān)鍵就是基于已有知識(shí)、方法的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識(shí)幾何模型并能夠從題目中提煉識(shí)別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯(cuò)點(diǎn)，因?yàn)槎鄶?shù)題目考察的方面均源自于易錯(cuò)點(diǎn)。當(dāng)然，以上三點(diǎn)均屬于基礎(chǔ)要求，因?yàn)轭}目的多變性，若想在幾何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中通過大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識(shí)幾何模型，認(rèn)真理解每一個(gè)題型，做到活學(xué)活用！TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.平分平行（射影）構(gòu)等腰模型 2模型2.角平分線第二定理（內(nèi)角平分線定理與外角平分線定理）模型 7 15模型1.平分平行（射影）構(gòu)等腰模型角平分線加平行線必出等腰三角形：由平行線得到內(nèi)錯(cuò)角相等，由角平分線得到相等的角，等量代換構(gòu)造等腰。平行線、角平分線及等腰，任意由其中兩個(gè)條件都可以得出第三個(gè)。（簡(jiǎn)稱：“知二求一”，在以后還會(huì)遇到很多類似總結(jié)）。角平分線加射影模型必出等腰三角形：由等角的余角相等和對(duì)頂角相等構(gòu)造等腰。1）角平分線加平行線必出等腰三角形．

圖1圖2圖3條件：如圖1，OO’平分∠MON，過OO’的一點(diǎn)P作PQ//ON.結(jié)論：△OPQ是等腰三角形。證明：∵PQ//ON，∴∠1=∠3，∵OO’平分∠MON，∴∠2=∠1，∴∠2=∠3，∴OQ=PQ，∴△OPQ是等腰三角形。條件：如圖2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分線，DE∥BC。結(jié)論：△BDE是等腰三角形。證明：∵DE∥BC，∴∠BDE=∠DBC，∵BD是∠ABC的角平分線，∴∠DBE=∠DBC，∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，∴△BDE是等腰三角形。條件：如圖3，在中，平分，平分，過點(diǎn)O作的平行線與，分別相交于點(diǎn)M，N．結(jié)論：△BOM、△CON都是等腰三角形。證明：由題意得：MN∥BC，∴∠BOM=∠OBC，∵BO是∠ABC的角平分線，∴∠OBM=∠OBC，∴∠BOM=∠MBO，∴BM=OM，∴△BOM是等腰三角形。同理可得：△CON也是等腰三角形。2）角平分線加射影模型必出等腰三角形．→圖4條件：如圖4，BE平分∠CBA，∠ACB＝∠CDA＝90°.結(jié)論：三角形CEF是等腰三角形。證明：∵BE平分∠CBA，∴∠CBE=∠ABE，∵∠ACB＝90°，∴∠CBE+∠CEB=90°，∵∠CDA＝90°，∴∠ABE+∠BFD=90°，∵∠BFD=∠CFE，∴∠ABE+∠CFE=90°，∴∠CEB=∠CFE，∴CF=CE，∴三角形CEF是等腰三角形。例1．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在中，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交，于點(diǎn)，；②分別以，為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)；③作射線，交于點(diǎn)，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)．若，，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．B．C．D．例2．（2024·貴州貴陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，和的平分線相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為14，則的周長(zhǎng)是（

）A．14 B．19 C．21 D．23例3．（2023·廣東·八年級(jí)期末）如圖，?ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，BE平分∠ABC交AD于E點(diǎn)，CF平分∠BCD交AD于F點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)為cm．例4．（2023春·四川達(dá)州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，AF平分∠CAB，交CD于點(diǎn)E，交CB于點(diǎn)F，則下列結(jié)論成立的是（）

A．EC＝EF B．FE＝FC C．CE＝CF D．CE＝CF＝EF例5.（2023.成都市青羊區(qū)八年級(jí)期中）如圖，在中，，于點(diǎn)D，的平分線BE交AD于F，交AC于E，若，，則_____________．例6．（2023九年級(jí)·廣東·專題練習(xí)）如圖1，在中，和的平分線交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作，交于E，交于F．

(1)當(dāng)，則___________；(2)當(dāng)時(shí)，若是的外角平分線，如圖2，它仍然和的角平分線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作，交于E，交于F，試判斷，之間的關(guān)系，并說明理由．模型2.角平分線第二定理（內(nèi)角平分線定理與外角平分線定理）模型角平分線第二定理：三角形一個(gè)角的平分線與其對(duì)邊所成的兩條線段與這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例。該定理現(xiàn)在教材里面雖然沒有講，但它在實(shí)戰(zhàn)確有很大的作用（可以避免去構(gòu)造勾股定理或相似），很多時(shí)候能起到事半功倍的良好效果。1）內(nèi)角平分線定理?xiàng)l件：如圖，在△ABC中，若BD是∠ABC的平分線。結(jié)論：證明：作，作DHAB垂足分別為F，H.∵BD是∠ABC的平分線，∴DF=DH，則==（2）作BECA垂足為E，則==∴=2）外角平分線定理圖2圖3條件：如圖2，在△ABC中，∠BAC的外角平分線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D。結(jié)論：．證明：如圖2，過C作．交BA的延長(zhǎng)線于E，∵，∴，∠2＝∠4，∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠4＝∠3，∴AE＝AC，∴．3）奔馳模型條件：如圖3，的三邊、、的長(zhǎng)分別是a，b，c，其三條角平分線交于點(diǎn)O，將分為三個(gè)三角形。結(jié)論：=c：a：b。證明：過點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，作于點(diǎn)．

由題意知：，，是的三條角平分線，，于，，的三邊、、長(zhǎng)分別為a，b，c，．例1．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在中，，以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，再分別以點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．若的面積為8，則的面積是（

）A．8 B．16 C．12 D．24例2．（2023·四川瀘州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，的三邊、、長(zhǎng)分別是10、15、20．其三條角平分線交于點(diǎn)O，將分為三個(gè)三角形，等于（）A． B． C． D．例3．（23-24九年級(jí)上·吉林·期末）已知，是一條角平分線．【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①，若是的角平分線．可得到結(jié)論：．小紅的解法如下：過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作于點(diǎn)G，∵是的角平分線，且，，∴______________．∴_____________．又∵，∴_____________．【類比探究】如圖②，若是的外角平分線，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D．求證：．例4．（23-24九年級(jí)上·湖南婁底·期末）一次數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關(guān)于三角形角平分線的一個(gè)論證．如圖1，已知是的角平分線，可證．小慧的證明思路是：如圖2，過點(diǎn)C作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，構(gòu)造相似三角形來(lái)證明．(1)嘗試證明：請(qǐng)參照小慧提供的思路，利用圖2證明；(2)應(yīng)用拓展：如圖3，在中，，D是邊上一點(diǎn)．連接，將沿所在直線折疊，點(diǎn)C恰好落在邊上的E點(diǎn)處．①若，，求的長(zhǎng)；②若，，求的長(zhǎng)（用含k與的代數(shù)式表示）．例5．（2024·遼寧沈陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）【問題初探】在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，張老師給出如下問題：“如圖1，在中，是的角平分線，求證：”，有兩名同學(xué)給出了不同的解答思路：①如圖2，小麗同學(xué)從結(jié)論出發(fā)給出如下解題思路：過點(diǎn)C作的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，運(yùn)用等腰三角形和相似等知識(shí)解決問題．②如圖3，小強(qiáng)同學(xué)從“是的角平分線”給出了另一種解題思路：在上截取，連接，過點(diǎn)C作的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，也是利用相似等知識(shí)解決問題．（1）請(qǐng)你選擇一名同學(xué)的解答思路，寫出證明過程．【類比分析】張老師發(fā)現(xiàn)之前兩名同學(xué)都運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想，將兩組線段比值問題轉(zhuǎn)化為兩三角形相似的對(duì)應(yīng)邊的比．為了幫助學(xué)生更好地領(lǐng)悟這種轉(zhuǎn)化思想，張老師將問題進(jìn)行了改編，提出下面問題，請(qǐng)你解答．（2）如圖4，若的外角平分線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，求證：．【學(xué)以致用】（3）如圖5，在四邊形中，，，，平分，求的長(zhǎng)．1．（2024·湖南懷化·一模）如圖，以直角的一個(gè)銳角的頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交直角邊于點(diǎn)D，交斜邊于點(diǎn)E，再分別以點(diǎn)D，E為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)F，作射線交邊于點(diǎn)G，若，，用表示的面積（其它同理），則＝（

）

A． B． C． D．2．（23-24八年級(jí)上·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，中，與的平分線交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，那么下列結(jié)論：①和都是等腰三角形；②；③的周長(zhǎng)等于與的和；④；⑤若，則．其中正確的有（

）A．①②③⑤ B．①③④⑤ C．①②④⑤ D．②③④⑤3．（2023春·山東淄博·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，中，，點(diǎn)I為各內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，過I點(diǎn)作的垂線，垂足為H，若，，，那么的值為（）A．1 B． C．2 D．4．（2023春·湖南岳陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是的角平分線，相交于點(diǎn)于，，下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③若的周長(zhǎng)為，則；④若，則．其中正確的結(jié)論有（

）個(gè)．

A． B． C． D．5．（2024·江蘇宿遷·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，，垂足為D，平分，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．若，則的長(zhǎng)為（）A． B．3 C． D．6．（23-24山西八年級(jí)期中）如圖在中，的角平分線交于，若，，則平行四邊形的周長(zhǎng)為（）A． B． C． D．7．（2024·陜西寶雞·二模）如圖，是的中位線，的角平分線交于點(diǎn)F，，，則的長(zhǎng)為（

）

A．9 B．6 C．3 D．28．（24-25九年級(jí)上·廣東·課后作業(yè)）如圖，在中，平分交于點(diǎn)．若，，則．9.（23-24八年級(jí)上·四川綿陽(yáng)·期末）如圖，在等腰△ABC中，AB=BC=a，CE=b，∠BAC和∠ABC的平分線分別為AD，BE相交于點(diǎn)O，AD交BC于點(diǎn)D，BE交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)O作OF⊥AB于F，若OF=c，則△ABC的面積為．10．（2023春·陜西咸陽(yáng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)為的邊上一點(diǎn)，點(diǎn)分別在邊上，連接，若，則的度數(shù)為．

11．（2024·天津·八年級(jí)校考期中）如圖，在中，是的平分線，延長(zhǎng)至E，使，若，的面積為9，則的面積是．12．（2023·遼寧鞍山·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知，點(diǎn)E是上一點(diǎn)，平分，平分，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．①；②E為的中點(diǎn)；③若，，則；④若四邊形的面積為27，且，則的長(zhǎng)為18，其中正確的結(jié)論有．

13．（2023春·貴州畢節(jié)·八年級(jí)期末）如圖，的三邊長(zhǎng)分別是20、30、40，其三條角平分線將分成三個(gè)三角形，則等于．

14．（23-24九年級(jí)下·江蘇南京·自主招生）（1）若為的角平分線，求證：；（2）已知，，，，求證：．

15．（22-23八年級(jí)上·浙江杭州·期末）如圖，在中，，，，是的角平分線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B，C重合），連結(jié)，．(1)若分別記，的面積為，求的值．(2)設(shè)，，①若，求的值．②若，，請(qǐng)判斷的形狀，并說明理由．16．（2024·吉林長(zhǎng)春·三模）如圖①，AD是的角平分線．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)結(jié)論：．經(jīng)過討論得到如下種證明思路：思路：過點(diǎn)向兩邊作垂線段，利用三角形的面積比證出結(jié)論；思路：過點(diǎn)作AB的平行線，與AD的延長(zhǎng)線相交，利用三角形相似證出結(jié)論；思路：過點(diǎn)作的平行線，與的延長(zhǎng)線相交，利用平行線分線段成比例證出結(jié)論．(1)請(qǐng)參考以上種證明思路，選擇其中一種證出結(jié)論；(2)在圖①中，AD是的角平分線．若，，，則BD的長(zhǎng)度為_______；(3)如圖②，在中，，的角平分線BD、CE相交于點(diǎn)，若，則的值為_______．17．（22-23九年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）[感知]如圖①所示，在等腰中，，AD平分，易得（不需要證明）(1)[探究]如圖②所示，李麗同學(xué)將圖①的等腰改為任意，AD平分，他通過觀察、測(cè)量，猜想仍然成立，為了證明自己的猜想，他與同學(xué)進(jìn)行交流討論，得到了證明猜想的兩種方法：方法1：過點(diǎn)D分別作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，利用與的面積比證明結(jié)論．方法2：過點(diǎn)B作交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，利用與相似證明結(jié)論．請(qǐng)你參考上面的兩種方法，選擇其中的一種方法完成證明．(2)[應(yīng)用]如圖③所示，在中，，，，AD平分．若點(diǎn)E在邊AB上，，CE交AD于點(diǎn)F，則______．18．（2023·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）小明在學(xué)習(xí)角平分線知識(shí)的過程中，做了進(jìn)一步探究：如圖1，在中，的平分線交于點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)．小明想通過證明來(lái)驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論．證明：延長(zhǎng)至，使得，請(qǐng)你完成上述證明過程：結(jié)論應(yīng)用：已知在中，，，邊上有一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)．(1)請(qǐng)你完成發(fā)現(xiàn)中的證明過程；(2)如圖2當(dāng)，，求的值；(3)如圖3當(dāng)，與的邊垂直時(shí)，求的值．19．（23-24九年級(jí)上·江蘇泰州·階段練習(xí)）“關(guān)聯(lián)”是解決數(shù)學(xué)問題的重要思維方式．角平分線的有關(guān)聯(lián)想就有很多…【問題提出】（1）如圖①，是的角平分線，求證．小明思路：關(guān)聯(lián)“平行線、等腰三角形”，利用“三角形相似”．小紅思路：關(guān)聯(lián)“角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等”，利用“等面積法”．請(qǐng)根據(jù)小明或小紅的思路，選擇一種并完成證明．【作圖應(yīng)用】（2）如圖②，是的弦，在優(yōu)弧上作出點(diǎn)P，使得．要求：①用直尺和圓規(guī)作圖；②保留作圖的痕跡．【結(jié)論應(yīng)用】（3）在中，最大角是最小角的2倍，且，求．20．（23-24九年級(jí)上·山東濟(jì)寧·階段練習(xí)）如圖1，的角平分線交于點(diǎn)．(1)①求證：；②求證：；(2)①在圖2中，作出的外接圓；（用尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）②延長(zhǎng)交的外接圓于點(diǎn)，連接，請(qǐng)補(bǔ)充完圖形，并利用此圖證明．

專題07三角形中的重要模型之平分平行（平分射影）構(gòu)等腰、角平分線第二定理模型角平分線在中考數(shù)學(xué)中都占據(jù)著重要的地位，角平分線常作為壓軸題中的?？贾R(shí)點(diǎn)，需要掌握其各大模型及相應(yīng)的輔助線作法，且輔助線是大部分學(xué)生學(xué)習(xí)幾何內(nèi)容中的弱點(diǎn)，，本專題就角平分線的非全等類模型作相應(yīng)的總結(jié)，需學(xué)生反復(fù)掌握。大家在掌握幾何模型時(shí)，多數(shù)同學(xué)會(huì)注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣才能做到對(duì)于所學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用，并且更多時(shí)候能夠啟發(fā)我們解決問題的關(guān)鍵就是基于已有知識(shí)、方法的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識(shí)幾何模型并能夠從題目中提煉識(shí)別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯(cuò)點(diǎn)，因?yàn)槎鄶?shù)題目考察的方面均源自于易錯(cuò)點(diǎn)。當(dāng)然，以上三點(diǎn)均屬于基礎(chǔ)要求，因?yàn)轭}目的多變性，若想在幾何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中通過大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識(shí)幾何模型，認(rèn)真理解每一個(gè)題型，做到活學(xué)活用！TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.平分平行（射影）構(gòu)等腰模型 2模型2.角平分線第二定理（內(nèi)角平分線定理與外角平分線定理）模型 7 15模型1.平分平行（射影）構(gòu)等腰模型角平分線加平行線必出等腰三角形：由平行線得到內(nèi)錯(cuò)角相等，由角平分線得到相等的角，等量代換構(gòu)造等腰。平行線、角平分線及等腰，任意由其中兩個(gè)條件都可以得出第三個(gè)。（簡(jiǎn)稱：“知二求一”，在以后還會(huì)遇到很多類似總結(jié)）。角平分線加射影模型必出等腰三角形：由等角的余角相等和對(duì)頂角相等構(gòu)造等腰。1）角平分線加平行線必出等腰三角形．

圖1圖2圖3條件：如圖1，OO’平分∠MON，過OO’的一點(diǎn)P作PQ//ON.結(jié)論：△OPQ是等腰三角形。證明：∵PQ//ON，∴∠1=∠3，∵OO’平分∠MON，∴∠2=∠1，∴∠2=∠3，∴OQ=PQ，∴△OPQ是等腰三角形。條件：如圖2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分線，DE∥BC。結(jié)論：△BDE是等腰三角形。證明：∵DE∥BC，∴∠BDE=∠DBC，∵BD是∠ABC的角平分線，∴∠DBE=∠DBC，∴∠DBE=∠BDE，∴BE=DE，∴△BDE是等腰三角形。條件：如圖3，在中，平分，平分，過點(diǎn)O作的平行線與，分別相交于點(diǎn)M，N．結(jié)論：△BOM、△CON都是等腰三角形。證明：由題意得：MN∥BC，∴∠BOM=∠OBC，∵BO是∠ABC的角平分線，∴∠OBM=∠OBC，∴∠BOM=∠MBO，∴BM=OM，∴△BOM是等腰三角形。同理可得：△CON也是等腰三角形。2）角平分線加射影模型必出等腰三角形．→圖4條件：如圖4，BE平分∠CBA，∠ACB＝∠CDA＝90°.結(jié)論：三角形CEF是等腰三角形。證明：∵BE平分∠CBA，∴∠CBE=∠ABE，∵∠ACB＝90°，∴∠CBE+∠CEB=90°，∵∠CDA＝90°，∴∠ABE+∠BFD=90°，∵∠BFD=∠CFE，∴∠ABE+∠CFE=90°，∴∠CEB=∠CFE，∴CF=CE，∴三角形CEF是等腰三角形。例1．（2024·四川成都·中考真題）如圖，在中，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交，于點(diǎn)，；②分別以，為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)；③作射線，交于點(diǎn)，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)．若，，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】本題考查角平分線的尺規(guī)作圖、平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定以及相似性質(zhì)與判定的綜合．先由作圖得到為的角平分，利用平行線證明，從而得到，再利用平行四邊形的性質(zhì)得到，再證明，分別求出，，則各選項(xiàng)可以判定．【詳解】解：由作圖可知，為的角平分，∴，故A正確；∵四邊形為平行四邊形，∴，∵∴，∴，∴，∴，故B正確；∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，，故D錯(cuò)誤；∵，∴，故C正確，故選：D．例2．（2024·貴州貴陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，，和的平分線相交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為14，則的周長(zhǎng)是（

）A．14 B．19 C．21 D．23【答案】C【分析】本題考查等腰三角形的判定，平行線的性質(zhì)，角平分線定義．由角平分線的定義得到，由平行線的性質(zhì)得到，因此，推出，同理：，于是得到，由的周長(zhǎng)，即可求出的周長(zhǎng)．【詳解】解：平分，，∵，，，，同理：，，的周長(zhǎng)，的周長(zhǎng)．故選：C．例3．（2023·廣東·八年級(jí)期末）如圖，?ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，BE平分∠ABC交AD于E點(diǎn)，CF平分∠BCD交AD于F點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)為cm．【答案】1【分析】根據(jù)角平分線的概念、平行線的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，可分別推出AE=AB，DF=DC，進(jìn)而推出EF=AE+DF-AD．【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠AEB＝∠EBC，AD＝BC＝5cm，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，則∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE＝3cm，同理可證：DF＝DC＝AB＝3cm，則EF＝AE+FD﹣AD＝3+3﹣5＝1cm．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是運(yùn)用角平分線的概念和平行線的性質(zhì)，由等角推出等邊．例4．（2023春·四川達(dá)州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足為D，AF平分∠CAB，交CD于點(diǎn)E，交CB于點(diǎn)F，則下列結(jié)論成立的是（）

A．EC＝EF B．FE＝FC C．CE＝CF D．CE＝CF＝EF【答案】C【分析】求出∠CAF＝∠BAF，∠B＝∠ACD，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出∠CEF＝∠CFE，即可得出答案；【詳解】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠CDB＝∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠BCD+∠B＝90°，∴∠ACD＝∠B，∵AF平分∠CAB，∴∠CAE＝∠BAF，∴∠ACD+∠CAE＝∠B+∠BAF，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．例5.（2023.成都市青羊區(qū)八年級(jí)期中）如圖，在中，，于點(diǎn)D，的平分線BE交AD于F，交AC于E，若，，則_____________．【答案】5【詳解】由角度分析易知，即，∵∴∵∴【點(diǎn)睛】這道題主要講解角平分線加射影模型必出等腰三角形的模型．例6．（2023九年級(jí)·廣東·專題練習(xí)）如圖1，在中，和的平分線交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作，交于E，交于F．

(1)當(dāng)，則___________；(2)當(dāng)時(shí)，若是的外角平分線，如圖2，它仍然和的角平分線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作，交于E，交于F，試判斷，之間的關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)8(2)，見解析【分析】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義等知識(shí)，利用角平分線和平行線證明等腰三角形是解題的關(guān)鍵．（1）由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可證，即可得出答案；（2）與（1）同理由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可證．【詳解】（1）解：∵，∴，∵和的平分線交于點(diǎn)O，∴，∴，∴，∴，故答案為：8；（2），理由如下：∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，同理可得，∴．模型2.角平分線第二定理（內(nèi)角平分線定理與外角平分線定理）模型角平分線第二定理：三角形一個(gè)角的平分線與其對(duì)邊所成的兩條線段與這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例。該定理現(xiàn)在教材里面雖然沒有講，但它在實(shí)戰(zhàn)確有很大的作用（可以避免去構(gòu)造勾股定理或相似），很多時(shí)候能起到事半功倍的良好效果。1）內(nèi)角平分線定理?xiàng)l件：如圖，在△ABC中，若BD是∠ABC的平分線。結(jié)論：證明：作，作DHAB垂足分別為F，H.∵BD是∠ABC的平分線，∴DF=DH，則==（2）作BECA垂足為E，則==∴=2）外角平分線定理圖2圖3條件：如圖2，在△ABC中，∠BAC的外角平分線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D。結(jié)論：．證明：如圖2，過C作．交BA的延長(zhǎng)線于E，∵，∴，∠2＝∠4，∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠4＝∠3，∴AE＝AC，∴．3）奔馳模型條件：如圖3，的三邊、、的長(zhǎng)分別是a，b，c，其三條角平分線交于點(diǎn)O，將分為三個(gè)三角形。結(jié)論：=c：a：b。證明：過點(diǎn)作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，作于點(diǎn)．

由題意知：，，是的三條角平分線，，于，，的三邊、、長(zhǎng)分別為a，b，c，．例1．（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·中考真題）如圖，在中，，以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，再分別以點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．若的面積為8，則的面積是（

）A．8 B．16 C．12 D．24【答案】B【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，含的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識(shí)，由作圖知平分，則可求，利用含的直角三角形的性質(zhì)得出，利用等角對(duì)等邊得出，進(jìn)而得出，然后利用面積公式即可求解．【詳解】解：∵，∴，由作圖知：平分，∴，∴，，∴，∴，∴，又的面積為8，∴的面積是，故選B．例2．（2023·四川瀘州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，的三邊、、長(zhǎng)分別是10、15、20．其三條角平分線交于點(diǎn)O，將分為三個(gè)三角形，等于（）A． B． C． D．【答案】C【分析】過O點(diǎn)作，，，垂足分別為，，，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知，再利用三角形的面積公式計(jì)算可求解．【詳解】解：過O點(diǎn)作，，，垂足分別為，，，的三條角平分線交于點(diǎn)O，，，，，．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，三角形的面積，利用角平分線的性質(zhì)求得是解題的關(guān)鍵．例3．（23-24九年級(jí)上·吉林·期末）已知，是一條角平分線．【探究發(fā)現(xiàn)】如圖①，若是的角平分線．可得到結(jié)論：．小紅的解法如下：過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作于點(diǎn)G，∵是的角平分線，且，，∴______________．∴_____________．又∵，∴_____________．【類比探究】如圖②，若是的外角平分線，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D．求證：．【答案】[探究發(fā)現(xiàn)]，，；[類比探究]證明見解析【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，等高三角形面積的關(guān)系．熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．[探究發(fā)現(xiàn)]根據(jù)過程填寫即可；[類比探究]證明過程同[探究發(fā)現(xiàn)]．【詳解】[探究發(fā)現(xiàn)]證明：∵是的角平分線，且，，∴．∴．又∵，∴．故答案為：，，；[類比探究]證明：如圖②，過點(diǎn)D作于N，過點(diǎn)D作于M，過點(diǎn)A作于點(diǎn)P．∵平分，∴．∴，又∵．∴．例4．（23-24九年級(jí)上·湖南婁底·期末）一次數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關(guān)于三角形角平分線的一個(gè)論證．如圖1，已知是的角平分線，可證．小慧的證明思路是：如圖2，過點(diǎn)C作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，構(gòu)造相似三角形來(lái)證明．(1)嘗試證明：請(qǐng)參照小慧提供的思路，利用圖2證明；(2)應(yīng)用拓展：如圖3，在中，，D是邊上一點(diǎn)．連接，將沿所在直線折疊，點(diǎn)C恰好落在邊上的E點(diǎn)處．①若，，求的長(zhǎng)；②若，，求的長(zhǎng)（用含k與的代數(shù)式表示）．【答案】(1)見解析(2)①；②【分析】（1）過點(diǎn)C作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，先證明，得到，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)和等腰三角形的判定證得，進(jìn)而可得結(jié)論；（2）①先由折疊性質(zhì)得到，，，由（1）知，，則，利用勾股定理求得，進(jìn)而可求解；②由折疊性質(zhì)得，，,由（1）得，利用正切定義得，則，進(jìn)而可求解．【詳解】（1）證明：過點(diǎn)C作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，∴，，∴，∴，∵，∴，則，∴，∴；（2）解：①∵將沿所在直線折疊，點(diǎn)C恰好落在邊上的E點(diǎn)處．∴，，，由（1）知，，又，，∴，即，在中，，，，∴，∴，則，∴；②由折疊性質(zhì)，得，，,由（1）得，∵，∴，則，由得：，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理、折疊性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí)，涉及知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性強(qiáng)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．例5．（2024·遼寧沈陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）【問題初探】在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，張老師給出如下問題：“如圖1，在中，是的角平分線，求證：”，有兩名同學(xué)給出了不同的解答思路：①如圖2，小麗同學(xué)從結(jié)論出發(fā)給出如下解題思路：過點(diǎn)C作的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，運(yùn)用等腰三角形和相似等知識(shí)解決問題．②如圖3，小強(qiáng)同學(xué)從“是的角平分線”給出了另一種解題思路：在上截取，連接，過點(diǎn)C作的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，也是利用相似等知識(shí)解決問題．（1）請(qǐng)你選擇一名同學(xué)的解答思路，寫出證明過程．【類比分析】張老師發(fā)現(xiàn)之前兩名同學(xué)都運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想，將兩組線段比值問題轉(zhuǎn)化為兩三角形相似的對(duì)應(yīng)邊的比．為了幫助學(xué)生更好地領(lǐng)悟這種轉(zhuǎn)化思想，張老師將問題進(jìn)行了改編，提出下面問題，請(qǐng)你解答．（2）如圖4，若的外角平分線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，求證：．【學(xué)以致用】（3）如圖5，在四邊形中，，，，平分，求的長(zhǎng)．【答案】（1）小麗同學(xué)的解題思路；證明見解析（2）證明見解析（3）【分析】此題考查了平行線分線段成比例定理、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題的關(guān)鍵．（1）小麗同學(xué)，由平行線分線段成比例得到，再證即可；小強(qiáng)同學(xué)，證明，則，得到，，則，，即可得到結(jié)論；（2）過點(diǎn)D作交于點(diǎn)M，則，，，由比例的性質(zhì)得到，證明，即可得到結(jié)論；（3）延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，求出，，，進(jìn)一步得到，．過點(diǎn)E作于點(diǎn)G，證明是等腰直角三角形，，則，，求得，即可得到答案；【詳解】解：（1）證明：小麗同學(xué)，∵，∴，；∵平分，∴，∴，∴，∴．小強(qiáng)同學(xué)，在上截取，連接，過點(diǎn)C作的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，∵平分，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，，∴，，∴．（2）證明：如圖4，過點(diǎn)D作交于點(diǎn)M，∴，，，∴，則；∵平分，∴，∴，∴；（3）解：如圖5，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∵，∴，即，解得，∴，∵，∴，∵平分，∴，．∴過點(diǎn)E作于點(diǎn)G，∴是等腰直角三角形，，∴，∴，解得，∴．1．（2024·湖南懷化·一模）如圖，以直角的一個(gè)銳角的頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交直角邊于點(diǎn)D，交斜邊于點(diǎn)E，再分別以點(diǎn)D，E為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)F，作射線交邊于點(diǎn)G，若，，用表示的面積（其它同理），則＝（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理和尺規(guī)作圖，勾股定理等知識(shí)，解答時(shí)過點(diǎn)G作于點(diǎn)H，得到，再由勾股定理求出，再推出，則問題可解【詳解】解：如圖，過點(diǎn)G作于點(diǎn)H，

由尺規(guī)作圖可知，為平分線，∵，∴，∵，，，∴，∴，故選：C．2．（23-24八年級(jí)上·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，中，與的平分線交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，那么下列結(jié)論：①和都是等腰三角形；②；③的周長(zhǎng)等于與的和；④；⑤若，則．其中正確的有（

）A．①②③⑤ B．①③④⑤ C．①②④⑤ D．②③④⑤【答案】A【分析】本題考查了等腰三角形的判定及角平分線的定義及平行線的性質(zhì)．由角平分線的定義可得，，結(jié)合平行線的性質(zhì)可知，，進(jìn)而可得，，由等邊對(duì)等角可得，，再根據(jù)等量代換逐項(xiàng)判斷即可．利用了兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，及等角對(duì)等邊來(lái)判定等腰三角形的；等量代換的利用是解答本題的關(guān)鍵．【詳解】解：①∵是的角平分線，是的角平分線，∴，，∵，∴，，∴，，∴，，∴和都是等腰三角形，∴①選項(xiàng)正確，符合題意；②∵，，，∴，∴②選項(xiàng)正確，符合題意；③∵的周長(zhǎng)為，∵，∴的周長(zhǎng)為，∴③選項(xiàng)正確，符合題意；④根據(jù)題意的角度數(shù)不確定，故不能得出，∴④選項(xiàng)不正確，不符合題意；⑤∵若，∴，∵，，∴，∴，∴⑤選項(xiàng)正確，符合題意；故正確的有：①②③⑤．故選：A．3．（2023春·山東淄博·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，中，，點(diǎn)I為各內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，過I點(diǎn)作的垂線，垂足為H，若，，，那么的值為（）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】連接、、，過I作于M，于N，利用角平分線的性質(zhì)，以及等積法求線段的長(zhǎng)度，即可得解．【詳解】解：連接、、，過I作于M，于N，∵點(diǎn)I為各內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，，，，∴，∵，，，∴，∵，∴，∵，，，，∴，故A正確．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，等積法求線段長(zhǎng)度．熟練掌握角平分線的性質(zhì)，利用等積法求線段的長(zhǎng)度是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·湖南岳陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是的角平分線，相交于點(diǎn)于，，下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③若的周長(zhǎng)為，則；④若，則．其中正確的結(jié)論有（

）個(gè)．

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可驗(yàn)證結(jié)論①；如圖所示，在上截取，可證，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可驗(yàn)證結(jié)論②；如圖所示，連接，過點(diǎn)分別作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，三角形的面積計(jì)算方法可驗(yàn)證結(jié)論③；結(jié)合結(jié)論②，③，圖形結(jié)合，等面積法等知識(shí)可驗(yàn)證結(jié)論④．【詳解】解：結(jié)論①，∵，，∴，∵是的角平分線，∴，，∴，在中，，∴，故結(jié)論①正確；結(jié)論②，由結(jié)論①正確可知，，∵，∴，∵，∴，如圖所示，在上截取，

∵是的角平分線，∴，∴在中，，∴，∴，∴，∴，，∴在中，，∴，∴，∴，故結(jié)論②正確；結(jié)論③若的周長(zhǎng)為，則，如圖所示，連接，過點(diǎn)分別作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，

∵是的角平分線，，，∴平分，，且，∵，∴，故結(jié)論③錯(cuò)誤；結(jié)論④若，則，如圖所示，連接，過點(diǎn)分別作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，∵，，且，∴，如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，

∴，，∴，且，∴，同理，，如圖所示，由結(jié)論②正確可知，，，且∴，∴，∴，∴，故結(jié)論④正確；綜上所述，正確的有①②④，個(gè)，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的綜合知識(shí)，掌握角的和差計(jì)算方法，角平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，角平分線交的性質(zhì)，線段之間比例的計(jì)算方法等知識(shí)的綜合是解題的關(guān)鍵．5．（2024·江蘇宿遷·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在中，，垂足為D，平分，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．若，則的長(zhǎng)為（）A． B．3 C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出，根據(jù)角平分線和對(duì)頂角相等得出，即可得出，再利用勾股定理得出的長(zhǎng)，即可得出答案．【詳解】解：過點(diǎn)F作于點(diǎn)G，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵平分，，∴，∴，∴，∴,∵，∴，∴設(shè)，則，則，解得：，即的長(zhǎng)為．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，關(guān)鍵是推出．6．（23-24山西八年級(jí)期中）如圖在中，的角平分線交于，若，，則平行四邊形的周長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形，即可得到AD//BC，即∠AEB=∠CBE，再根據(jù)BE是∠ABC的角平分線，即可得到∠ABE=∠CBE=∠AEB，即AB=AE，從而可以求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，CD=3，∴AD//BC，AB=CD=3，BC=AD，∴∠AEB=∠CBE，∵BE是∠ABC的角平分線，∴∠ABE=∠CBE=∠AEB，∴AB=AE=3，∵ED=2，∴AD=AE+DE=5，∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)=AB+BC+CD+AD=2（AB+AD）=16，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)判定△ABE是等腰三角形．7．（2024·陜西寶雞·二模）如圖，是的中位線，的角平分線交于點(diǎn)F，，，則的長(zhǎng)為（

）

A．9 B．6 C．3 D．2【答案】C【分析】本題考查的是三角形中位線定理、平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．先求出和，再證明，即可求出．【詳解】解：∵是的中位線，∴，，，∴，∵是的角平分線交，∴，∴，∴，∴，故選：C．8．（24-25九年級(jí)上·廣東·課后作業(yè)）如圖，在中，平分交于點(diǎn)．若，，則．【答案】【分析】此題考查了平行線分線段成比例，等角等對(duì)邊性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，證明出，然后由得到，然后等量代換得到，然后代數(shù)求解即可．【詳解】如圖，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則，平分，．故答案為：．9.（23-24八年級(jí)上·四川綿陽(yáng)·期末）如圖，在等腰△ABC中，AB=BC=a，CE=b，∠BAC和∠ABC的平分線分別為AD，BE相交于點(diǎn)O，AD交BC于點(diǎn)D，BE交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)O作OF⊥AB于F，若OF=c，則△ABC的面積為．【答案】(a+b)c【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到OE⊥AC，AC=2CE=2b，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到OE=OF=OG=c，再利用三角形的面積公式即可求解．【詳解】解：∵AB=BC，BE平分∠ABC，∴OE⊥AC，AC=2CE=2b，連接OC，過點(diǎn)O作OG⊥BC于點(diǎn)G，．∵∠BAC和∠ABC的平分線分別為AD，BE相交于點(diǎn)O，且OF⊥AB，∴OE=OF=OG=c，∴△ABC的面積為AB×OF+BC×OG+AC×OE=ac+ac+×2bc=ac+bc=(a+b)c．故答案為：(a+b)c．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟記各圖形的性質(zhì)并準(zhǔn)確識(shí)圖是解題的關(guān)鍵．10．（2023春·陜西咸陽(yáng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)為的邊上一點(diǎn)，點(diǎn)分別在邊上，連接，若，則的度數(shù)為．

【答案】【分析】根據(jù)角平分線的判定與性質(zhì)可知，最后利用三角形的內(nèi)角和定理即可解答．【詳解】解：過點(diǎn)作，垂足為，過點(diǎn)作，垂足為，∵，，∴，∵，∴，∴是的角平分線，∴，∵，，∴，∴，∴，故答案為．

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，掌握角平分線的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．11．（2024·天津·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在中，是的平分線，延長(zhǎng)至E，使，若，的面積為9，則的面積是．【答案】【分析】由角平分線的性質(zhì)可得，由三角形的面積關(guān)系可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于，于，∵的面積為9，∴，∵是的平分線，，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的面積公式，添加恰當(dāng)輔助線是解題的關(guān)鍵．12．（2023·遼寧鞍山·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知，點(diǎn)E是上一點(diǎn)，平分，平分，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．①；②E為的中點(diǎn)；③若，，則；④若四邊形的面積為27，且，則的長(zhǎng)為18，其中正確的結(jié)論有．

【答案】①②③④【分析】①根據(jù)平分，平分，，推出，進(jìn)而得，證明；②通過，推出為的中點(diǎn)；③由，推出，得出的長(zhǎng)；④由①②③可得的面積等于四邊形的面積為27，再根據(jù)及面積公式求出的長(zhǎng)．【詳解】解：，，，，平分，平分，，，，，，，①正確；，，，，，，，為的中點(diǎn)；②正確；，，，③正確；四邊形的面積為27，由①②③可得的面積為27，，，，，，的長(zhǎng)為18，④正確．故答案為：①②③④【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線性質(zhì)，熟練掌握兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用是解題關(guān)鍵．13．（2023春·貴州畢節(jié)·八年級(jí)期末）如圖，的三邊長(zhǎng)分別是20、30、40，其三條角平分線將分成三個(gè)三角形，則等于．

【答案】【分析】由角平分線的性質(zhì)可得，點(diǎn)O到三角形三邊的距離相等，即三個(gè)三角形的邊上的高相等，利用三角形面積公式即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)O作于D，于E，于F，

∵O是三條角平分線的交點(diǎn)，∴，∵，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)和三角形面積的求法，熟知角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．14．（23-24九年級(jí)下·江蘇南京·自主招生）（1）若為的角平分線，求證：；（2）已知，，，，求證：．

【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）作，作于，則與的面積比既等于，也等于，從而得出結(jié)論；（2）作，，先證明四邊形內(nèi)接于，設(shè)的半徑為，求得，再作，，證明，得到，設(shè)，求得，據(jù)此即可證明結(jié)論成立．【詳解】證明：（1）如圖，作于，作于，

平分，，，，；（2）作，，垂足分別為，∴，∴，∴，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴四邊形內(nèi)接于，設(shè)的半徑為，則，，∵，∴，，，∵，∴，∴，作，，垂足分別為，∵是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴，∵，∴，，設(shè)，則，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題．15．（22-23八年級(jí)上·浙江杭州·期末）如圖，在中，，，，是的角平分線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊，上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B，C重合），連結(jié)，．(1)若分別記，的面積為，求的值．(2)設(shè)，，①若，求的值．②若，，請(qǐng)判斷的形狀，并說明理由．【答案】(1)(2)①②是直角三角形，見解析【分析】（1）過D作于G，于H，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論；（2）①根據(jù)三角形的面積公式列方程即可得到結(jié)論；②由（1）知，，，，根據(jù)三角形的面積公式列方程得到，求得，根據(jù)，得到，，求得，推出是等腰直角三角形，得到，求出，推出點(diǎn)H與點(diǎn)F重合，于是得到結(jié)論．【詳解】（1）解：（1）過D作于G，于H，如圖所示：，∵是的角平分線，∴，∴；（2）（2）①∵，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴；②是直角三角形，理由：由（1）知，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵是的角平分線，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴點(diǎn)H與點(diǎn)F重合，∴，∴，∴是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題是三角形的綜合題，考查了直角三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積的計(jì)算，角平分線的性質(zhì)，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．16．（2024·吉林長(zhǎng)春·三模）如圖①，AD是的角平分線．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)結(jié)論：．經(jīng)過討論得到如下種證明思路：思路：過點(diǎn)向兩邊作垂線段，利用三角形的面積比證出結(jié)論；思路：過點(diǎn)作AB的平行線，與AD的延長(zhǎng)線相交，利用三角形相似證出結(jié)論；思路：過點(diǎn)作的平行線，與的延長(zhǎng)線相交，利用平行線分線段成比例證出結(jié)論．(1)請(qǐng)參考以上種證明思路，選擇其中一種證出結(jié)論；(2)在圖①中，AD是的角平分線．若，，，則BD的長(zhǎng)度為_______；(3)如圖②，在中，，的角平分線BD、CE相交于點(diǎn)，若，則的值為_______．【答案】(1)選擇思路1，見解析(2)(3)【分析】（1）選擇思路：過點(diǎn)向兩邊作垂線段，利用三角形的面積比證出結(jié)論；選擇思路：過點(diǎn)作AB的平行線，與AD的延長(zhǎng)線相交，利用三角形相似證出結(jié)論；思路：過點(diǎn)作的平行線，與的延長(zhǎng)線相交，利用平行線分線段成比例證出結(jié)論．（2）由（1）得，代入求解即可；（3）在上取一點(diǎn)，使得，由得，再證明，得，從而即可得解．【詳解】（1）解：選擇思路：過點(diǎn)作，于、，令的邊上的高為，∵AD平分，∴，∴，∵的邊上的高為，∴，∴；選擇思路：過點(diǎn)作交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)，∴，，∴，∴，∵AD平分，∴，∴，∴；選擇思路：過點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)，∴，，，∵AD平分，∴，∴，∴；（2）解：由（）得，∵，，，∴，∴，故答案為：；（3）解：在上取一點(diǎn)，使得，∵，∴，∴，∵，∴，∵的角平分線BD、CE相交于點(diǎn)，∴，，，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，角平分線的定義以及平行線分線段成比例，熟練掌握相似三角形的判定及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)以及全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．（22-23九年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）[感知]如圖①所示，在等腰中，，AD平分，易得（不需要證明）(1)[探究]如圖②所示，李麗同學(xué)將圖①的等腰改為任意，AD平分，他通過觀察、測(cè)量，猜想仍然成立，為了證明自己的猜想，他與同學(xué)進(jìn)行交流討論，得到了證明猜想的兩種方法：方法1：過點(diǎn)D分別作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，利用與的面積比證明結(jié)論．方法2：過點(diǎn)B作交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，利用與相似證明結(jié)論．請(qǐng)你參考上面的兩種方法，選擇其中的一種方法完成證明．(2)[應(yīng)用]如圖③所示，在中，，，，AD平分．若點(diǎn)E在邊AB上，，CE交AD于點(diǎn)F，則______．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）方法1：如圖2-1所示，過點(diǎn)D分別作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，設(shè)的邊邊上的高為h，則，，據(jù)此證明即可；方法2：如圖2-2所示，過點(diǎn)B作交AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，證明，得到，再證明，得到，即可證明；（2）