2023年山東省濟南市中考數(shù)學真題

濟南市2023年九年級學業(yè)水平考試

數(shù)學試題

本試卷共8頁，滿分150分,考試時間為120分鐘.

注意事項:

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、座號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，用0.5mm黑色簽字筆將答案

寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分.每小題只有一個選項符合題目要求.

1.下列幾何體中，主視圖是三角形的為（)

【解析】

【分析】分別判斷出各選項中的幾何體的主視圖，即可得出答案.

【詳解】解：A、圓錐的主視圖是三角形，故本選項符合題意;

B、球的主視圖是圓，故本選項不符合題意;

C、長方體的主視圖是長方形，故本選項不符合題意;

D、三棱柱的主視圖是長方形，故木選項不符合題意;

故選：A.

【點睛】本題考查了簡單幾何體的三視圖，熟知常見幾何體的主視圖是解本題的關鍵.

2.2022年我國糧食總產量再創(chuàng)新高，達686530000噸.將數(shù)字686530000用科學記數(shù)法表示為（)

A.0.68653xlO8B.6.8653xlO8

C.6.8653xlO7D.68.653xlO7

【答案】B

【解析】

【分析】科學記數(shù)法的表示形式為axlO"的形式，其中14同＜10,〃為整數(shù).確定〃的值時，要看把原數(shù)

變成〃時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當原數(shù)絕對值＞10時，〃是正數(shù);

當原數(shù)的絕對值V1時，〃是負數(shù).

【詳解】解：686530000=6.8653x10、，

故選：B

【點睛】此題考查科學記數(shù)法的表示方法.科學記數(shù)法的表示形式為ax10"的形式，其中1?同＜10,〃為

整數(shù)，表示時關鍵要正確確定。的值以及〃的值.

3.如圖，一塊直角三角板的直角頂點放在直尺的一邊上.如果/1=70。，那么N2的度數(shù)是（）

【答窠】A

【解析】

【分析】根據兩直線平行，同位角相等可得N1=N3,再結合三角板的特征利用平角定義即可算出N2的度

數(shù).

/.Zl=Z3=70°,

.*.Z2=180°-90°-Z3=90°-70°=20°,

故選：A.

【點睛】本題考查了平行線性質，三角形平角的定義，利用三角板的特點求已結果是解答本題的關鍵.

4.實數(shù)〃，匕在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示，則下列結論正確的是（）

b

i.i???.1A

-3-2-10123

A.ab>0B.a+b>0

C.a+3V6+3D.-3a<—3b

【答案】D

【解析】

［分析］根據題意可得-3<匕<-2,。=2,然后根據數(shù)的乘法和加法法則以及不等式的性質進行判斷即可.

【詳解】解：由題意可得：-3<8<-2,4=2,所以

:.ab<0,a+h<0,a+3>b+3,-3a<-3b,

觀察四個選項可知：只有選項D的結論是正確的：

故選：D.

【點睛】本題考查了實數(shù)與數(shù)軸以及不等式的性質，正確理解題意、得出-3<8<-2,々=2是解題的關

鍵.

5.下圖是度量衡工具漢尺、秦權、新莽銅卡尺和商鞅方升的示意圖，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖

【答案】A

【解析】

【分析】根據軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.

【詳解】A、是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項符合題意;

B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；

的增減性解答.

【詳解】解：???在反比例函數(shù)丁=&(&<0)中，k<0,

x

.?此函數(shù)圖象在一、四象限，

?1<一2<0,

二點A(-4,yj,8(—2,%)在第二象限，

??y>o，%>°，

函數(shù)圖象在第二象限內為增函數(shù)，-4<-2<0,

??°<y<%.

???3>o，/.C。,％)點在第四象限，

\為<0，

?.?%，力，必的大小關系為為<)'|<必,

故選：C.

【點睛】此題考查的是反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點及平面直角坐標系中各象限內點的坐標特點，比較

簡單.

8.從甲、乙、丙、丁4名同學中隨機抽取2名同學參加圖書節(jié)志愿服務活動，其中甲同學是女生，乙、丙、

丁同學都是男生，被抽到的2名同學都是男生的概率為()

A.-B.；C.-D.—

3234

【答案】B

【解析】

【分析】根據題意畫樹狀圖，再利用概率公式，即可得到答案.

【詳解】解：根據題意，畫樹狀圖如下：

丁??共有12種情況，被抽到的2名同學都是男生的情況有6種,

...p——=一，

122

故選：B.

【點睛】本題考查了列表法或畫樹狀圖法求概率，熟練掌握概率公式是解題關鍵.

9.如圖，在中，AB=AC,NB4C=36。，以點。為圓心，以3c為半徑作弧交AC于點O,再

分別以8,。為圓心，以大于1物的長為半徑作弧，兩弧相交于點P,作射線CP交A3于點￡,連接

2

DE.以下結論不,硬的是（）

A

「BE亞7口S^AEC_布+1

AC2S△的2

【答案】C

【解析】

【分析】由題意得，BC=DC，CE平分NA8C,根據三角形內角和及角平分線判斷A即可；由角平分

線求出ZACE=36。=NA,得到AE=CE,根據三角形內角和求出NBEC=72°=NB,得到CE=BC,

即可判斷B；證明得到空二g一，設AB=l,8C=x,則BE=l—x,求出x,即可

BCBE

判斷C；過點E作石G_L3C于G,EHIAHH,由角平分線的性質定理推出EG=EH,即可根據三角

形面積公式判斷D.

【詳解】解：由題意得，BC=DC,CE平分/ABC,

??,在AABC中，AB=AC,NBAC=36。，

ZABC=ZACB=72°

?；CE平分NABC,

：.ZBCE=36°,故A正確;

???CE平分/ABC,ZACB=72°

???Z4CE=36°=ZA,

AE=CE,

VZABC=72°,48=36。，

：.ZBEC=72°=ZB.

：.CE=BC,

：.BC=AEf故B正確；

???NA=/BCE,ZABC=NCBE,

:./^ABCs^CBE,

ABBC

：,一=——,

BCBE

設4A=1,AC=x,則BE=1—x,

??―9

x\-x

：?x2=l-x?

.nr1后73-小

??BE=1----------=---------?

22

，匹二/5,故C錯誤；

AC2

過點E作EGJ_BC于G,石”_LAC于”,

???CE1平分/AC3,EG1BC,EH工AC,

:?EG=EH

ACEH

：S^EC24s+\

故D正確;

S&BECL.BCEGbc2

2

故選：C.

【點睛】此題考查了等腰三角形等邊對等角，相似三角形的判定和性質，角工分線的作圖及性質，解一元

二次方程，熟練掌握各知識點是解題的關鍵.

io.定義：在平面直角坐標系中，對于點P（x，y）,當點Q（w，%）滿足2（冗1+毛）=?+%時，稱點

Q（W，%）是點。（不，X）的“倍增點”，已知點4（1,0），有下列結論:

①點2（3,8）,2（—2，—2）都是點6的“倍增點”；

②若直線y=x+2上的點A是點耳的“倍增點”，則點A的坐標為（2,4）；

③拋物線y=/一標―3上存在兩個點是點耳的“倍增點”；

④若點B是點耳的“倍增點”，則4B的最小值是偵.

5

其中，正確結論的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

【分析】①根據題目所給“倍增點”定義，分別驗證2,Q即可；②點4（。,。+2）,根據“倍增點”定

義，列出方程，求出。的值，即可判斷；③設拋物線上點『一2，-3）是點耳的“倍增點”，根據

“倍增點”定義列出方程，再根據判別式得出該方程根的情況，即可判斷；④設點3（孫〃），根據“倍增

點”定義可得2（根+1）=〃，根據兩點間距離公式可得《32=（機_I）2+〃2,把〃=2（6+1）代入化簡并

配方，即可得出AB?的最小值為日，即可判斷.

【詳解】解:①??＜。,0）,2（3,8）,

2（&+%）=2x（l+3）=8,y+y2=0+8=8,

???2（%+9）=乂+%，則Q（3,8）是點4的“倍增點”；

???［（1,0）,02（-2,-2）,

+%,）=2x（l-2）=-2,yj+y2=0-2=-2,

???2（x+x2）=y+%，則。2（—2,—2）是點<的“倍增點”；

故①正確，符合題意；

②設點A（a,a+2）,

???點4是點4的“倍增點”，

/?2x（1+a）=0+〃+2,

解得：a=0,

???A（0,2）,

故②不正確，不符合題意；

③設拋物線上點。（人/-2/-3）是點耳的“倍增點”，

2（1+。=廠一2/—3,整理得：尸一4，一5=0，

???△二（T『-4x1x（-5）=36>0,

，方程有兩個不相等實根，即拋物線y=--2r-3上存在兩個點是點6的“倍增點”；

故③正確，符合題意；

④設點8（見〃），

???點&是點4的“倍增點”，

/.2（加+1）=〃,

V,[（1,0）,

???[§2=（6—1J+〃2

二（加-11+[2（加+1）[

=562+6/W+5

???1廣的最小值為

???的最小值是聘=卓,

故④正確，符合題意；

綜上：正確的有①?④，共3個.

故選：C.

【點睛】本題主要考查了新定義，解一元一次方程，一元二次方程根的判別式，兩點間的距離公式，解題

的關鍵是正確理解題目所給“倍增點”定義，根據定義列出方程求解.

二、填空題：本題共6小題，每小題4分，共24分.直接填寫答案.

II.因式分解：X2-16=.

【答案】(x+4)(x-4)

【解析】

【分析】

【詳解】x2-16=(x+4)(x-4),

故答案為：(x+4)(x-4)

12.圍棋起源于中國，棋子分黑白兩色.一個不透明的盒子中裝有3個黑色棋子和若干個白色棋子，每個棋

子除顏色外都相同，任意摸出一個棋子，摸到黑色棋子的概率是1,則盒子中棋子的總個數(shù)是.

4

【答案】12

【解析】

【分析】利用概率公式，得出黑色棋子的數(shù)量除以對應概率，即可算出棋子的總數(shù).

【詳解】解：3--=12,

4

???盒子中棋子的總個數(shù)是12.

故答案為：12.

【點睛】本題考查了簡單隨機事件概率的相關計算，事件出現(xiàn)的概率等于出現(xiàn)的情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

13.關于1的一元二次方程/一4工+2〃=0有實數(shù)根，則。的值可以是(寫出一個即可).

【答案】2(答案不唯一)

【解析】

【分析】由于方程有實數(shù)根，則其根的判別式ANO,由此可以得到關于。的不等式，解不等式就可以求出

〃的取值范圍，進而得出答案.

t詳解】解：?.?關于丫的一元二次方程/4xI20=0有實數(shù)根,

:.△=/-4ac=（-4）"-4xlx2?>0?

即16-8心0,

解得：a<2>

，。的值可以是2.

故答案為：2（答案不唯一）.

【點睛】本題考查一元二次方程加+bx+c=O（awO）的根與判別式的關系，當。>0時，方程有兩個不

相等的實數(shù)根；當〃=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根：當。<0時，方程沒有實數(shù)根.

14.如圖，正五邊形A8CDE的邊長為2，以A為圓心，以4B為半徑作弧鹿，則陰影部分的面積為

（結果保留乃）.

【答案】—

【解析】

【分析】根據正多邊形內角和公式求出正五邊形的內角和，再求出/A的度數(shù)，利用扇形面積公式計算即

可.

【詳解】解：正五邊形的內角和=（5—2卜180。=540。,

540°

.?Z=^-=108。,

5

2

r108^-26萬

mABE~360—5

故答案為：--.

【點睛】本題考查了扇形面積和正多邊形內角和的計算，熟練掌握扇形面積公式和正多邊形內角和公式是

解答本題的關鍵.

15.學校提倡“低碳環(huán)保，綠色出行“，小明和小亮分別選擇步行和騎自行車上學，兩人各自從家同時同向出

發(fā)，沿同一條路勻速前進.如圖所示，4和(分別表示兩人到小亮家的距離S(km)和時間，(h)的關系，則

【解析】

【分析】根據題意和函數(shù)圖象中的數(shù)據可以訂算出小明和小亮的速度，從而可以解答本題.

【詳解】解：由題意和圖象可得，小明0.5小時行駛了6-3.5=2.5(km),

25

???小明的速度為：6M=5(km/h),

小亮0.4小時行駛了6km,

???小明的速度為：4=15(km/h),

設兩人出發(fā)加后兩人相遇，

A(15-5)X=3.5

解得工=0.35,

???兩人出發(fā)0.35后兩人相遇,

故答案為：0.35

【點睛】本題考查函數(shù)的圖象，解答本題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結合的

思想解答.

16.如圖，將菱形紙片A5C。沿過點C的直線折疊，使點。落在射線C4上的點E處，折痕CP交A。于

點P.若NA5C=30。，AP=2，則PE的長等于

p

【答窠】

【解析】

【分析】過點A作4Q_LPE于點°,根據菱形性質可得NDAC=75。，根據折疊所得

ZE=ZD=30°,結合三角形的外角定理得出NE4P=45。，最后根據PQ=APcos450=J5,

區(qū)2二'^=#即可求解.

tan30°

【詳解】解：過點4作于點。，

???四邊形ABCO為菱形，ZABC=30%

：,AB=BC=CD=AC,ZABC=ZD=30°,

???ZDAC=1(180°-30°)=75°,

???△CPE由△CPD沿CP折疊所得，

???Z￡=ZD=30。，

.??ZE4P=75o-30o=45°,

VAQ±PEtAP=2,

APQ=APcos450=y/2,WOAQ=PQ=y/2,

AQ

；?EQ=瓜,

tan30°

???PE=EQ+PQ=yf2+yf6t

故答案為：V2+V6.

E

【點睛】本題主要考查了菱形的性質，折疊的性質，解直角三角

形，解題的關鍵是熟練掌握菱形和折疊的性質，正確畫出輔助線，構造直角三角形求解.

三、解答題：本題共10小題，共86分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.計算：卜6|+位+(^-+1)°-tan6()°.

【答案】3

【解析】

【分析】根據絕對值的意義、負整數(shù)指數(shù)累、零指數(shù)易以及特殊角的三角函數(shù)值分別計算后，再根據二次根

式加減運算法則求解即可得到答案.

【詳解】解：+(^+l)°-tan60°

=6+2+1-行

=3.

【點睛】本題考查了絕對值的意義、負整數(shù)指數(shù)基運算、零指數(shù)棄運算、特殊角的三角函數(shù)值、二次根式加

減運算，熟練掌握相關運算法則是解本題的關鍵.

2(x+2)>x+3①

18.解不等式組：入x+2…，并寫出它的所有整數(shù)解.

-<——②

35

【答案】-1VXV3,整數(shù)解為0,1,2

【解析】

【分析】分別求解兩個不等式，再寫出解集，最后求出滿足條件的整數(shù)解即可.

【詳解】解：解不等式①，得

解不等式②，得xv3,

在同一條數(shù)軸上表示不等式①②的解集，

原不等式組的解集是一1<x<3,

，整數(shù)解為0,1,2.

【點睛】本題主要考查了解一元一次不等式組，解題的關鍵是熟練掌握解一元一次不等式組的方法和步驟，

以及寫出不等式組解集的口訣“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到”.

19.已知：如圖，點。為YABCD對角線AC的中點，過點。的直線與AD，8c分別相交于點E，F(xiàn).

求證：DE=BF.

【解析】

【分析】根據平行四邊形的性質得出4?！?。，進而得出/￡4。=//。。，NOEA=NOFC,

再證明/，根據全等三角形的性質得出AE=C/，再利用線段的差得出

AD-AE=BC-CF,即可得出結論.

【詳解】證明：???四邊形A3C。是平行四邊形，

：.AD=BC,AD//BC.

：.ZEAO=ZFCO,ZOEA=ZOFC,

???點。為對角線AC的中點，

:.AO=CO,

???△AOEgACOF,

???AE=CF,

???AD-AE=BC-CF,

:.DE=BF.

【點睛】本題考查平行四邊形的性質，全等三角形的判定與性質，正確理解題意是解題的關鍵.

20.圖1是某越野車的側面示意圖，折線段ABC表示車后蓋，已知48=Im,8c=0.6m,ZABC=123°,

該車的高度AO=L7m.如圖2,打開后備箱，車后蓋A3C落在ABC'處，AB’與水平面的夾角

NH4O=27°.

（1）求打開后備箱后，車后蓋最高點8'到地面/的距離；

（2）若小琳爸爸的身高為1.8m,他從打開的車后蓋C處經過，有沒有碰頭的危險?請說明理由.

（結果精確到0.01m,參考數(shù)據：sin27°?0.454,cos27°?0.891,tan27°?0.510>a=1.732）

【答案】（1）車后蓋最高點*到地面的距離為2.15m

（2）沒有危險，詳見解析

【解析】

【分析】（1）作？E_LA。，垂足為點E，先求出的長，再求出？E+AO的長即可；

（2）過。'作_LB'E,垂足為點尸，先求得ZAB'E=63°,再得到=ZABC-ZABE=60°,

再求得3N=3'C?cos600=0.3,從而得出C到地面的距離為2.15—0.3=1.85,最后比較即可.

【小問1詳解】

如圖，作B￡_L4Z），垂足為點E

ZB'AD=27°,Aff=AB=l

—翳

:.ffE-AG'sin27°?lx0.454=0.454

???平行線間的距離處處相等

???9E+47=0.454+1.7=2.154B2.15

答：車后蓋最高點9到地面的距離為2.15m.

【小問2詳解】

沒有危險，理由如下:

過C'作C'/LZTE,垂足為點尸

:.48'七=63。

???ZAB,C=ZABC=123°

:.ZCB'F=AABC-ZAB'E=60°

在RhB'FC中，B'C'=BC=06

:.^F=BVcos60°=0.3.

???平行線間的距離處處相等

:.C到地面的距離為2.15-0.3=1.85.

V1.85>1.8

，沒有危險.

【點睛】本題主要考查了解直角三角形的應用，掌握直角三角形的邊角關系是解題的關鍵.

21.2023年，國內文化和旅游行業(yè)復蘇勢頭強勁.某社團對30個地區(qū)“五一”假期的出游人數(shù)進行了調

查，獲得了它們“五一”假期出游人數(shù)（出游人數(shù)用加表示，單位：百萬）的數(shù)據，并對數(shù)據進行統(tǒng)計整

理.數(shù)據分成5組：

A組：1<相<12；B組：12K〃z<23；C組：23<34；D組：34《用<45；E組：

45<m<56.

下面給出了部分信息：

a.8組的數(shù)據：12,13,15,16,17,17,18,20.

b.不完整的“五一”假期出游人數(shù)的頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計圖如下：

請根據以上信息完成下列問題:

（1）統(tǒng)計圖中E組對應扇形的圓心角為度;

（2）請補全頻數(shù)分布直方圖；

（3）這30個地區(qū)“五一”假期出游人數(shù)的中位數(shù)是百萬;

（4）各組“五一”假期的平均出游人數(shù)如下表：

ABCDE

組別

l<m<1212</w<2323<AW<3434<m<4545<m<56

平均出游人數(shù)（百萬）5.51632.54250

求這30個地區(qū)“五一”假期的平均出游人數(shù).

【答案】（1）36（2）詳見解析

（3）155（4）20百萬

【解析】

【分析】（1）由E組的個數(shù)除以總個數(shù)，再乘以360。即可；

（2）先用。組所占百分比乘以總個數(shù)得出其個數(shù)，再用總個數(shù)減去A、B、D、￡組的個數(shù)得出。組個

數(shù)，最后畫圖即可；

（3）根據中位數(shù)的定義可得出中位數(shù)為第15和16個數(shù)的平均數(shù)，第15和16個數(shù)均在8組，求解即可;

（4）根據加權平均數(shù)的求解方法計算即可.

【小問1詳解】

3

—X360°=36°,

30

故答案為：36；

【小問2詳解】

。組個數(shù)：30xl0%=3個，

。組個數(shù)：30—12—8—3—3=4個，

補全頻數(shù)分布直方圖如下：

地區(qū)個數(shù)（領數(shù)）

2

0

8

6【小問3詳解】

4

2

O

共30個數(shù)，中位數(shù)為第15和16個數(shù)的平均數(shù)，第15和16個數(shù)均在8組,

???中位數(shù)為"誓=15.5百萬,

2

故答窠為：15.5；

【小問4詳解】

5.5x12+16x8+32.5x4+42x3+50x3,工＜、

-------------------------------------------------=20（百萬）,

30

答：這30個地區(qū)“五一”假期的平均出游人數(shù)是20百萬.

【點睛】本題考查了扇形統(tǒng)計圖和頻數(shù)分布直方圖的相關知識，涉及求扇形所對的圓心角的度數(shù)，畫頻數(shù)

分布直方圖，求中位數(shù)，求加權平均數(shù)，熟練掌握知識點，并能夠從題目中獲取信息是解題的關鍵.

22.如圖，A8，CO為。。的直徑，。為。。上一點，過點。的切線與的延長線交于點尸，

NA5c=2NBC?，點E是的中點，弦CE,BO相交于點E.

（1）求NOC8的度數(shù)；

（2）若所=3,求OO直徑的長.

【答案】（1）60°

⑵673

【解析】

【分析】（1）根據切線的性質，得出OC_LPC,再根據直角三角形兩銳角互余，得出/OCB+NBCP=90。,

再根據等邊對等角，得出NOC3=NQ3C,再根據等量代換，得出NOC8=2N3C/，再根據

NOCB+N8CP=90。，得出2NBCP+NBCP=90。,即3NBCP=90。，得出NBCP=30。，進而計算

即可得出答案；

（2）連接根據圓周角定理，得出ZDEC=900,再根據中點定義，得出￡>E=￡B，再根據同弧或

同弦所對的圓周角相等，得出ZDCE=/6。8=/產。石=1/。==30。，再根據正切的定義，得出

2

DE=3C，再根據30。角所對的直角邊等于斜邊的一半，得出8=2DE=6JJ，進而即可得出答案.

【小問1詳解】

解：???PC與。。相切于點C,

??.OC±PC,

???NOCB+/BCP=90。,

?：OB=OC,

???ZOCB=ZOBC,

■:ZABC=2ZBCP,

???/0CB=2/BCP,

???2ZBCP+/BCP=90°,即34BCP=90°,

：,/BCP=3(T,

:.NOCB=2NBCP=60。；

【小問2詳解】

解：如圖，連接OE，

???CO是。。直徑，

???ZDEC=90p,

???點E是30的中點，

?*,DE=EB?

:.NDCE=NECB=NFDE=-NDCB=30°,

2

在RtZXFOE中，

,??所=3,NFDE=30。,

ppr-

:,DE==3日

tan30°

在RtMEC中，

?:/DCE=30。，

:?CD=2DE=66

:.00的直徑的長為6.

【點睛】本題考查了切線的性質、直角三角形兩銳角互余、等邊對等角、圓局角定理及其推論、銳角三角

函數(shù)、含30。角的直角三角形的性質，解本題的關鍵在熟練掌握相關的性質定理.

23.某校開設智能機器人編程校本課程，購買了4,5兩種型號的機器人模型.A型機器人模型單價比8

型機器人模型單價多200元，用2000元購買4型機器人模型和用1200元購買B型機器人模型的數(shù)量相同.

（1）求A型，B型機器人模型的單價分別是多少元？

（2）學校準備再次購買A型和B型機器人模型共40臺，購買8型機器人模型不超過A型機器人模型的3

倍，且商家給出了兩種型號機器人模型均打八折的優(yōu)惠.問購買A型和B型機器人模型各多少臺時花費最

少?最少花費是多少元？

【答案】（1）A型編程機器人模型單價是500元，3型編程機器人模型單價是300元

（2）購買A型機器人模型10臺和B型機器人模型30臺時花費最少，最少花費是11200元

【解析】

【分析】（1）設A型編程機器人模型單價是x元，8型編程機器人模型單價是（工一200）元，根據：用2000

元購買A型機器人模型和用1200元購買B型機器人模型的數(shù)量相同即可列出關于x的分式方程，解方程并

檢驗后即可求解；

（2）設購買A型編程機器人模型〃？臺，購買4型和B型編程機器人模型共花費w元，根據題意可求出機

范圍和W關于機的函數(shù)關系式，再結合一次函數(shù)的性質即可求出最小值

【小問1詳解】

解：設A型編程機器人模型單價是x元，B型編程機器人模型單價是（x-200）元.

根據題意，得史”1200

xx—200

解這個方程，得x=500

經檢驗，尤=500是原方程的根.

x—200=300

答：A型編程機器人模型單價是500元，8型編程機器人模型單價是300元.

【小問2詳解】

設購買A型編程機器人模型加臺，購買8型編程機器人模型（40一機）臺，購買A型和8型編程機器人模型

共花費卬元，

由題意得：40-/n<3/???解得相之10.

???卬=5（X）x0.8?m+3（X）x（）.8?（40—加）

即w=]60〃?+9600，

V160>0,

:.卬隨機的增大而增大.

???當加=10時，w取得最小值11200,此時40=30；

答：購買A型機器人模型10臺和8型機器人模型30臺時花費最少，最少花費是11200元.

【點睛】本題考查了分式方程的應用、一元一次不等式的應用和一次函數(shù)的性質，正確理解題意、找準相

等與不等關系、得出分式方程與不等式是解題的關鍵.

24.綜合與實踐

如圖1,某興趣小組計劃開墾一個面積為8m2的矩形地塊A8CO種植農作物，地塊一邊靠墻，另外三邊用

木欄圍住，木欄總長為an?.

BC

【問題提出】

小組同學提出這樣一個問題：若a=10,能否圍出矩形地塊？

【問題探究】

小穎嘗試從“函數(shù)圖象”的角度解決這個問題：

設A8為mi,8c為)m.由矩形地塊面積為8m2,得到孫二8,滿足條件的(*,)，)可看成是反比例函數(shù)

Q

y=—的圖象在第一象限內點的坐標；木欄總長為10m,得到2x+y=10,滿足條件的(x,y)可看成一次函

x

數(shù)丁=-2工+10的圖象在第一象限內點的坐標，同時滿足這兩個條件的(x,y)就可以看成兩個函數(shù)圖象交點

的坐標.

Q

如圖2,反比例函數(shù)y=-(x>0)的圖象與直線小丁=-2戈+10的交點坐標為(1,8)和,因止匕

木欄總長為10m時，能圍出矩形地塊，分別為：AB=lm,BC=8m：或m,BC=

in.

y

（1）根據小穎的分析思路，完成上面的填空.

【類比探究】

（2）若。=6,能否圍出矩形地塊？請仿照小穎的方法，在圖2中畫出一次函數(shù)圖象并說明理由.

【問題延伸】

當木欄總長為am時，小穎建立了一次函數(shù)y=-2x+〃.發(fā)現(xiàn)直線y=-2式+。可以看成是直線y=-2x

Q

通過平移得到的，在平移過程中，當過點（2,4）時，直線y=-2x+〃與反比例函數(shù)y=-（x>0）的圖象有

X

唯一交點.

（3）請在圖2中畫出直線y=-2x+。過點（2,4）時的圖象，并求出。的值.

【拓展應用】

Q

小穎從以上探究中發(fā)現(xiàn)“能否圍成矩形地塊問題”可以轉化為“y=-2工+。與》=一圖象在第一象限內

x

交點的存在問題”.

（4）若要圍出滿足條件的矩形地塊，且A3和5C的長均不小于1m,請直接寫出。的取值范圍.

【答案】3）（4,2）；4；2：（2）不能圍出，理由見解析；（3）圖見解析，a=8；（4）8<a<17

【解析】

【分析】（1）聯(lián)立反比例函數(shù)和一次函數(shù)表達式，求出交點坐標，即可解答；

（2）根據。=6得出，y=-2x4-6,在圖中畫出y=-2x+6的圖象，觀察是否與反比例函數(shù)圖像有交點，

若有交點，則能圍成，否則，不能圍成；

（3）過點（2,4）作《的平行線，即可作出直線y=的圖象，將點（2,4）代入y=-2x+a,即可求

出。的值；

Q

（4）艱據存在交點，得出方程-2工+。=一（。>0）有實數(shù)根，根據根的判別式得出。之8,再得出反比例函

Q

數(shù)圖象經過點。,8),(8,1),則當y=-2尤+。與卜=一圖象在點(1,8)左邊，點(8,1)右邊存在交點時，滿

X

足題意；根據圖象，即可寫出取值范圍.

Q

【詳解】解：(1)???反比例函數(shù)y=；(x>0),直線4：j=-2x+10,

8

y=一

，聯(lián)立得：rx,

y=-2x+10

x=1(x2=4

解得：父,引

[乂=8[y2=2

???反比例函與直線4：y=-2%+10的交點坐標為(1,8)和(4,2),

當木欄總長為10m時，能圍出矩形地塊，分別為：A8=lm,8C=8m；或AB=4m，BC=2m.

故答案為：(4,2)4；2.

(2)不能圍出.

???木欄總長為6m,

，2x+y=6,則y=-2x+6,

畫出宜線)=-2%+6的圖象，如圖中4所示：

Q

???與與函數(shù)y=一圖象沒有交點，

X

???不能圍出面積為8m2的矩形；

(3)如圖中直線％所示，4即為丁=-2)+。圖象，

將點(2,4)代入y=-2x+a,得：4=-2x2+〃，

解得3=8；

y

Q

(4)根據題意可得：若要圍出滿足條件的矩形地塊，y=-2x+a與)，=一圖象在第一象限內交點的存在

x

問題，

Q

即方程-2x+a=—(4>0)有實數(shù)根，

整理得：2x2-or+8=0，

AA=(-?)2-4X2X8>0,

解得：a>8,

QQ

把x=1代入y=-得：y=-=8,

x1

???反比例函數(shù)圖象經過點(1,8),

QQ

把y=l代入y=一得：1=一，解得：、=8,

XX

二.反比例函數(shù)圖象經過點(8,1),

令4(1,8),8(8,1),過點4(1,8),5(8,1)分別作直線)的平行線，

Q

由圖可知，當丁=-21+。與》=一圖象在點A左邊，點B右邊存在交點時，滿足題意;

x

把(8,1)代入y=-2x+a得：1=一16+〃，

解得：4=17,

A8<6t<17.

【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)綜合，解題的關鍵是正確理解題意，根據題意得出等量關

系，掌握待定系數(shù)法，會根據函數(shù)圖形獲取數(shù)據.

25.在平面直角坐標系xOy中，正方形ABCO的頂點A,B在X軸上，C(2,3),D(-l,3).拋物線

丫=加-2dx+c（a<0）與％軸交于點￡1（一2,0）和點F.

（2）如圖2,在（1）的條件下，連接C/，作直線CE,平移線段。尸，使點C的對應點P落在直線

CE上，點尸的對應點。落在拋物線上，求點。的坐標;

（3）若拋物線y=ad-2G*+c（4vO）與正方形ABCD恰有兩個交點，求。的取值范圍.

【答案】⑴尸一如+三川,尸（4,0）；

84

（2）（-4,-6）；

133

（3）——<。<0或——<a<——

358

【解析】

【分析】⑴將點C（2,3）,E（-2,0）代入弛物線y=ajc2-2ax+c,利用待定系數(shù)法求出拋物線的表達式,

再令）=0,求出“值，即可得到點尸的坐標；

（2）設直線8的表土式為產區(qū)+以將點C（2,3）,E（-2,0）代入解析式，利用待定系數(shù)法求出直線

CE的表達式為：y=-x+-,設點。1,一W產+.，+3｝根據平移的性質，得到點

pt-2--t2+-t+6,將點P代入y==x+=,求出，的值，即可得到點。的坐標；

I84J42

（3）根據正方形和點C的坐標，得出8C=3,08=2,0A=1,將E（—2,0）代入y=a^一2"+。，

求得），=以2一2公一8。=。（工一1）2-9。，進而得到頂點坐標（1,一9〃），分兩種情況討論：①當拋物線頂點

在正方形內部時，②當拋物線與直線8C交點在點C上方，且與直線AO交點在點0下方時，分別列出不

等式組求解，即可得到答案.

【小問1詳解】

解：拋物線y=--2or+c過點C（2,3）,E（-2,0）

3

4〃一4。+。=3a=—

4〃+4"c=?！獾茫?,

c=3

33

拋物線表達式為y=--x2+-x+3,

84

當y=0時，一己/+?x+3=o,

84

解得：*二-2（舍去），X2=4,

.一（4,0）；

【小問2詳解】

解：設直線CE的表達式為'=履+》，

???直線過點C（2,3）,E（-2,0）,

3

Kf=—

2k+b=34

解得:

-2k+b=0z3

2

33

???直線CE的表達式為：y=-x+-,

42

33

???點。在拋物線y=—+二x+3上,

84

（33

，設點。乙一二/+：，+3

（84

?.?。（2,3）,網4,0）,且PQ由b平移得至九

（Q3

.??點。向左平移2個單位，向上平移3個單位得到點尸一2,入7+6

/33133

二.將Pt—2,—廠+—Z+6代入y=-x—,

I84；42

3/八\3323,

:.-(t-2)+-=——r+T+6,

4V7284

整理得：『=16，

解得：。=-4,q=4(舍去)，

3、,3

當x=-4時，y=--x(^)_+-x(^)+3=-6

。點坐標為(-4,-6)：

【小問3詳解】

解：四邊形ABCO是正方形，C(2,3),

BC=AB=3,03=2,

..OA-A/3-OB-\,

點A和點D的橫坐標為-1,點8和點C的橫坐標為2,

將七(一2,0)代入y=0^2-2ar+c,得:c--Sa,

/.y=ax1-2or-8?=a(x-l)"-9a?

?.?頂點坐標為(l,-9a),

①如圖，當拋物線頂點在正方形內部時，與正方形有兩個交點,

-9a<3

八八，解得:——<。<0；

-9a>03

②如圖，當拋物線與直線3c交點點C上方，且與直線AO交點在點。下方時，與正方形有兩個交點,

33

，解得：—<a<—

58

133

綜上所述，〃的取值范圍為---<4<0或------------.

358

【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的圖象和性質，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，平移的性質,

函數(shù)圖像上點的坐標特征，拋物線與直線交點問題，解一元二次方程，解一元一次不等式組等知識，利用分

類討論的思想，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質是解題關鍵.

26.在矩形A3CQ中，AB=2,AD=26點E在邊上