2025年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納訓(xùn)練專題11三角形中的重要模型之等直內(nèi)接等直模型與等直+高分模型解讀與提分精練（全國版）

專題11三角形中的重要模型之等直內(nèi)接等直模型與等直+高分模型等腰直角三角形，是初中數(shù)學(xué)中重要的特殊三角形，性質(zhì)非常豐富！常見常用的性質(zhì)大都以“等腰三角形”、“直角三角形”、“對稱”、“旋轉(zhuǎn)拼接”、“勾股比”、“45°輔助線”、“半個(gè)正方形”等角度拓展延伸，常在選填題中以壓軸的形式出現(xiàn)。今天在解題探究學(xué)習(xí)中，碰到一道以等腰直角三角形為背景的幾何題，有些難度，同時(shí)獲得一連串等腰直角三角形的“固定性質(zhì)”，并且具有“思維連貫性”+“思路延展性”，結(jié)合常用條件，可以“伴生”解決好多等腰直角三角形的幾何問題！TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.等直內(nèi)接等直模型 2模型2.等直+高分線模型 8 15模型1.等直內(nèi)接等直模型等直內(nèi)接等直模型是指在等腰直角三角形斜邊中點(diǎn)作出一個(gè)新的等腰直角三角形（該三角形的直角頂點(diǎn)為原等腰直角三角形的斜邊中點(diǎn)，其他兩頂點(diǎn)落在其直角邊上）。該模型也常以正方形為背景命題。條件：已知如圖，等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，P為底邊BC的中點(diǎn)，且∠EPF=90°。結(jié)論：①PE=PF；②PEF為等腰直角三角形（由①②推得）；③AE=FB或CE=AF；④；⑤；⑥。（注意題干中的條件：∠EPF=90°，可以和結(jié)論③調(diào)換，其他結(jié)果依然可以證明的哦?。┳C明：∵等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，點(diǎn)是的中點(diǎn)同理可得：，，∵AB=AC，∴AE=FB；又是直角，是等腰直角三角形，同理：易證是等腰直角三角形。∴AE+AF=FB+AF=AB，∴。，∴SAEPF=SAEP+SAPF=SAEP+SCPE=SAPC，∴。∵AE=FB，CE=AF，∠BAC=90°；∴例1．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，在中，，，為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別在邊，上，，則四邊形的面積為（

）A．18 B． C．9 D．例2．（2024·天津·模擬預(yù)測）如圖，已知中，，，直角的頂點(diǎn)P是中點(diǎn)，兩邊分別交于點(diǎn)E、F，當(dāng)在內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與A、B重合），給出下列四個(gè)結(jié)論：①是等腰三角形；②M為中點(diǎn)時(shí)，；③；④和的面積之和等于9，上述結(jié)論中始終正確的有（）個(gè)．

A．1 B．2 C．3 D．4例3．（23-24九年級上·四川內(nèi)江·期末）如圖，邊長為1的正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∠MPN為直角，使點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，直角邊PM，PN分別與OA，OB重合，然后逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠MPN，旋轉(zhuǎn)角為θ（0°＜θ＜90°），PM，PN分別交AB，BC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，連接EF交OB于點(diǎn)G，則下列結(jié)論：①EF＝OE；②S四邊形OEBF：S正方形ABCD＝1：4；③BE+BF＝OA；④在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)△BEF與△COF的面積之和最大時(shí)，AE＝；⑤OG?BD＝AE2+CF2．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)例4．（23-24八年級上·山西呂梁·期末）綜合與探究問題提出：某興趣小組在綜合與實(shí)踐活動(dòng)中提出這樣一個(gè)問題：在等腰直角三角板中，，，為的中點(diǎn)，用兩根小木棒構(gòu)建角，將頂點(diǎn)放置于點(diǎn)上，得到，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，射線，分別與邊，交于，兩點(diǎn)，如圖1所示．(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖2，當(dāng)，分別是，的中點(diǎn)時(shí)，試猜想線段與的數(shù)量關(guān)系是________，位置關(guān)系是________．(2)類比探究：如圖3，當(dāng)，不是，的中點(diǎn)，但滿足時(shí)，判斷形狀，并說明理由．(3)拓展應(yīng)用：①如圖4，將繞點(diǎn)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，射線，分別與，的延長線交于，兩點(diǎn)，滿足，是否仍然具有（2）中的情況？請說明理由；②若在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過程中，射線，分別與直線，交于，兩點(diǎn)，滿足，若，，則________（用含，的式子表示）．模型2.等直+高分線模型等直+高分線模型模型是指在等腰直角三角形過其中一個(gè)角所在頂點(diǎn)作另一個(gè)底角平分線的垂線。條件：如圖，中，，于，平分，且于，與相交于點(diǎn)，是邊的中點(diǎn)，連接與相交于點(diǎn)．結(jié)論：①；②；③是等腰三角形；④；⑤．證明：，，，，，，，，，，在和中，，．平分，，∵，，，，，，，，，，，，，是等腰三角形．，，，平分，點(diǎn)到的距離等于點(diǎn)到的距離，，∵，∴，∵三角形BDC是等腰直角三角形，∴。例1．（23-24九年級下·浙江金華·階段練習(xí)）如圖，在中，于D，平分，且于E，與相交于點(diǎn)F，H是邊的中點(diǎn)，連接與相交于點(diǎn)G，以下結(jié)論中：①是等腰三角形；②；③；④．正確的結(jié)論有（

）

A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)例2．（23-24八年級上·山東臨沂·期中）如圖，等腰中，于點(diǎn)D，的平分線分別交于E、F兩點(diǎn)，M為的中點(diǎn)，的延長線交于點(diǎn)N，連接，下列結(jié)論：①；②為等腰三角形；③；④，其中正確結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)例3．（23-24八年級·浙江杭州·階段練習(xí)）已知：如圖，中，，于，平分，且于，與相交于點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，連結(jié)與相交于點(diǎn)．（1）說明：；（2）說明：；（3）試探索，,之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．例4．（23-24八年級上·廣東東莞·期末）如圖，等腰直角中，，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，．(1)若，求證：垂直平分；(2)若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)．①請判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②求證：平分．1．（23-24山東威海九年級上期中）已知中，，，D是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在、邊上運(yùn)動(dòng)，且保持．連接、、得到下列結(jié)論：①是等腰直角三角形；②面積的最大值是2；③的最小值是2．其中正確的結(jié)論是（）A．②③ B．①② C．①③ D．①②③2．（2024·廣東汕頭·二模）如圖，四邊形ABCD為正方形，的平分線交BC于點(diǎn)E，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，延長AE交CF于點(diǎn)G，連接BG，DG與AC相交于點(diǎn)H．有下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的結(jié)論有（

）個(gè)A．1 B．2 C．3 D．43．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）如圖，等腰直角中，，于點(diǎn)D，的平分線分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，M為中點(diǎn)，延長線交于點(diǎn)N，連接，下列結(jié)論：①；②；③平分；④；⑤，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．54．（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測）如圖，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于點(diǎn)D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于點(diǎn)E，與CD交于F，H是BC邊的中點(diǎn)，連接DH與BE交于點(diǎn)G，則下列結(jié)論：①BF＝AC；②∠A＝∠DGE；③CE＜BG；④S△ADC＝S四邊形CEGH；⑤DG?AE＝DC?EF中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．55．（2024·湖南長沙·一模）如圖，在中，，．點(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，延長交于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)．現(xiàn)有如下四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)6．（2024·江蘇淮安·三模）如圖，中，，于，平分，且于，與相交于點(diǎn)．下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的結(jié)論有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)7．（2024·遼寧朝陽·模擬預(yù)測）如圖，在正方形中，對角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在BC邊上，且，連接AE交BD于點(diǎn)G，過點(diǎn)B作于點(diǎn)F，連接OF并延長，交BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)O作交DC于占N，，現(xiàn)給出下列結(jié)論：①；②；③；④；其中正確的結(jié)論有（

）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④8．（2024·黑龍江·二模）如圖，等腰直角三角形中，，于，的平分線分別交、于、兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，連接，．下列結(jié)論：①；②；③是等邊三角形；④；⑤四邊形是菱形，正確結(jié)論的序號是（

）A．②④⑤ B．①②③④⑤ C．①③④ D．①②④⑤9．（23-24九年級上·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，已知中，，，直角的頂點(diǎn)P是中點(diǎn)，兩邊、分別交、于點(diǎn)E、F，當(dāng)在內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與A、B重合），給出以下四個(gè)結(jié)論：①；②是等腰直角三角形；③；④；⑤與的面積和無法確定．上述結(jié)論中始終正確的有（

）

A．①②③ B．①②⑤ C．①③⑤ D．②③④10.（23-24九年級上·廣東河源·期中）如圖，在正方形中，，相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別為邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E，F(xiàn)不與線段的端點(diǎn)重合）且，連接．在點(diǎn)E，F(xiàn)運(yùn)動(dòng)的過程中，有下列四個(gè)結(jié)論：①始終是等腰直角三角形；②面積的最小值是2；③至少存在一個(gè)，使得的周長是；④四邊形的面積始終是4．其中結(jié)論正確的有（

）

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④11．（2024·重慶·中考模擬預(yù)測）如圖，在等腰直角，是斜邊的中點(diǎn)，點(diǎn)分別在直角邊上，且，交于點(diǎn)．則下列結(jié)論：（1）圖形中全等的三角形只有兩對；（2）的面積等于四邊形的面積的倍；（3）；（4）．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)12．（23-24九年級上·遼寧丹東·期中）如圖，在正方形中，對角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)在邊上，且，連接交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接并延長，交于點(diǎn)，過點(diǎn)O作交于點(diǎn)，，以下四個(gè)結(jié)論：①；②正方形的面積為9；③；④，其中正確的結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)13．（2024·黑龍江·?？家荒＃┤鐖D，在面積為的正方形中，是對角線的交點(diǎn)，過點(diǎn)作射線分別交于點(diǎn)，且交于點(diǎn)．下列結(jié)論：；；③四邊形的面積為．其中結(jié)論正確的序號有（

）A． B．C． D．14．（23-24八年級上·廣東茂名·期中）如圖所示，在等腰直角?ABC中，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，DF，DE交AB于E，DF交BC于F，若AE=，EF=4，則FC的長是．15．（2024廣東九年級模擬（二模））一副三角板按如圖1放置，圖2為簡圖，D為AB中點(diǎn)，E、F分別是一個(gè)三角板與另一個(gè)三角板直角邊AC、BC的交點(diǎn)，已知AE=2，CE=5，連接DE，M為BC上一點(diǎn)，且滿足∠CME=2∠ADE，EM=．16．（23-24九年級上·陜西榆林·期末）如圖，在正方形中，，對角線、交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別為邊、上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），且，連接、、，則線段的最小值為．17．（2024·山東德州·二模）如圖，在等腰直角中，，是線段上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），連接，延長至點(diǎn)，使得，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)．(1)若，則______；（用含的式子表示）；(2)求證：；(3)猜想線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．18．（23-24江蘇泰州八年級上期中）在中，，，將一塊三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊的中點(diǎn)P處，將此三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，三角板的兩直角邊分別交射線、與點(diǎn)D、點(diǎn)E，圖①，②，③是旋轉(zhuǎn)得到的三種圖形．

(1)觀察線段和之間有怎樣的大小關(guān)系，并以圖②為例，加以說明；(2)觀察線段、和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并以圖③為例，加以說明；(3)把三角板繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)E從C點(diǎn)沿射線方向移動(dòng)，是否構(gòu)成等腰三角形？若能，請直接寫出的度數(shù)；若不能，請說明理由．19．（2023·山東菏澤·二模）【課本再現(xiàn)】(1)如圖1，正方形的對角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)O又是正方形的一個(gè)頂點(diǎn)，而且這兩個(gè)正方形的邊長都為1，四邊形為兩個(gè)正方形重疊部分，正方形可繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的是_______（填序號即可）．①；②；③四邊形的面積總等于；④連接，總有．

【類比遷移】(2)如圖2，矩形的中心O是矩形的一個(gè)頂點(diǎn)，與邊相交于點(diǎn)E，與邊相交于點(diǎn)F，連接，矩形可繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，猜想之間的數(shù)量關(guān)系，并進(jìn)行證明；【拓展應(yīng)用】(3)如圖3，在中，，直角的頂點(diǎn)D在邊的中點(diǎn)處，它的兩條邊和分別與直線相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，可繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，求線段的長度．

專題11三角形中的重要模型之等直內(nèi)接等直模型與等直+高分模型等腰直角三角形，是初中數(shù)學(xué)中重要的特殊三角形，性質(zhì)非常豐富！常見常用的性質(zhì)大都以“等腰三角形”、“直角三角形”、“對稱”、“旋轉(zhuǎn)拼接”、“勾股比”、“45°輔助線”、“半個(gè)正方形”等角度拓展延伸，常在選填題中以壓軸的形式出現(xiàn)。今天在解題探究學(xué)習(xí)中，碰到一道以等腰直角三角形為背景的幾何題，有些難度，同時(shí)獲得一連串等腰直角三角形的“固定性質(zhì)”，并且具有“思維連貫性”+“思路延展性”，結(jié)合常用條件，可以“伴生”解決好多等腰直角三角形的幾何問題！TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.等直內(nèi)接等直模型 2模型2.等直+高分線模型 8 15模型1.等直內(nèi)接等直模型等直內(nèi)接等直模型是指在等腰直角三角形斜邊中點(diǎn)作出一個(gè)新的等腰直角三角形（該三角形的直角頂點(diǎn)為原等腰直角三角形的斜邊中點(diǎn)，其他兩頂點(diǎn)落在其直角邊上）。該模型也常以正方形為背景命題。條件：已知如圖，等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，P為底邊BC的中點(diǎn)，且∠EPF=90°。結(jié)論：①PE=PF；②PEF為等腰直角三角形（由①②推得）；③AE=FB或CE=AF；④；⑤；⑥。（注意題干中的條件：∠EPF=90°，可以和結(jié)論③調(diào)換，其他結(jié)果依然可以證明的哦！）證明：∵等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，點(diǎn)是的中點(diǎn)同理可得：，，∵AB=AC，∴AE=FB；又是直角，是等腰直角三角形，同理：易證是等腰直角三角形?！郃E+AF=FB+AF=AB，∴。，∴SAEPF=SAEP+SAPF=SAEP+SCPE=SAPC，∴。∵AE=FB，CE=AF，∠BAC=90°；∴例1．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，在中，，，為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)，分別在邊，上，，則四邊形的面積為（

）A．18 B． C．9 D．【答案】C【分析】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)以及三角形全等的性質(zhì)與判定，掌握相關(guān)的線段與角度的轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵．連接，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及得出，將四邊形的面積轉(zhuǎn)化為三角形的面積再進(jìn)行求解．【詳解】解：連接，如圖：∵，，點(diǎn)D是中點(diǎn)，∴∴，∴又∵∴故選：C例2．（2024·天津·模擬預(yù)測）如圖，已知中，，，直角的頂點(diǎn)P是中點(diǎn)，兩邊分別交于點(diǎn)E、F，當(dāng)在內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與A、B重合），給出下列四個(gè)結(jié)論：①是等腰三角形；②M為中點(diǎn)時(shí)，；③；④和的面積之和等于9，上述結(jié)論中始終正確的有（）個(gè)．

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)等角的余角相等求出，然后利用“角邊角”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得，全等三角形的面積相等求出，隨著點(diǎn)E的變化而變化，不一定等于，再由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半得，，然后解答即可．【詳解】解：∵，∴是等腰直角三角形，∵點(diǎn)P為的中點(diǎn)，∴，∵是直角，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴是等腰三角形，故①正確；∴，故④正確；∵隨著點(diǎn)E的變化而變化，∴不一定等于，故③錯(cuò)誤；∵M(jìn)為中點(diǎn)，，∴，∴，故②正確；故①②④正確，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，證明出是解決此題的關(guān)鍵．例3．（23-24九年級上·四川內(nèi)江·期末）如圖，邊長為1的正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，∠MPN為直角，使點(diǎn)P與點(diǎn)O重合，直角邊PM，PN分別與OA，OB重合，然后逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∠MPN，旋轉(zhuǎn)角為θ（0°＜θ＜90°），PM，PN分別交AB，BC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，連接EF交OB于點(diǎn)G，則下列結(jié)論：①EF＝OE；②S四邊形OEBF：S正方形ABCD＝1：4；③BE+BF＝OA；④在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)△BEF與△COF的面積之和最大時(shí)，AE＝；⑤OG?BD＝AE2+CF2．其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】C【分析】①由四邊形是正方形，直角，易證得（ASA），則可證得結(jié)論；②由①易證得，則可證得結(jié)論；③，故可得結(jié)論；④首先設(shè)，則，，繼而表示出與的面積之和，然后利用二次函數(shù)的最值問題，求得答案；⑤易證得，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，證得，再利用與的關(guān)系，與的關(guān)系，即可證得結(jié)論.【詳解】解：①四邊形是正方形，，，，，，，，在和中，，（ASA），，，，故正確；②，，故正確；③，故正確；④過點(diǎn)作，，，設(shè)，則，，，，當(dāng)時(shí)，最大；即在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)與的面積之和最大時(shí)，，故錯(cuò)誤；⑤，，，，，，，，在中，，，，故正確.故選.【點(diǎn)睛】此題屬于四邊形的綜合題.考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及二次函數(shù)的最值問題.注意掌握轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵.例4．（23-24八年級上·山西呂梁·期末）綜合與探究問題提出：某興趣小組在綜合與實(shí)踐活動(dòng)中提出這樣一個(gè)問題：在等腰直角三角板中，，，為的中點(diǎn)，用兩根小木棒構(gòu)建角，將頂點(diǎn)放置于點(diǎn)上，得到，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，射線，分別與邊，交于，兩點(diǎn)，如圖1所示．(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖2，當(dāng)，分別是，的中點(diǎn)時(shí)，試猜想線段與的數(shù)量關(guān)系是________，位置關(guān)系是________．(2)類比探究：如圖3，當(dāng)，不是，的中點(diǎn)，但滿足時(shí)，判斷形狀，并說明理由．(3)拓展應(yīng)用：①如圖4，將繞點(diǎn)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，射線，分別與，的延長線交于，兩點(diǎn)，滿足，是否仍然具有（2）中的情況？請說明理由；②若在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過程中，射線，分別與直線，交于，兩點(diǎn)，滿足，若，，則________（用含，的式子表示）．【答案】(1)，(2)是等腰直角三角形，理由見詳解(3)①是等腰直角三角形，理由見詳解；②或或【分析】（1）根據(jù)題意易得，然后可證，則問題可求證；（2）連接，然后可證，則有，進(jìn)而問題可求解；（3）①連接，然后可證，則有，進(jìn)而問題可求解；②根據(jù)①及（2）可直接進(jìn)行求解．【詳解】（1）解：連接，如圖所示：∵，，為的中點(diǎn)，∴，，∴都是等腰直角三角形，∵，分別是，的中點(diǎn)，∴，，，∴，，∴；故答案為，；（2）解：是等腰直角三角形，理由如下：連接，如圖所示：∵，，為的中點(diǎn)，∴，，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形；（3）解：①仍然具有（2）中的情況，理由如下：連接，如圖所示：∵，，為的中點(diǎn)，∴，，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形；②由①和（2）可知：在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過程中，始終有，當(dāng)，是，上的點(diǎn)，如圖3，∵，，∴；當(dāng)射線，分別與直線，交于，兩點(diǎn)，如圖4，∴；當(dāng)射線，分別與直線，交于，兩點(diǎn)，如圖所示：∴故答案為或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)與判定及全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握等腰直角三角形的性質(zhì)與判定及全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．模型2.等直+高分線模型等直+高分線模型模型是指在等腰直角三角形過其中一個(gè)角所在頂點(diǎn)作另一個(gè)底角平分線的垂線。條件：如圖，中，，于，平分，且于，與相交于點(diǎn)，是邊的中點(diǎn)，連接與相交于點(diǎn)．結(jié)論：①；②；③是等腰三角形；④；⑤．證明：，，，，，，，，，，在和中，，．平分，，∵，，，，，，，，，，，，，是等腰三角形．，，，平分，點(diǎn)到的距離等于點(diǎn)到的距離，，∵，∴，∵三角形BDC是等腰直角三角形，∴。例1．（23-24九年級下·浙江金華·階段練習(xí)）如圖，在中，于D，平分，且于E，與相交于點(diǎn)F，H是邊的中點(diǎn)，連接與相交于點(diǎn)G，以下結(jié)論中：①是等腰三角形；②；③；④．正確的結(jié)論有（

）

A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】A【分析】證明可得，即可判定①；證明得到，進(jìn)而證明得到，即可判斷②；利用三線合一定理和直角三角形的性質(zhì)得到，，進(jìn)而利用勾股定理得到，由此即可判斷③；如圖所示，連接，證明，得到，利用勾股定理即可證明，即可判斷④．【詳解】解：∵平分，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，即是等腰三角形，故①正確；∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故②正確；∵H是邊的中點(diǎn)，∴，，∴，∴，故③正確；如圖所示，連接，∵，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴，故④正確；故選A．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，三角形內(nèi)角和定理，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)等等，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，通過證明三角形全等得到相應(yīng)的線段相等，進(jìn)而利用勾股定理得到結(jié)論是解題的關(guān)鍵．例2．（23-24八年級上·山東臨沂·期中）如圖，等腰中，于點(diǎn)D，的平分線分別交于E、F兩點(diǎn)，M為的中點(diǎn)，的延長線交于點(diǎn)N，連接，下列結(jié)論：①；②為等腰三角形；③；④，其中正確結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出，，，進(jìn)而證，即可判斷①；根據(jù)平分，得出，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出，即可得出，即可判斷②；根據(jù)等腰三角形的三線合一即可得出，即可判斷③；再證，推出，即可判斷④．【詳解】解：，，，，，，，平分，，，，，∴為等腰三角形，故②正確；又∵M(jìn)為的中點(diǎn)，∴，故③正確；在和中，，，故①正確；在和中，，，，故④正確；即正確的有4個(gè)，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，垂直平分線的判定與性質(zhì)以及勾股定理等相關(guān)知識(shí)的應(yīng)用，能熟練運(yùn)用相關(guān)圖形的判定與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，主要考查學(xué)生的推理能力．例3．（23-24八年級·浙江杭州·階段練習(xí)）已知：如圖，中，，于，平分，且于，與相交于點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，連結(jié)與相交于點(diǎn)．（1）說明：；（2）說明：；（3）試探索，,之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【分析】（1）利用AAS判定Rt△DFB≌Rt△DAC，從而得出BF=AC．（2）利用AAS判定Rt△BEA≌Rt△BEC，得出CE=AE=AC，又因?yàn)锽F=AC所以CE=AC=BF（3）利用等腰三角形“三線合一”）和勾股定理即可求解．【解析】解：（1）∵CD⊥AB∴∠BDF=∠CDA=90

∠A+∠ACD=90∵BE⊥AC∴∠A+∠FBD="90

"∴∠FBD=∠ACD∵∠BDC="90"∴∠DCB=∴BD="CD"∴△BDF≌△CDA∴(2)∵平分∴△ABC關(guān)于直線BE成軸對稱圖形∴∵∴(3)連結(jié)GC∵∠DCB=∵CD⊥AB∴△BDC是等腰直角三角形∵H是BC的中點(diǎn)

∴DH是BC的中垂線

∴CG="BG"∠EGC=2∠EBC=45∵BE⊥AC∴△GEC是等腰直角三角形∴CE=GE=CG即CE=GE=BG例4．（23-24八年級上·廣東東莞·期末）如圖，等腰直角中，，，點(diǎn)為上一點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，．(1)若，求證：垂直平分；(2)若點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)．①請判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②求證：平分．【答案】(1)證明見解析(2)①，理由見解析；②證明見解析【分析】本題考查了三角形的綜合題，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的判定，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．（1）利用證明得到，即可推出為的垂直平分線；（2）①利用同角的余角相等得到，利用證明，即可得到；②作交于點(diǎn)N，先證明，，，再利用證明，推出是等腰直角三角形，據(jù)此即可證明，從而得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵，∴，在和中，，∴，∴，∴為的垂直平分線；方法二：∵且，∴BD垂直平分；（2）解：，理由如下：∵，∴，∵中，，∴，∴，∵，∴，又∵在等腰直角中，，，∴，∴，在和中，，∴，∴；②作交BD于點(diǎn)N，∴，∴，∵，，且，∴，∵等腰直角中，，，∴，在和中，，∴，∴，即是等腰直角三角形，∴，∵∴平分．1．（23-24山東威海九年級上期中）已知中，，，D是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在、邊上運(yùn)動(dòng)，且保持．連接、、得到下列結(jié)論：①是等腰直角三角形；②面積的最大值是2；③的最小值是2．其中正確的結(jié)論是（）A．②③ B．①② C．①③ D．①②③【答案】B【分析】證明，進(jìn)一步可得，，所以可知是等腰直角三角形．故①正確；根據(jù)由于是等腰直角三角形，可知當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)，．故③錯(cuò)誤；利用，推出，當(dāng)面積最大時(shí)，此時(shí)的面積最小，求出此時(shí)，故②正確；【詳解】解：①∵是等腰直角三角形，∴，；在和中，∴；∴，；∵，∴，∴是等腰直角三角形．故此選項(xiàng)正確；③由于是等腰直角三角形，因此當(dāng)最小時(shí)，也最??；即當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)．∴．故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；②∵，∴，∴，當(dāng)面積最大時(shí)，此時(shí)的面積最小，∵，，∴，∴，此時(shí)，故此選項(xiàng)正確；故正確的有①②，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰直角三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，并能夠綜合運(yùn)用．2．（2024·廣東汕頭·二模）如圖，四邊形ABCD為正方形，的平分線交BC于點(diǎn)E，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，延長AE交CF于點(diǎn)G，連接BG，DG與AC相交于點(diǎn)H．有下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的結(jié)論有（

）個(gè)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，可得；②由正方形的性質(zhì)得，即，進(jìn)而可得；③先證明，可得，根據(jù)，平分可得進(jìn)而可得；④先證明，可得，即，故可求解．【詳解】解：①∵根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，，，故①正確；②由正方形的性質(zhì)得，平分，，，，，故②正確；③，∴AC=AF，∵AG平分，∴，，，，，，，，，，平分，，，，故③正確；④，，，，，，故④正確，綜上，正確的結(jié)論是①②③④，共四個(gè)，故D正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要是正方形的一個(gè)綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判斷，角平分線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，涉及的知識(shí)點(diǎn)多，綜合性強(qiáng)，難度較大，靈活運(yùn)用這些知識(shí)解題是關(guān)鍵．3．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）如圖，等腰直角中，，于點(diǎn)D，的平分線分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，M為中點(diǎn)，延長線交于點(diǎn)N，連接，下列結(jié)論：①；②；③平分；④；⑤，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根據(jù)三線合一的性質(zhì)證明，即可判斷①；證明A、B、D、M四點(diǎn)共圓，則，得到，即可判斷③；證明，過點(diǎn)D作于點(diǎn)H，則，設(shè)，則，得到，則，即，即可判斷②；求出，過點(diǎn)D作于點(diǎn)P，求出，即可判斷④；證明，則，利用等量代換即可判斷⑤.【詳解】解：∵，，，∴，，，，∵平分，∴，∴，∴，∴，∵M(jìn)為中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴在和中，∴，∴，∴①正確；∵，∴A、B、D、M四點(diǎn)共圓，∴，∴，∵，∴平分∴③正確；∵，∴，∴，∵，∴，∴過點(diǎn)D作于點(diǎn)H，則，∴，設(shè)，則，∴∵∴，即，∴；故②正確；∵，∴∴，過點(diǎn)D作于點(diǎn)P，則，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵∴，∴∴，故④錯(cuò)誤；∵，，∴，∴，∵∴，∵，∴，∴，故⑤正確；綜上可知，正確結(jié)論是①②③⑤，故選：C【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)、四點(diǎn)共圓等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)．4．（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測）如圖，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于點(diǎn)D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于點(diǎn)E，與CD交于F，H是BC邊的中點(diǎn)，連接DH與BE交于點(diǎn)G，則下列結(jié)論：①BF＝AC；②∠A＝∠DGE；③CE＜BG；④S△ADC＝S四邊形CEGH；⑤DG?AE＝DC?EF中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】證明△BDF≌△CDA可判斷①；由利用三角形的外角的性質(zhì)及四邊形的內(nèi)角和定理可判斷②；連接利用DH是BC的垂直平分線，從而可判斷③；過G作GJ⊥AB于J，過F作FMBC于M，連接GM，設(shè)分別計(jì)算三角形ADC的面積和四邊形CEGH的面積可判斷④；由△BDF∽△CEF，可判斷⑤．【詳解】解：∵CD⊥AB，BF⊥AC，∴∠BEC=∠BDC=∠ADC=90°，∵∠ABC=45°，∴∠DCB=45°=∠ABC，∴BD=DC，∵∠BDC=∠CEF=90°，∠DFB=∠EFC∴由三角形內(nèi)角和定理得：∠DBF=∠ACD，∵在△BDF和△CDA中，∴△BDF≌△CDA（ASA），∴BF=AC，∠BFD=∠A，∴①正確；∵∠DFB=∠FBC+∠FCB=∠FBC+45°，∠DGF=∠GBD+45°，∠FBC=∠GBD，∴∠DFG=∠DGF，∴∠A=∠DGE，故②正確，如圖，連接∵∠ABC=45°，∠BDC=90°，∴△BDC是等腰直角三角形，∵H是BC邊的中點(diǎn)，∴DH垂直平分BC，故③正確；過G作GJ⊥AB于J，過F作FMBC于M，連接GM，平分四邊形DGMF是菱形，設(shè)則四邊形CFGH的面積＝梯形GHMF的面積＋的面積S△ADCS四邊形CEGH，故④錯(cuò)誤．∵△BDF∽△CEF，∴，∵BD=DC，CE=AE，DF=DG，∴

∴DG?AE=DC?EF，故⑤正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．5．（2024·湖南長沙·一模）如圖，在中，，．點(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，連接，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，延長交于點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)．現(xiàn)有如下四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④中正確的個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)題意條件可證得，結(jié)合全等三角形的性質(zhì)得到是等腰直角三角形，則，故①正確；過點(diǎn)A作，垂足為點(diǎn)H，通過條件證得，，再通過條件證得，結(jié)合對應(yīng)邊相等可得到，從而說明②③正確；通過邊長的等量關(guān)系能推出，最后說明，故能說明④錯(cuò)誤．【詳解】解：∵由題可知，，，∴，，，，，∵，∴，∵，∴，在與中，∵，∴，∴，，，∴是等腰直角三角形，即，故①正確；如圖，過點(diǎn)A作，垂足為點(diǎn)H，∵是等腰直角三角形，∴，∵點(diǎn)是邊上的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，在和中，∵，∴，∴，，∴，∵，∴，故②正確；∴，故③正確；∵，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，，則，故④錯(cuò)誤；故選C【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形性質(zhì)與判定，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)，采用數(shù)形結(jié)合的方法是解題關(guān)鍵．6．（2024·江蘇淮安·三模）如圖，中，，于，平分，且于，與相交于點(diǎn)．下列結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的結(jié)論有（

）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】A【分析】由“”可證，可得，故①正確．由等腰三角形的性質(zhì)可得，故②正確，由全等三角形的性質(zhì)可得，則可得，故③正確；由角平分線的性質(zhì)可得點(diǎn)到的距離等于點(diǎn)到的距離，由三角形的面積公式可求，故④正確，即可求解．【詳解】解：，，，，，，，，，，在和中，，，故①正確．∵平分，，，∴，∴，，，，故②正確，，，，故③正確；平分，點(diǎn)到的距離等于點(diǎn)到的距離，設(shè)為h，，故④正確，故選：A．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，三角形的面積公式等知識(shí)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．7．（2024·遼寧朝陽·模擬預(yù)測）如圖，在正方形中，對角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在BC邊上，且，連接AE交BD于點(diǎn)G，過點(diǎn)B作于點(diǎn)F，連接OF并延長，交BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)O作交DC于占N，，現(xiàn)給出下列結(jié)論：①；②；③；④；其中正確的結(jié)論有（

）A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④【答案】D【分析】①直接根據(jù)平行線分線段成比例即可判斷正誤；②過點(diǎn)O作交AE于點(diǎn)H，過點(diǎn)O作交BC于點(diǎn)Q，過點(diǎn)B作交OM的延長線于點(diǎn)K，首先根據(jù)四邊形MONC的面積求出正方形的邊長，利用勾股定理求出AE,AF,EF的長度，再利用平行線分線段成比例分別求出OM,BK的長度，然后利用即可判斷；③利用平行線分線段成比例得出，然后利用勾股定理求出OM的長度，進(jìn)而OF的長度可求；④直接利用平行線的性質(zhì)證明，即可得出結(jié)論．【詳解】∵，∴,又∵∴,，，故①正確；如圖，過點(diǎn)O作交AE于點(diǎn)H，過點(diǎn)O作交BC于點(diǎn)Q，過點(diǎn)B作交OM的延長線于點(diǎn)K，∵四邊形ABCD是正方形，，，．，，，，，，∴，，．，即，∴，，故②錯(cuò)誤；，，．，，，，，，，．，，，故③正確；，，．，，，故④正確；∴正確的有①③④，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查四邊形綜合，掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，平行線分線段成比例和銳角三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．8．（2024·黑龍江·二模）如圖，等腰直角三角形中，，于，的平分線分別交、于、兩點(diǎn)，為的中點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，連接，．下列結(jié)論：①；②；③是等邊三角形；④；⑤四邊形是菱形，正確結(jié)論的序號是（

）A．②④⑤ B．①②③④⑤ C．①③④ D．①②④⑤【答案】D【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及角平分線的定義求得，繼而可得，即可判斷①③；證明出，即可判斷②；證明出，即可判斷④；先證明四邊形為平行四邊形，再由，即可判斷四邊形為菱形，故可判斷⑤．【詳解】解：，，，，，，，平分，，，，，故①正確；③錯(cuò)誤，為的中點(diǎn)，，∴，∵，∴，∴，∴，故②正確；∵為的中點(diǎn)，∵，，∴，∵，∴，∴，∵為的中點(diǎn)，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴四邊形為菱形，故⑤正確；∴平分，∴，∵，∴，∴，故④正確，∴正確結(jié)論的序號為①②④⑤，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，菱形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)的應(yīng)用，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解此題的關(guān)鍵．9．（23-24九年級上·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖，已知中，，，直角的頂點(diǎn)P是中點(diǎn)，兩邊、分別交、于點(diǎn)E、F，當(dāng)在內(nèi)繞頂點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)時(shí)（點(diǎn)E不與A、B重合），給出以下四個(gè)結(jié)論：①；②是等腰直角三角形；③；④；⑤與的面積和無法確定．上述結(jié)論中始終正確的有（

）

A．①②③ B．①②⑤ C．①③⑤ D．②③④【答案】A【分析】根據(jù)，，點(diǎn)P是中點(diǎn)得到，，，結(jié)合是直角得到，即可得到從而得到即可得到，，即可得到，從而得到，即可得到答案．【詳解】解：∵，，點(diǎn)P是中點(diǎn)，∴，，，∵是直角，∴，∴，又∵，，∴，∴，，∴，∴，故①②③是正確的，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是得到．10.（23-24九年級上·廣東河源·期中）如圖，在正方形中，，相交于點(diǎn)O，E，F(xiàn)分別為邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)E，F(xiàn)不與線段的端點(diǎn)重合）且，連接．在點(diǎn)E，F(xiàn)運(yùn)動(dòng)的過程中，有下列四個(gè)結(jié)論：①始終是等腰直角三角形；②面積的最小值是2；③至少存在一個(gè)，使得的周長是；④四邊形的面積始終是4．其中結(jié)論正確的有（

）

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④【答案】D【分析】由正方形的性質(zhì)，勾股定理可求，證明，則，，由，可判斷始終是等腰直角三角形，可判斷①的正誤；由勾股定理得，，根據(jù)，可知當(dāng)最小，即時(shí)，最小，證明，是等腰直角三角形，則，，可求最小值，進(jìn)而可判斷②的正誤；根據(jù)，可得，則的周長為，存在，進(jìn)而可判斷③的正誤；由題意知，，進(jìn)而可判斷④的正誤，然后作答即可．【詳解】解：∵正方形，為對角線，∴，，，，∵，∴，∴，即，解得，，∵，，，∴，∴，，∴，∴始終是等腰直角三角形，①正確，故符合要求；∴，∵，∴當(dāng)最小，即時(shí)，最小，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∵，∴，∴，∴最小為，②正確，故符合要求；∴，∴，∵的周長為，∴，∵，∴，∴，∴存在，∴至少存在一個(gè)，使得的周長是，③正確，故符合要求；由題意知，，∴四邊形的面積始終是4，④正確，故符合要求；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，無理數(shù)的估算等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)正方形的性質(zhì)確定線段長度，角度；由勾股定理確定線段之間的數(shù)量關(guān)系；由等腰三角形的判定與性質(zhì)，確定線段之間的等量關(guān)系；全等三角形的判定與性質(zhì)，確定線段、面積的數(shù)量關(guān)系；根據(jù)無理數(shù)的估算確定線段長度的取值范圍．11．（2024·重慶·中考模擬預(yù)測）如圖，在等腰直角，是斜邊的中點(diǎn)，點(diǎn)分別在直角邊上，且，交于點(diǎn)．則下列結(jié)論：（1）圖形中全等的三角形只有兩對；（2）的面積等于四邊形的面積的倍；（3）；（4）．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】本題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定方法和性質(zhì)可判定結(jié)論（1）；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用即可判定結(jié)論（2），（3）；運(yùn)用相似三角形的判定和性質(zhì)可判定結(jié)論（4）．【詳解】解：結(jié)論（1）錯(cuò)誤，理由如下：圖中全等的三角形有3對，分別為，，，由等腰直角三角形的性質(zhì)，可知，易得；∵，∴，在與中，∵，∴；同理可證：．結(jié)論（2）正確．理由如下：∵，∴，∴，即的面積等于四邊形的面積的倍．結(jié)論（3）正確．理由如下：∵，∴，∴．結(jié)論（4）正確．理由如下：∵，∴，∵，∴，在中，由勾股定理得：，∴，∵，∴，又∵，∴為等腰直角三角形，∴，，∵，∴，∴，即，∴，∴．綜上所述，正確的結(jié)論有個(gè)．故選：．12．（23-24九年級上·遼寧丹東·期中）如圖，在正方形中，對角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)在邊上，且，連接交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接并延長，交于點(diǎn)，過點(diǎn)O作交于點(diǎn)，，以下四個(gè)結(jié)論：①；②正方形的面積為9；③；④，其中正確的結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】證明，則，，即，解得，可求，正方形的面積為，進(jìn)而可判斷②的正誤；如圖，取中點(diǎn)，連接，則，是的中位線，，證明，則，可求，進(jìn)而可判斷③的正誤；如圖，過作交于，證明，則，證明，則，解得，，，即，進(jìn)而可判斷①的正誤；由勾股定理得，，則，證明，則，解得，，則，，證明，則，即，可求，，，如圖，作于，則，，由勾股定理得，，根據(jù)，計(jì)算求解，可判斷④的正誤．【詳解】解：∵正方形，∴，，，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴，解得，∴，∴，②正確，故符合要求；∴，如圖，取中點(diǎn)，連接，則，∵為中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∴，∴，解得，∵，∴，③正確，故符合要求；如圖，過作交于，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，解得，，∵，∴，∴，①正確，故符合要求；由勾股定理得，，∴，∵，，∴，∴，即，解得，，∴，，∵，∴，，∴，∴，即，解得，，，∴，如圖，作于，∴，∴，，由勾股定理得，，∴，④正確，故符合要求；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，中位線，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)．熟練掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，中位線，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．13．（2024·黑龍江·?？家荒＃┤鐖D，在面積為的正方形中，是對角線的交點(diǎn)，過點(diǎn)作射線分別交于點(diǎn)，且交于點(diǎn)．下列結(jié)論：；；③四邊形的面積為．其中結(jié)論正確的序號有（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】①由正方形證明OC=OB，∠ODF=∠OCE=45°，∠BOE=∠COF，便可得結(jié)論；②證明點(diǎn)O、E、C、F四點(diǎn)共圓，得∠EOG=∠CFG，∠OEG=∠FCG，進(jìn)而得OGE∽△FGC便可；③先證明S△COE=S△DOF，∴S四邊形CEOF＝S△OCD＝S正方形ABCD便可；④證明△OEG∽△OCE，得OG?OC=OE2，再證明OG?AC=EF2，再證明BE2+DF2=EF2，得OG?AC=BE2+DF2便可．【詳解】解：①如圖：∵四邊形ABCD是正方形，∴OC=OB，AC⊥BD，∠OCF=∠OBE=45°，∵∠MON=90°，∴∠BOE=∠COF，∴△BOE≌△COF（ASA）；故①正確；②∵∠EOF=∠ECF=90°，∴點(diǎn)O、E、C、F四點(diǎn)共圓，∴∠EOG=∠CFG，∠OEG=∠FCG，∴△OGE∽△FGC；故②正確；③易證△COE≌△DOF，∴S△COE=S△DOF，∴S四邊形CEOF＝S△OCD＝S正方形ABCD=1；故③正確；④∵△COE≌△DOF，∴OE=OF，又∵∠EOF=90°，∴△EOF是等腰直角三角形，∴∠OEG=45°=∠OCE，∵∠EOG=∠COE，∴△OEG∽△OCE，∴OE：OC=OG：OE，∴OG?OC=OE2，∵OC=AC，OE=EF，∴OG?AC=EF2，∵CE=DF，BC=CD，∴BE=CF，又∵Rt△CEF中，CF2+CE2=EF2，∴BE2+DF2=EF2，∴OG?AC=BE2+DF2，∴2OG?OC=BE2+DF2；故④正確，故選：D．【點(diǎn)睛】本題屬于正方形的綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的綜合運(yùn)用．解題時(shí)注意：全等三角形的對應(yīng)邊相等，相似三角形的對應(yīng)邊成比例．14．（23-24八年級上·廣東茂名·期中）如圖所示，在等腰直角?ABC中，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，DF，DE交AB于E，DF交BC于F，若AE=，EF=4，則FC的長是．【答案】2【分析】連接BD，根據(jù)的等腰直角三角形的性質(zhì)證明△BED≌△CFD得BE=CF，由等腰三角形的性質(zhì)得BF=AE，再運(yùn)用勾股定理可得BE的長，從而可得結(jié)論．【詳解】解：連接BD∵D是AC中點(diǎn)，∴∠ABD=∠CBD=45°，BD=AD=CD，BD⊥AC∵∠EDB+∠FDB=90°，∠FDB+∠CDF=90°，∴∠EDB=∠CDF，在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD（ASA），∴BE=CF；∵是等腰直角三角形，∴AB=CB∵BE=CF∴在Rt△BEF中，∴(負(fù)值舍去)故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，考查了勾股定理的運(yùn)用，本題中連接BD是解題的關(guān)鍵．15．（2024廣東九年級模擬（二模））一副三角板按如圖1放置，圖2為簡圖，D為AB中點(diǎn)，E、F分別是一個(gè)三角板與另一個(gè)三角板直角邊AC、BC的交點(diǎn)，已知AE=2，CE=5，連接DE，M為BC上一點(diǎn)，且滿足∠CME=2∠ADE，EM=．【答案】【分析】由CE=5，AE=2，得AC=7，利用勾股定理，得到AD的長度，過E作EN⊥AD于N，求出EN和DN的長度，由于∠CME=2∠ADE，延長MB至P，是MP=ME，可以證明，MP=x，在中，利用勾股定理列出方程，即可求解．【詳解】解：如圖，過E作EN⊥AD于N，∴NE=NA，同理，延長MB至P，使MP=ME，連接PE，∴可設(shè)又設(shè)則在中，【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，二倍角的輔助線的構(gòu)造，方程思想求線段，熟練掌握二倍角輔助線是解決問題的關(guān)鍵．16．（23-24九年級上·陜西榆林·期末）如圖，在正方形中，，對角線、交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別為邊、上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），且，連接、、，則線段的最小值為．【答案】【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，全