高中數(shù)學(xué)第一章常用邏輯用語(yǔ)1.3.1推出與充分條件必要條件講義新人教B版選修

充分條件與必要條件1.如何理解:(1)p是q的充分條件復(fù)習(xí)提問(wèn):由條件p

結(jié)論q,(2)p是q的必要條件由結(jié)論q

條件p,則條件p是結(jié)論q成立的充分條件;則條件p是結(jié)論成立的必要條件2.指出下列各命題中,p是q的什么條件?(1)p:兩個(gè)角是對(duì)頂角,q:兩個(gè)角相等充分條件(2)p:xy=0,q:x=0必要條件(3)p:內(nèi)錯(cuò)角相等,q:兩直線平行充分、必要條件(4)p:偶數(shù),q:能被2整除充分、必要條件已知p:整數(shù)a是6的倍數(shù),q:整數(shù)a是2和3的倍數(shù).請(qǐng)問(wèn):p是q的什么條件?q是p的什么條件?既充分又必要條件思考：一.定義:

若p

q,則條件p是結(jié)論q成立的充分必要條件(簡(jiǎn)稱(chēng)充要條件)說(shuō)明:“pq”表示:“pq且pq”（或p等價(jià)于q）（2）符號(hào)“”稱(chēng)為等價(jià)符號(hào)，（1）若pq，則p與q互為充要條件二.如何判斷命題中的條件是結(jié)論的充要條件例1

指出下列各組命題中,p是q的什么條件(在“充分而不必要”、“必要而不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中選一種)(1)p:(x-2)(x-3)=0;q:x-2=0(2)P:同位角相等;q:兩直線平行(3)p:x=3;q:x2=9(4)p:四邊形的對(duì)角線相等;q:四邊形是平行四邊形必要不充分充要充分不必要既不充分又不必要(1)p:x是6的倍數(shù);q:x是2的倍數(shù)(2)p:x是2的倍數(shù);q:x是6的倍數(shù)(3)p:x既是2的倍數(shù)也是3的倍數(shù);q:x是6的倍數(shù)(4)p:x是4的倍數(shù);q:x是6的倍數(shù)充分不必要必要不充分充要既不充分又不必要例2.下列命題中,p是q的什么條件?例3.下列命題中,哪些p是q的充要條件?(1)p:b=0,q:函數(shù)f(x)=ax2+bx+c是偶函數(shù)(2)p:x>0,y>0,q:xy>0(3)p:a>b,q:a+c>b+c充要條件充分不必要充要條件故選(1)(2)例4.已知:圓O的半徑r,圓心O到直線l的距離為d,求證:d=r是直線l與圓O相切的充要條件需分別證明（１）充分性（p

q）；與（２）必要性（q

p）證明：如圖，作OPl于點(diǎn)P，則OP＝d．設(shè)p:d=r,q:直線l與圓O相切分析:lQP0┐d(1)充分性（p

q）:

若d=r,則點(diǎn)P在圓O上。在直線l上任取一點(diǎn)Q(異于點(diǎn)P),連接OQ。在RtΔOPQ中,OQ>OP=r。所以,除點(diǎn)P外,直線l上的點(diǎn)都在圓O的外部。即直線l與圓O僅有一個(gè)公共點(diǎn)P。因此,直線l與圓O相切。(2)必要性（qp）

若直線l與圓O相切,不妨設(shè)切點(diǎn)為P,則OPl.因此,d=OP=r。故d=r是直線l與圓O相切的充要條件。例５．證明：ax２＋bx＋c＝０有兩個(gè)實(shí)根的充要條件是b２－４ac≥０結(jié)論q:ax2+bx+c=0有兩個(gè)實(shí)根條件p:b２－４ac≥０分析：證明：（１）充分性（p

q）；（２）必要性（q

p）∵b２－４ac≥０設(shè)方程ax2+bx+c=0的根為即方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)實(shí)根∵方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)實(shí)根∴b２－４ac≥０故方程有兩個(gè)實(shí)根的充要條件是b２－４ac≥０小結(jié)條件p結(jié)論q條件p是結(jié)論q成立的充分不必要條件條件p結(jié)論q條件p是結(jié)論q成立的必要不充分條件條件p結(jié)論q條件p是結(jié)論q成立的充要條件說(shuō)明：首先分