人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第十二章《角的平分線的性質(zhì)》作業(yè)設(shè)計(jì)

“雙減”背景下初中數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計(jì)-----角的平分線的性質(zhì)一、教材分析角的平分線的性質(zhì)這一節(jié)的內(nèi)容位于人教版八年級(jí)上冊(cè)第十二章《全等三角形》，是在學(xué)生學(xué)習(xí)了全等三角形的性質(zhì)和判定之后進(jìn)行的。本節(jié)內(nèi)容包含三個(gè)方面：1、會(huì)用尺規(guī)作圖--作一個(gè)角的平分線；2、角平分線的性質(zhì)；3、角平分線的判定。在學(xué)習(xí)角的平分線的性質(zhì)之前，學(xué)生已熟練掌握了全等三角形的性質(zhì)和判定方法，本節(jié)課的內(nèi)容是要通過(guò)證明三角形全等，再利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等這一性質(zhì)進(jìn)行研究的。同時(shí)，學(xué)習(xí)了角的平分線的性質(zhì)，也為后面學(xué)生證線段相等提供新的思路和方法。二、課標(biāo)分析2022年新課標(biāo)指出，在初中階段，角的平分線的教學(xué)，教師需要引導(dǎo)學(xué)生理解角平分線的概念，會(huì)通過(guò)尺規(guī)作圖作一個(gè)角的平分線，探索并證明角平分線的的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等；反之，角的內(nèi)部到角兩邊的距離相等。在探究的過(guò)程中，讓學(xué)生明確命題的證明步驟，會(huì)獨(dú)立證明命題。學(xué)生在與老師和同學(xué)一起探討交流的過(guò)程中，感受數(shù)學(xué)的奧妙和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，獲得知識(shí)的快樂(lè)。三、設(shè)計(jì)理念為更好貫徹落實(shí)國(guó)家的雙減政策，踐行立德樹人的根本任務(wù)，切實(shí)提高課堂教育教學(xué)質(zhì)量，實(shí)現(xiàn)課堂減負(fù)增效，從而促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展特設(shè)計(jì)本次作業(yè)。作業(yè)的內(nèi)容主要考察了學(xué)生能否利用尺規(guī)作圖作出一個(gè)角的平分線，以及對(duì)角的平分線的性質(zhì)和判定的掌握情況。根據(jù)此階段學(xué)生學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，設(shè)計(jì)了三個(gè)維度的作業(yè)：基礎(chǔ)鞏固作業(yè)（5個(gè)題）、綜合拓展作業(yè)（2個(gè)題）、創(chuàng)新應(yīng)用作業(yè)（1個(gè)題）。四、作業(yè)內(nèi)容基礎(chǔ)鞏固作業(yè)。設(shè)計(jì)目標(biāo)：學(xué)生在理解角平分線及其性質(zhì)的基礎(chǔ)上，能明白尺規(guī)作圖的依據(jù)，并能直接應(yīng)用性質(zhì)解決問(wèn)題。如圖是利用尺規(guī)作∠AOB的平分線OP，在尺規(guī)作∠AOB的平分線時(shí)，用到的三角形全等的判定方法是（）SSSB、SASC、ASAD、AAS分析：本題沒(méi)有要求學(xué)生去作圖，而是反向考察學(xué)生對(duì)尺規(guī)作圖作角的平分線原理的理解。解題策略：回顧作圖的步驟（1、以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交OA于點(diǎn)M，OB于點(diǎn)N，可得OM=ON；2、分別以M、N為圓心，大于二分之一MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點(diǎn)C，可得MC=NC；3、連接OC，可得OC=OC），找出過(guò)程中的等量關(guān)系，從而分析得出是運(yùn)用的哪種三角形全等的判定方法。如圖，點(diǎn)P是∠AOB的平分線上一點(diǎn)，PM⊥OA垂足為M，若PM=3cm,求點(diǎn)P到邊OB的距離。分析：角平分線的性質(zhì)是由兩個(gè)條件①角平分線②垂線，得到的一個(gè)結(jié)論是線段相等。此題已滿足角平分線，以及角平分線上一點(diǎn)到一邊的距離，應(yīng)該對(duì)比性質(zhì)的內(nèi)容，找出已知條件和未知條件。解題策略：過(guò)點(diǎn)P作PN⊥OB，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）可得PM=PN。如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，求證EB=FC分析：此題主要考查角平分線的性質(zhì)與全等三角形的判定和全等三角形的性質(zhì)。角平分線的性質(zhì)使用條件已滿足，直接應(yīng)用即可。解題策略：首先由角平分線的性質(zhì)可得DE=DF，角平分線上的點(diǎn)到角兩端的距離相等；由DE⊥AB，DF⊥AC可得，三角形BED與三角形CFD均為直角三角形，結(jié)合已知條件BD=CD，運(yùn)用直角三角形判定方法HL可證兩三角形全等，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得：EB=FC。注意：學(xué)生誤用邊邊角證全等。如圖，點(diǎn)D、E、F分別是△ABC三邊上的點(diǎn)，CE=BF，△DCE和△DBF的面積相等，求證：AD是∠BAC的平分線。分析：角的平分線的判定是由兩個(gè)條件①過(guò)一點(diǎn)的垂線②垂線段相等，得到一個(gè)結(jié)論該點(diǎn)在角平分線上。使用該判定的前提是這個(gè)點(diǎn)必須在角的內(nèi)部。角平分線的判定定理是證明兩角相等的重要依據(jù)，它比利用三角形全等證兩角相等更方便。解題策略：由條件△DCE和△DBF的面積相等，涉及到面積，題中沒(méi)有高可知需要做輔助線，過(guò)點(diǎn)D作出△DCE的邊BF的高DM與△DBF的邊CE上的高DN。再由條件CE=BF可得DM=DN（面積相等，底邊相等則高相等）。∵DM⊥AB，DN⊥AC，DM=DN，根據(jù)角平分線的判定定理（角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上）可得AD是∠BAC的平分線。如圖，在△ABC中，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB與點(diǎn)E。若∠B=50°，∠C=70°，求∠EDA的度數(shù)。若AB=10，AC=8，DE=4，求△ABC的面積分析：本題主要考查了三角形的內(nèi)角和知識(shí)、角平分線的性質(zhì)以及三角形的面積。解題策略：對(duì)于（1）問(wèn)，直接利用三角形的內(nèi)角和定理得出∠BAC的度數(shù)，再根據(jù)條件AD是△ABC的角平分線，可得∠BAD的度數(shù)，最后根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得出∠EDA的度數(shù)。對(duì)于（2）問(wèn)，通過(guò)分析條件可知，需要作輔助線：過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC，依據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得DE=DF=3，在根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算△ABD與△ADC的面積，最后根據(jù)△ABC的面積等于△ABD與△ADC的面積之和可得出答案。綜合拓展作業(yè)如圖，在四邊形ABCD中，∠D=∠B=90°，O為BD的中點(diǎn)，且AO平分∠BAC，求證：（1）CO平分∠ACD；（2）AB+CD=AC分析：此題在教材52頁(yè)第7題的基礎(chǔ)上增加了第二問(wèn)。是角平分線的性質(zhì)與判定的綜合應(yīng)用，同時(shí)結(jié)合三角形全等的判定與性質(zhì)，得到線段的關(guān)系。解題策略：（1）問(wèn)中，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AC于點(diǎn)E，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等可得OB=OE，根據(jù)條件O為BD的中點(diǎn)可知OB=OD，進(jìn)而得到OE=OD，最后根據(jù)角平分線的判定定理（角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上）即可得出結(jié)論。對(duì)于（2）問(wèn)，利用“HL”可證明Rt△ABO≌Rt△AEO，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)（對(duì)應(yīng)邊相等）可得AB=AE；利用同理，可證Rt△CEO≌Rt△CDO，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)（對(duì)應(yīng)邊相等）可得CD=CE，最后利用等量代換即可得出結(jié)論。2、如圖，CE⊥AB，BF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，BF交CE于點(diǎn)D，BD=CD.（1）求證：點(diǎn)D在∠BAC的平分線上.（2）若將條件“BD=CD”與（1）中結(jié)論“點(diǎn)D在∠BAC的平分線上”互換，成立嗎？試說(shuō)明理由.分析：本題考查角平分線的性質(zhì)與判定，同時(shí)利用三角形的判定定理證三角形全等，從而得到對(duì)應(yīng)邊相等；解題策略：（1）問(wèn)中欲證點(diǎn)D在∠BAC的平分線上，即證垂線段DE=DF。連接AD，由條件CE⊥AB，BF⊥AC，可得∠BED=∠CFD=90°，再結(jié)合已知條件BD=CD，AD=AD（公共邊）依據(jù)AAS可證△BDE≌△CDF，得到DE=DF，再利用角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上解答；對(duì)于（2）問(wèn)，依據(jù)角平分線的性質(zhì)，得出DE=DF，再利用ASA證明△BDE≌△CDF，即可解答.創(chuàng)新應(yīng)用作業(yè)1、如圖，直線a,b,c表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建立一個(gè)供水站，要求它到三條公路的距離相等，則可選擇的地址有幾處？分析：此題求供水站到三條公路的距離相等，可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題：在平面內(nèi)找一點(diǎn)，使其到三條線段的距離相等。依據(jù)角平分線的性質(zhì)可知，尋找的點(diǎn)一定是直線a與直線b，直線a與直線c，直線b與直線c所形成的角的平分線的交點(diǎn)。但應(yīng)注意，找點(diǎn)到三條線的距離相等時(shí)，不能忽略三條線組成的三角形外的點(diǎn)。解題策略：作出三條線組成的三角形任意兩內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)，即為第一處供水站的位置，到三邊的距離相等，如下左圖。作出三角形兩外角的平分線的交點(diǎn)，共有三處供水站的位置，到三角形一邊與其他兩邊延長(zhǎng)線的距離相等，如下右圖。反思與總結(jié)本次作業(yè)我從三個(gè)維度進(jìn)行設(shè)計(jì)：基礎(chǔ)鞏固作業(yè)、綜合拓展作業(yè)、創(chuàng)新應(yīng)用作業(yè)，三個(gè)作業(yè)難度對(duì)學(xué)生的綜合素養(yǎng)要求越來(lái)越高，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維逐步提升，充分體現(xiàn)了作業(yè)設(shè)計(jì)的層次性、靈活性，共8個(gè)題，在上課時(shí)，基礎(chǔ)鞏固作業(yè)為全班必做，綜合拓展作業(yè)、創(chuàng)新應(yīng)用作業(yè)為第一梯度學(xué)生必做，第二梯度學(xué)生選做，第三梯度學(xué)生不做，每個(gè)學(xué)生都能在自己的能力范圍內(nèi)做相應(yīng)的題目，符合“雙減”政策下的作業(yè)布置要求，以減負(fù)增效為根本目標(biāo)。同時(shí)，在作業(yè)完成過(guò)程中，很好的激發(fā)了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)了部分同學(xué)的學(xué)習(xí)積極性?；A(chǔ)鞏固作業(yè)，共5個(gè)題，題目考查的內(nèi)容相對(duì)比較單一，85%的學(xué)生能獨(dú)立完成，但在幾何語(yǔ)言的書寫上，還存在一定的問(wèn)題，不夠規(guī)范，比如缺少角到兩邊距離的符號(hào)語(yǔ)言，這也警示我在今后的教學(xué)中要強(qiáng)化示范幾何語(yǔ)言的書寫，同時(shí)給學(xué)生講明白書寫的邏輯關(guān)系。綜合拓展作業(yè)，融合的知識(shí)點(diǎn)相對(duì)比較多，對(duì)學(xué)生知識(shí)的儲(chǔ)備量和靈活應(yīng)用能力要求比較高，在解題過(guò)程中，學(xué)生做題的速度和反應(yīng)上，會(huì)相對(duì)比較慢，甚至出現(xiàn)完全沒(méi)有思路的現(xiàn)象，我在發(fā)現(xiàn)后，給予了一定的思路引導(dǎo)，兩個(gè)題大部分完成的不錯(cuò)。創(chuàng)新應(yīng)用作業(yè)，是將所學(xué)的知識(shí)與我們實(shí)際生活相結(jié)合，能夠大大激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。在完成作業(yè)過(guò)程中，學(xué)生能夠找到一處，但是剩下三處沒(méi)有想